Respostas das questões do livro texto

Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Questão 1- Como preparar o Excel?
Resposta: Primeiro precisa-se instalar todas as funções financeiras do Excel, abrindo-se uma
planilha com os seguintes passos: clique no ícone: Menu Iniciar; clique no ícone: Todos os
Programas; clique no ícone: Microsoft Office; clique no ícone: Microsoft Excel 2010,
assim abrirá uma planilha em branco do Excel.
Etapas: Para executar o Excel, tornando apto ao uso, basta selecionar a opção correspondente,
depois clicar na opção Iniciar→ Todos os Programas→ Microsoft Office→ Microsoft Excel,
conforme apresentado abaixo:

Outra opção para executar o Excel pode ser realizada através de um duplo clique sobre ícone
de atalho, conforme ilustrado abaixo:

Microsoft Excel 2010

A aparência da planilha Excel pode ser constatada na figura seguinte:

FERREIRA, Mário Neto Página 1


Para podermos operar com todos os recursos disponíveis do Microsoft Excel é fundamental
que o usuário confira a instalação dos suplementos: Ferramentas de análise, antes de inserir
fórmulas ou aplicarmos os recursos próprios para modelagem financeira. É importante
destacar que a verificação da ativação ou não dos suplementos: opção Menu Ferramentas
deve ser realizada antes da inserção de fórmulas.
Etapas: Ferramentas podem ser instalados ou desinstalados através do Menu Ferramentas→
Suplementos, conforme observamos na figura seguinte:

Caso o Excel tenha sido instalado em sua versão completa, diversas opções de Suplementos
estarão disponíveis, conforme exibimos na figura seguinte:



É fundamental que no momento de instalação do Excel no computador, seja selecionada a
opção completa, que inclua os suplementos. Caso os Suplementos→ Ferramentas de análise
e Solver não estejam disponíveis, torna-se necessário a sua instalação completa.

Caso os suplementos estejam instalados e suas opções de ativação estejam disponibilizadas
através da opção Suplementos, é necessário tornar disponível os suplementos Ferramentas de
análise e Solver, ativando a opção Ferramentas de análise (cuidado, existe outra opção de
suplemento denominada Ferramentas de Análise – VBA) e a opção Solver. Com os
Suplementos Ferramentas de análise e Solver ativados, diversas funções e recursos mais
elaborados passam a ser, também disponibilizados pelo Excel.

Observação:
Suplemento→ Ferramentas de análise: deve ser usado com o objetivo de agilizar as etapas
do desenvolvimento de análises estatísticas ou de engenharia complexas. Fornecidos os dados
e os parâmetros para cada análise; a ferramenta utiliza as funções automatizadas de macro 1
de estatística ou engenharia adequadas e exibe os resultados em uma tabela de saída. Algumas
ferramentas geram gráfico: Histograma, além das tabelas de saída. A lista das ferramentas de
análise disponíveis pode ser vista através da opção Análise de dados no Menu Ferramentas.
Se o comando Análise de dados não estiver no Menu Ferramentas, é necessário executar o
Programa de Instalação para instalar o Suplemento Ferramentas de Análise. Depois de instalar
as Ferramentas de análise, o Suplemento Ferramentas de análise deve ser selecionado no
Gerenciador de Suplementos.

Para inserir uma fórmula que contém uma função basta seguir os seguintes passos:
1- Clique na célula na qual deseja inserir a fórmula;
2- Para iniciar a fórmula com a função, clique em Editar fórmula (=) na barra de fórmulas;
3- Clique na seta abaixo próxima à caixa Funções SOMA;
4- Clique na função que deseja adicionar à fórmula. Se a função não aparecer na lista, clique
em Mais funções para obter uma lista de funções adicionais;
5- Insira os argumentos;
6- Ao concluir a fórmula, pressione ENTER.

Funções financeiras: Outro grupo de funções do Excel facilita as operações básicas da
matemática financeira na planilha. De um modo geral, as funções financeiras do Excel
operam no denominado regime dos juros compostos. Dentre as mais usuais funções
financeiras, destacam-se as apropriadas para o cálculo do valor presente, do valor futuro, da
taxa e do número de períodos.

Veja um dos exemplos que existem no Excel:
Função:
VP→ esta função retorna o valor presente de um investimento, onde os fluxos de caixa são
homogêneos (valores nominais iguais). Seu resultado equivale ao retornado pela função [PV]
das calculadoras financeiras. Sua sintaxe é representada da seguinte forma: VP (TAXA;
NPER; PGTO; VF; TIPO):
TAXA→ taxa de juros por período (equivale à tecla [i] das calculadoras financeiras);
NPER→ número total de períodos de pagamento. Equivale à tecla [n] das calculadoras
financeiras;



PGTO→ pagamento feito a cada período e é assumido como homogêneo (iguais, equivale à
tecla [PMT] das calculadoras financeiras);
VF→ valor futuro, ou um saldo de caixa, que você deseja obter depois do último pagamento
(se VF for omitido, será considerado 0 - o valor futuro de determinado empréstimo, por
exemplo, é 0 (zero) - Equivale à tecla [FV] das calculadoras financeiras;
TIPO→ representado pelo número 0 ou 1, indica as datas de vencimento dos pagamentos. Se
for igual a 0 ou omitido, o Excel assume como uma série de pagamentos postecipados (no
final do período). Se for igual a 1, o Excel assume como uma série de pagamentos
antecipados (no início do período). Equivale às funções [g] [BEG] e [g] [END] das
calculadoras financeiras:

A B C D E F G
1 VP N I PMT VF TIPO
2 ? 5 10% ---- 200 ----
3 (R$124,18) = VP (D3;C3;F3) ---- ---- ----

A planilha anterior mostra a obtenção do valor presente de uma operação de investimento
com valor futuro igual a R$200,00, prazo igual a 5 períodos e taxa igual a 10% ao período. O
valor foi obtido através do uso da função VP: R$124,18. Note que o Excel, de forma similar
às calculadoras financeiras, também emprega as convenções dos sinais (positivo para
expressar entradas de caixa e negativo para expressar saídas de caixa).

Neste mesmo sentido são as outras funções: VF, NPER, TAXA, PGTO, VPL, TIR, dentre
muitas outras.

Veja algumas opções de cálculo destas variáveis no Excel:

1
PLANILHA - CÁLCULOS DAS VARIÁVEIS DA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Possibilidade 1 Possibilidade 2 Possibilidade 3 Possibilidade 4
Calcular Valor Presente Calcular Valor Futuro Calcular o Período Calcular Taxa de Juros
PV ou VP FV ou VF N ou NPER I ou TAXA

CÁLCULO – FUNÇÕES DO EXCEL

Valor Futuro -R$ 41.917,80 Valor Presente -R$ 20.392,30 Valor Futuro -R$ 22.992,12 Valor Futuro -R$ 54.537,60

Período 57 Período 60 Valor Presente R$ 12.419,45 Período 60

Taxa de juros 1,0839% Taxa de juros 0,7948% Taxa de juros 1,7250% Valor Presente R$ 28.209,89

Valor Presente R$ 22.673,84 Valor Futuro R$ 32.790,94 Período 36 Taxa de juros 1,1048%

Prestação Prestação Prestação Prestação
(PMT ou PGTO) R$ 735,40 (PMT ou PGTO) R$ 546,51 (PMT ou PGTO) R$ 638,67 (PMT ou PGTO) R$ 908,96

1
Nomenclatura de acordo com as funções e as teclas da Calculadora Científica HP 12C, cujos cálculos
foram realizados no Excel.


Questão 2- Comente as dicas – calculadora HP 12C?
Resposta:
Dicas básicas para uso da HP 12CC

2.1- Trocando ponto e vírgula:
Nos Estados Unidos, o padrão de utilização do ponto e da vírgula nos números é oposto ao
que utilizamos no Brasil. Nos Estados Unidos, os milhares são separados pela vírgula e a
parte fracionária é separada com o ponto. Exemplo: A quantia mil e quinhentos dólares e
setenta centavos é escrita US$1,500.70.

A HP 12C sai da fábrica com esse padrão e mudá-lo para o nosso é bem simples:

Com a calculadora desligada, aperte a tecla e depois a tecla ponto
(mantendo a tecla ON pressionada). Segure um pouco e solte ambas. Ponto e vírgula são
trocados. Para reverter, faça o mesmo.

Padrão brasileiro

Padrão norte-americano

2.2- Definição do número de casas decimais:
Na Matemática Financeira é normalmente recomendado trabalhar com pelo menos 4 casas
decimais, para que os cálculos, especialmente aqueles que retornam taxas, tenham boa
precisão.



Para definir o número de casas decimais na HP 12C, pressione a tecla f e depois o número de
casas decimais desejadas. Exemplo: para trabalhar com 4 casas, pressione f e depois 4.

4 casas decimais

6 casas decimais

2.3- Trabalhando com datas na HP 12C:
A primeira coisa a fazer é definir o formato de data com o qual se deseja trabalhar (configure
a calculadora para trabalhar com 6 casas decimais, se não souber como fazer, veja a dica
anterior).
O formato mais comum no Brasil é dia/mês/ano, mas nos EUA é mais comum mês/dia/ano.
Para trabalhar com a primeira opção, tecle g e D.MY; aparecerá na tela o símbolo D.MY.
Neste formato, a data 15/04/2010 é lançada assim: 15.042010 ENTER.

Configuração da calculadora para o formato dia/mês/ano (D.MY) em destaque a indicação no
visor do formato utilizado

Lançamento da data 15/04/2010 no formato D.MY
Porém, se você quiser trabalhar com o formato norte-americano, tecle g e M.DY. Como esse é
o formato padrão da calculadora, nenhum símbolo aparece na tela. Neste formato, a data
15/04/2010 é lançada assim: 4.152010 ENTER.

Configuração da calculadora para o formato mês/dia/ano (M.DY)



Lançamento da data 15/04/2010 no formato M.DY
Quando a calculadora retorna a data requerida, informa também o dia da semana, através de
um código no canto direito da tela, que é de 1 a 7, sendo 1 (segunda-feira), 2 (terça-feira) e
assim por diante, até 7, que representa domingo.
Dois tipos de cálculos com datas podem ser realizados (usaremos nos exemplos o formato
D.MY):
2.4- Partindo de uma data, calcular uma nova data dado um intervalo:
Exemplo: A data é 20/03/2010, se fizermos uma compra para pagar daqui a 90 dias. Qual o
dia do vencimento?
1- Lance a data de partida: 20.032010 ENTER;
2- Lance o intervalo e execute a operação DATE (na mesma tecla do CHS): 90 g DATE.

