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Lista 11a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
1. Demana p.81:
N 29, 30, 31
Soluções complementares para exercícios de Demana.
Observação. Na resolução de exercícios a seguir vamos usar a denição de crescimento/decrescimento
de uma função. Para precisão, vamos lembrar essas denições. Uma função f(x) é chamada cres-
cente (crescente estritamente) num conjunto S do seu domínio se para quaisquer dois pontos x1  x2,
x1, x2 ∈ S temos f(x1) ≤ f(x2) (f(x1)  f(x2)). Da mesma maneira, uma função f(x) é chamada
decrescente (decrescente estritamente) num conjunto S do seu domínio se para quisquer dois pontos
x1  x2, x1, x2 ∈ S segue f(x1) ≥ f(x2) (f(x1)  f(x2)). Em termos grossos, uma função é cres-
cente se seus valores crescem com aumento de variável independente, e é decrescente se seus valores
decrescem com aumento de variável independente.
Dar esboço do gráco da função e comparar a resposta com a de Demana p.284:
N29: f(x) = |x + 2| − 1. Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = |x + 2| − 1
consiste de todos x reais. Para encontrar o gráco, vamos escrever a fórmula da função na forma mais
simples, abrindo a denição do módulo: |x+2|−1 =
{
−(x + 2) − 1, x  −2
(x + 2) − 1, x ≥ −2
=
{
−x − 3, x  −2
x + 1, x ≥ −2
.
Assim, temos duas funções lineares envolvidas: −x − 3 e x + 1. O gráco de qualquer função linear
é uma reta. Portanto, basta encontrar dois pontos da primeira parte do gráco e dois pontos da
segunda. Por exemplo, quando x  −2 podemos tomar x1 = −4 e x2 = −3 e usando a fórmula
respectiva y = −x − 3, encontramos y1 = 1 e y2 = 0. Assim, temos dois pontos no plano cartesiano
P1 = (−4, 1) e P2 = (−3, 0). Marcamos eles e passamos uma reta por estes dois pontos usando
todos x  −2. Da mesma maneira, para x ≥ −2 podemos tomar x3 = 0 e x4 = 1 e encontramos,
pela fórmula y = x + 1, os valores respectivos y3 = 1 e y4 = 2. Assim, temos dois pontos P3 = (0, 1)
e P4 = (1, 2) da segunda reta, da qual tomamos a parte correspondente a x ≥ −2. Juntando os
dois pedaços retilíneos (que se encontram no ponto P0 = (−2, −1)) obtemos o gráco completo da
função f(x) = |x + 2| − 1. Em particular, concluímos que a imagem dessa função é Y = [−1, +∞).
2. Realizar o estudo da função e dar esboço do seu gráco:
a) f(x) = |1 − 3x|;
b) f(x) = 4 − x2
.
Solução.
Observação geral. Os grácos dessas funções podem ser encontrados usando transformações
de grácos, a partir da função |x| para a letra a), e da função x2
para a letra b). No entanto, o
objetivo desse exercício é diferente: encontrar o gráco da função como resultado de estudo de suas
propriedades analíticas (algébricas).
a) A função y = f(x) = |1 − 3x| tem domínio de todos os reais. A imagem dessa função é
contida no intervalo [0, +∞): pela denição, o módulo sempre é não negativo e o valor 0 é obtido
quando x = 1
3
. Para especicar melhor a imagem (e para análise posterior), abrimos o módulo
pela denição: f(x) = |1 − 3x| =
{
−(1 − 3x), 1 − 3x  0
1 − 3x, 1 − 3x ≥ 0
=
{
3x − 1, x  1
3
1 − 3x, x ≤ 1
3
. Usando somente
a segunda sentença já podemos ver que para qualquer y ∈ [0, +∞) existe x tal que y = |1 − 3x|.
Realmente, basta encontrar a solução da equação y = 1 − 3x no conjunto x ≤ 1
3
, e essa solução
existe: x = 1−y
3
, ∀y ∈ [0, +∞). Portanto a imagem da função é exatamente o intervalo [0, +∞).
