Mat ii aula 7 - noções de lógica - quantificadores

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Mat ii aula 7 - noções de lógica - quantificadores

  1. 1. Matemática Aplicada Sistemas de Informação 2º período
  2. 2. Quantificadores Jorge Dantas jorgedantas@fcsl.edu.br
  3. 3. Sumário: Sumário Página 1.0 Objetivos da aula 5 2.0 Introdução 6 3.0 Desenvolvimento 10 4.0 Bibliografia 20 4
  4. 4. Objetivos da aula:  Fazer conhecer o uso de quantificadores para a transformação de sentenças abertas em proposições. 5
  5. 5. INTRODUÇÃO Vimos e passamos a reconhecer o que se denomina Sentença Aberta: a) x 1 7 b) x 2 c) x 3 x2 que contêm variáveis e cujo valor lógico ( V ou F ) vai depender do valor atribuído à variável. 6
  6. 6. Sentença Aberta: a) x 1 7 b) x 2 c) x 3 x2 X+1=7 é Verdadeira se trocarmos x por 6 e é Falsa para qualquer outro valor dado a x. X>2 é Falsa, por exemplo, para x=0. x³=x² é Verdadeira se trocarmos x por 0 ou 2 e é Falsa para qualquer outro valor dado a x. 7
  7. 7. Sentença Aberta: a) x 1 7 b) x 2 c) x 3 x2 Sentenças abertas não são proposições pois seu valor lógico ( V ou F ) vai depender do valor dado às variáveis. Há, entretanto, duas maneiras de transformá-las em proposições: 1ª) atribuir valor às variáveis 2ª) utilizar de quantificadores 8
  8. 8. DESENVOLVIMENTO Uma função proposicional (ou uma sentença aberta) definida em A é uma expressão do tipo: p(x) Que tem a propriedade que p(a) é verdadeira ou falsa para cada a A. O conjunto A é dito o domínio de p(x), e o conjunto T, de todos os elementos de A para os quais p(a) é chamado conjunto verdade de p(x). 9
  9. 9. Proposição sobre um conjunto: Se A um conjunto. Uma proposição sobre A é uma proposição cujo valor lógico dependerá do elemento x A. 10
  10. 10. Proposição sobre um conjunto: São proposições sobre o conjunto N. a) b) c) d) n 1 n 10 n 1 n 2n é impar Quais proposições são verdadeiras para qualquer n N ? 11
  11. 11. Uma proposição p que descreve alguma propriedade de um elemento x A é usualmente denotada por: p(x) Por exemplo: Vamos encontrar o conjunto verdade de cada função proposicional p(x) definida no conjunto N dos inteiros positivos. a) Seja p(x) “x+2 > 7”. x; x N, x 2 7 Qual o seu conjunto verdade? 6, 7, 8, ... É verdade para todos os inteiros maiores do que 5 12
  12. 12. b) Seja p(x) “x+5 < 3”. x; x Qual o seu conjunto verdade? N, x 5 3 Não é verdade para nenhum inteiro positivo em N c) Seja p(x) “x+5 > 1”. x; x N, x 5 1 Qual o seu conjunto verdade? N É verdade para todo elemento em N 13
  13. 13. Os exemplos que vimos,mostram que se p(x) é uma função proposicional definida em um conjunto A, então p(x) pode ser verdade para todo x A, para algum x A , ou para nenhum x A. E ai se destacam dois quantificadores relacionados com essas funções proposicionais. quantifica dor Unive rsal quantifica dor Existencia l Utilizados para transformar sentenças abertas em proposições. 14
  14. 14. Quantificador Universal: É indicado pelo símbolo , que se lê: qualquer que seja para todo para cada 15
  15. 15. Quantificador Existencial: É indicado pelo símbolo , que se lê: existe existe pelo menos um existe um 16
  16. 16. Exemplificando: Considere a sentença aberta p(x): x + 1 = 1 A partir dela podemos formar:  Existe x  Para todo pertencente a Z; x+1=1 x x+1=1 pertencente a Z; 17
  17. 17. Quantificador Universal: “qualquer que seja”, “para todo”, “para cada”. x x 1 7 que se lê: “qualquer que seja x, temos x + 1 = 7”. x x 3 2x 2 (falsa) que se lê: “para todo x, temos x³ = 2x²”. (falsa) 18
  18. 18. Quantificador Universal: “qualquer que seja”, “para todo”, “para cada”. a a 1 2 a2 2a 1 que se lê: “qualquer que seja a, temos (a+1)² = a² +2a +1”. y y2 1 0 (verdadeiro) que se lê: “para todo y, temos y² +1 positivo”. (verdadeiro) 19
  19. 19. Quantificador Existencial: “existe”, “existe pelo menos um”, “existe um”. 20
  20. 20. Considere que:  P(x) denota “x estudou Matemática”  O universo do consiste de todos os alunos da FCSL x P(x) equivale a " todo aluno da FCSL estudou Matemática " x P(x) equivale a " algum aluno da FCSL estudou Matemática " 21
  21. 21. Os predicados que vimos até agora, envolvendo propriedades de uma única variável, são predicados unários. Entretanto, os predicados podem ser binários, envolvendo propriedades de duas variáveis, ternários, envolvendo propriedades de três variáveis ou, n-ários, envolvendo propriedades de n variáveis. A expressão x y Q x,y é lida como “para todo x existe um y tal que Q(x,y)”. 22
  22. 22. A ORDEM DOS QUANTIFICADORES É IMPORTANTE. x y é o mesmo que x y é o mesmo que x y não é o mesmo que y x y x y x 23
  23. 23. A ORDEM DOS QUANTIFICADORES É IMPORTANTE. x y não é o mesmoque y x Na expressão x y Q x, y - lê - se : para todo x existe um y tal que Q x, y p.ex.: para todo inteiro existe um inteiro maior Com a mesma interpretação : Na expressão y x Q x, y - lê - se : existe um y para todo x tal que Q x, y p.ex.: existe um inteiro maior para todo inteiro 24
  24. 24. Exemplos: x y x y x V erdadeiro : escolha y=0 y x x y x Verdadeiro : escolha y=0 x y x y 0 Verdadeiro : escolha y = -x y x x y 0 Falso : nenhum y funciona para todos os x 25
  25. 25. BIBLIOGRAFIA Livros:  Fundamentos matemáticos para a ciência da computação * Judith L Gersting 26
  26. 26. AGRADECIMENTOS Obrigado a todos pela presença! Prof Jorge Dantas 27

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