Isso significa que o vencimento cairá na data 18/06/2010, uma sexta-feira (código 5 no canto
direito da tela).
É possível calcular datas anteriores à data de partida, para isso basta lançar o intervalo com
sinal negativo, usando a função CHS.
Exemplo: Pagarei na data de 10/05/2010 uma conta que tem um prazo de 100 dias. Qual a
data de referência dessa conta?
1- Lance a data de partida: 10.052010 ENTER;
2- Lance o intervalo e execute a operação DATE (na mesma tecla do
CHS): 100 CHS g DATE (a tecla CHS depois do 100 indica para a calculadora que se quer
uma data passada e não futura).



Isso significa que a data de referência dessa conta é 30/01/2010, um sábado (código 6 no
canto direito da tela).

2.5- Calcular o intervalo entre duas datas conhecidas:
Exemplo: A data é 10/02/2010, se fizermos uma compra para pagar na data de 05/04/2010.
Qual é o prazo de pagamento?
1- Lance a data de compra: 10.022010 ENTER;
2- Lance a data de pagamento e execute a operação ΔDYS (na mesma tecla do
EEX): 5.042010 g ΔDYS.

Portanto, o prazo de pagamento é de 54 dias.

Exemplo: Uma pessoa nasceu na data de 25/11/1979 e na data de 08/03/2010. Quantos dias
essa pessoa viveu?
1- Lance a data de nascimento: 25.111979 ENTER;
2- Lance a data atual e execute a operação ΔDYS: 8.032010 g ΔDYS.



Portanto, essa pessoa viveu 11.061 dias.

2.6- As funções percentuais:

1- Valor percentual

Essa função é usada para calcular o percentual sobre um valor. Por exemplo, quanto é 18% de
R$720,00?
Para fazer o cálculo deve-se lançar o valor base, depois digitar o percentual desejado e
pressionar a tecla da função, como mostrado abaixo.

2- Percentual sobre o total

Esta função é como uma função inversa da anterior. Ela calcula o percentual que um valor
representa sobre outro. Por exemplo, se meu salário é R$2.200,00 e gastamos com
alimentação R$820,00 por mês, em média, qual o percentual de gastos com alimentação sobre
o salário?
Para calcular, lançamos o valor total (no caso, o salário), depois digitamos o valor parcial
(gastos com alimentação) e pressionamos a tecla da função, como mostrado abaixo:



As situações que utilizam essa função são muito comuns, pois muitas vezes temos valores que
são somas de diversos componentes, e pode ser necessário analisar a participação de cada
componente sobre o total, bem com sua evolução ao longo do tempo.
Suponhamos que uma confecção divida seus produtos em 3 grandes linhas (infantil,
masculina e feminina). Vemos abaixo uma tabela que mostra o faturamento de cada linha em
dado ano e a participação de cada linha sobre o faturamento total (são os valores em destaque,
que para serem calculados utilizam a função "percentual sobre o total"). Faça os cálculos na
calculadora usando a função %T para verificar os valores em destaque.

3- Variação percentual

Quando queremos saber a variação percentual entre dois valores, fazemos o seguinte cálculo:

Por exemplo, uma empresa faturou R$ 12.000.000,00 em um ano e R$ 8.500.000,00 no ano
seguinte. Qual foi a variação percentual do faturamento?
De acordo com a fórmula acima, fazemos:

Portanto, o faturamento caiu 29,17% de um ano para outro.



4- Cálculos básicos de matemática financeira: (as teclas PV, FV, n e i):
Toda operação financeira pode ser classificada, conceitualmente, como uma aplicação
financeira ou como um empréstimo.

Na aplicação financeira a pessoa tem um excedente financeiro (dinheiro sobrando) e aplica
esse excedente no mercado financeiro (poupança, CDB's, ações, fundos de investimento, entre
outras possibilidades). No caso do empréstimo, a pessoa não tem dinheiro suficiente para
satisfazer uma necessidade qualquer e recorre ao mercado financeiro para tomar emprestado o
valor necessário.

Quem faz aplicação financeira é normalmente chamado de poupador ou aplicador de
recursos e quem contrai empréstimos é chamado de tomador de recursos.
A forma mais simples de operação, em ambos os casos, acontece quando o dinheiro é
aplicado ou emprestado de uma só vez e, após um tempo, é resgatado ou devolvido também
de uma só vez depois de certo tempo decorrido. Isso gera um fluxo de caixa muito simples
que pode ser ilustrado da seguinte forma, utilizando os famosos diagramas de fluxo de caixa.

Esquematização das operações financeiras básicas

Para quem não está acostumado ao diagrama, à linha horizontal representa o tempo e as
flechas representam as movimentações de valores, sendo que, pela convenção mais utilizada,
entradas de caixa são representadas por flechas orientadas para cima e saídas de caixa por
flechas para baixo.
Na esquerda vemos a operação de empréstimo, que se inicia com uma entrada de caixa, pois
quem faz um empréstimo recebe o valor para devolvê-lo depois. Portanto, a operação se
encerra com uma saída de caixa. Na operação de aplicação o raciocínio é análogo, porém
inverso.
Em ambos os casos, o valor que inicia a operação é chamado de principal e o valor que
encerra a operação é chamado de montante. Vale lembrar que toda operação financeira tem
uma taxa de juros ou rendimento atrelada.



Temos quatro variáveis envolvidas: principal, montante, prazo decorrido e taxa de juros
ou rendimento. Para cada uma delas há uma tecla correspondente na calculadora financeira.

