O documento discute quantificadores, predicados e validade em lógica matemática. Explica que quantificadores como "para todo" e "para algum" se referem a propriedades de objetos. Predicados descrevem essas propriedades. A validade de uma expressão lógica depende se é verdadeira sob todas as interpretações possíveis dos quantificadores e predicados.
Este documento discute relações matemáticas. Apresenta três categorias de modelos matemáticos usados para representar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. Também define relações binárias e n-árias, e discute propriedades como reflexividade, simetria e transitividade.
1. O documento é um plano de curso para uma oficina sobre raciocínio lógico ministrada por duas professoras.
2. A oficina tem como objetivo ensinar técnicas de raciocínio lógico para resolução de problemas e questões encontradas em concursos e exames.
3. O conteúdo aborda lógica proposicional, lógica de argumentação, diagramas lógicos e outras noções básicas de lógica clássica.
O documento discute os conceitos básicos da lógica proposicional, incluindo proposições, valores lógicos, conectivos lógicos e operações sobre proposições como negação e conjunção. Ele fornece exemplos de cada um desses conceitos-chave.
Este documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Discute conceitos como domínio, contradomínio, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Apresenta exemplos de composição e inversa de funções. Explica gráficos de funções e ordena classes de funções de acordo com sua ordem de grandeza.
O documento discute relações matemáticas, incluindo propriedades de relações, fechos de relações, ordens parciais e relações de equivalência. É apresentado o conceito de produto cartesiano e vários exemplos de relações binárias.
Raciocínio Lógico básico com tabela verdade: Conjunção, Disjunção, Negação, Implicação e Bi-Implicação. Conceitos básicos de raciocínio lógico. Explicação clara e objetiva com exercícios resolvidos sobre o tema abordado.
O documento discute as proposições categóricas na lógica formal, definindo-as como proposições formadas por um quantificador associado a um sujeito ligado a um predicado por meio de um elo. Explica que as proposições podem ser classificadas segundo qualidade (afirmativa ou negativa) e extensão (universal ou particular), formando os quatro tipos A, E, I e O, e estabelecendo suas relações no quadrado de oposição. Também apresenta diagramas lógicos para representar cada tipo de proposição.
Este documento discute relações matemáticas. Apresenta três categorias de modelos matemáticos usados para representar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. Também define relações binárias e n-árias, e discute propriedades como reflexividade, simetria e transitividade.
1. O documento é um plano de curso para uma oficina sobre raciocínio lógico ministrada por duas professoras.
2. A oficina tem como objetivo ensinar técnicas de raciocínio lógico para resolução de problemas e questões encontradas em concursos e exames.
3. O conteúdo aborda lógica proposicional, lógica de argumentação, diagramas lógicos e outras noções básicas de lógica clássica.
O documento discute os conceitos básicos da lógica proposicional, incluindo proposições, valores lógicos, conectivos lógicos e operações sobre proposições como negação e conjunção. Ele fornece exemplos de cada um desses conceitos-chave.
Este documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Discute conceitos como domínio, contradomínio, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Apresenta exemplos de composição e inversa de funções. Explica gráficos de funções e ordena classes de funções de acordo com sua ordem de grandeza.
O documento discute relações matemáticas, incluindo propriedades de relações, fechos de relações, ordens parciais e relações de equivalência. É apresentado o conceito de produto cartesiano e vários exemplos de relações binárias.
Raciocínio Lógico básico com tabela verdade: Conjunção, Disjunção, Negação, Implicação e Bi-Implicação. Conceitos básicos de raciocínio lógico. Explicação clara e objetiva com exercícios resolvidos sobre o tema abordado.
O documento discute as proposições categóricas na lógica formal, definindo-as como proposições formadas por um quantificador associado a um sujeito ligado a um predicado por meio de um elo. Explica que as proposições podem ser classificadas segundo qualidade (afirmativa ou negativa) e extensão (universal ou particular), formando os quatro tipos A, E, I e O, e estabelecendo suas relações no quadrado de oposição. Também apresenta diagramas lógicos para representar cada tipo de proposição.
[DASS] Raciocínio Lógico - Operações lógicas e tabela verdadeDavidson Alves
O documento apresenta exercícios sobre proposições lógicas e tabela verdade. Os exercícios incluem identificar proposições, dar formas negativas de proposições, traduzir proposições para linguagem corrente, determinar valores lógicos de proposições, e construir tabelas verdade.
