O documento discute determinantes de matrizes. Introduz determinantes, definindo-os como números associados a matrizes quadradas obtidos por operações entre os elementos. Explica como calcular determinantes de matrizes de 1a, 2a e 3a ordem, apresentando exemplos. Também apresenta propriedades dos determinantes como fila nula, filas paralelas, matriz transposta, entre outras.
informações sobre equação linear e suas possibilidade de solução e questões para fixação do conteudo.
Sistema linear é um conjunto de equações lineares que estão relacionadas entre si, ou seja, possuem as mesmas soluções. Dizemos que uma equação é linear quando as suas variáveis possuem grau 1.
Em Matemática, um sistema de equações lineares é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Por exemplo, é um sistema de três equações com três variáveis.
O documento fornece informações sobre trigonometria, incluindo: (1) definições de seno, cosseno e tangente para triângulos retângulos; (2) valores de seno, cosseno e tangente para ângulos notáveis; e (3) exercícios de aplicação desses conceitos trigonométricos.
O documento define prisma como um poliedro convexo formado por duas bases paralelas congruentes e faces laterais em forma de paralelogramos. Descreve suas características principais como vértices, arestas, classificação, nomenclatura e fórmulas para calcular área e volume. Apresenta exemplos resolvidos e informações sobre paralelepípedos e cubos.
O documento discute funções afins, definidas como funções do tipo y = ax + b. Apresenta exemplos de situações em que a temperatura varia linearmente com o tempo e constrói os respectivos gráficos. Explica como obter a equação de uma função a partir de dois pontos e analisa propriedades como raiz, crescimento e estudo de sinal.
O documento discute os seguintes tópicos de geometria analítica: 1) cálculo da distância entre dois pontos no plano cartesiano, 2) determinação das coordenadas do ponto médio de um segmento, 3) cálculo das coordenadas do baricentro de um triângulo, 4) fórmula para calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices, e 5) condição matemática para que três pontos estejam alinhados.
Este documento apresenta 13 aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza para alunos do 3o colegial. As aulas abordam conceitos básicos como pontos, retas, ângulos e triângulos, além de propriedades de figuras planas como quadriláteros, polígonos e círculos. Exercícios complementam cada aula para fixação dos conceitos.
O documento explica como construir gráficos de funções geometricamente no plano cartesiano, definindo pares ordenados, domínio, contradomínio e imagem. Ele fornece exemplos de como plotar gráficos de funções a partir de tabelas numéricas.
O documento apresenta conceitos básicos sobre ângulos, incluindo sua definição, tipos, elementos e relações entre ângulos como adjacentes, opostos e complementares. É apresentada a representação de ângulos e exemplos de cálculos envolvendo medidas de ângulos.
informações sobre equação linear e suas possibilidade de solução e questões para fixação do conteudo.
Sistema linear é um conjunto de equações lineares que estão relacionadas entre si, ou seja, possuem as mesmas soluções. Dizemos que uma equação é linear quando as suas variáveis possuem grau 1.
Em Matemática, um sistema de equações lineares é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Por exemplo, é um sistema de três equações com três variáveis.
O documento fornece informações sobre trigonometria, incluindo: (1) definições de seno, cosseno e tangente para triângulos retângulos; (2) valores de seno, cosseno e tangente para ângulos notáveis; e (3) exercícios de aplicação desses conceitos trigonométricos.
O documento define prisma como um poliedro convexo formado por duas bases paralelas congruentes e faces laterais em forma de paralelogramos. Descreve suas características principais como vértices, arestas, classificação, nomenclatura e fórmulas para calcular área e volume. Apresenta exemplos resolvidos e informações sobre paralelepípedos e cubos.
O documento discute funções afins, definidas como funções do tipo y = ax + b. Apresenta exemplos de situações em que a temperatura varia linearmente com o tempo e constrói os respectivos gráficos. Explica como obter a equação de uma função a partir de dois pontos e analisa propriedades como raiz, crescimento e estudo de sinal.
O documento discute os seguintes tópicos de geometria analítica: 1) cálculo da distância entre dois pontos no plano cartesiano, 2) determinação das coordenadas do ponto médio de um segmento, 3) cálculo das coordenadas do baricentro de um triângulo, 4) fórmula para calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices, e 5) condição matemática para que três pontos estejam alinhados.
