Cinemática

CINEMÁTICA
PROFESSOR: MARCELO ALANO.

CONCEITOS BÁSICOS
• Repouso e movimento  Um corpo está em
movimento quando sua posição em relação a
um referencial varia no decorrer do tempo;
Caso contrário está em repouso.
Deslocamento: Posição inicial a Posição final
em linha reta.
Espaço percorrido: medido pela trajetória

CONCEITOS BÁSICOS
• Quando ocorre uma variação nas posições ou
espaços (S = deslocamento), devemos
primeiramente verificar o sistema métrico que
esta sendo utilizado e em segundo lugar o seu
modulo, efetuando o seguinte procedimento
matemático

CONCEITOS BÁSICOS
• S = deslocamento ou distância
S = S - So
d = S - So

CONCEITOS BÁSICO
Exemplo:
-10m 0 10m 20m 30m
(m)
a) Quanto deslocou ao total, de acordo com a figura, a pequena bolinha?
S= S-So = 30 – (-10) = 40m
b) Qual foi o deslocamento efetuado da posição –10m até 20m?
S= S-So = 20– (-10) = 30m
Obs:É comum chamar a posição zero de
origem dos espaços.

Velocidade Média
t
X
Vm




Velocidade Média
• É a razão entre o valor da
distância percorrida e o intervalo
de tempo gasto no percurso

Velocidade Média
• Um rapaz percorre um espaço de 40 metros
em 8 segundos, qual sua velocidade média ?
R.
Vmédia = Δ S / Δ t
V = 40 m / 8 s = 5 m/s

Movimento Uniforme
• Velocidade
constante
tvXX o .

Movimento Uniforme
• O móvel percorre espaços iguais em intervalos
de tempos iguais.

Movimento uniforme
O gráfico serve para visualizar o
comportamento das grandezas físicas
envolvidas de uma maneira fácil e rápida.
Através de um gráfico podemos verificar
como varia uma grandeza (por exemplo,
espaço) em função de outra (por exemplo,
tempo).

Movimento Uniforme - Exemplo
• Um móvel descreve um MRU, de acordo com
a função horária S = 40 + 5t (SI).
Determine:
a) O espaço inicial e sua velocidade escalar
b) A posição no instante t = 10 s
c) O instante que ele passará pela origem dos
espaços

Movimento Uniforme - Exemplo
• R. S = 40 + 5t (SI)
• S = S0 + V t
a) S0 = 40 m ; V = 5 m / s
b) S = 40 + 5 (10) = 40+ 50 = 90 m
c) S = 0 ;
0 = 40+ 5t ; 40 = 5t ; t = 8 s
Considerando o deslocamento em módulo, pois não podemos
ter tempo negativo.

Sistema de Eixos Cartesianos Ortogonais
• Os valores das grandezas envolvidas são
colocados utilizando uma escala adequada
para cada eixo.
• O eixo na horizontal (por convenção) é
denominado eixo das abcissas e nele são
colocadas os valores da variável independente
(por exemplo, tempo).
• O eixo na vertical é denominado eixo das
ordenadas e nele são colocados os valores da
variável dependente (por exemplo, espaço).

• A velocidade escalar é obtida a partir do
gráfico S versus t, calculando a inclinação da
reta:
V = Inclinação da reta = ΔS / Δt

Classificação dos movimentos
• A variação da velocidade nos gráficos ( a e b) são causadas
pelo fator aceleração. ( a ≠ 0 )
• Para o gráfico ( c), velocidade constante devido (a = 0)

MOVIMENTO UNIFORME VARIADO
O movimento é uniforme – o que varia
uniformemente ?
• A velocidade varia uniformemente, ou seja
varia a mesma quantidade em um mesmo
intervalo de tempo.
• Possui aceleração constante diferente de
zero a ≠ 0

• A figura acima demonstra um móvel
percorrendo espaços diferentes em tempos
iguais. (a ≠ 0 )

Função horária da velocidade no MUV
V = V0 + a t
Função horária do espaço no MUV
S = S0 + V0t + ½ at2

 Equação de Torricelli
V2 = Vo2 + 2.a. S

• Os gráficos acima demonstram uma variação
de velocidade ( característica MUV) por
intervalo de tempo.
• A aceleração escalar é obtida a partir do
gráfico V versus t, calculando a inclinação da
reta:
a = Inclinação da reta = ΔV / Δt
Gráfico ( V x t )

Calculo de Aceleração
• Calcule a aceleração média de um
móvel, sabendo que sua velocidade
varia de 10m/s para 18m/s em 4s.
• dados: Vo=10m/s, Vf=18m/s, Δt=4s,
a= ?