O documento descreve as quatro operações básicas da matemática - adição, subtração, multiplicação e divisão - definindo cada uma delas, apresentando exemplos e propriedades.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas relações: (1) Os naturais N contém os números inteiros positivos. (2) Os inteiros Z incluem N e os inteiros negativos. (3) Os racionais Q são todas as frações de inteiros. (4) Os irracionais i não podem ser expressos como frações. (5) Os reais R são a união de Q e i.
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
O documento discute os conceitos fundamentais de radiciação, incluindo:
1) A radiciação é a operação inversa da potenciação e envolve a extração da raiz de um número.
2) Um radical é composto pelo radicando, índice e raiz.
3) As propriedades da radiciação incluem operações com radicais como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento discute medidas estatísticas como média, mediana, moda, distribuição normal e binomial.
2) A distribuição normal é simétrica em relação à média e importante para utilizar modelos estatísticos robustos.
3) A mediana divide a distribuição em partes iguais e não é influenciada por valores discrepantes como a média.
Mat exercicios resolvidos – superficies quadricastrigono_metria
Este documento apresenta diferentes tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides elípticos e cônicas. Fornece as equações para cada superfície e explica graficamente suas características. Resolve exemplos passo a passo para identificar superfícies a partir de suas equações.
Matemática Discreta - Parte VII estruturas algébricasUlrich Schiel
O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada
O documento discute sequências e séries numéricas. No capítulo 1, apresenta conceitos básicos de aritmética infinitesimal. No capítulo 2, trata de propriedades e testes de convergência de sequências numéricas, incluindo o teste da subsequência e o teorema de sanduíche. No capítulo 3, aborda propriedades e testes de convergência de séries numéricas, como séries geométricas e alternadas.
Equações do 1o grau são expressões matemáticas com sinal de igualdade e uma variável. Resolver uma equação envolve isolar os termos com a variável em um lado e os demais no outro, reduzir termos semelhantes e determinar o valor da variável que satisfaz a igualdade. A resolução segue a ordem de parênteses, colchetes e chaves e o valor obtido deve pertencer ao conjunto de números considerado.
Aula 6 - Funções Exponenciais e LogarítmicasTurma1NC
O documento discute funções e equações exponenciais e logarítmicas. Ele define equações e funções exponenciais e logarítmicas, explica como plotar seus gráficos, e fornece exemplos de como resolver equações e inequações de cada tipo.
O documento discute os conceitos de relação, função e suas propriedades. Em 3 frases:
1) Uma relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano de dois conjuntos A e B, enquanto uma função requer que cada elemento de A seja mapeado para exatamente um elemento de B.
2) Propriedades como injetividade, sobrejetividade e bijetividade definem se uma relação é ou não uma função e se uma função preserva todos os elementos dos conjuntos.
3) O domínio e a imagem de uma função mapeiam respectivamente os
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
O documento explica o que é fatorial de um número, definido como a multiplicação desse número por todos os inteiros positivos menores que ele. Mostra exemplos como 5! = 120 e 4! = 24. Também apresenta aplicações dos fatoriais em permutações e anagramas.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações do segundo grau, incluindo: (1) sua forma geral e exemplos, (2) como reduzir equações para a forma canônica, (3) casos de equações incompletas, (4) método de resolução de equações completas usando a fórmula de Bhaskara, (5) relações entre coeficientes e raízes, e (6) como escrever a equação quando se conhecem as raízes.
- O documento apresenta um resumo de uma aula sobre Lógica Matemática, incluindo implicação lógica, regras de inferência e aviso sobre a avaliação da disciplina.
Este documento discute funções quadráticas, incluindo como identificar gráficos de funções quadráticas, determinar a concavidade da parábola, e construir e analisar gráficos de funções quadráticas usando pontos-chave e softwares como Excel e LabVirt. Exemplos e exercícios são fornecidos para reforçar os conceitos-chave.
O documento discute diferentes técnicas de demonstração em lógica, incluindo: (1) validade absoluta de argumentos formais vs validade em um contexto específico; (2) técnicas formais vs menos formais; (3) conjecturas, teoremas e contraexemplos.
Razões e proporções, divisão proporcional, regras de três simples e compostas...Romulo Garcia
O documento apresenta um resumo sobre razões e proporções matemáticas. Inclui definições de razão, termos de uma razão, proporções e propriedades fundamentais de proporções. Também fornece exercícios de fixação sobre frações com seus respectivos gabaritos.