Este documento apresenta 13 aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza para alunos do 3o colegial. As aulas abordam conceitos básicos como pontos, retas, ângulos e triângulos, além de propriedades de figuras planas como quadriláteros, polígonos e círculos. Exercícios complementam cada aula para fixação dos conceitos.
O documento explica como construir gráficos de funções geometricamente no plano cartesiano, definindo pares ordenados, domínio, contradomínio e imagem. Ele fornece exemplos de como plotar gráficos de funções a partir de tabelas numéricas.
O documento apresenta conceitos básicos sobre ângulos, incluindo sua definição, tipos, elementos e relações entre ângulos como adjacentes, opostos e complementares. É apresentada a representação de ângulos e exemplos de cálculos envolvendo medidas de ângulos.
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo:
1) A definição de trigonometria e seu significado;
2) Aplicações da trigonometria em triângulos retângulos e a relação entre seno, cosseno e tangente;
3) Cálculo de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.
Teorema de pitágoras apresentação de slideRaquel1966
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras e sua aplicação para calcular lados desconhecidos em triângulos retângulos. O teorema relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo da seguinte forma: a2 + b2 = c2. Exemplos ilustram como usar o teorema para resolver problemas geométricos.
1. O documento é um quiz sobre conjuntos numéricos com perguntas e respostas sobre números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
2. As perguntas cobrem tópicos como propriedades de soma, multiplicação, raiz quadrada e ordem desses diferentes tipos de números.
3. O quiz fornece exemplos de cada conjunto numérico para ilustrar os conceitos.
O documento descreve conceitos fundamentais de geometria plana relacionados a circunferências, círculos e suas partes. Entre os tópicos abordados estão: definição de circunferência e seus elementos como raio, diâmetro e centro; propriedades dos ângulos centrais e inscritos; posições relativas de retas em relação a circunferências; e relações entre circunferências.
O documento discute as relações métricas em triângulos retângulos. Explica que um triângulo retângulo tem um ângulo reto e os lados adjacentes são chamados de catetos. A altura relativa à hipotenusa cria dois outros triângulos retângulos semelhantes onde as relações entre os lados seguem regras de proporcionalidade de acordo com a semelhança dos triângulos. Essas relações levam ao Teorema de Pitágoras.
1) O documento introduz os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.
2) São apresentadas proposições fundamentais sobre as relações entre seno, cosseno e tangente de um ângulo e seu complemento.
3) Valores numéricos de seno, cosseno e tangente são dados para ângulos de 45°, 30° e 60°.
O documento descreve conceitos básicos de geometria como ponto, reta, plano e ângulos. Define pontos como localizações adimensionais representadas por letras maiúsculas. Explica que um plano é infinito e é indicado por letras gregas. Detalha os tipos de ângulos como agudos, obtusos e retos com suas aberturas correspondentes.
Este documento apresenta as definições e propriedades fundamentais da parábola. Primeiro, define parábola como uma curva cônica formada pelos pontos equidistantes de um foco e uma reta. Em seguida, descreve as partes da parábola como foco, eixo, diretriz e vértice. Por fim, apresenta as equações da parábola de acordo com a posição do foco.
O documento define e classifica os cilindros circulares, descrevendo suas partes e elementos. Apresenta fórmulas para calcular a área da base, área lateral, área total e volume de um cilindro circular. Exemplifica como calcular a altura de um cilindro a partir da igualdade entre sua área lateral e a área da base.
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego do século VII a.C. que observou que os raios solares chegavam paralelos à Terra e desenvolveu o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos de retas paralelas cortadas por uma transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes na outra reta. Tales aplicou esse princípio para medir a altura da Grande Pirâmide de Gizé, formando triângulos semelhantes com a sombra projetada. O Teorema de Tales tem
O documento discute pontos no plano cartesiano, incluindo pares ordenados, quadrantes, eixos x e y, e como localizar pontos. Exemplos e exercícios são fornecidos para reforçar os conceitos ensinados.