Correspondência entre as variáveis básicas e as teclas da HP 12C

Uma das grandes vantagens das calculadoras financeiras é que dispensam os cálculos através
de fórmulas, pois já vêm programadas para isso. O mais importante é a compreensão dos
conceitos básicos e saber extrair as informações de cada problema ou situação para saber
como inseri-las na calculadora e obter os resultados desejados.

Importante: O tipo de cálculo ilustrado aqui é válido para regime de juros compostos. Veja a
seção seguinte para cálculos em juros simples.
Os problemas mais simples se resumem a encontrar uma dessas variáveis básicas, conhecendo
as outras. Por exemplo, se for aplicado o principal de R$2.750,00 durante 1 ano e meio a uma
taxa de 1,5% ao mês, qual será o montante ao final desse prazo?
Fazendo o fluxo de caixa pelo diagrama:

Conhecemos três variáveis (principal, taxa de juros e prazo) e queremos calcular o montante.
Para obtermos esse valor com a calculadora financeira, basta informar o valor dessas três



variáveis e pedir o cálculo da variável que queremos calcular. Segue abaixo a sequência de
comandos para o cálculo na HP 12C.

Na primeira linha de comandos foi feita a limpeza das memórias financeiras, algo que deve
ser sempre feito ao se iniciar a resolução de um problema de cálculo financeiro (não precisa
ser feito se você for fazer uma multiplicação, um cálculo de porcentagem ou com datas). Na
segunda linha informamos a calculadora o valor do principal. Na terceira informamos o valor
da taxa de juros. Na quarta linha informamos o prazo da operação. Finalmente, na quinta linha
é solicitado o cálculo, simplesmente pressionando a tecla que corresponde à variável que
queremos calcular. O visor mostrará o resultado.

É importante notar que a taxa de juros e o prazo da operação devem ter a mesma unidade de
tempo, no caso meses (taxa ao mês e prazo em meses). Vemos que o montante é mostrado
com um sinal negativo no visor. Isso reflete a oposição com relação ao principal, pois se o
principal é uma entrada de caixa, o montante será uma saída de caixa, e vice-versa.

Nesse exemplo, a variável desconhecida era o montante, mas os cálculos podem ser feitos
para qualquer outra, e a lógica é a mesma: lançamos os valores das variáveis conhecidas e
chamamos o cálculo da que desconhecemos, tendo o cuidado de limpar as memórias
financeiras, como realizado, acima.

5- Cálculos em regime de juros simples:
Fazer os cálculos em regime de juros simples é fácil, mas é preciso estar ciente de alguns
detalhes. Primeiro, o prazo (tecla n) deve ser lançado em dias e a taxa (tecla i) deve ser
lançada em termos anuais. Os juros podem ser calculados numa base de 360 dias/ano ou numa
base de 365 dias/ano. É mais comum usar a base 360 dias/ano, que gera um valor de juros
mais alto.
Para ilustrar, suponha que você fará uma aplicação de R$ 3.800,00 por 8 meses a uma taxa de
14% ao ano.


1- Pressione f e FIN para zerar as memórias financeiras;
2- Digite o número de dias (no caso, 8 x 30 = 240) e a tecla n;
3- Digite a taxa anual e pressione a tecla i;
4- Digite o principal da operação e a tecla PV;
5- Chame o valor dos juros pressionando f INT.

Vemos que o valor dos juros será de R$354,67. É importante saber que esse cálculo é feito na
base 360 dias/ano e o valor aparece negativo porque o principal foi lançado como positivo. Se
o principal fosse lançado como negativo, os juros apareceriam positivos. Essa oposição de
sinais reflete a oposição entrada/saída de caixa.

O montante é obtido ao pressionarmos a tecla + com o resultado anterior ainda no visor.

Para obter o valor dos juros na base 365 dias/ano, basta pressionar a tecla .



Esse é o valor dos juros na base 365 dias/ano. Vemos que é menor que o valor na outra base,
como comentado anteriormente. O montante é calculado da seguinte forma:

A primeira tecla chama o principal de volta, a segunda inverte o sinal e a terceira soma aos
juros, para calcular o montante.

6- Cálculo da prestação no Sistema Price:
O sistema da Tabela Price é utilizado em financiamentos pagos com prestações constantes. É
o caso dos financiamentos de compra de automóveis, em que o comprador paga o valor do
veículo em um determinado número de prestações iguais.

Trata-se de um problema de série de pagamentos, calcular o valor da prestação com a HP 12C
é muito simples.

Para ilustrar, suponha que uma pessoa queira comprar um automóvel de R$35.000,00 em 48
prestações iguais, sendo a taxa de juros de 1,5% ao mês. Qual o valor da prestação mensal?

Dados do problema:
 Valor financiado: R$ 35.000,00 (é o PV);
 Número de prestações: 48 (é o n);
 Taxa de juros: 1,5 (é o i)
Para lançarmos os dados na calculadora a ordem não importa:

1- Primeiramente, pressione f e depois FIN para zerar a memória das funções financeiras;

2- Lance os valores (a ordem não importa): 35.000 PV 48 n 1,5 i;

3- Pressione PMT para obter o valor da prestação (o valor será negativo porque o PMT
sempre tem sinal oposto ao do PV).



Portanto, o comprador pagará prestação mensal de R$1.028,12 durante 4 anos.