Mat ii aula 7 - noções de lógica - quantificadoresJD Dantas
Este documento discute quantificadores e como eles podem ser usados para transformar sentenças abertas em proposições. Ele introduz os quantificadores universal e existencial e fornece exemplos de como eles são usados.
Equações Algébricas e Transcendentes - Isolamento de Raízes - @professorenanRenan Gustavo
O documento discute os conceitos de equações algébricas e transcendentes, e métodos para encontrar raízes reais de funções. É dividido em duas fases: a primeira isola as raízes através de análise teórica e gráfica da função para determinar em quais intervalos elas estão localizadas; a segunda refina as aproximações iniciais das raízes por meio de um processo iterativo até atingir a precisão desejada. Exemplos ilustram como isolar as raízes tabulando valores da função e analisando mudanças de
[DASS] Raciocínio Lógico - Operações lógicas e tabela verdadeDavidson Alves
O documento apresenta exercícios sobre proposições lógicas e tabela verdade. Os exercícios incluem identificar proposições, dar formas negativas de proposições, traduzir proposições para linguagem corrente, determinar valores lógicos de proposições, e construir tabelas verdade.
O documento descreve as quatro operações básicas da matemática - adição, subtração, multiplicação e divisão - definindo cada uma delas, apresentando exemplos e propriedades.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas relações: (1) Os naturais N contém os números inteiros positivos. (2) Os inteiros Z incluem N e os inteiros negativos. (3) Os racionais Q são todas as frações de inteiros. (4) Os irracionais i não podem ser expressos como frações. (5) Os reais R são a união de Q e i.
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
O documento discute os conceitos fundamentais de radiciação, incluindo:
1) A radiciação é a operação inversa da potenciação e envolve a extração da raiz de um número.
2) Um radical é composto pelo radicando, índice e raiz.
3) As propriedades da radiciação incluem operações com radicais como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento discute medidas estatísticas como média, mediana, moda, distribuição normal e binomial.
2) A distribuição normal é simétrica em relação à média e importante para utilizar modelos estatísticos robustos.
3) A mediana divide a distribuição em partes iguais e não é influenciada por valores discrepantes como a média.
Mat exercicios resolvidos – superficies quadricastrigono_metria
Este documento apresenta diferentes tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides elípticos e cônicas. Fornece as equações para cada superfície e explica graficamente suas características. Resolve exemplos passo a passo para identificar superfícies a partir de suas equações.
Matemática Discreta - Parte VII estruturas algébricasUlrich Schiel
O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada
O documento discute sequências e séries numéricas. No capítulo 1, apresenta conceitos básicos de aritmética infinitesimal. No capítulo 2, trata de propriedades e testes de convergência de sequências numéricas, incluindo o teste da subsequência e o teorema de sanduíche. No capítulo 3, aborda propriedades e testes de convergência de séries numéricas, como séries geométricas e alternadas.
Equações do 1o grau são expressões matemáticas com sinal de igualdade e uma variável. Resolver uma equação envolve isolar os termos com a variável em um lado e os demais no outro, reduzir termos semelhantes e determinar o valor da variável que satisfaz a igualdade. A resolução segue a ordem de parênteses, colchetes e chaves e o valor obtido deve pertencer ao conjunto de números considerado.
Aula 6 - Funções Exponenciais e LogarítmicasTurma1NC
O documento discute funções e equações exponenciais e logarítmicas. Ele define equações e funções exponenciais e logarítmicas, explica como plotar seus gráficos, e fornece exemplos de como resolver equações e inequações de cada tipo.
O documento discute os conceitos de relação, função e suas propriedades. Em 3 frases:
1) Uma relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano de dois conjuntos A e B, enquanto uma função requer que cada elemento de A seja mapeado para exatamente um elemento de B.
2) Propriedades como injetividade, sobrejetividade e bijetividade definem se uma relação é ou não uma função e se uma função preserva todos os elementos dos conjuntos.
3) O domínio e a imagem de uma função mapeiam respectivamente os
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
O documento explica o que é fatorial de um número, definido como a multiplicação desse número por todos os inteiros positivos menores que ele. Mostra exemplos como 5! = 120 e 4! = 24. Também apresenta aplicações dos fatoriais em permutações e anagramas.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações do segundo grau, incluindo: (1) sua forma geral e exemplos, (2) como reduzir equações para a forma canônica, (3) casos de equações incompletas, (4) método de resolução de equações completas usando a fórmula de Bhaskara, (5) relações entre coeficientes e raízes, e (6) como escrever a equação quando se conhecem as raízes.