O documento apresenta definições e propriedades geométricas relacionadas à circunferência, incluindo circunferência, círculo, raio, diâmetro, corda, arco, ângulo central, ângulo inscrito, ângulo de segmento e posições relativas entre retas e circunferências.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
1) Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
2) O sinal de a determina a concavidade da parábola, enquanto os zeros da função determinam os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
3) O vértice da parábola tem coordenadas (-b/2a, f(-b/2a)) e indica o ponto de mínimo ou máximo
Este documento apresenta de forma animada a construção de um plano cartesiano e suas aplicações. Explica como é composto por dois eixos ortogonais, define pares ordenados e como localizar pontos. Apresenta como construir gráficos a partir de tabelas de dados e equações de 1o grau no plano cartesiano.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
O documento introduz os conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) os elementos primitivos de ponto, reta e plano; (2) as noções de figuras geométricas como triângulos e ângulos; (3) as propriedades e classificações de triângulos e ângulos.
1) O documento discute conceitos básicos de geometria de posição, incluindo pontos, retas e planos. 2) Aborda as relações entre esses objetos geométricos, como incidência, concidência e paralelismo. 3) Também explica projeções ortogonais de retas sobre planos.
O documento discute determinantes de matrizes. Explica que determinantes são números associados a matrizes quadradas obtidos por operações entre os elementos da matriz e que podem ser calculados usando regras como a regra de Sarrus para matrizes de 3a ordem. Também apresenta propriedades dos determinantes como que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo:
1) A definição de trigonometria e seu significado;
2) Aplicações da trigonometria em triângulos retângulos e a relação entre seno, cosseno e tangente;
3) Cálculo de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.
Teorema de pitágoras apresentação de slideRaquel1966
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras e sua aplicação para calcular lados desconhecidos em triângulos retângulos. O teorema relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo da seguinte forma: a2 + b2 = c2. Exemplos ilustram como usar o teorema para resolver problemas geométricos.
1. O documento é um quiz sobre conjuntos numéricos com perguntas e respostas sobre números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
2. As perguntas cobrem tópicos como propriedades de soma, multiplicação, raiz quadrada e ordem desses diferentes tipos de números.
3. O quiz fornece exemplos de cada conjunto numérico para ilustrar os conceitos.
O documento descreve conceitos fundamentais de geometria plana relacionados a circunferências, círculos e suas partes. Entre os tópicos abordados estão: definição de circunferência e seus elementos como raio, diâmetro e centro; propriedades dos ângulos centrais e inscritos; posições relativas de retas em relação a circunferências; e relações entre circunferências.
O documento discute as relações métricas em triângulos retângulos. Explica que um triângulo retângulo tem um ângulo reto e os lados adjacentes são chamados de catetos. A altura relativa à hipotenusa cria dois outros triângulos retângulos semelhantes onde as relações entre os lados seguem regras de proporcionalidade de acordo com a semelhança dos triângulos. Essas relações levam ao Teorema de Pitágoras.
1) O documento introduz os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.
2) São apresentadas proposições fundamentais sobre as relações entre seno, cosseno e tangente de um ângulo e seu complemento.
3) Valores numéricos de seno, cosseno e tangente são dados para ângulos de 45°, 30° e 60°.
O documento descreve conceitos básicos de geometria como ponto, reta, plano e ângulos. Define pontos como localizações adimensionais representadas por letras maiúsculas. Explica que um plano é infinito e é indicado por letras gregas. Detalha os tipos de ângulos como agudos, obtusos e retos com suas aberturas correspondentes.
Este documento apresenta as definições e propriedades fundamentais da parábola. Primeiro, define parábola como uma curva cônica formada pelos pontos equidistantes de um foco e uma reta. Em seguida, descreve as partes da parábola como foco, eixo, diretriz e vértice. Por fim, apresenta as equações da parábola de acordo com a posição do foco.
O documento define e classifica os cilindros circulares, descrevendo suas partes e elementos. Apresenta fórmulas para calcular a área da base, área lateral, área total e volume de um cilindro circular. Exemplifica como calcular a altura de um cilindro a partir da igualdade entre sua área lateral e a área da base.
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego do século VII a.C. que observou que os raios solares chegavam paralelos à Terra e desenvolveu o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos de retas paralelas cortadas por uma transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes na outra reta. Tales aplicou esse princípio para medir a altura da Grande Pirâmide de Gizé, formando triângulos semelhantes com a sombra projetada. O Teorema de Tales tem
O documento discute pontos no plano cartesiano, incluindo pares ordenados, quadrantes, eixos x e y, e como localizar pontos. Exemplos e exercícios são fornecidos para reforçar os conceitos ensinados.
O documento apresenta definições e propriedades geométricas relacionadas à circunferência, incluindo circunferência, círculo, raio, diâmetro, corda, arco, ângulo central, ângulo inscrito, ângulo de segmento e posições relativas entre retas e circunferências.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
1) Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
2) O sinal de a determina a concavidade da parábola, enquanto os zeros da função determinam os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
3) O vértice da parábola tem coordenadas (-b/2a, f(-b/2a)) e indica o ponto de mínimo ou máximo
Este documento apresenta de forma animada a construção de um plano cartesiano e suas aplicações. Explica como é composto por dois eixos ortogonais, define pares ordenados e como localizar pontos. Apresenta como construir gráficos a partir de tabelas de dados e equações de 1o grau no plano cartesiano.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
O documento introduz os conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) os elementos primitivos de ponto, reta e plano; (2) as noções de figuras geométricas como triângulos e ângulos; (3) as propriedades e classificações de triângulos e ângulos.
1) O documento discute conceitos básicos de geometria de posição, incluindo pontos, retas e planos. 2) Aborda as relações entre esses objetos geométricos, como incidência, concidência e paralelismo. 3) Também explica projeções ortogonais de retas sobre planos.
O documento discute determinantes de matrizes. Explica que determinantes são números associados a matrizes quadradas obtidos por operações entre os elementos da matriz e que podem ser calculados usando regras como a regra de Sarrus para matrizes de 3a ordem. Também apresenta propriedades dos determinantes como que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Álgebra Linear e Suas Aplicações - André Gustavo de A. SantosAndré Gustavo Santos
O documento apresenta uma introdução às matrizes, definindo o que é uma matriz e seus principais tipos. Apresenta exemplos de operações com matrizes, como igualdade, adição e tipos especiais de matrizes.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Apresenta conceitos básicos de matrizes como definição, tipos, operações e inversa. Também aborda determinantes e como representar sistemas de equações lineares na forma matricial.
I. Uma matriz é uma tabela disposta em linhas e colunas que permite representar sistemas lineares e realizar operações algébricas com esses sistemas.
II. Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, triangulares e identidade.
III. É possível realizar operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes, desde que respeitem certas propriedades dimensionais. Determinantes e inversão de matrizes também são abordados.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades relacionadas a matrizes.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades de matrizes.
O documento apresenta os conceitos de determinantes de matrizes. Explica que o determinante de uma matriz quadrada é um número real associado a ela e apresenta fórmulas para calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Também aborda cálculo de determinantes para matrizes de ordem maior que 3 usando o Teorema de Laplace.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação e operações. É descrito como João e Maria obtiveram notas em diferentes matérias e como essas informações podem ser organizadas em matrizes. Também são explicados conceitos como produto de matrizes, matriz identidade e propriedades de operações com matrizes.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda operações entre matrizes, cálculo de determinantes usando regras como a de Sarrus e Laplace, resolução de sistemas lineares pelos métodos de escalonamento e Cramer, e classificação de sistemas lineares homogêneos.
O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda conceitos como matriz identidade, matriz nula, operações entre matrizes, regras para calcular determinantes, propriedades dos determinantes, sistemas lineares e os métodos para resolvê-los, como escalonamento e regra de Cramer.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda: 1) definição e tipos de matrizes; 2) cálculo de determinantes usando regras de Sarrus e Laplace; 3) resolução de sistemas lineares por escalonamento e método de Cramer. Também apresenta aplicações dos determinantes no cálculo de áreas de polígonos.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
O documento explica os conceitos básicos de determinantes de matrizes quadradas, incluindo como calcular determinantes de 1a, 2a e 3a ordem utilizando a regra de Sarrus, e apresenta propriedades importantes dos determinantes como o Teorema de Laplace.
Plano de aula po1 capitulo 2 revisão algebra 2015 vrs 0001Luis Duncan
1. O documento apresenta uma revisão de álgebra linear com foco em matrizes, incluindo definições, tipos, operações e cálculos com matrizes.
2. É apresentada a notação de matrizes e vários tipos como matrizes quaisquer, nulas, quadradas e identidade.
3. São explicadas operações com matrizes como adição, multiplicação por escalar, multiplicação entre matrizes, determinante, matriz singular, não singular e inversa.
1. O documento apresenta uma revisão de álgebra linear com foco em matrizes, incluindo operações como transposição, soma, determinante, inversa e sistemas de equações lineares.