Observação: É importante saber que normalmente as concessionárias e os financiadores de
compras de automóveis anunciam o que eles chamam de taxa líquida. Porém, é o Custo
Efetivo Total (CET) que realmente reflete o custo do financiamento para o comprador. O CET
normalmente não aparece nos anúncios comerciais (anuncia-se a taxa líquida porque é menor
que o CET), mas aparece no contrato por exigência legal. É o CET que deve ser lançado como
taxa da operação na entrada i. É uma prática que faz o comprador pensar que contrata uma
taxa de juros menor do que a realmente aplicada na operação.

7- Séries antecipadas e postecipadas - funções BEG e END:
Séries uniformes são sequências de entradas ou saídas de caixa de valores iguais e espaçados
pelo mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, se uma pessoa decide aplicar em previdência
privada R$400,00 por mês de seu salário todo mês, temos um caso de série uniforme. Se
alguém faz uma compra de um televisor em 10 prestações mensais de R$350,00, também
temos outro exemplo de série uniforme. Em ambos os casos temos uma sequência de valores
iguais (saídas de caixa) separados por um mesmo intervalo de tempo (mensal nos 2 casos).

Basicamente, nas séries antecipadas os fluxos ocorrem no início de cada período, enquanto
nas séries postecipadas os fluxos ocorrem no final de cada período. Vamos usar o segundo
exemplo dado acima (compra de televisor) para entender a diferença. Se a primeira parcela é
paga no ato da compra, trata-se de série antecipada, mas se a primeira parcela for paga no mês
seguinte à compra, se trata de série postecipada.

É preciso informar à calculadora se a série com a qual se quer trabalhar é antecipada ou
postecipada, através das funções BEG (para séries antecipadas) e END (para séries
postecipadas).
As funções BEG e END estão nas teclas 7 e 8, respectivamente, devem ser acionadas
pressionando g, pois são funções azuis. Quando a calculadora está configurada para série
antecipada, exibe BEGIN no visor. Quando está configurada para série postecipada, não exibe
nada, como pode ser visto na figura abaixo.



Para ver como isso afeta os cálculos, suponhamos que as lojas americanas oferece um
televisor que custa R$3.150,00 à vista para ser pago em 10 prestações, sendo a taxa de juros
de 3% ao mês. Quais seriam os valores das parcelas, para série antecipada ou postecipada?

Caso 1: Série antecipada - primeira prestação no ato da compra (1 + 9):
1- Limpe as memórias financeiras: f FIN;
2- Informe à calculadora que se trata de série antecipada: g BEG;
3- Lance o valor do bem à vista: 3.150 PV;
4- Lance a taxa de juros: 3 i;
5- Lance o número de prestações: 10 n;
6- Chame o valor da parcela pressionando PMT.

Caso 2: Série postecipada - nenhum pagamento no ato da compra (0 + 10):
2- Informe à calculadora que se trata de série postecipada: g END;
3- Lance o valor do bem à vista: 3.150 PV;
4- Lance a taxa de juros: 3 i;
6- Chame o valor da parcela pressionando PMT.



O valor da parcela da série postecipada é um pouco maior, já que os pagamentos têm 1 mês de
defasagem em relação à série antecipada. A calculadora devolve os valores das parcelas como
negativos porque o valor à vista (PV) foi lançado como positivo. O PMT e o PV têm sempre
sinais opostos, porque um representa saída de caixa, outro a entrada de caixa ou vice-versa.

8- Cálculo da taxa de juros em vendas parceladas:
Vi em um anúncio de jornal (04/01/2009) de uma dessas grandes lojas varejistas a oferta:
Fogão em 0 + 20 mensais de R$119,00 ou R$1.299,00 à vista. Qual a taxa de juros embutida
nessa oferta?

2- Informe à calculadora que se trata de série postecipada (se já estiver configurada não há
necessidade de fazer este passo): g END;
3- Lance o valor à vista: 1.299 CHS PV;
5- Lance o valor das parcelas: 119 PMT;
6- Pressione i para saber a taxa.



Portanto, a taxa de juros cobrada é 6,62% ao mês.

Observações:

a) Os passos 3 a 5 podem ser feitos em qualquer ordem;

b) A tecla CHS inverte o sinal do valor à vista, tornando-o negativo. Isso precisa ser feito
porque o sinal do PV deve ser sempre oposto ao sinal do PMT. O CHS poderia ser aplicado
ao PMT e o resultado não se alteraria.

9- Taxas equivalentes (pela fórmula e com programação):

Calculando pela fórmula:
Quando se conhece a taxa de juros em certo período, mas interessa saber a taxa em período
distinto, usa-se o conceito de taxas equivalentes para resolver o problema.
Por exemplo, se sei que a taxa de juros ao mês é de 1%, qual é a taxa anual equivalente?
Em juros simples, bastaria multiplicar a taxa mensal por 12, já que 1 ano tem 12 meses,
resultando em uma taxa anual de 12%.
Porém, com juros compostos, o cálculo é diferente.

Exemplo: Tenho a taxa de 1% ao mês e quero a taxa anual equivalente.
1- Façamos 1 + taxa que tenho (usa-se a taxa como número absoluto, portanto o valor
percentual é dividido por 100): 1 ENTER 0,01 +;
2- Elevamos esse número a 12: ENTER 12 yx;
3- Tiramos 1 desse resultado: ENTER 1 -.