- O documento apresenta um resumo de uma aula sobre Lógica Matemática, incluindo implicação lógica, regras de inferência e aviso sobre a avaliação da disciplina.
Este documento discute funções quadráticas, incluindo como identificar gráficos de funções quadráticas, determinar a concavidade da parábola, e construir e analisar gráficos de funções quadráticas usando pontos-chave e softwares como Excel e LabVirt. Exemplos e exercícios são fornecidos para reforçar os conceitos-chave.
O documento discute diferentes técnicas de demonstração em lógica, incluindo: (1) validade absoluta de argumentos formais vs validade em um contexto específico; (2) técnicas formais vs menos formais; (3) conjecturas, teoremas e contraexemplos.
Razões e proporções, divisão proporcional, regras de três simples e compostas...Romulo Garcia
O documento apresenta um resumo sobre razões e proporções matemáticas. Inclui definições de razão, termos de uma razão, proporções e propriedades fundamentais de proporções. Também fornece exercícios de fixação sobre frações com seus respectivos gabaritos.
Mat ii aula 7 - noções de lógica - quantificadoresJD Dantas
Este documento discute quantificadores e como eles podem ser usados para transformar sentenças abertas em proposições. Ele introduz os quantificadores universal e existencial e fornece exemplos de como eles são usados.
Equações Algébricas e Transcendentes - Isolamento de Raízes - @professorenanRenan Gustavo
O documento discute os conceitos de equações algébricas e transcendentes, e métodos para encontrar raízes reais de funções. É dividido em duas fases: a primeira isola as raízes através de análise teórica e gráfica da função para determinar em quais intervalos elas estão localizadas; a segunda refina as aproximações iniciais das raízes por meio de um processo iterativo até atingir a precisão desejada. Exemplos ilustram como isolar as raízes tabulando valores da função e analisando mudanças de
Este documento apresenta os conceitos fundamentais da lógica de primeira ordem, incluindo termos, predicados, quantificadores, igualdade, substituições, interpretações, modelos, verdade e regras. Exemplos ilustram como formalizar sentenças em lógica de primeira ordem, como representar o mundo do jogo Wumpus nessa lógica e como fazer perguntas a uma base de conhecimento.
O documento discute a álgebra de Boole, uma estrutura matemática formal que caracteriza propriedades comuns entre a lógica proposicional e a teoria dos conjuntos. A álgebra de Boole define operações e propriedades que qualquer modelo matemático que compartilhe essas características segue, permitindo generalizações entre contextos.
O documento descreve estratégias para determinar os valores máximo e mínimo de uma função contínua em um intervalo, sem recorrer ao gráfico da função. Explica que os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos ou extremidades do intervalo, e que as derivadas nesses pontos são iguais a zero de acordo com o Teorema de Weierstrass. Apresenta um exemplo para ilustrar o procedimento.
1) O documento discute estratégias para determinar os valores máximos e mínimos de uma função contínua em um intervalo, sem recorrer ao gráfico da função. 2) Um teorema importante é o Teorema de Weierstrass, que garante a existência de pontos de máximo e mínimo. 3) Os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos da função ou extremidades do intervalo.
(1) Uma função f pertence a L1(μ) se e somente se a função t → μ(x: |f(x)| > t) for integrável em relação à medida de Lebesgue. Além disso, a integral de |f| é igual ao limite da integral da função indicatriz sobre os conjuntos {|f| > t}.
(2) Se A tem medida maior que 1, então existem pontos distintos x, y em A cujo vetor x - y tem coordenadas inteiras.
(3) Todo conjunto convexo em Rn é Lebesgue mensurável
1) O documento introduz os conceitos de limites de funções reais, fornecendo exemplos intuitivos para calcular limites e ilustrar seu significado geométrico.
2) Limites podem ser finitos, infinitos ou não existirem, dependendo do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
3) Exemplos mostram como calcular limites finitos, limites quando a variável tende ao infinito e limites indeterminados.
O documento discute lógica proposicional e quantificada. Resumidamente:
1) A lógica estuda o raciocínio e a demonstração através de proposições simples e compostas ligadas por conectivos.
2) Proposições compostas são formadas por duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos como conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
3) Proposições podem ser quantificadas através dos quantificadores universal e existencial para estabelecer valores lógic
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
O documento discute Cálculo Numérico, que busca encontrar soluções aproximadas de problemas por meio de métodos de cálculo. Explica que é necessário definir a precisão ou erro tolerado para cada problema. Apresenta exemplos de como encontrar taxas implícitas em condições de venda e discute métodos numéricos como forma de resolver equações para as quais não há métodos algébricos.
1) O documento define estruturas algébricas chamadas grupos, corpos e corpos ordenados.
2) Grupos são conjuntos com uma operação binária que satisfaz propriedades de associatividade, elemento neutro e inversos.
3) Corpos são estruturas algébricas com duas operações binárias (adição e multiplicação) que formam um grupo abeliano e satisfazem propriedades de distribuição.
O documento descreve a lógica fuzzy, que permite valores de verdade contínuos entre 0 e 1 ao invés de apenas verdadeiro ou falso. Isso permite expressar conceitos vagos usando graus de pertinência a conjuntos fuzzy. A lógica fuzzy tem aplicações em sistemas de controle e raciocínio aproximado.
1. O documento discute as ferramentas matemáticas necessárias para o estudo da mecânica quântica, incluindo espaços de Hilbert, funções de onda, operadores lineares e a notação bra-ket de Dirac.
2. Os espaços de Hilbert são espaços vetoriais com um produto escalar definido que satisfaz propriedades específicas. Funções quadrado-integráveis formam um espaço de Hilbert relevante para a mecânica quântica.
3. A notação bra-ket de Dirac permite representar vetores de estado em diferentes
Matemática Discreta - Parte III definicoes indutivasUlrich Schiel
O documento discute métodos de prova de teoremas em matemática, incluindo prova direta, por contraposição, contradição e indução finita. Fornece exemplos de cada método ao provar teoremas como "se A está contido em B, então a interseção de A e B é igual a A".
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
1) O documento discute limites de funções, incluindo a noção intuitiva de limite, limites laterais, propriedades de limites, e exemplos de limites envolvendo infinito, trigonométricos e exponenciais.
2) É apresentada uma tabela mostrando como valores de x se aproximando de zero fazem com que valores de e^x se aproximem de 2.
3) Limites laterais são definidos como o limite à direita e esquerda de um ponto, devendo ser iguais para o limite existir no ponto.
Este documento apresenta exemplos e contraexemplos para proposições lógicas e matemáticas, analisa a significado e verdade de proposições quantificadas, e discute transformações como negação, contrapositiva e recíproca de enunciados condicionais.
Semelhante a Quantificadores, predicados e validade (20)
Este documento discute tabulações cruzadas, valor padrão e valor do desvio. Instruções são dadas para criar uma tabulação cruzada com dados de uma pesquisa sobre preferência partidária e explica como a normalização de dados ajuda a examinar valores individuais em relação à média geral e dispersão dos dados.
O documento introduz os conceitos básicos de estatística, explicando que estatística envolve coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados de experimentos ou estudos observacionais. Ele destaca que estatística estima a condição de uma população usando informações de amostras, já que é impossível entrevistar toda a população.
O documento apresenta conceitos estatísticos como média, mediana, desvio-padrão, tabelas de frequência e histogramas. Explica como calcular a frequência relativa usando um exemplo de preços de restaurantes de lámen e como representar esses dados em um histograma. Também discute a diferença entre média e mediana e como o desvio-padrão mede a dispersão de valores em relação à média.
O documento discute conceitos lógicos como tautologias, contradições, contingências e equivalências. Uma tautologia é sempre verdadeira independente da atribuição de valores lógicos, enquanto uma contradição é sempre falsa. Uma contingência não é nem tautologia nem contradição. Duas proposições são logicamente equivalentes se tiverem tabelas-verdade idênticas.
O documento discute permutações circulares, onde a ordem dos objetos não importa, apenas suas posições relativas. Explica que nas três primeiras figuras mostradas, a posição relativa dos objetos 1, 2 e 3 é a mesma, da mesma forma para as três últimas figuras mostradas.
1) O documento descreve os conceitos e procedimentos para construção de tabelas-verdade, incluindo operações lógicas como negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
2) É apresentado como determinar o valor lógico de proposições compostas atribuindo valores às proposições simples em uma tabela.
3) Exemplos ilustram a construção de tabelas-verdade para proposições compostas com duas ou três proposições simples.