Calculo de Aceleração
• a = ∆V
∆t
• a = V- V0 → 10m/s -18m/s = 8m/s = 2 m/s2
t- t0 4s 4s

Queda dos corpos no vácuo
(Queda livre)
Características:
•Trajetória retilínea;
•Aceleração constante igual a 10m/s2
sempre conhecida (aceleração da
gravidade “g”)
•A queda de um corpo é um MRUV
independentemente de sua forma,
tamanho ou massa (conclusão de Galileu:
todos os corpos caem com a mesma
aceleração no vácuo!)

Sendo a queda de qualquer corpo no vácuo
um MRUV, podemos adotar as mesmas
equações deste movimento. Apenas
substituiremos a aceleração “a” pela
aceleração da gravidade “g” e
chamaremos o deslocamento vertical de
“h”. Assim, teremos:
v = v0+gt
h = v0t+(1/2)gt2
v2 = v0
2+2gh
Onde:

v → velocidade final (m/s);
v0→ velocidade inicial (m/s);
g → aceleração da gravidade (10m/s2);
t → tempo (s);
h → altura ou deslocamento vertical (m);
Note!!
Para queda livre a partir do repouso,
podemos utilizar: h=(1/2)gt2; v2=2gh e
v=gt
O referencial que adotaremos trará “g”
positiva quando da queda e “g” negativa
quando do lançamento vertical para cima!

Queda Livre - Exemplo
Uma bola de futebol é chutada para cima com
velocidade igual a 20m/s.
(a) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para
retornar ao solo.
(b) Qual a altura máxima atingida pela bola? Dado
g=10m/s².

Neste exemplo, o movimento é uma combinação de um lançamento
vertical para cima + um lançamento vertical para baixo (que neste caso
também pode ser chamado de queda livre). Então, o mais indicado é
calcularmos por partes:
Movimento para cima:

Movimento para baixo:
Como não estamos considerando a resistência do ar, a velocidade final será
igual à
velocidade com que a bola foi lançada.
Observamos, então, que nesta situação, onde a resistência do ar é desprezada,
o tempo de subida é igual ao de decida.

• (b)
• Sabendo o tempo da subida e a velocidade de lançamento,
podemos utilizar a função horária do deslocamento, ou então
utilizar a Equação de Torricelli.
• Lembre-se de que estamos considerando apenas a subida,
então t=2s

• ou
•
•

Equação de Torricelli - Exemplo
• Um ponto material parte do repouso em
movimento uniformemente variado e, após
percorrer 12 m, está animado de uma
velocidade escalar de 6,0 m/s. A aceleração
escalar do ponto material, em m/s vale:
a) 1,5 b) 1,0 c) 2,5 d) 2,0 e) n.d.a.

Exemplo
• Resolução:
Para este problemas temos os seguintes dados:
V0 = 0 (parte do repouso)
V = 6 m/s
d = 12m
a = ?
Verifica-se que a velocidade do móvel esta em função da
posição. Aplica-se então equação de Torricelli
V2 = Vo2 + 2.a. S

Equação de Torricelli - Exemplo
• Substituindo os valores temos:
V2 = Vo2 + 2.a. S
62 = 02 + 2. a. 12
36 = 24. a
36/24 = a
a = 1,5m/s2
Alternativa A

Função horária da velocidade- Exemplo
• (FUVEST) Um veículo parte do repouso em movimento
retilíneo e acelera com aceleração escalar constante e igual a
2,0 m/s2. Pode-se dizer que sua velocidade escalar e a
distância percorrida após 3,0 segundos, valem,
respectivamente:
a) 6,0 m/s e 9,0m;
b) 6,0m/s e 18m;
c) 3,0 m/s e 12m;
d) 12 m/s e 35m;
e) 2,0 m/s e 12 m

• Resolução:
Para este problemas temos os seguintes dados:
V0 = 0 (parte do repouso)
V = ?
t= 3s
a = 2,0 m/s2
Verifica-se que a velocidade do móvel está em função do
tempo. Aplica-se então :
V = V0 + a t