2. As seções abordam diferentes tipos de matrizes, suas propriedades e como realizar operações com elas utilizando a ferramenta Excel.
3. O objetivo é revisar conceitos de matrizes que serão úteis na resolução de problemas de programação linear usando o algoritmo Simplex.
O documento explica o que é um determinante e como calculá-lo para matrizes quadradas de 1a, 2a e 3a ordem. O determinante é um número real associado à matriz e é calculado usando a diferença entre produtos de elementos nas diagonais principal e secundária para matrizes de 2a ordem ou a regra de Sarrus para 3a ordem. Propriedades incluem o determinante ser zero se houver linhas iguais ou proporcionais ou se uma linha for combinação linear de outras.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, definição moderna no século XIX, e aplicações em diversas áreas como computação, mecânica e eletrônica. Explica termos como matriz identidade, transposta, oposta, simétrica e anti-simétrica.
áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chióPedro Povoleri
O documento apresenta várias propriedades dos determinantes de matrizes quadradas. Entre elas: (1) o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta; (2) se uma linha ou coluna for constituída apenas de zeros, o determinante será igual a zero; (3) se duas linhas ou colunas forem trocadas, o novo determinante terá valor simétrico do original.
Semelhante a Determinantes de ordem n e suas propriedades (20)
Este documento apresenta o plano de ensino de uma disciplina de inteligência artificial. Ele descreve os principais tópicos a serem abordados, como fundamentos da IA, agentes inteligentes e aprendizagem de máquina. Também define os objetivos da disciplina, a metodologia de ensino e avaliação.
O documento discute as redes de computadores, definindo-as como um conjunto de processadores capazes de compartilhar informações e recursos através de um sistema de comunicação. Também apresenta as principais motivações para o uso de redes, como aplicações comerciais, compartilhamento de recursos e economia, e classifica redes de acordo com sua tecnologia de transmissão e escala, como redes locais, metropolitanas e geograficamente distribuídas.
O documento discute sobre arquitetura e organização de computadores. Explica que a arquitetura se refere aos atributos visíveis para o programador, como conjunto de instruções, enquanto a organização diz respeito à implementação dessas especificações. Também aborda sistemas numéricos, portas lógicas, processadores e memória.
O documento discute o que é arquitetura de software, definindo-a como a especificação dos componentes de software, suas propriedades externas e relacionamentos. Também lista alguns padrões comuns de arquitetura como layered architecture, event-driven architecture e microservices. Finalmente, ressalta a importância de considerar fatores como agilidade, testabilidade, desempenho e escalabilidade ao escolher uma arquitetura.
O documento apresenta conceitos básicos de informática, incluindo hardware, software, armazenamento de dados e redes de computadores. Discutem-se os componentes de um sistema de computação, como a unidade central de processamento, memória e periféricos. Também são introduzidos conceitos como sistemas operacionais, bancos de dados e aplicativos de software.
O documento apresenta uma introdução sobre arquitetura de software, definindo termos como instância arquitetural, estilo arquitetural e arquitetura de referência. Também lista eventos científicos e referências bibliográficas sobre o tema.
O documento discute a Internet das Coisas (IoT) e Cidades Inteligentes, definindo IoT como a interação entre objetos e pessoas para fornecer serviços avançados por meio da comunicação inteligente. Cidades Inteligentes conectam a infraestrutura física, de TI, social e de negócios para alavancar a inteligência coletiva. Implementar aplicações em Cidades Inteligentes enfrenta desafios como infraestrutura, interoperabilidade, privacidade e segurança de dados.
1) O documento apresenta um sumário detalhado sobre formatação e edição de texto no BrOffice.org Writer.
2) Ele contém 11 capítulos que abordam tópicos como formatar texto, inserir figuras, trabalhar com tabelas, paginação e mais.
3) O documento fornece exemplos e exercícios para auxiliar o usuário a aprender as funções do BrOffice.org Writer.
[1] O documento apresenta os conceitos fundamentais de algoritmos e programação, incluindo a história dos computadores, arquitetura básica, conceito de algoritmo, representações de algoritmos em fluxogramas, linguagens de programação, representação de dados, expressões, estruturas de controle e modularização. [2] É dividido em cinco partes principais cobrindo tópicos preliminares, representação de dados, estruturas de controle, estrutura de dados e um apêndice com exercícios. [3] Fornece uma introdução abrang
A empresa anunciou um novo produto que combina hardware e software para fornecer uma solução completa para clientes. O produto oferece recursos avançados de inteligência artificial e aprendizado de máquina para ajudar os usuários a automatizar tarefas complexas. Analistas acreditam que o produto pode ser um sucesso comercial se for fácil de usar e tiver um preço acessível.