O documento discute a construção de tabelas-verdade para proposições lógicas. Primeiro, explica como determinar os valores lógicos verdadeiro ou falso para proposições simples e compostas. Em seguida, define as operações lógicas de negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional e fornece exemplos de suas tabelas-verdade. Por fim, apresenta exemplos passo a passo de construção de tabelas-verdade para proposições compostas.
O documento introduz os principais conceitos da lógica proposicional, incluindo negação, conjunção, disjunção, condicionais e bicondicionais. Explica que a negação forma novas sentenças, a conjunção liga duas sentenças com "e", a disjunção liga com "ou", e os condicionais e bicondicionais expressam implicações entre sentenças ligadas por "se" e "se e somente se". Fornece exemplos de cada um desses conceitos lógicos.
O documento discute a lógica formal, definindo-a como o estudo das leis do pensamento e formas de aplicá-las corretamente. Apresenta Aristóteles como o fundador da lógica e descreve argumentos, dedução, indução, validade de argumentos e a distinção entre validade e verdade.
1) O documento discute o desenvolvimento do cálculo no século XVII por Newton e Leibniz através da investigação de problemas como a reta tangente e área sob curva.
2) Explica conceitos fundamentais do cálculo como derivada, integral, limite e suas aplicações práticas em problemas como velocidade e taxas de variação.
3) Apresenta definições e propriedades de limite de funções e estratégias para calcular formas indeterminadas, incluindo limites no infinito.
O documento apresenta exemplos de problemas de permutações e combinações simples, incluindo: (1) modos de sentar 5 rapazes e 5 moças em bancos, (2) modos de formar uma roda com 5 crianças, (3) modos de dividir 8 pessoas em grupos de 4. Explica como contagens iniciais podem sobrecontar devido a ordens equivalentes não serem distinguidas.
O documento descreve as operações algébricas de soma, diferença, produto e quociente que podem ser realizadas com funções, definindo formalmente cada operação e ilustrando com exemplos como funções mais complexas podem ser construídas a partir de funções mais simples.
O documento define o conceito de função matemática como uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do conjunto domínio é mapeado para um único elemento do conjunto imagem. Exemplos de funções incluem a relação entre lucro e produção de uma empresa, o crescimento populacional de bactérias ao longo do tempo, e a velocidade de uma reação química em relação à quantidade de substrato. O documento também discute como representar funções graficamente.
Este documento discute lógica proposicional e métodos dedutivos para provar validade de argumentos. Ele introduz representação simbólica de proposições e argumentos, regras de equivalência e inferência para lógica proposicional, e como usar suposição para provar conclusões de argumentos na forma R → S.
O documento discute relações matemáticas, incluindo pares ordenados, representação gráfica em um plano cartesiano, produto cartesiano, domínio e imagem de relações binárias, e propriedades de relações. Ele fornece exemplos para ilustrar esses conceitos-chave de relações.
O documento apresenta um resumo de tópicos de álgebra II como operações com expressões algébricas, fatoração, raízes de equações polinomiais, a fórmula quadrática, expressões racionais, racionalizando frações algébricas e lista de exercícios. O professor Aristóteles Meneses Lima pede que os alunos resolvam os exercícios ímpares da lista de exercício 2 para a próxima aula.
Este documento fornece detalhes sobre uma aula de Matemática Básica para o curso de Administração no primeiro período. A aula, ministrada pelo professor Aristóteles Meneses Lima em 05/03/2012, cobriu o tópico de Números Reais e a Reta.
A aula de Matemática Básica do curso de Administração no 1o período tratou sobre representação decimal, ministrada pelo professor Aristóteles Meneses Lima em 27 de fevereiro de 2012.
A aula de lógica do professor Aristóteles discutiu tautologias, proposições logicamente falsas, implicação, equivalência, quantificadores universal e existencial e como negar proposições, incentivando os alunos da turma ADS Facema 2012 a praticarem exercícios.
O documento discute conceitos fundamentais de conjuntos, incluindo reunião, intersecção, complementar e propriedades. Ele também aborda como calcular o número de elementos na reunião de conjuntos.
2. Quantificadores, Predicados e Validade
• Quantificadores: são frases do tipo “para
todo”, ou “para cada”, ou “para algum”, isso
é, frases que dizem quantos objetos, em algum
sentido, tem uma determinada propriedade. O
quantificador universal é simbolizado por ∀
, e se lê ”para todo”, “para qualquer” ou “para
cada”.
• Predicados: é a propriedade de uma
determinada sentença. A notação é P (x).
3. • Observe a sentença: “Para todo x, x > 0”
• Essa é uma proposição verdadeira sobre os
inteiros positivos.