2
Para x ≤ 1
3
a função coincide com a parte da reta y = 1 − 3x que está decrescendo. Então,
tomando dois pontos quaisquer nesse intervalo, por exemplo, x1 = 0 e x0 = 1
3
, obtemos dois pontos
do gráco P1 = (0, 1) e P0 = (1
3
, 0). Passando uma reta atraves destes dois pontos que vai até
o ponto P0, temos a primeira parte do gráco. Da mesma maneira, tomando os pontos x0 = 1
3
e x2 = 1, encontramos os pontos do gráco P0 = (1
3
, 0) e P2 = (1, 2) que correspondem a reta
y = 3x − 1 da outra sentença, e então passamos parte da outra reta através de P0 e P2 que vai até
P0. O ponto P0 é o ponto de encontro das partes das duas retas que representa o vértices do gráco.
Juntando as informações encontradas nessa investigação analítica, chegamos ao seguinte gráco
da função f(x) = |1 − 3x|.
Figura 1: Exercício 2a).
b) f(x) = 4 − x2
. O domínio da função y = f(x) = 4 − x2
consiste de todos x reais. Para
determinar a imagem, notamos que 4 − x2
≤ 4, ∀x, porque x2
≥ 0 para qualquer x. Portanto, o
maior valor que a função assume é f(0) = 4 no ponto x0 = 0, e os demais valores são menores
que 4. Isso leva a conclusão de que a imagem Y é contida no intervalo (−∞, 4]. Vamos mostrar
que Y = (−∞, 4]. Realmente, tomando qualquer y desse intervalo, podemos resolver a equação
quadrática y = 4 − x2
em relação a incógnita x, encontrando as soluções x1,2 = ±
√
4 − y. Para
qualquer y  4 temos duas raízes e para y = 4 temos uma raiz. Em qualquer caso, temos pelo
menos um x real que corresponde a y ≤ 4. Portanto, Y = (−∞, 4].
Tomamos agora quaisquer x1  x2 e avaliamos a diferença f(x2) − f(x1):
f(x2) − f(x1) = 4 − x2
2 − (4 − x2
1) = x2
1 − x2
2 = (x1 − x2)(x1 + x2).
O primeiro fator sempre é negativo: x1 − x2  0. Para determinar o sinal do segundo, vamos
considerar separadamente os dois intervalos: (−∞, 0] e [0, +∞). No primeiro intervalo, x2 ≤ 0, e
então x1 + x2  0. Isso quer dizer que f(x2) − f(x1)  0 ou f(x2)  f(x1), isto é, a função cresce
(estritamente) no intervalo (−∞, 0]. No segundo intervalo, x1 ≥ 0, e então x1 + x2  0, o que
implica em f(x2)−f(x1)  0 ou f(x2)  f(x1), isto é, a função decresce (estritamente) no intervalo
[0, +∞).
Na realidade, o comportamento na segunda parte do domínio, por exemplo, no intervalo [0, +∞),
pode ser deduzido a partir do seu comportamento na primeira parte, (−∞, 0]. Realmente, é simples
ver que a função dada é par: f(−x) = 4 − (−x)2
= 4 − x2
= f(x), ∀x. Portanto, o seu gráco é
simétrico em relação ao eixo Oy. Isso signica, em particular, que f(x) decresce estriramente em
[0, +∞) já que foi demonstrado que f(x) cresce estritamente em (−∞, 0].
3
Agora, para especicar melhor o gráco, tomamos um ponto xa no intervalo (−∞, 0]: por
exemplo, xa = −1 com f(−1) = 3; analogamente, tomamos um ponto simétrico xb no intervalo
[0, +∞): por exemplo, xb = 1 com f(1) = 3 (isso segue também da paridade da função). Assim,
usando os valores da função nos três pontos P0 = (x0, y0) = (0, 4), Pa = (xa, ya) = (−1, 3) e
Pb = (xb, yb) = (1, 3), e também as propriedades já denidas de crescimento/decrescimento, faremos
esboço do gráco.
Figura 2: Exercício 2b).
