Estudo de-Funções-Quadráticas-Utilizando-o-Geogebra.

Estudo de Funções Quadráticas
Utilizando o GeoGebra
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino
2015

 O que é “GeoGebra”?
O GeoGebra é um programa de matemática
dinâmica que mistura elementos de geometria e álgebra
em uma única interface.
Trata-se e um software livre, escrito na linguagem
Java, e por esse motivo ele está disponível para quase
todos os Sistemas Operacionais do mercado.

 Características Básicas
 Programa de código aberto e livre distribuição.
 Os gráficos Matemáticos, tabelas e os cálculos
algébricos são dinamicamente conectados, permitindo
sua interação.
 Interface com poderosos recursos e fácil de usar.
 Disponível em vários idiomas ao redor do mundo.
 Pode-se criar ferramentas de autoria que permite ser
disponibilizada como material de ensino interativo,
podendo ser visualizado na página de internet.

 Um Pouco Mais Sobre o Software
O GeoGebra foi criado por Markus Hohenwarter,
por meio de um projeto iniciado em 2001, para ser
utilizado no ambiente escolar.
O mesmo permite realizar construções geométricas
por meio de pontos, retas, segmentos e polígonos pré-
definidos.
É possível também inserir funções, equações e
coordenadas por meio de sua linha de comando e dessa
forma, conseguimos alterar as características dos
objetos geométricos finalizados em tempo real.

 A Instalação
 Sites para o Download:
Java (necessário para a execução do programa): http://www.java.com/pt_BR/download/
Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/en/download
 Através do navegador:
Também é possível executar o GeoGebra diretamente
em seu navegador (Internet Explorer, Chrome, Opera,
Firefox, Safari, etc.). Basta clicar no botão Applet Start
na página de Download:

 Tela Inicial do GeoGebra

 Vídeo Tutorial Geogebra

• Barra de Ferramentas
Na tela inicial ainda temos a barra de ferramentas:
Cada ícone desta barra tem várias opções,
relacionadas com as funções descritas na janela. Estas
opções são acessadas clicando na seta do canto
inferior direito de cada ícone.
Exploraremos algumas delas na sequência, para
conhecermos seus nomes e utilidades.

 As opções do ícone ponto são as seguintes:
Novo ponto: Para criá-lo você precisa clicar primeiro no ícone, e depois
na parte geométrica. Após a representação gráfica do ponto, as suas
coordenadas aparecem na parte algébrica, se ela estiver ativada.
Interseção de dois objetos: Através da seleção de duas curvas quaisquer,
clicando nesse ícone, estaremos definindo seus pontos de interseção.
Interessante que os alunos poderão verificar através da solução do sistema
formado pelas equações, se as coordenadas conferem com as exibidas na
janela algébrica.
Ponto médio ou centro :
Para utilizar esta ferramenta, clique em:
• em um segmento para encontrar seu ponto médio;
• em uma secção cônica para obter seu centro.

 Teremos a seguir a apresentação das opções de cada ícone da
barra de ferramentas:
Não vamos detalhar o uso de cada ferramenta pois acreditamos que,
através da prática, da investigação e dos exemplos que mostraremos em
seguida, o estudante descobrirá o uso adequado de cada função.

 Teremos a seguir a apresentação das opções de cada ícone da
barra de ferramentas:

 Inserindo equações pela barra “Entrada”

 Vídeo Explorando a Barra de Menus

 Gráfico Resultante

• Valores da Equação
É possível mudar os valores da equação criando
variáveis dinâmicas para os valores de a, b e c.
Para isso é preciso clicar no penúltimo botão da
Barra de Comandos e selecionar “Controle
Deslizante” ou “Inserir Campo de Entrada”.

Estudo de Funções
 Controles Deslizantes

• Exemplo:
ax² + bx + c
Ao clicar em “Controle Deslizante”, e em seguida
na Área de trabalho do GeoGebra, você deverá criar 03
controles deslizantes cujos nomes devem ser a, b, e c,
além de poder definir seus valores mínimos e
máximos.
Estudo de Funções

 Controles Deslizantes
Servem para alterar dinamicamente os valores das variáveis da
equação.

• Função Quadrática – Definição:
Em matemática, uma função quadrática é
Onde os coeficientes a, b e c:
a => valor Real, diferente de zero
b => valor Real
c => valor Real

O gráfico de coordenadas cartesianas é uma parábola
com as seguintes características:
 Se a > 0,concavidade voltada para cima:
Estudo de Funções
• Função Quadrática – Gráficos:

 Se a < 0,concavidade voltada para baixo:

Chama-se de raiz ou zero da função, o valor de x para o
qual ax2+bx +c =0, ou seja, o valor de x que anula a função,
ou seja, f(x)=0, para isso usamos a fórmula de Bháskara.
 f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e “a” é
diferente de zero.
• Função Quadrática – Raiz ou
Zero da Função:

 Podemos ter as seguintes referências nos gráficos:

• Analisando o Vértice da Função
Quadrática

 Os valores de máximo e de mínimo são
utilizados na Física, Biologia, Engenharia, entre
outros.
• Onde Usa a Função Quadrática?

• Atividades:
1 - Apresentação do conteúdo visto na utilização do Software:
Função Quadrática, Definição, Concavidade da parábola, Raízes
da função Quadráticas, Coeficiente a, b e c com o uso do controle
deslizante do software Geogebra e Exercício;
2 - Apresentação das telas do Softwares destacando-se sua
utilização;
3 – Atividade prática no exercício da atividade de 1;
4 – Resposta ao questionário proposto;
Nesse slide, cada participante individualmente, insere suas
propostas de atividades relacionadas ao conteúdo abordado pelos
mesmos.

• Exercício:
• Com base do que foi representado na oficina, construa gráficos com as
funções quadráticas utilizando o software de geometria dinâmica
GEOGEBRA e responda os itens abaixo :
1) Através das observações realizadas pelo software educacional represente
graficamente as funções quadráticas definidas nos Reais:
Nesse lide, cada participante individualmente, insere suas
propostas de atividades relacionadas ao conteúdo abordado pelos
mesmos.

• Exercício:
2) Determine os Valores dos coeficientes a, b e c das funções definidas
no exercício anterior.
a= a=
b= b=
c= c=
3) Determine os pontos máximos ou mínimos das funções anteriores:
m = = m = =
n = = (m,n) n = =

• Exercício:
4) Compare o resultado calculado e contraste com os resultados obtidos
no programa educacional Geogebra. Resposta ao questionário proposto..

 Bibliografia:
Nesse slide, cada participante individualmente, insere suas
referencias bibliográficas utilizadas para a elaboração das
atividades e apresentação.
MORAIS Vilson. Lista de exercícios da Função Quadrática.Disponível
em < https://vilsonmorais.wordpress.com/2013/06/18/lista-de-
exercicios-sobre-funcao-quadratica/. >Acessado em 30 de Abril de
2015.
AQUINO Luiz C.M. Vídeos Tutorial Geogebra com Licença Livre.
Disponível em < http://www.lcmaquino.org/category/geogebra/. >.
Último acesso em 29 de Abril de 2015.

NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
DISCIPLINA – METODOLOGIA DO TRABALHO CIENTÍFICO
Coordenadoras: Vera Werneck e Cely Araujo
Tutor: Raimundo José Macário Costa.
Alexandre Luiz Mazzei da Costa – Rio de Janeiro
Márcia Maria Martins – Nova Iguaçu
Maria Amelia de Moraes Corrêa – Niterói
Paulo Rogério dos Santos Silva – Niterói
Estudo de Funções

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