Questão de Aula I Lógica e Teoria de Conjuntos
10.º Ano 1/1pg
Questão de Aula de Matemática A
Tema: Lógica e Teoria de Con...
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Questão de Aula I Lógica e Teoria de Conjuntos
10.º Ano
Correção
Grupo I
Versão
A B
1 (B) (C) …………………………….25 pontos
2 (D) ...
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Questão de aula 1 + Critérios de Classificação Lógica 10 Ano

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Unidade 1
composto por 2 exercícios de escolha múltipla e dois exercícios de desenvolvimento

Critérios de classificação no fim do ficheiro

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Questão de aula 1 + Critérios de Classificação Lógica 10 Ano

  1. 1. Questão de Aula I Lógica e Teoria de Conjuntos 10.º Ano 1/1pg Questão de Aula de Matemática A Tema: Lógica e Teoria de Conjuntos Versão A GRUPO I Escreva, na folha de resposta, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que efetuar para responder ao item. Não apresente cálculos nem justificações. Se apresentar mais do que uma opção, ou se a letra transcrita for ilegível, a sua resposta será classificada como zero pontos. 1. Qual das seguintes figuras representa o conjunto seguinte: (25 pontos) (𝑨 ∪ 𝑩)(𝑩 ∩ 𝑪) 2. Qual das seguintes operações é equivalente à seguinte: (25 pontos) ~[𝒂 ∧ ( 𝒂 ⟹ 𝒃)] ⟹ (𝒂 ∧ 𝒃) (A) 𝑎 ⟹ 𝑏 (B) 𝑎 ∨ 𝑏 (C) 𝑎 ∧ 𝑏 (D) ~𝑎 ∨ ~𝑏 GRUPO II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato 3. Considere a proposição verdadeira ( 𝒑 ∨ 𝒒) ⟹ 𝒓. a. Sabendo que 𝑟 tem o valor lógico de falsidade, qual é o valor lógico de 𝑝 e de 𝑞? Justifique. (12.5 pontos) b. Fazendo a negação da proposição dada. Conclua a proposição ( 𝒑 ∨ 𝒒) ∧~𝒓 tem o valor lógico de falsidade. (12.5 pontos) c. Traduza para linguagem corrente a proposição, sabendo que: (5 pontos) d. Simplifica a seguinte proposição: (20 pontos) ~[(~𝒂∨ 𝒃) ⟹ ( 𝒂 ∧ 𝒃)] ⟹ 𝒂 4. Considera o conjunto 𝐴 = {0, 1,2, 3,4, 5,6} e sejam 𝑝( 𝑥) e 𝑞( 𝑥) as seguintes condições: 𝑝( 𝑥): 𝑥 − 2 ≥ 0 𝑞( 𝑥): 3 < 𝑥 ≤ 4 4.1. Determina o valor lógico das seguintes proposições. 4.1.1. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑝( 𝑥)(15pontos) 4.1.2. ∃𝑥 ∈ 𝐴:𝑞( 𝑥) (15 pontos) 4.2. Prova que 𝑝 ∨ (~𝑞) é uma condição universal em 𝐴. (10 pontos) 4.3. Sejam 𝑃 e 𝑄 os conjuntos-solução das condições 𝑝 e 𝑞, respetivamente, em ℝ. Determina: 4.3.1. 𝑃 ∩ 𝑄 4.3.2. 𝑃̅ ∪ 𝑄̅ 4.3.3. 𝑃𝑄 𝑝: A equipa A tem 20 jogadores. 𝑞: A equipa B tem 21 jogadores. 𝑟: a equipa C tem 11 jogadores (20 pontos) (20 pontos) (20 pontos)