• Ela contém o quantificador - Para todo x , e o
predicado é x > 0. Logo a sentença acima pode
ser simbolizada por:
• (∀ x )(x > 0), mas como x > 0 é o
predicado, podemos colocar ainda numa forma
mais geral:
• (∀ x )(Px)
4. • O Valor lógico dessa expressão depende do domínio
dos objetos sobre os quais estamos nos
referindo, isso é, a coleção de objetos dentre os quais
x pode ser escolhido. Essa coleção se chama
domínio de interpretação, ou conjunto
universo.
• Exemplo 1:
• Se o conjunto universo consiste em todos os livros
em sua biblioteca municipal.
• Se (Px) é a propriedade de x ter a capa vermelha.
• Logo (∀ x )(Px) diz que:” todos os livros em sua
biblioteca municipal têm capa vermelha”.
• É claro que o valor lógico dessa expressão, com essa
interpretação, deve ser falso.
5. • Exemplos 2:
• Qual o valor lógico da expressão (∀ x )(Px) nas duas
interpretações:
• A)(Px) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto
universo é o conjunto de todos os botões de ouro.
(verdadeira)
• B) (Px) é a propriedade que x é amarelo e o
conjunto universo é o conjunto de todas as flores.
(falsa)
6. • Quantificador existencial: é simbolizado por ∃
, e se lê “existe”, “há pelo menos um”, “existe algum”
ou “para algum”.
• Exemplo 3:
• Se o conjunto universo consiste em todos os livros
em sua biblioteca municipal.
• Se (Px) é a propriedade de x ter a capa vermelha.
• Logo (∃ x )(Px) diz que: „em sua biblioteca
municipal tem pelo menos um livro de capa
vermelha‟.
É claro que o valor lógico dessa expressão, com essa
interpretação, deve ser verdadeiro.
7. • Os predicados que vimos envolvem
propriedades de uma única variável, são os
predicados unários. Mas eles podem ser
binários, se envolvem duas
variáveis, ternários, envolvendo propriedades
de três variáveis e assim por diante.
• Exemplo: Na expressão: (∀ x) (∃ y) Q(x,y) que
é lida como “para todo x existe um y tal que
Q(x,y)”, há dois predicados para as duas
variáveis da propriedade binária.
ATENÇÂO: a ordem dos quantificadores é muito
importante, ela altera a interpretação.
8. • O QUE É NECESSÁRIO PARA UMA
INTERPRETAÇÃO:
• 1º) Uma coleção de objetos, chamada de conjunto
universo, que precisa incluir pelo menos um objeto.
• 2º) A especificação de uma propriedade dos objetos
no domínio para cada predicado na expressão.
• 3º) A atribuição de um objeto particular no conjunto
universo para cada símbolo constante na expressão.
9. • “SÍMBOLOS DE AGRUPAMENTO”, como parênteses ou
colchetes, identificam o escopo de um quantificador, a
parte da fbf à qual o quantificador se aplica.
• Exemplo 4:
• 1) P (x) v Q (x) não tem quantificadores
• 2) (∀ x)[P ( x) →Q( x)] o escopo do quantificador é P(x)
→ Q(x)
• 3) (∀ x)((∃ y)[ P ( x, y) ∧ Q( x, y)] →R( x)) o escopo de
(∃y ) é P(x,y)∧ Q( x,y),e o escopo de (∀ x) é a expressão
inteira entre parênteses.
• 4) (∃x ) S ( x ) ∨ (∀y) T(y ) o escopo de (∃x ) é S(x) e o
escopo de (∀ y) é T(y).
10. • Exemplo 5:
• Na fbf (∀ x )(∃y )[ S ( x , y ) ∧L ( y , a )]
• Considere a interpretação onde o conjunto
universo consiste em todas as cidades do Brasil,
• S(x,y) é a propriedade “x e y estão no mesmo
estado”
• L(y,z) é a propriedade “o nome da cidade y
começa com a mesma letra que a cidade z”e é
atribuído o valor Alfenas a a.
• Logo a interpretação da fbf inteira é que “para
qualquer cidade x existe uma cidade no mesmo
estado que começa com a letra A”. Com essa
interpretação, a fbf é verdadeira.
11. TRADUÇÃO
• Muitas declarações em português podem ser
expressas como fbfs predicadas.
• Exemplo:
• “Todo papagaio é feio”
• Significa, de fato, que “Dada uma coisa, se é um
papagaio, então é feio”.
• Denotando por P(x) a frase “x é um papagaio” e por
F(x) “x é feio”, a proposição pode ser simbolizada
como:
• (∀ x) [P(x) → F(x)]
• A fbf (∀ x) [P(x) ∧ F(x)] seria uma tradução
incorreta, pois diz que “Dado x, x é papagaio e é
feio”.
12. • ATENÇÃO: ∀ e → estão quase sempre
juntos.
Analogamente, “Existe um papagaio feio”
Significa que “Existe alguma coisa que é, ao mesmo
tempo, papagaio e feio”.
Simbolizando:
(∃ x) [P(x) ∧ F(x)]
ATENÇÃO: ∃ e ∧ estão quase sempre juntos.
Os advérbios “só”, “somente” e “apenas” são
particularmente problemáticos, pois sua colocação
em uma sentença pode alterar completamente o
significado.
13. Observe as três sentenças Elas podem ser reescritas como:
abaixo:
João ama apenas Maria Se João ama alguma coisa, então essa
coisa é Maria.
Apenas João ama Maria Se alguma coisa ama Maria, então essa
coisa é João.
João apenas ama Maria Se João tem alguma relação com
Maria, essa relação é amor.
Dados:
A(x) é “x é um cachorro”
B(y) é “y é um coelho”
C(x) é “x persegue y”
Observe a tabela abaixo:
14. Declaração em Proposição Fbf
Português intermediária
1. Todos os cachorros Dada uma coisa qualquer, (∀ x)[A( x) → (∀ y) (B( y)
perseguem todos os se → C ( x, y))
coelhos. for um cachorro, então,
para qualquer outra coisa,
se essa outra coisa for um
coelho, então o cachorro
vai persegui-lo.
2. Alguns cachorros Existe uma coisa que é um (∃ x)[A( x) ∧ (∀ y) (B( y)
perseguem todos os cachorro e, para qualquer → C ( x, y))]
coelhos. outra coisa, se essa coisa é
um coelho, então o
cachorro o persegue.
3. Apenas cachorros Para qualquer coisa, se é (∀ y)[B( y) → (∀ x)
(C( x, y) → A( x))
perseguem coelhos um coelho, então, se
alguma coisa o persegue,
essa coisa é um cachorro.
A(x) é “x é um cachorro” B(y) é “y é um coelho” C(x) é “x persegue y”
15. Validade
• O valor lógico de uma fbf proposicional depende
dos valores lógicos atribuídos às letras de
proposição. O valor lógico de uma fbf predicada
depende da interpretação. Portanto, escolher uma
interpretação para uma fbf predicada é análogo a
escolher valores lógicos para um fbf proposicional.
• Uma fbf predicada é válida se ela é verdadeira
para todas as interpretações possíveis.
• Se pudermos encontrar uma única interpretação
de modo que a fbf tenha o valor falso ou não tenha
valor lógico, então a fbf não é válida.
• Não existe algoritmo para determinar se uma fbf
predicada é válida.
16. Exemplos: Vamos agora tentar
determinar a validade:
• 1. (∀ x ) P ( x ) →(∃ x ) P ( x ) (é válida)
Se todo elemento do conjunto universo tem uma
determinada propriedade, então existe um
elemento do conjunto que tem essa
propriedade. Logo sempre que o antecedente
for verdadeiro o consequente também o é, o
condicional é verdadeiro.
• 2. (∀ x ) P ( x ) →P ( a )(é válida)
17. Como todo elemento do conjunto universo tem uma
determinada propriedade, e a é um elemento particular do
conjunto universo, portanto ele tem a propriedade que todos os
elementos têm.
• 3. (∀ x )[ P ( x ) ∧Q ( x )] ↔(∀ x ) P ( x ) ∧(∀ x ) Q ( x )(é
válida)
Se P e Q forem verdadeiras para todos os elementos do
domínio, então P é verdadeira para todos os elementos e Q é
verdadeira para todos os elementos, e vice-versa.
( ↔ ; V V = V ou F F = V)
• 4. (∃x ) P ( x ) →(∀ x ) P ( x )(não é válida)
Por exemplo, como a interpretação onde o domínio é o
conjunto dos inteiros e P(x) significa que x é par, é verdade que
existe um inteiro par, mas é falso que todos os inteiros são
pares. O antecedente do condicional é verdadeiro e o
conseqüente é falso. Logo o condicional é falso.
(→ ;VF=F)