3. Demana p.92:
N 1, 3, 5, 8, 24, 27, 28, 34, 39, 42
4. Demana p.101:
N 26, 27, 28, 29, 42, 44, 45

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Indução Matemática - Exemplos
 

Lista de exercícios 11

  • 1. 1 Funções do 1o grau, modulares, polinomiais e raízes. Lista 11a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento. Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido. Somente conclusões nais não serão aceitas. 1. Demana p.81: N 29, 30, 31 Soluções complementares para exercícios de Demana. Observação. Na resolução de exercícios a seguir vamos usar a denição de crescimento/decrescimento de uma função. Para precisão, vamos lembrar essas denições. Uma função f(x) é chamada cres- cente (crescente estritamente) num conjunto S do seu domínio se para quaisquer dois pontos x1 x2, x1, x2 ∈ S temos f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) f(x2)). Da mesma maneira, uma função f(x) é chamada decrescente (decrescente estritamente) num conjunto S do seu domínio se para quisquer dois pontos x1 x2, x1, x2 ∈ S segue f(x1) ≥ f(x2) (f(x1) f(x2)). Em termos grossos, uma função é cres- cente se seus valores crescem com aumento de variável independente, e é decrescente se seus valores decrescem com aumento de variável independente. Dar esboço do gráco da função e comparar a resposta com a de Demana p.284: N29: f(x) = |x + 2| − 1. Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = |x + 2| − 1 consiste de todos x reais. Para encontrar o gráco, vamos escrever a fórmula da função na forma mais simples, abrindo a denição do módulo: |x+2|−1 = { −(x + 2) − 1, x −2 (x + 2) − 1, x ≥ −2 = { −x − 3, x −2 x + 1, x ≥ −2 . Assim, temos duas funções lineares envolvidas: −x − 3 e x + 1. O gráco de qualquer função linear é uma reta. Portanto, basta encontrar dois pontos da primeira parte do gráco e dois pontos da segunda. Por exemplo, quando x −2 podemos tomar x1 = −4 e x2 = −3 e usando a fórmula respectiva y = −x − 3, encontramos y1 = 1 e y2 = 0. Assim, temos dois pontos no plano cartesiano P1 = (−4, 1) e P2 = (−3, 0). Marcamos eles e passamos uma reta por estes dois pontos usando todos x −2. Da mesma maneira, para x ≥ −2 podemos tomar x3 = 0 e x4 = 1 e encontramos, pela fórmula y = x + 1, os valores respectivos y3 = 1 e y4 = 2. Assim, temos dois pontos P3 = (0, 1) e P4 = (1, 2) da segunda reta, da qual tomamos a parte correspondente a x ≥ −2. Juntando os dois pedaços retilíneos (que se encontram no ponto P0 = (−2, −1)) obtemos o gráco completo da função f(x) = |x + 2| − 1. Em particular, concluímos que a imagem dessa função é Y = [−1, +∞). 2. Realizar o estudo da função e dar esboço do seu gráco: a) f(x) = |1 − 3x|; b) f(x) = 4 − x2 . Solução. Observação geral. Os grácos dessas funções podem ser encontrados usando transformações de grácos, a partir da função |x| para a letra a), e da função x2 para a letra b). No entanto, o objetivo desse exercício é diferente: encontrar o gráco da função como resultado de estudo de suas propriedades analíticas (algébricas). a) A função y = f(x) = |1 − 3x| tem domínio de todos os reais. A imagem dessa função é contida no intervalo [0, +∞): pela denição, o módulo sempre é não negativo e o valor 0 é obtido quando x = 1 3 . Para especicar melhor a imagem (e para análise posterior), abrimos o módulo pela denição: f(x) = |1 − 3x| = { −(1 − 3x), 1 − 3x 0 1 − 3x, 1 − 3x ≥ 0 = { 3x − 1, x 1 3 1 − 3x, x ≤ 1 3 . Usando somente a segunda sentença já podemos ver que para qualquer y ∈ [0, +∞) existe x tal que y = |1 − 3x|. Realmente, basta encontrar a solução da equação y = 1 − 3x no conjunto x ≤ 1 3 , e essa solução existe: x = 1−y 3 , ∀y ∈ [0, +∞). Portanto a imagem da função é exatamente o intervalo [0, +∞).
