Universidade do Estado do Rio Grande do Norte                          Campus Avan¸ado Prof. Jo˜o Ismar de Moura          ...
Exerc´     ıcio 7 Prove que mdc(n, 2n + 1) = 1, para todo n ∈ N.Exerc´     ıcio 8 Se n e k s˜o n´meros naturais n˜o nulos ...
(b) 16(c) 12(d) 8(e) 4Exerc´ıcio 18 (EEA) Um antiqu´rio adquiriu 112 tinteiros, 48 esp´tulas e 80 canivetes.              ...
(a) 8 grupos de 81 abelhas.(b) 9 grupos de 72 abelhas.(c) 24 grupos de 27 abelhas.(d) 2 grupos de 324 abelhas.Exerc´ ıcio ...
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Segunda Lista de Exercícios

  1. 1. Universidade do Estado do Rio Grande do Norte Campus Avan¸ado Prof. Jo˜o Ismar de Moura c a Departamento de Matem´tica e Estat´ a ıstica Disciplina: Teoria Elementar dos N´ meros u Prof.:Laudelino Gomes Ferreira Segunda Lista de Exerc´ ıciosExerc´ ıcio 1 Mostre as seguintes propriedades de n´meros pares e ´ u ımpares:(a) Soma de dois n´meros pares ´ par. u e(b) Soma de dois n´meros ´ u ımpares ´ par. e(c) Produto de dois n´meros pares ´ par. u e(d) Produto de dois n´meros ´ u ımpares ´ ´ e ımpar.(e) Soma de um n´mero par e um n´mero ´ u u ımpar ´ ´ e ımpar. (f ) Produto de um n´mero par e um n´mero ´ u u ımpar ´ par. eExerc´ıcio 2 Mostre que a diferen¸a entre os quadrados de dois inteiros consecutivos c´ sempre um n´mero ´e u ımpar.Exerc´ ıcio 3 Seja a um inteiro qualquer. Mostre que 3|a(a + 1)(a + 2).Exerc´ ıcio 4 Calcule, utilizando o processo das divis˜es sucessivas: o(a) mdc(45, 21).(b) mdc(−816, 7209).(c) mdc(224, 192, 576).Exerc´ ıcio 5 O m´ximo divisor comum de dois inteiros ´ 20. Para se chegar a esse a eresultado pelo processo das divis˜es sucessivas, os quocientes encontrados foram, pela, oordem,2, 1, 3 e 2. Ache os n´meros. uExerc´ ıcio 6 Calcular:(a) mdc(n, n + 2), sendo n inteiro par.(b) mdc(n, n + 2), sendo n inteiro ´ ımpar. P´gina 1 a
  2. 2. Exerc´ ıcio 7 Prove que mdc(n, 2n + 1) = 1, para todo n ∈ N.Exerc´ ıcio 8 Se n e k s˜o n´meros naturais n˜o nulos o mdc(n, n + k) = 1, prove a u aque mdc(n, k) = 1.Exerc´ ıcio 9 Sejam a, b, c inteiros n˜o-nulos. Demonstre as afirma¸˜es abaixo: a co(a) Se a|bc e mdc(a, b) = 1, ent˜o a|c. a(b) Se a|bc e mdc(a, b) = d, ent˜o a|cd. a(c) Se a|c , b|c e mdc(a, b) = d, ent˜o ab|cd. aExerc´ ıcio 10 Calcular:(a) mmc(45, 21).(b) mmc(−816, 7209).(c) mmc(45, 21).(d) mmc(1287, 507).Exerc´ıcio 11 (EEA) Se transformarmos o n´mero 595 em uma soma de 5 n´meros u u´ımpares consecutivos, quanto desses n´meros ser˜o ´ u a ımpares?Exerc´ ıcio 12 (CEFET-RJ) Determine 3 n´meros naturais consecutivos cujo pro- uduto ´ 504. eExerc´ ıcio 13 (EEA) O n´mero 4320 tem divisores positivos? Se tiver, quantos s˜o? u a ıcio 14 (ESA) O n´mero de divisores naturais de 24 × 32 × 5 ´ ?Exerc´ u eExerc´ ıcio 15 (CES) O n´mero A = 23 · 3n · 52 tem 48 divisores positivos se n for uigual a? ıcio 16 (ESA) Se o n´mero N = 2x · 32 tem 6 divisores positivos, o valor deExerc´ uN ´? eExerc´ ıcio 17 (FCC/TRT/2003) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamen-tos com 132 comprimidos de analg´sicos e 156 comprimidos de antibi´tico. Dever´ e o adistribu´ ı-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade poss´ de ıvelum unico tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes dever˜o receber ´ aa mesma quantidade de medicamento, o n´mero de recipientes necess´rios para essa u adistribui¸˜o ´: ca e(a) 24 P´gina 2 a
  3. 3. (b) 16(c) 12(d) 8(e) 4Exerc´ıcio 18 (EEA) Um antiqu´rio adquiriu 112 tinteiros, 48 esp´tulas e 80 canivetes. a aDeseja assum´-los em mostru´rios de modo a cada um conter o mesmo e o maior a an´mero poss´ de objetos da mesma natureza. O total de objetos em cada mostru´rio u ıvel aser´ de? aExerc´ ıcio 19 (FCC/CEF/1998) Numa pista circular de autorama, um carrinhovermelho d´ uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul d´ uma volta a cada a a80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas ter´ dado o mais alento at´ o momento em que ambos voltar˜o a estar lado a lado no ponto de partida? e a(a) 6(b) 7(c) 8(d) 9(e) 10Exerc´ ıcio 20 (FCC/TRE-PI/2002) Um m´dico receitou dois rem´dios a um pa- e eciente: um para ser tomado a cada 12 horas e outro a cada 15 horas. Se `s 14 horas ado dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os rem´dios, ele voltou a tom´-los juntos e anovamente `s: a(a) 17 horas do dia 11/10/2000.(b) 14 horas do dia 12/10/2000.(c) 18 horas do dia 12/10/2000.(d) 2 horas do dia 13/10/2000.(e) 6 horas do dia 13/10/2000.Exerc´ ıcio 21 (CPCAR/2002) Uma abelha-rainha dividiu as abelhas de sua colmeianos seguintes grupos para explora¸˜o ambiental: um composto de 288 batedoras e outro cade 360 engenheiras. Sendo vocˆ a abelha-rainha e sabendo que cada grupo deve ser edividido em equipes constitu´ıdas de um mesmo e maior n´mero de abelhas poss´ u ıvel,ent˜o vocˆ redistribuiria suas abelhas em: a e P´gina 3 a
  4. 4. (a) 8 grupos de 81 abelhas.(b) 9 grupos de 72 abelhas.(c) 24 grupos de 27 abelhas.(d) 2 grupos de 324 abelhas.Exerc´ ıcio 22 (U. E. de Campinas) Uma sala retangular medindo 3m por 4, 25mdeve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que n˜o haja espa¸o entre a cladrilhos vizinhos, pergunta-se:(a) Qual deve ser a dimens˜o m´xima, em cent´ a a ımetros, de cada um desses ladrilhos para que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho?(b) Quantos desses ladrilhos s˜o necess´rios? a a P´gina 4 a

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