  2. 2. Questão de Aula I Lógica e Teoria de Conjuntos 10.º Ano 1/1pg Questão de Aula de Matemática A Tema: Lógica e Teoria de Conjuntos Versão B GRUPO I Escreva, na folha de resposta, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que efetuar para responder ao item. Não apresente cálculos nem justificações. Se apresentar mais do que uma opção, ou se a letra transcrita for ilegível, a sua resposta será classificada como zero pontos. 1. Qual das seguintes figuras representa o conjunto seguinte: (25 pontos) (𝑨 ∪ 𝑩)(𝑩 ∩ 𝑪) 2. Qual das seguintes operações é equivalente à seguinte: (25 pontos) ~[𝒂 ∧ ( 𝒂 ⟹ 𝒃)] ⟹ (𝒂 ∧ 𝒃) (A) 𝑎 ∧ 𝑏 (B) 𝑎 ∨ 𝑏 (C) 𝑎 ⟹ 𝑏 (D) ~𝑎 ∨ ~𝑏 GRUPO II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato 3. Considere a proposição verdadeira ( 𝒑 ∨ 𝒒) ⟹ 𝒓. a. Sabendo que 𝑟 tem o valor lógico de falsidade, qual é o valor lógico de 𝑝 e de 𝑞? Justifique. (12.5 pontos) b. Fazendo a negação da proposição dada. Conclua a proposição ( 𝒑 ∨ 𝒒) ∧~𝒓 tem o valor lógico de falsidade. (12.5 pontos) c. Traduza para linguagem corrente a proposição, sabendo que: (5 pontos) d. Simplifica a seguinte proposição: (20 pontos) ~[(~𝒂∨ 𝒃) ⟹ ( 𝒂 ∧ 𝒃)] ⟹ 𝒂 4. Considera o conjunto 𝐴 = {0, 1,2, 3,4, 5,6} e sejam 𝑝( 𝑥) e 𝑞( 𝑥) as seguintes condições: 𝑝( 𝑥): 𝑥 − 2 ≥ 0 𝑞( 𝑥): 3 < 𝑥 ≤ 4 4.1. Determina o valor lógico das seguintes proposições. 4.1.1. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑝( 𝑥)(15pontos) 4.1.2. ∃𝑥 ∈ 𝐴:𝑞( 𝑥) (15 pontos) 4.2. Prova que 𝑝 ∨ (~𝑞) é uma condição universal em 𝐴. (10 pontos) 4.3. Sejam 𝑃 e 𝑄 os conjuntos-solução das condições 𝑝 e 𝑞, respetivamente, em ℝ. Determina: 4.3.1. 𝑃 ∩ 𝑄 4.3.2. 𝑃̅ ∪ 𝑄̅ 4.3.3. 𝑃𝑄 𝑝: A equipa A tem 20 jogadores. 𝑞: A equipa B tem 21 jogadores. 𝑟: a equipa C tem 11 jogadores (20 pontos) (20 pontos) (20 pontos)
  3. 3. Questão de Aula I Lógica e Teoria de Conjuntos 10.º Ano Correção Grupo I Versão A B 1 (B) (C) …………………………….25 pontos 2 (D) (A) …………………………….25 pontos 50 pontos Grupo II 3. 