  • 2. 2 Para x ≤ 1 3 a função coincide com a parte da reta y = 1 − 3x que está decrescendo. Então, tomando dois pontos quaisquer nesse intervalo, por exemplo, x1 = 0 e x0 = 1 3 , obtemos dois pontos do gráco P1 = (0, 1) e P0 = (1 3 , 0). Passando uma reta atraves destes dois pontos que vai até o ponto P0, temos a primeira parte do gráco. Da mesma maneira, tomando os pontos x0 = 1 3 e x2 = 1, encontramos os pontos do gráco P0 = (1 3 , 0) e P2 = (1, 2) que correspondem a reta y = 3x − 1 da outra sentença, e então passamos parte da outra reta através de P0 e P2 que vai até P0. O ponto P0 é o ponto de encontro das partes das duas retas que representa o vértices do gráco. Juntando as informações encontradas nessa investigação analítica, chegamos ao seguinte gráco da função f(x) = |1 − 3x|. Figura 1: Exercício 2a). b) f(x) = 4 − x2 . O domínio da função y = f(x) = 4 − x2 consiste de todos x reais. Para determinar a imagem, notamos que 4 − x2 ≤ 4, ∀x, porque x2 ≥ 0 para qualquer x. Portanto, o maior valor que a função assume é f(0) = 4 no ponto x0 = 0, e os demais valores são menores que 4. Isso leva a conclusão de que a imagem Y é contida no intervalo (−∞, 4]. Vamos mostrar que Y = (−∞, 4]. Realmente, tomando qualquer y desse intervalo, podemos resolver a equação quadrática y = 4 − x2 em relação a incógnita x, encontrando as soluções x1,2 = ± √ 4 − y. Para qualquer y 4 temos duas raízes e para y = 4 temos uma raiz. Em qualquer caso, temos pelo menos um x real que corresponde a y ≤ 4. Portanto, Y = (−∞, 4]. Tomamos agora quaisquer x1 x2 e avaliamos a diferença f(x2) − f(x1): f(x2) − f(x1) = 4 − x2 2 − (4 − x2 1) = x2 1 − x2 2 = (x1 − x2)(x1 + x2). O primeiro fator sempre é negativo: x1 − x2 0. Para determinar o sinal do segundo, vamos considerar separadamente os dois intervalos: (−∞, 0] e [0, +∞). No primeiro intervalo, x2 ≤ 0, e então x1 + x2 0. Isso quer dizer que f(x2) − f(x1) 0 ou f(x2) f(x1), isto é, a função cresce (estritamente) no intervalo (−∞, 0]. No segundo intervalo, x1 ≥ 0, e então x1 + x2 0, o que implica em f(x2)−f(x1) 0 ou f(x2) f(x1), isto é, a função decresce (estritamente) no intervalo [0, +∞). Na realidade, o comportamento na segunda parte do domínio, por exemplo, no intervalo [0, +∞), pode ser deduzido a partir do seu comportamento na primeira parte, (−∞, 0]. Realmente, é simples ver que a função dada é par: f(−x) = 4 − (−x)2 = 4 − x2 = f(x), ∀x. Portanto, o seu gráco é simétrico em relação ao eixo Oy. Isso signica, em particular, que f(x) decresce estriramente em [0, +∞) já que foi demonstrado que f(x) cresce estritamente em (−∞, 0].
  • 3. 3 Agora, para especicar melhor o gráco, tomamos um ponto xa no intervalo (−∞, 0]: por exemplo, xa = −1 com f(−1) = 3; analogamente, tomamos um ponto simétrico xb no intervalo [0, +∞): por exemplo, xb = 1 com f(1) = 3 (isso segue também da paridade da função). Assim, usando os valores da função nos três pontos P0 = (x0, y0) = (0, 4), Pa = (xa, ya) = (−1, 3) e Pb = (xb, yb) = (1, 3), e também as propriedades já denidas de crescimento/decrescimento, faremos esboço do gráco. Figura 2: Exercício 2b). 3. Demana p.92: N 1, 3, 5, 8, 24, 27, 28, 34, 39, 42 4. Demana p.101: N 26, 27, 28, 29, 42, 44, 45