Portanto, a taxa anual equivalente é 0,1268 ou 12,68%.

Exemplo: Caso tenha uma taxa anual de 12% e queira saber a taxa mensal equivalente, a
diferença está no passo 2 (quando se quer passar do maior período para o menor, invertemos o
número antes de elevar):
1- Façamos 1 + taxa que tenho: 1 ENTER 0,12 +;
2- Elevamos esse número ao inverso de 12: ENTER 1 ENTER 12 ÷ yx;
3- Tiramos 1 desse resultado: ENTER 1 -.

Portanto, a taxa mensal equivalente é 0,0095 ou 0,95%.



Embora a calculadora não tenha uma função específica para conversão de taxas equivalentes é
possível utilizar sua capacidade de programação e programá-la para fazer esse cálculo. Há
diversas formas de realizar essa programação. Apresentamos abaixo um desses modos:

Sequência para programa de conversão de taxas
Tendo digitado a sequência acima, para usar esse programa você deve lançar os dados da
seguinte forma:
1- Taxa que tenho ENTER;
2- Período relativo à taxa que tenho ENTER;
3- Período relativo à taxa que quero R/S.
A taxa que se quer encontrar é mostrada na tela.

Exemplo 1: Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês?
A taxa que tenho é 2; o período que tenho é 1 mês; o período que quero é 12 meses:
1- Lançamos a taxa que tenho: 2 ENTER;
2- Lançamos o período que tenho: 1 ENTER;
3- Lançamos o período que quero e executo o programa: 12 R/S.

A taxa equivalente é 26,82% ao ano.

Exemplo 2: Qual é a taxa trimestral equivalente a 2,5% ao bimestre?
A taxa que tenho é 2,5; o período que tenho é 2 meses; o período que quero é 3 meses:
1- Lançamos a taxa que tenho: 2,5 ENTER;
2- Lançamos o período que tenho: 2 ENTER;
3- Lançamos o período que quero e executo o programa: 3 R/S.



A taxa equivalente é 3,77% ao trimestre.

Questão 3- Como usar o Excel e a Calculadora HP 12C para fazer cálculos financeiros?
Resposta:
A planilha do Microsoft Excel também pode ser utilizada com relevante ferramenta para
cálculos de matemática financeira, pois possuem em sua longa lista de funções, as funções
financeiras semelhantes à calculadora HP 12C.

Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tenha um capital de R$5.000,00, queira fazer uma
aplicação financeira durante o prazo de 3 anos, mas mensalmente deposita R$200,00. A
aplicação escolhida rende-lhe uma taxa de juros de 8% ao ano. Qual o montante desta
aplicação? Utilizando-se o Excel e depois a calculadora HP 12C.

Etapas:
1- Digite os dados em uma planilha do Microsoft Excel. Clique no Assistente de Funções,
escolha Mais Funções, conforme figura abaixo:

2- Selecione a categoria: Financeiras, na lista abaixo, localize a função FV (Valor Futuro ou
Montante) que no Excel corresponde a FV:



Observação: O sinal = (igual) deve ser digitado na célula antes de qualquer operação.

3- Informe a taxa de juros (TAXA), período (NPER), depósito mensal (PGTO), capital (VP) e
o tipo (O, se o vencimento for ao final do período; 1, se for ao início do período), conforme
figura abaixo:

4- Depois de confirmar os dados, será mostrado o resultado na célula selecionada, conforme
figura abaixo:



Nota: O capital de R$5.000,00 e os depósitos de R$200,00 estão com sinal de (-), isso ocorre
em função que os valores que se paga são negativos e os valores que se recebe são positivos,
no diagrama do fluxo de caixa.
Resultado: R$14.512,34.

A tradicional calculadora HP 12C é a principal ferramenta para cálculos de matemática
financeira, usada no dia a dia daqueles que estão envolvidos com empréstimos,
financiamentos, investimentos e demais operações financeiras.

Apresentamos, de acordo com os comandos da calculadora HP12C, para determinação do PV
(Valor Presente), do FV (Valor Futuro), da i (taxa de juros) e do n (número de períodos).

No exemplo apresentado, temos que calcular o Valor Futuro – FV:
 Digite o Valor Presente – PV (5000);
 Tecle CHS;
Observação: A tecla CHS - abreviatura de change signal - muda o sinal para armazenar o
valor de PV (present value) - dinheiro pago, conforme convenção da HP 12C.
 Tecle PV;
 Digite 200;
 Tecle CHS;
 Tecle PMT;
 Digite a taxa i (em %; exemplo: i = 8%/12, digite 0,67);
 Tecle i;
 Digite o número de períodos n (36);
 Tecle n;
 Tecle FV;
 Resultado: R$14.470,76.
A diferença de R$41,58 refere-se aos parâmetros das operações financeiras no EXCEL e na
HP 12C.

Notas:
a) É sempre conveniente, antes de operar com a HP 12C, teclar f CLX (REG) para limpar os
registradores ou f CLX (FIN) para limpar os registradores financeiros, mas não limpa o visor;
b) Para alterar o número de casas decimais, apresentada pela calculadora HP
12C, estando ligada, tecle f seguido de um número 1, 2, 3, 4,..., etc., para obter no visor 1, 2,



3, 4,..., casas decimais. Por exemplo, o comando f 4, colocará a calculadora para exibir no
visor 4 casas decimais;
c) Na calculadora HP 12C, o termo registradores, significa memórias de armazenamento de
dados, enquanto que os termos registradores financeiros referem aos registros especiais, nos
quais são armazenados os valores de n, i, PV, PMT e FV.

