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                                                Binômio de Newton
Introdução

  Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
  Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

                                               (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


  Se quisermos calcular         , podemos adotar o mesmo procedimento:

                                   (a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)

                                               = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4




De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência
        a partir da anterior, ou seja, de         .
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton,
matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de
suas propriedades e o triângulo de Pascal.




Coeficientes Binomiais


  Sendo n e p dois números naturais          , chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número


          , que indicamos por     (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:




  O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu
numerador e p, o denominador. Podemos escrever:




   É também imediato que, para qualquer n natural, temos:




 Exemplos:
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Propriedades dos coeficientes binomiais




                          Se n, p, k     e p + k = n então

         1ª)




  Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são
chamados complementares.

 Exemplos:




                                 Se n, p, k    ep    p-1     0 então




          2ª)




 Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

 Exemplos:




Triângulo de Pascal
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  A disposição ordenada dos
números binomiais, como na tabela
ao lado, recebe o nome de Triângulo
de Pascal




  Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo
denominador, na mesma coluna.


    Por exemplo, os números binomiais     ,    ,    e    estão na linha 3 e os números binomiais   ,   ,     ,   , ...,
, ... estão na coluna 1.

  Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:




Construção do triângulo de Pascal

  Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário
calculá-los:




1ª) Como      = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.




2ª) Como      = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele
    que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação
    de Stifel).

    Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:
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Propriedade do triângulo de Pascal

P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.




 De fato, esses binomiais são complementares.




P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é       .




 De modo geral temos:




P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento
situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
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                                                           1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

                                                           1 + 4 + 10 + 20 = 35




P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de
uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.




                                                           1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35




Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton


 Como vimos, a potência da forma         , em que a,                 , é chamada binômio de Newton. Além disso:


   •   quando n = 0 temos

   •   quando n = 1 temos

   •   quando n = 2 temos

   •   quando n = 3 temos

   •   quando n = 4 temos




  Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:
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 De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:




  Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão
aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos.




Fórmula do termo geral do binômio

 Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos que cada                               um deles é da forma


                 .




   •   Quando p = 0 temos o 1º termo:


   •   Quando p = 1 temos o 2º termo:


   •   Quando p = 2 temos o 3º termo:


   •   Quando p = 3 temos o 4º termo:


   •   Quando p = 4 temos o 5º termo:
       ..............................................................................

 Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:

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  • 1. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Binômio de Newton Introdução Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento: (a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de . Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal. Coeficientes Binomiais Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever: O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever: É também imediato que, para qualquer n natural, temos: Exemplos:
  • 2. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Propriedades dos coeficientes binomiais Se n, p, k e p + k = n então 1ª) Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares. Exemplos: Se n, p, k ep p-1 0 então 2ª) Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567). Exemplos: Triângulo de Pascal
  • 3. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna. Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os números binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1. Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos: Construção do triângulo de Pascal Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los: 1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1. 2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1. 3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel). Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:
  • 4. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Propriedade do triângulo de Pascal P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais. De fato, esses binomiais são complementares. P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é . De modo geral temos: P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
  • 5. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 + 4 + 10 + 20 = 35 P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste. 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. Além disso: • quando n = 0 temos • quando n = 1 temos • quando n = 2 temos • quando n = 3 temos • quando n = 4 temos Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:
  • 6. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton: Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos. Fórmula do termo geral do binômio Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos que cada um deles é da forma . • Quando p = 0 temos o 1º termo: • Quando p = 1 temos o 2º termo: • Quando p = 2 temos o 3º termo: • Quando p = 3 temos o 4º termo: • Quando p = 4 temos o 5º termo: .............................................................................. Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por: