apostila sobre razão

1. ENSINO MÉDIO
ROSEILDO NUNES DA CRUZ
RAZÕES trigonométricas NA
CIRCUNFERÊNCIA

2. Para superar esta limitação angular presente no triângulo retângulo
utilizamos o Ciclo Trigonométrico, de modo que existem infinitas
possibilidades de ângulos a serem relacionados com o triângulo e um ponto
pertencente à circunferência, como mostra a figura abaixo.
ÂNGULOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

3. Para superar esta limitação angular presente no triângulo retângulo
utilizamos o Ciclo Trigonométrico, de modo que existem infinitas
possibilidades de ângulos a serem relacionados com o triângulo e um ponto
pertencente à circunferência, como mostra a figura abaixo.
ÂNGULOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO EM GRAU

4. Para superar esta limitação angular presente no triângulo retângulo
utilizamos o Ciclo Trigonométrico, de modo que existem infinitas
possibilidades de ângulos a serem relacionados com o triângulo e um ponto
pertencente à circunferência, como mostra a figura abaixo.
ÂNGULOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO RADIANO

5. Para definirmos valores de seno, cosseno e
tangente correspondentes aos ângulos do ciclo, utilizamos os eixos do plano
cartesiano em que o ciclo está inscrito e uma reta tangente à circunferência,
paralela ao eixo y. O eixo x corresponde aos valores de cosseno, o y aos
valores de seno e a reta paralela ao eixo y aos valores da tangente, como
mostra a figura abaixo.
SENO, COSSENO E TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

6. Os valores de seno correspondem à projeção de um ponto (P)
pertencente à circunferência levado até o eixo dos senos (P’) e, conforme
mostrado abaixo.
SENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
OP = 1 (raio da circunferência), então
os valores de seno variam entre -1 e 1.
-1  sen  1
Sinais de Seno:
PROJEÇÃO VERTICAL

7. Os valores de cosseno correspondem à projeção de um ponto
pertencente à circunferência levado até o eixo dos cossenos, conforme
mostrado abaixo.
COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
OP = 1 (raio da circunferência), então os
valores de cosseno variam entre -1 e 1.
-1  cos  1
Sinais de Cosseno:
PROJEÇÃO
HORIZONTAL

8. Os valores de tangente correspondem à projeção de um ponto
pertencente à circunferência levado até o eixo das tangentes na
direção radial do ciclo trigonométrico, conforme representado abaixo.
TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
Não existe limite de variação
Sinal da Tangente:
MEDIDA VERTICAL RELACIONADA
AO ÂNGULO DADO

9. ATIVIDADE PRÁTICA
Utilizando o ciclo trigonométrico que você construiu, calcule o que
é solicitado e faça no seu caderno a representação geométrica conforme os
exemplos:
a) sen30° =
1
2
b) cos135° = -
2
2
c) tan300° = − 3
a) sen120° = d) cos210° = g) tan30° =
b) sen300° = e) cos240° = h) tan45° =
c) sen0° = f) cos180° = i) tan90° =
AGORA É A SUA VEZ!

10. EXEMPLOS
Calcule o valor das expressões:
a) 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
− 𝑐𝑜𝑠
5𝜋
3
+ 𝑡𝑔
2𝜋
3
b) 𝑠𝑒𝑛30°. 𝑐𝑜𝑠 4 5° + 2𝑡𝑔60°
c)
𝑠𝑒𝑛330°+𝑠𝑒𝑛450°
𝑡𝑔120°.𝑐𝑜𝑠 210°

11. Todo ângulo do primeiro quadrante possui ângulos simétricos
nos outros três quadrantes. Simetria significa ter as mesmas
características em relação aos valores de seno, coseno e tangente,
podendo variar apenas o sinal.
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
IMPORTANTE!
Ângulos simétricos são
aqueles que possuem a
mesma distância em
relação ao eixo x.

12. EXEMPLOS:
Redução do 2º para o 1º quadrante:
Calcular
a) sen 150° B) cos 150°
sen 150° = sen 30° =
𝟏
𝟐
sen 150° = - sen 30° = -
𝟑
𝟐

13. EXEMPLOS:
Redução do 3º para o 1º quadrante:
Calcular
a) sen 240° B) cos 240°
sen 240° = -sen 60° = -
𝟑
𝟐
cos 240° = - cos 60° = -
𝟏
𝟐

14. DETERMINAÇÃO DE ÂNGULOS SIMÉTRICOS

15. EXEMPLOS
Determinar os três simétricos dos ângulos abaixo:
a) 30o b) 𝜋
3
rad
c) 45o d) 𝜋
3
rad
e) 315° f) 6𝜋
5
rad

16. RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA
Dado um arco trigonométrico de medida ∝, tem-se:
sen2 x + cos2x = 1
1
sen x
cos x
Pelo Teorema de Pitágoras temos:

17. EXEMPLOS
Considerando que 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
3
com 0 < 𝑥 <
𝜋
2
, determine sen x.
sen2 x + cos2x = 1

18. EXEMPLOS
Considerando que sen𝑥 =
1
4
com π < 𝑥 <
3𝜋
2
, determine cos x.
sen2 x + cos2x = 1

19. OUTRAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS:
Na circunferência trigonométrica de raio unitário ao lado, observa-se
localização de cada razão trigonométrica citada:
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝒙 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒄𝒐𝒕 𝒈 𝒙 =
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝒙 =
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
tan²𝒙 + 𝟏 = sec²𝒙
𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝒈2
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄2
𝒙

20. EXEMPLOS
Calcule todas as funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente,
cotangente, secante, cossecante) para:
a) x = 300°
b) x = 150°
c) x = 225°
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝒙 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒄𝒐𝒕 𝒈 𝒙 =
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝒙 =
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙

23. EXEMPLOS
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝒙 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒄𝒐𝒕 𝒈 𝒙 =
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝒙 =
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
Sabendo que 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
2
2
, calcule o valor da expressão 𝑦 =
𝑠𝑒𝑐2𝑥−1
𝑡𝑎𝑛2𝑥+1

26. EXEMPLOS
𝑦 =
𝑐𝑜𝑡 𝑔 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝒙 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒄𝒐𝒕 𝒈 𝒙 =
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝒙 =
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
Simplifique as expressões:
𝑦 =
𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥
tan²𝒙 + 𝟏 = sec²𝒙
𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝒈2𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄2𝒙

27. AGORA É A SUA VEZ DE
PRATICAR!
FAÇA OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
COM ATENÇÃO!

28. Transformações Trigonométricas
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b
c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
- Soma e Diferença de Arcos:

29. a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b

30. c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a

31. b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b

32. . Transformações Trigonométricas
e)
b
a.tg
tg
1
b
tg
a
tg
-
+
b)
Tg(a =
+
f) b)
-
tg(a
b
a.tg
tg
1
b
tg
-
a
tg
+
=
- Soma e Diferença de Arcos:

34. Transformações Trigonométricas
-Arcos Duplos:
a) cos(2a) = cos2a – sen2a
b) sen(2a) = 2.sen a.cos a
c) tg(2a) =
a
tg2
1
a
2.tg 2
-