O documento discute conceitos de evapotranspiração (ET), definindo evaporação, transpiração e evapotranspiração. Explica que a ET envolve a transferência de água da superfície terrestre para a atmosfera e desempenha um papel importante no ciclo hidrológico. Também descreve fatores que afetam a ET, como condições climáticas, características do solo e da cultura, e relaciona a ET à demanda atmosférica e disponibilidade hídrica no solo.
1. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º Ano
Determinantes de Ordem n e suas
propriedades
2. MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Mapa Conceitual construído com o Software Cmap Tools, evidenciando
Determinantes.
3. MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Determinantes
1. Introdução:
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século
XVII, quando eram estudados processos para resolução de
sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam
um sistema prático para a resolução de sistemas, os
determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar
certas expressões matemáticas complicadas.
2. Definição:
A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado
determinante da matriz, que é obtido por meio de operações
entre os elementos da matriz.
4. MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordem
O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da
matriz .
Ex.:
3. Cálculo dos Determinantes:
3
2
3
2
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os
produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária .
3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem
Ex.: 5
3
8
1)]
(
.
3)
[(
4)
.
(2
4
1
3
2
5. A =
a11 a12
a21 a22
O determinante associado à matriz A é o
número real obtido pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22
- (a12 ·a21)
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
7. MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus)
1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da
diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita.
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os
elementos das outras duas filas à sua direita.
4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.
Ex.:
5
3
1
4
2
0
3
2
1
3
1
-
2
0
2
1
5
3
1
4
2
0
3
2
1
- -
- + +
+
10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0 = - 4
9. MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
4. Cofator de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n 2. Chama-se cofator de um elemento aij
de A ao número real Aij = (-1)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz
A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij
.
Ex.: 12
A
calcule
,
5
2
-
4
2
1
-
3
0
2
1
A
Seja
5
4
2
3
.
)
1
(
A 2
1
12
)
8
15
(
.
1
A12 = -7
5. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A, de ordem n 2, é a soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Ex.:
5
2
3
4
2
0
0
3
3
4
1
2
1
1
2
1
3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34 =
2
3
4
4
1
2
1
2
1
.
2
5
2
3
3
4
1
1
1
2
.
3
11. Propriedades dos Determinantes
P1. Fila Nula
Se todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 .
Ex.:
6
2
0
1
0
0
0
0
4
4
1
3
5
4
2
1
0
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 0
0
0
0
8
9
2
5
3
1
0
16
0
5
8
0
2
5
0
1
Ex:
12. P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais
Se duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então
det A = 0 .
Ex.: 0
8
0
8
5
4
5
2
3
2
0
5
0
4
4
2
6
2
1
3
e
2ª linha = 2 x 1ª linha
Se liguem, sempre que
nos referimos a filas,
estamos falando de
linhas e também de
colunas!
1ª coluna = 3ª coluna
4
2
6
2
1
3
2
2
1
3
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
14. 1)
Ex:
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca
de sinal
3
15
18
9
3
5
2
3
18
15
3
9
2
5
2) ,
5
Se
t
s
r
z
y
x
c
b
a
5
então
c
b
a
z
y
x
t
s
r
Outras propriedades:
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
15. P3. Matriz Transposta
O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.
Ex.:
8
4
3
0
1
5
1
0
2
4
3
1
5
0
2
= 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1
8
0
1
4
1
0
3
5
2
0
1
1
0
5
2
= 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
• det(A)=det(At)
Ex:
1)
2)
,
6
12
18
9
4
3
2
6
12
18
9
3
4
2
,
então
,
10
Se
t
s
r
z
y
x
c
b
a
10
então
t
z
c
s
y
b
r
x
a
16. P4. Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então:
det(A . B) = det A . det B
Ex.:
2
1
0
3
B
e
3
2
1
4
A
det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60
6
9
2
13
2
1
0
3
.
3
2
1
4
det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
• det(A.B)=detA.detB
Ex: .
3
2
1
4
B
e
7
5
2
3
A
Sejam
det(A.B)?
vale
Quanto 110
11.10
det(A.B)
11
detA 10
detB
17. P5. Matriz Triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal.
Ex.:
8
7
2
0
1
9
0
0
5
= 5 .1 .8 = 40
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
18. 1)
2)
Ex:
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal
7
9
7
0
3
5
0
0
2
42
7
.
3
.
2
2
0
0
0
5
3
0
0
6
8
5
0
0
8
7
2
60
2
.
3
.
5
.
2
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
19. P6. Troca de Filas Paralelas
Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma
outra matriz M´, tal que:
det M´ = - det M
Ex.: 22
28
6
2
7
4
3
22
6
28
4
3
2
7
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Ex:
0
9
1
8
0
9
2
1
2
3
1
8
0
9
2
1
0
8
8
4
2
0
1
6
9
3
3
1 L
L 3
1 C
.C
2
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas
paralelas.
Ex:
20. P7. Produto de uma Fila por uma Constante
Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um
mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado
por k.
Ex.:
5
1
1
4
3
0
2
9
1
1
1
3
0
9
1
= 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11
Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos:
5
3
1
4
9
0
2
27
1
3
1
9
0
27
1
= -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
21. Ex: 1)
2)
6
9
4
3
2
30
6
.
5
9
4
.
5
3
2
.
5
,
10
Se
t
s
r
z
y
x
c
b
a
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também
fica multiplicado por esse no
70
10
.
7
.
7
.
7
.
7
então
t
s
r
z
y
x
c
b
a
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
22. MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Consequência: Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos:
det (k . A) = kn . det A
• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
1) 6
9
4
3
2
150
6
.
5
9
.
5
3
.
5
4
.
5
2
.
5 2
Ex:
23. P8. Determinante da Matriz Inversa
Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então:
A
det
1
A
det 1
-
5
2
3
1
2
1
3
A
det
Ex.:
5
1
25
5
25
2
25
3
5
3
5
2
5
1
5
1
A
det 1
-
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
25. P9. Adição de Determinantes
Um determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais
aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j
destes determinantes, seja igual a coluna j do primeiro determinante.
Ex.:
6
2
3
1
3
0
0
2
2
6
0
3
1
3
0
0
1
2
6
4
3
1
1
0
0
5
2
6
2
3
1
1
0
0
4
2
+ + =
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
26. P10. Teorema de Jacobi
Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela,
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal
que:
det M´ = det M
Ex.:
6
1
4
7
2
4
5
3
1
-3
6
11
4
7
10
4
5
0
1
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
27. Regra de Chió
A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem
n 2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma
outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A.
1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a
coluna deste elemento.
2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos
eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna.
3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a
linha e a coluna retiradas.
Ex.:
5
1
2
3
0
2
1
3
1
)
1
.(
2
5
3
.
2
1
)
1
.(
2
3
3
.
2
0
7
5
5
6
25
42
-17
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
28. Matriz de Vandermonde
Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n 2,
em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando
de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de
primeiro termo igual a 1).
Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz.
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as
diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores.
Ex.:
343
125
27
8
49
25
9
4
7
5
3
2
1
1
1
1
7
5
3
2
(3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5)
1 . 3 . 2 . 5 . 4 . 2
240
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
29. • Quando uma das filas é a combinação linear de outras
filas paralelas.
5)
6)
0
9
11
4
0
5
3
9
6
1
0
0
9
5
7
8
7
7
0
9
7
1
3
0
5
3
1
3
2
1 L
L
L
3
2
1 C
C
.C
2
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
30. EXEMPLO 1
Calcule o determinante de
4
3
1
2
.
30
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
31. EXEMPLO 2
Calcule o determinante de
6
3
2
4
.
31
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
32. EXEMPLO 3
Calcule o determinante de
0
2
1
1
0
2
3
2
1
32
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
33. EXEMPLO 4
Calcule o determinante de:
2
0
1
7
7
0
0
0
3
33
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
34. EXEMPLO 5
(FUVEST) É dada a matriz
P =
1
0
1
1
.
a)Calcule P2
e P3
b) Qual a expressão Pn
?
34
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
35. MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Agora vamos colocar a mão na massa.
1)Entrar no site abaixo e baixar o software
Cmaptools para cada um montar seu mapa
conceitual com os determinantes e suas
propriedades.
http://www.baixaki.com.br/download/cmaptool
s.htm