4- Explique como calcular montante, juros simples e compostos, taxa de juros?
Resposta:
O estudo de Matemática Financeira concentra-se na análise do crescimento do capital em
função dos juros a ele acrescidos, através de regimes de capitalização. Os regimes de
capitalização normalmente utilizados são simples (ou linear) e composto (ou exponencial).

Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período
têm sempre o capital inicial como base de cálculo. Sua aplicação está mais relacionada com
períodos de capitalização inferiores a um mês (taxa de juros do cheque especial cobrada
dentro de um mês) e a desconto de títulos junto a agentes financeiros (desconto de cheques
pré-datados nos bancos).

Por definição, temos que o Valor Futuro (Montante) é a soma do Valor Presente (Capital,
Principal) com os Juros (Rendimentos).

FV = PV + J→ Fórmula direta para o cálculo do valor futuro ou montante (juros
simples).

Equações auxiliares:

Valor Presente: PV = FV – J.

Juros: J = FV – PV.

Os juros simples caracterizam pelo fato de que os rendimentos (juros) gerados no decurso de
todo período do empréstimo, têm uma única data de computação, que é a data do vencimento.

Assim, os juros simples são aqueles em que os rendimentos (juros) são agregados ao capital
principal na data de vencimento ou resgate do empréstimo.

J = PV × i × n → Fórmula para o cálculo dos juros simples

J→ Juros Simples - Lineares ou Rendimentos a serem pagos;
PV→ Capital emprestado (Valor Presente ou Principal);
i→ Taxa de juros (expressa em razão centesimal: i ÷ 100);
n→ Prazo do empréstimo (número de períodos).

Observação: Nesta fórmula, a taxa e o número de períodos devem referir-se a mesma unidade
de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em número de anos; se a
taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em número de meses.



Fórmulas auxiliares (desenvolvidas a partir das estruturas algébricas das equações 1 e 2
referentes aos juros e ao montante):

J
Valor Presente: PV 
in

J
Taxa: i   100
PV  n

J
Número de períodos: n 
PV  i

Montante (Valor Futuro) é a soma do Capital com os Juros. Por definição, sabemos que o
Montante:

FV = PV + J → Fórmula direta para o cálculo do valor futuro simples

FV→ Montante ou Valor Futuro;
PV→ Capital emprestado (Principal);
J→ Juros Simples ou Rendimentos a serem pagos.

Portanto, o Montante nos Juros Simples:

FV = PV × (1 + n × i)→ Fórmula para o cálculo do valor futuro (nos juros simples)

FV→ Montante ou Valor Futuro;
PV→ Capital emprestado (Principal);
n→ Prazo do empréstimo (número de períodos);
i→ Taxa de juros (expressa em razão centesimal: i ÷ 100).

Fórmulas auxiliares em relação ao Valor Futuro (Montante) e Valor Presente (Capital)
(desenvolvidas a partir das estruturas algébricas das equações 1 e 2 referentes aos juros e ao
montante):

FV  i  n
Juros: J 
1  i  n
Juros: J  PV 1  i  n  1

FV
Valor Presente: PV 
1  i  n
FV
1
Taxa: i  PV  100
n



FV
1
Número de períodos: n  PV
i

Exemplo: Aplica-se um capital de R$20.000,00 e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos, com
regime de capitalização simples, cuja taxa de juros é de 15% a.a. Calcular o montante?

Fazendo o cálculo dos juros simples e do montante simples, usando o EXCEL:
Dados Valores/Fórmulas Memória de cálculo
Valor Presente R$ 20.000,00 ----
Taxa de juros 15% ----
Número de períodos 3 ----
Juros ao período J = PV * i R$ 3.000,00
Valor Futuro FV = PV * (1 + i * n) R$ 29.000,002

Fazendo o cálculo dos juros3 e do montante, usando a calculadora HP 12C:
Entrada Tecla/Função Saída Explicação
f e f CLX 0,00 --- Limpam registradores
20.000 CHS PV - 20.000,00 Valor do Capital
15 I 15 Taxa dos Juros
1080 N 3 Número de períodos
f i (INT) f i (INT) 9.000,00 Valor dos Juros
+ + 29.000,00 Valor Futuro (Montante)

Outra maneira de realizar o cálculo com a HP 12C:
f e f CLX 0,00 --- Limpam registradores
20.000 ENTER 20.000,00 Valor do Capital
15 % 3.000,00 Valor dos Juros
3 × 9.000,00 Juros multiplicados pelo prazo
---- + 29.000,00 Valor Futuro (Montante)

Os juros compostos têm seu fundamento no regime de capitalização composta, na qual o
crescimento do capital se dá exponencialmente (por isso, é chamado de cálculo exponencial).

Trata-se de juros compostos toda transação, na qual os juros incidem sempre sobre o capital
inicial e os juros acumulados até a referida data são diferentes em todos os períodos.

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos
juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia
exponencialmente em função do tempo.

2
Fórmula no Excel: C6 = B2*(1+B3*B4).
3
Observação: É necessário realizar a transformação prévia do período n que deverá ser expresso em
dias e da taxa i que deverá ser expressa ao ano.


Juros compostos, acumulados ou capitalizados, são os que, no fim de cada período, são
somados ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte
(subsequente).