• Substituindo os valores temos:
V = V0 + a t
V = 0 + 2 . 3
V = 6 m/s

Função horária do Espaço - Exemplo
• Para determinar a distância percorrida
podemos aplicar:
S = S0 + V0t + ½ at2
considerando S0 = 0 temos :
d = V0t + ½ at2

Substituindo os valores :
d = V0t + ½ at2
d = 0 + ½ 2. 32
d = 9 m
Resposta: velocidade 6m/s e a distância 9m.
Alternativa A

Lançamento Obliquo - Exemplo
Um projétil é lançado com velocidade de 100 m/s segundo
um ângulo de 53º com a horizontal. Considere
sen 53º = 0,8 e cos 53º = 0,6. Calcule:
a) as componentes horizontal e vertical da velocidade
no início do movimento;
b) o tempo de subida;
c) a altura máxima atingida pelo projétil;
d) o alcance do projétil.

Lançamento Obliquo- Exemplo
Resolução:
Dados :
V = 100m/s
(sen 53º = 0,8 e cos 53º = 0,6)
a) As componentes Verticais Vx e Vy
Vx = V Cos 53º → Vx = 100 . 0,6 → Vx = 60m/s
V0y = V Sen 53º → V0y = 100 . 0,8 → V0y = 80 m/s
Considerando o movimento de projétil no eixo “x” Uniforme. e
considerando o movimento do projétil no eixo y Uniforme variado.
Por isso a diferenciação Vx e V0y , já que no eixo Y a variação de
velocidade.

Lançamento Obliquo- Exemplo - Exemplo
b) Tempo de subida
* Para o calculo do tempo de subida considere o movimento
isolada no eixo Y.
* No ponto de altura máxima a velocidade do projétil é igual a
zero. ( V = 0 ).
V = V0 - g t
* A aceleração atuante sobre o projetil e a aceleração da
gravidade, que por sua vez possui direção vertical e direção de
cima para baixo (+g), como o movimento do projétil
inicialmente é de baixo para cima (-g)

V = V0 - g t
0 = 80 – 10t
-80/-10 = t
t = 8s

c) Altura máxima:
* como a altura do projetil é oseu
deslocamento no eixo “y”. Consire :
y = V0yt - ½ gt2
y = 80(8) - ½ 10(8)2
y = 640 – 320
y = 320m

d) alcance máximo
( distância máxima no eixo “x”) .
* como o movimento no eixo “x” e Uniforme,
aceleração igual a zero.
16 segundos foi o tempo de permanência do
projétil no ar. Multiplicando por 2 o tempo de
subida. ( 8 . 2 = 16s )

Temos:
d = Vt
d = 60 . 16
d = 960m

ACAFE – 2012B
• Para garantir a segurança no trânsito, deves –se reduzir a
velocidade de um veículo em dias de chuva, senão vejamos:
um veículo em uma pista reta, asfaltada e seca, movendo-se
com velocidade de módulo 36 km/h (10 m/s) é freado e
desloca-se 5,0 m até parar. Nas mesmas circunstâncias, só que
com a pista molhada sob
• chuva, necessita de 1,0 m a mais para parar. Considerando a
mesma situação (pista seca e molhada) e agora a velocidade
do veículo de módulo 108 km/h (30 m/s), a alternativa correta
que indica a distância a mais para parar, em metros, com a
pista molhada em relação a pista
• seca é:

• A) 6
• B) 2
• C) 1,5
• D) 9

DESLOCAMENTO
• (ACAFE- 2013 B) A copa das Confederações é uma
competição realizada de quatro em quatro anos
organizada pela FIFA (Federação internacional de
Futebol) e terá o Brasil como sede em 2013. Essa
competição servirá como teste para a copa do mundo
em 2014. Imagine que, buscando melhorar as
marcações da regra de futebol em um jogo, fosse
desenvolvido um chip que embutido na bola seria capaz
de auxiliar o juiz e ajudar em toda a estatística da
partida. Para testar esse chip foi, então, realizado um
experimento onde quatro jogadores trocaram passes
com a bola de um ponto a outro do campo, como
mostra a figura abaixo.

(Considere as faixas de grama da mesma largura.)

O jogador de número 8 passou a bola para o de
número 5 que, em seguida, passou para o de numero
7 e que, finalmente, passou para o de número 9.
O módulo do deslocamento, em m, sofrido pela bola do
início ao final do teste é:
• A) 41
• B) 10
• C) 34
• D) 26

Abraços a todos
Marcelo Alano!!!!

CINEMÁTICA
•Bons
estudos!!!!!

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