Este documento apresenta vários critérios para determinar se uma série converge ou diverge, incluindo o critério de Cauchy, comparação, razão, D'Alembert, raiz (ou Cauchy), Leibniz para séries alternadas e Raabe.

1. Crit´rios de Convergˆncia de S´ries
e e e
Pedro Dias
2012
1 Condensa¸˜o de Cauchy
ca
∞
Seja x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ 0 . A s´rie
e xn converge se e s´ se a seguinte s´rie
o e
n=1
converge
∞
2k x2k = x1 + 2x2 + 4x4 + 8x8 + ...
k=0
2 Compara¸˜o
ca
∞
i) Se |an | ≤ cn para n ≥ n0 onde n0 ´ um inteiro fixo e se
e cn converge,
n=1
∞
ent˜o
a an tamb´m converge.
e
n=1
∞
ii) Se |an | ≥ dn para n ≥ n0 onde n0 ´ um inteiro fixo e se
e dn diverge,
n=1
∞
ent˜o
a an tamb´m diverge.
e
n=1
3 Compara¸˜o do Limite
ca
∞ ∞
an
i) Se lim <∞e bn converge, ent˜o
a an converge.
n→∞ bn
n=1 n=1
∞ ∞
an
ii) Se lim >0e bn diverge, ent˜o
a an diverge.
n→∞ bn
n=1 n=1
4 Crit´rio D’Alembert
e
∞
Seja an uma s´rie de termos reais n˜o nulos e suponha-se que
e a
n=1
an + 1
−− L
−→
n→∞
an
1

2. An´lise Matem´tica
a a Pedro Dias
∞
i) Se L < 1, ent˜o
a |an | converge.
n=1
∞
ii) Se L > 1, ent˜o
a |an | diverge.
n=1

3. 5 Teste de Raiz (ou de Cauchy)
∞
Seja an uma s´rie de termos reais.
e
n=1
n
i) Se lim |cn | < 1, a s´rie converge absolutamente.
e
n→∞
n
ii) Se lim |cn | > 1, a s´rie diverge.
e
n→∞
6 Teste de Leibniz para s´ries alternadas
e
∞
(−1)n |an |
n=1
• an ≥ 0


• lim an = 0 ⇒ an converge
n→∞
• a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ 0

7 Crit´rio de Raabe
e
Considere-se a s´rie tal que os termos s˜o positivos
e a
∞
an
n=0
an+1
Seja L = lim n 1 −
n→∞ an
• Se L > 1 ent˜o a s´rie ´ absolutamente convergente.
a e e
• Se L < 1 ent˜o a s´rie ´ divergente.
a e e
• Se L = 1 nada se pode concluir quanto ` natureza da s´rie.
a e
3