50 pontos a. 12.5 pontos  Justificar se 𝑟 ⟺ 𝐹 e[( 𝑝 ∨ 𝑞) ⟹ 𝑟] ⟺ 𝑉, então 𝑝 ∨ 𝑞 ⟹ 𝐹 7 pontos  Justificar se 𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ 𝐹,então 𝑝 ⟺ 𝐹 e 𝑞 ⟺ 𝐹 5.5 pontos b. 12.5 pontos  Justificar que~[( 𝑝 ∨ 𝑞) ⟹ 𝑟] ⟺ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑟 7 pontos  Justificar quese[( 𝑝 ∨ 𝑞) ⟹ 𝑟] ⟺ 𝑉, então ~[( 𝑝 ∨ 𝑞) ⟹ 𝑟] ⟺ 𝐹 5.5 pontos c. 5 pontos  Escrever a frase(ou equivalente) “Se a equipa A tem 20 jogadores ou a equipa B tem 21,então a equipa C tem 11 jogadores”. d. 20 pontos  Justificar que~[(~𝑎 ∨ 𝑏) ⟹ 𝑎 ∧ 𝑏] ⟺ (~𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (~𝑎 ∨ 𝑏) 4 pontos  Justificar que(~𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (~𝑎 ∨ 𝑏) ⟺ ~𝑎 ∨ 𝑏 4 pontos  Justificar que(~𝑎 ∨ 𝑏) ⟹ 𝑎 ⟺ (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑎 4 pontos  Justificar que( 𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑎 ⟺ 𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑉) 4 pontos  Justificar que 𝑎 ∧ ( 𝑏 ∨ 𝑉) ⟺ 𝑎 4 pontos 4. 100 pontos 4.1. 30 pontos 4.1.1. 15 pontos  Definir o conjunto solução para a condição 𝑝( 𝑥) 5 pontos  Verificar queo conjunto não abrange todo o conjunto 𝐴 5 pontos  Justificar que∀𝑥 ∈ ℝ , 𝑝( 𝑥) é falsa 5 pontos 4.1.2. 15 pontos  Definir o conjunto solução para a condição 𝑞(𝑥) 5 pontos  Verificar queexiste um elemento de 𝐴 que verifique 𝑞( 𝑥) 5 pontos  Justificar que∃𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑞(𝑥) é verdadeira 5 pontos 4.1. 4.2. 10 pontos  Verificar queo conjunto solução de 𝑝(𝑥) em 𝐴 é {2;3; 4; 5; 6} 2.5 pontos  Verificar queo conjunto solução de ~𝑞(𝑥) em A é {0; 1; 2;3;5; 6} 2.5 pontos  Verificar quea união dos conjuntos correspondea 𝐴 : 𝐶𝑆( 𝑝( 𝑥)) ∪ 𝐶𝑆( 𝑞( 𝑥)) = 𝐴 3 pontos  Afirmar que 𝑝( 𝑥) ∨ ~𝑞( 𝑥) é uma condição universal,a partir da definição ∀𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑝( 𝑥) ∨ ~𝑞(𝑥) 2 pontos
  4. 4. Questão de Aula I Lógica e Teoria de Conjuntos 10.º Ano 4.3. 60 pontos  Para as três alíneas: o Verificar que 𝑃 = [2; +∞[ 3.5 pontos o Verificar que 𝑄 =]3; 4] 3.5 pontos o Ponto extra (só 1):  Verificar que 𝑄 ⊂ 𝑃 1 ponto 4.3.1. 20 pontos  Verificar que 𝑃 ∩ 𝑄 = 𝑄 =]3; 4] 13 pontos 4.3.2. 20 pontos  Verificar que 𝑃̅ ∪ 𝑄̅ = 𝑃 ∩ 𝑄̅̅̅̅̅̅̅̅ 7 pontos  Verificar que 𝑃 ∩ 𝑄̅̅̅̅̅̅̅̅ = ℝ ]3;4] –ou– 𝑃 ∩ 𝑄̅̅̅̅̅̅̅̅= ] − ∞; 3] ∪]4; +∞[ 6 pontos Ou  Verificar que 𝑃̅ =] − ∞; 2[ 5 pontos  Verificar que 𝑄̅ = ] − ∞; 3] ∪ ]4, +∞[ 5 pontos  Verificar que 𝑃̅ ∪ 𝑄̅ = ] − ∞; 3] ∪]4; +∞[ 3 pontos 4.3.3. 20 pontos  Verificar que 𝑃𝑄 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∉ 𝑄} (ou equivalente) 5 pontos  Verificar que 𝑃𝑄 = [2; 3] ∪]4; +∞[ 8 pontos 150 pontos + 1 ponto extra 200 pontos (+ 1)

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