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Em socorro da Aritmetica  ,[object Object],[object Object],[object Object]
Multiplicação Abreviada   ,[object Object],[object Object],a-  É fácil ver que, neste caso, se recorre à seguinte transformação algébrica: a 2  = a 2  - b 2  + b 2  = (a+b) (a-b) + b 2 . Na prática, podemos aplicar esta f6rmula a cálculos mentais. Por exemplo : 27  2  = (27+3) (27-3)+32 = 729, 63  2  = 66.60 + 32 = 3969,  18  2  = 20.16 + 22 = 324,  37  2  = 40.34 + 32 = 1369,  48  2  = 50.46 + 22 = 2304,  54  2  = 58.50 + 42 = 2916.
A multiplicação 986 x 997 assim se realiza:  986 x 997 = (986- 3) x 1000 + 3 x 14 = 983042. Em que se baseia tal método? Suponhamos que os fatores estejam sob a  Forma (1000 -14) x (1000 - 3) e multipliquemos de acordo com as regras da Álgebra: 1000 x 1000 – 1000 x 14 - 1000 x 3 + 14 x 3 Seguem as transformações :  1000 x (1000 -14) – 1000 x 3 +14 x 3 = 1000 x 986 – 000 x 3 +14 x 3 = 1000  (986 -3) +14 x 3  A última linha é a que exprime o método acima usado para  o , cálculo. Oferece interesse o processo para multiplicarem-se dois núrn~ ros compostos de três algarismos, quando o das dezenas é o mesmo nos dois, e a soma dos de unidades é igual a 10.  Por exemplo, a multiplicação 783 x 787 se efetua da seguinte maneira:78.79 = 616  ; 3.7 = 21; e o resultado vem a ser: 616221. Este processo se extrai das seguintes transformações  (780+3) (780+7) = 780 x 780 + 780 . 3 + 780 . 7+3 .7 – 780 x 780 +780 x 10 +3.7-  780 (780+10) + 3.7 = 780.790 + 21 =  616200 + 21.
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Em Socorro Da Aritmetica

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  • 3. A multiplicação 986 x 997 assim se realiza: 986 x 997 = (986- 3) x 1000 + 3 x 14 = 983042. Em que se baseia tal método? Suponhamos que os fatores estejam sob a Forma (1000 -14) x (1000 - 3) e multipliquemos de acordo com as regras da Álgebra: 1000 x 1000 – 1000 x 14 - 1000 x 3 + 14 x 3 Seguem as transformações : 1000 x (1000 -14) – 1000 x 3 +14 x 3 = 1000 x 986 – 000 x 3 +14 x 3 = 1000 (986 -3) +14 x 3 A última linha é a que exprime o método acima usado para o , cálculo. Oferece interesse o processo para multiplicarem-se dois núrn~ ros compostos de três algarismos, quando o das dezenas é o mesmo nos dois, e a soma dos de unidades é igual a 10. Por exemplo, a multiplicação 783 x 787 se efetua da seguinte maneira:78.79 = 616 ; 3.7 = 21; e o resultado vem a ser: 616221. Este processo se extrai das seguintes transformações (780+3) (780+7) = 780 x 780 + 780 . 3 + 780 . 7+3 .7 – 780 x 780 +780 x 10 +3.7- 780 (780+10) + 3.7 = 780.790 + 21 = 616200 + 21.
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Notas do Editor

  1. Aqui está o padrão : 1/9 = 9/9 - 8/9 = 1 - 0,8889….. = 0,1111 logo : 2/9 = 2 x 1/9 = 2 x 0,11111.. = 0,22222
  2. Aqui está o padrão : 1/9 = 9/9 - 8/9 = 1 - 0,8889….. = 0,1111 logo : 2/9 = 2 x 1/9 = 2 x 0,11111…. = 0,22222 Para 99 temos : 1/ 99 = 99/99 - 98/99 = 1 - 0,9899….= 0, 010101…. 37/99 = 37 x 1/99 = 37 x 0,010101 = 0,373737. Para 999 temos : 1/ 999 = 0,001001001…. 481/999 = 481 (999/999 - 998/999) = 481( 1 - 0,998999…) 481 x 0,001001001 = 0,481481481...
  3. Aqui está o padrão : 1/9 = 9/9 - 8/9 = 1 - 0,8889….. = 0,1111 logo : 2/9 = 2 x 1/9 = 2 x 0,11111…. = 0,22222 Para 99 temos : 1/ 99 = 99/99 - 98/99 = 1 - 0,9899….= 0, 010101…. 37/99 = 37 x 1/99 = 37 x 0,010101 = 0,373737. Para 999 temos : 1/ 999 = 0,001001001…. 481/999 = 481 (999/999 - 998/999) = 481( 1 - 0,998999…) 481 x 0,001001001 = 0,481481481...
  4. Qualquer número de 3 dígitos pode ser escrito como : a . 10 2 + b . 10 + c. Sendo que para centenas de dígitos iguais, a b, c, tem os mesmos valores : a . 10 2 + a. 10 + a. Vejamos : 111 = 1.10 2 +1.10+1 = 111 ; 222 = 2.10 2 + 2.10 + 2 = 222 Mas, de acordo com a questão temos : (a.10 2 + a.10 + a) / a+a+a, onde “a” como dividendo assume o valor absoluto de “a” na centena : ex.. 111, a = 1 ; 222, a = 2 Logo : a (10 2 + 10 +1 ) / a+a+a = a/3a (10 2 + 10 + 1) = 1/3 x 111 = 37 Daí em diante basta aplicar os valores para “a” conforme a centena. Para 222 , a = 2 2 (10 2 + 10 + 2) / 2+2+2 = 2/6 ( 10 2 + 10 + 2 ) = 1 / 3 de 111 = 37 Para 333 , a = 3 3 (10 2 + 10 + 3) / 3+3+3 = 3/9 (10 2 + 10 + 3) = 1 / 3 de 111 = 37 Portanto , para qualquer “a” o resultado será 1/3 de 111 = 37
  5. Qualquer número de 3 dígitos pode ser escrito como : a . 10 2 + b . 10 + c. Sendo que para centenas de dígitos iguais, a b, c, tem os mesmos valores : a . 10 2 + a. 10 + a. Vejamos : 111 = 1.10 2 +1.10+1 = 111 ; 222 = 2.10 2 + 2.10 + 2 = 222 Mas, de acordo com a questão temos : (a.10 2 + a.10 + a) / a+a+a, onde “a” como dividendo assume o valor absoluto de “a” na centena : ex.. 111, a = 1 ; 222, a = 2 Logo : a (10 2 + 10 +1 ) / a+a+a = a/3a (10 2 + 10 + 1) = 1/3 x 111 = 37 Daí em diante basta aplicar os valores para “a” conforme a centena. Para 222 , a = 2 2 (10 2 + 10 + 2) / 2+2+2 = 2/6 ( 10 2 + 10 + 2 ) = 1 / 3 de 111 = 37 Para 333 , a = 3 3 (10 2 + 10 + 3) / 3+3+3 = 3/9 (10 2 + 10 + 3) = 1 / 3 de 111 = 37 Portanto , para qualquer “a” o resultado será 1/3 de 111 = 37