Este documento contém duas versões de uma prova de matemática sobre lógica e teoria de conjuntos. A prova contém questões de múltipla escolha e questões que requerem cálculos e justificações. As questões abordam tópicos como operações lógicas, conjuntos, condições universais e particulares, e operações com conjuntos como união, interseção e diferença.

1. Questão de Aula I Lógica e Teoria de Conjuntos
10.º Ano 1/1pg
Questão de Aula de Matemática A
Tema: Lógica e Teoria de Conjuntos
Versão A
GRUPO I
Escreva, na folha de resposta, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que efetuar
para responder ao item.
Não apresente cálculos nem justificações.
Se apresentar mais do que uma opção, ou se a letra transcrita for ilegível, a sua resposta será classificada como
zero pontos.
1. Qual das seguintes figuras representa o conjunto seguinte: (25 pontos)
(𝑨 ∪ 𝑩)(𝑩 ∩ 𝑪)
2. Qual das seguintes operações é equivalente à seguinte: (25 pontos)
~[𝒂 ∧ ( 𝒂 ⟹ 𝒃)] ⟹ (𝒂 ∧ 𝒃)
(A) 𝑎 ⟹ 𝑏
(B) 𝑎 ∨ 𝑏
(C) 𝑎 ∧ 𝑏
(D) ~𝑎 ∨ ~𝑏
GRUPO II
Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato
3. Considere a proposição verdadeira ( 𝒑 ∨ 𝒒) ⟹ 𝒓.
a. Sabendo que 𝑟 tem o valor lógico de falsidade, qual é o valor lógico de 𝑝 e de 𝑞?
Justifique. (12.5 pontos)
b. Fazendo a negação da proposição dada. Conclua a proposição ( 𝒑 ∨ 𝒒) ∧~𝒓 tem o valor
lógico de falsidade. (12.5 pontos)
c. Traduza para linguagem corrente a proposição,
sabendo que: (5 pontos)
d. Simplifica a seguinte proposição: (20 pontos)
~[(~𝒂∨ 𝒃) ⟹ ( 𝒂 ∧ 𝒃)] ⟹ 𝒂
4. Considera o conjunto 𝐴 = {0, 1,2, 3,4, 5,6} e sejam 𝑝( 𝑥) e 𝑞( 𝑥) as seguintes condições:
𝑝( 𝑥): 𝑥 − 2 ≥ 0 𝑞( 𝑥): 3 < 𝑥 ≤ 4
4.1. Determina o valor lógico das seguintes proposições.
4.1.1. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑝( 𝑥)(15pontos) 4.1.2. ∃𝑥 ∈ 𝐴:𝑞( 𝑥) (15 pontos)
4.2. Prova que 𝑝 ∨ (~𝑞) é uma condição universal em 𝐴. (10 pontos)
4.3. Sejam 𝑃 e 𝑄 os conjuntos-solução das condições 𝑝 e 𝑞, respetivamente, em ℝ. Determina:
4.3.1. 𝑃 ∩ 𝑄 4.3.2. 𝑃̅ ∪ 𝑄̅ 4.3.3. 𝑃𝑄
𝑝: A equipa A tem 20 jogadores.
𝑞: A equipa B tem 21 jogadores.
𝑟: a equipa C tem 11 jogadores
(20 pontos) (20 pontos) (20 pontos)

2. Questão de Aula I Lógica e Teoria de Conjuntos
10.º Ano 1/1pg
Questão de Aula de Matemática A
Tema: Lógica e Teoria de Conjuntos
Versão B
GRUPO I
Escreva, na folha de resposta, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que efetuar
para responder ao item.
Não apresente cálculos nem justificações.
Se apresentar mais do que uma opção, ou se a letra transcrita for ilegível, a sua resposta será classificada como
zero pontos.
1. Qual das seguintes figuras representa o conjunto seguinte: (25 pontos)
(𝑨 ∪ 𝑩)(𝑩 ∩ 𝑪)
2. Qual das seguintes operações é equivalente à seguinte: (25 pontos)
~[𝒂 ∧ ( 𝒂 ⟹ 𝒃)] ⟹ (𝒂 ∧ 𝒃)
(A) 𝑎 ∧ 𝑏
(B) 𝑎 ∨ 𝑏
(C) 𝑎 ⟹ 𝑏
(D) ~𝑎 ∨ ~𝑏
GRUPO II
Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato
3. Considere a proposição verdadeira ( 𝒑 ∨ 𝒒) ⟹ 𝒓.
a. Sabendo que 𝑟 tem o valor lógico de falsidade, qual é o valor lógico de 𝑝 e de 𝑞?
Justifique. (12.5 pontos)
b. Fazendo a negação da proposição dada. Conclua a proposição ( 𝒑 ∨ 𝒒) ∧~𝒓 tem o valor
lógico de falsidade. (12.5 pontos)
c. Traduza para linguagem corrente a proposição,
sabendo que: (5 pontos)
d. Simplifica a seguinte proposição: (20 pontos)
~[(~𝒂∨ 𝒃) ⟹ ( 𝒂 ∧ 𝒃)] ⟹ 𝒂
4. Considera o conjunto 𝐴 = {0, 1,2, 3,4, 5,6} e sejam 𝑝( 𝑥) e 𝑞( 𝑥) as seguintes condições:
𝑝( 𝑥): 𝑥 − 2 ≥ 0 𝑞( 𝑥): 3 < 𝑥 ≤ 4
4.1. Determina o valor lógico das seguintes proposições.
4.1.1. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑝( 𝑥)(15pontos) 4.1.2. ∃𝑥 ∈ 𝐴:𝑞( 𝑥) (15 pontos)
4.2. Prova que 𝑝 ∨ (~𝑞) é uma condição universal em 𝐴. (10 pontos)
4.3. Sejam 𝑃 e 𝑄 os conjuntos-solução das condições 𝑝 e 𝑞, respetivamente, em ℝ. Determina:
4.3.1. 𝑃 ∩ 𝑄 4.3.2. 𝑃̅ ∪ 𝑄̅ 4.3.3. 𝑃𝑄
𝑝: A equipa A tem 20 jogadores.
𝑞: A equipa B tem 21 jogadores.
𝑟: a equipa C tem 11 jogadores
(20 pontos) (20 pontos) (20 pontos)

3. Questão de Aula I Lógica e Teoria de Conjuntos
10.º Ano
Correção
Grupo I
Versão
A B
1 (B) (C) …………………………….25 pontos
2 (D) (A) …………………………….25 pontos
50 pontos
Grupo II
3. 50 pontos
a. 12.5 pontos
 Justificar se 𝑟 ⟺ 𝐹 e[( 𝑝 ∨ 𝑞) ⟹ 𝑟] ⟺ 𝑉, então 𝑝 ∨ 𝑞 ⟹ 𝐹 7 pontos
 Justificar se 𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ 𝐹,então 𝑝 ⟺ 𝐹 e 𝑞 ⟺ 𝐹 5.5 pontos
b. 12.5 pontos
 Justificar que~[( 𝑝 ∨ 𝑞) ⟹ 𝑟] ⟺ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑟 7 pontos
 Justificar quese[( 𝑝 ∨ 𝑞) ⟹ 𝑟] ⟺ 𝑉, então ~[( 𝑝 ∨ 𝑞) ⟹ 𝑟] ⟺ 𝐹 5.5 pontos
c. 5 pontos
 Escrever a frase(ou equivalente) “Se a equipa A tem 20 jogadores ou a equipa B tem 21,então a equipa
C tem 11 jogadores”.
d. 20 pontos
 Justificar que~[(~𝑎 ∨ 𝑏) ⟹ 𝑎 ∧ 𝑏] ⟺ (~𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (~𝑎 ∨ 𝑏) 4 pontos
 Justificar que(~𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (~𝑎 ∨ 𝑏) ⟺ ~𝑎 ∨ 𝑏 4 pontos
 Justificar que(~𝑎 ∨ 𝑏) ⟹ 𝑎 ⟺ (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑎 4 pontos
 Justificar que( 𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑎 ⟺ 𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑉) 4 pontos
 Justificar que 𝑎 ∧ ( 𝑏 ∨ 𝑉) ⟺ 𝑎 4 pontos
4. 100 pontos
4.1. 30 pontos
4.1.1. 15 pontos
 Definir o conjunto solução para a condição 𝑝( 𝑥) 5 pontos
 Verificar queo conjunto não abrange todo o conjunto 𝐴 5 pontos
 Justificar que∀𝑥 ∈ ℝ , 𝑝( 𝑥) é falsa 5 pontos
4.1.2. 15 pontos
 Definir o conjunto solução para a condição 𝑞(𝑥) 5 pontos
 Verificar queexiste um elemento de 𝐴 que verifique 𝑞( 𝑥) 5 pontos
 Justificar que∃𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑞(𝑥) é verdadeira 5 pontos
4.1.
4.2. 10 pontos
 Verificar queo conjunto solução de 𝑝(𝑥) em 𝐴 é {2;3; 4; 5; 6} 2.5 pontos
 Verificar queo conjunto solução de ~𝑞(𝑥) em A é {0; 1; 2;3;5; 6} 2.5 pontos
 Verificar quea união dos conjuntos correspondea 𝐴 : 𝐶𝑆( 𝑝( 𝑥)) ∪ 𝐶𝑆( 𝑞( 𝑥)) = 𝐴 3 pontos
 Afirmar que 𝑝( 𝑥) ∨ ~𝑞( 𝑥) é uma condição universal,a partir da definição ∀𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑝( 𝑥) ∨ ~𝑞(𝑥) 2 pontos

4. Questão de Aula I Lógica e Teoria de Conjuntos
10.º Ano
4.3. 60 pontos
 Para as três alíneas:
o Verificar que 𝑃 = [2; +∞[ 3.5 pontos
o Verificar que 𝑄 =]3; 4] 3.5 pontos
o Ponto extra (só 1):
 Verificar que 𝑄 ⊂ 𝑃 1 ponto
4.3.1. 20 pontos
 Verificar que 𝑃 ∩ 𝑄 = 𝑄 =]3; 4] 13 pontos
4.3.2. 20 pontos
 Verificar que 𝑃̅ ∪ 𝑄̅ = 𝑃 ∩ 𝑄̅̅̅̅̅̅̅̅ 7 pontos
 Verificar que 𝑃 ∩ 𝑄̅̅̅̅̅̅̅̅ = ℝ ]3;4] –ou– 𝑃 ∩ 𝑄̅̅̅̅̅̅̅̅= ] − ∞; 3] ∪]4; +∞[ 6 pontos
Ou
 Verificar que 𝑃̅ =] − ∞; 2[ 5 pontos
 Verificar que 𝑄̅ = ] − ∞; 3] ∪ ]4, +∞[ 5 pontos
 Verificar que 𝑃̅ ∪ 𝑄̅ = ] − ∞; 3] ∪]4; +∞[ 3 pontos
4.3.3. 20 pontos
 Verificar que 𝑃𝑄 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∉ 𝑄} (ou equivalente) 5 pontos
 Verificar que 𝑃𝑄 = [2; 3] ∪]4; +∞[ 8 pontos
150 pontos + 1 ponto extra
200 pontos (+ 1)