A dedução da fórmula dos juros compostos é feita a partir da fórmula do montante composto
que veremos a seguir, pois o juro do período nada mais é que o valor do montante FV menos
o valor do principal PV. Sendo PV o valor do principal, n o período de aplicação, i a taxa
unitária e J o juro do período, temos:

J = PV [(1 + i)n – 1] → Fórmula para cálculo dos juros compostos

Fórmulas auxiliares (desenvolvidas a partir da equação dos juros):

FV
Valor Presente em função do Montante: PV 
(1  i) n

J
Valor Presente em função dos Juros: PV 
(1  i) n  1

FV
Taxa em função do Montante: i  n  1 100
PV

FV
log
Número de períodos em função do Montante: n  PV
log 1  i 

O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do
capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da
divida.

A simbologia é a mesma já conhecida, isto é: FV, o montante; PV, o capital inicial; n, o
período; i, a taxa.

Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional.
A base de cálculo é sempre o capital inicial.

No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial.

Os juros do período são calculados com base num capital, formando um montante, que será a
nova base de cálculo para o período seguinte.

Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros.

A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que
aquela já vista para a capitalização simples.



Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na
qual FV é o montante, PV o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações.

FV = PV (1 + i)n→ Fórmula para cálculo do montante nos juros compostos

Existem outras fórmulas especificas para se calcular o valor do Capital (PV) e o valor da taxa
(i), mas, para evitar um acumulo desnecessário de fórmulas e macetes, foram de propósito
suprimidas as mesmas, visto que elas são derivadas da fórmula principal.

Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros
simples, apresentam valores iguais. Quando tivermos mais de um período de capitalização, o
rendimento dos juros compostos passa a superar os juros simples.

Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL (sem usar nenhum assistente
de função):

Valor Presente R$ 20.000,00 ----
Taxa de juros 15% ----
Juros ao período J = PV * i R$ 3.000,00
Valor Futuro FV = PV * (1 + i) ^ n R$ 30.417,504

As calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui a HP 12C fazem os cálculos
de qualquer uma das quatro variáveis presentes na fórmula do montante. Apesar de ainda não
termos falado sobre as outras fórmulas, é importante saber que o cálculo pode ser feito apenas
inserindo, na calculadora, três das quatro variáveis dessa fórmula.

Observação: É sempre necessário respeitar a convenção de fluxo de caixa presente nas
calculadoras financeiras, onde o PV e FV devem ser inseridos com sinais opostos, indicando
as saídas e entradas de caixa. Assim, o cálculo do valor futuro ou montante, dessa operação é
feito da seguinte forma:

Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando a calculadora HP 12C:
20.000 CHS PV -20.000,00 Valor do Capital
15 i 15 Taxa dos Juros
3 n 3 Número de períodos
---- FV 30.417,50 Valor Futuro (Montante)

Calcular juros não é tarefa fácil. Existem diferentes tipos de juros, cálculos e fórmulas
específicas para cada um deles. Uma das coisas mais complicadas quando se compra um

4
Fórmula no Excel: C6 = B2*(1+B3)^B4.



carro ou se ajusta qualquer outra forma de financiamento é saber como calcular a taxa de
juros do financiamento. Calcularemos as taxas de juros:

Exemplo: O valor final de um empréstimo de R$5.000,00 por um período de 7
meses é R$ 5.862,72. Qual a taxa de juros dessa aplicação?
Taxa de juros simples:

FV 5862,72
1 1
PV 5000,00
i=  100   100  2,46% ao mês.
n 7

Calculando a taxa de juros simples (HP 12C):
1- Digite f CLX (Limpa a memória);
2- Digite 5000,00 e tecle ENTER;
3- Digite 862,72 e tecle %T (Valor dos juros);
4- Digite 7 e tecle ÷;
5- Resultado: 2,46% ao mês.

Outra maneira de calcular a taxa de juros simples (HP 12C):
1- Digite f CLX (Limpa a memória);
2- Digite 5000,00 e tecle ENTER;
3- Digite 5862,72 e tecle Δ% (Valor do montante);
4- Digite 7 e tecle ÷;

Taxa de juros compostos:

FV 5862,72
i n  1  100  7  1  100
PV 5000,00
i = 2,30% ao mês.

Calculando a taxa de juros compostos (HP 12C):
1- Tecle f CLX (Limpa a memória);
2- Digite 5000,00 e tecle CHS PV (insere o capital, PV com sinal oposto);
3- Digite 7 e tecle n (insere o tempo);
4- Digite 5862,72 e tecle FV (insere o valor do montante, FV);
5- Tecle i (calcula a taxa de juros);

Exemplo: Suponhamos que um carro de R$28.000,00, financiado em 60 meses, com parcelas
fixas de R$735,00. Qual seria a taxa de juros cobrada ao mês por esse financiamento? Para
descobrir a taxa de juros do financiamento, basta usar a função TAXA do Excel na célula
selecionada que mostrará o resultado do cálculo.



Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL:
Valor Presente -R$ 28.000,00 ----
Taxa de juros ? 1,63%5
Juros ao período ---- ----
Prestação R$ 735,00 ----

Observe que o Valor Presente está com sinal de negativo, pois esse valor representa no fluxo
de caixa, a saída do dinheiro do caixa da financeira.

É relevante mencionar que o resultado dessa fórmula apresenta uma taxa de juros de 1,63%
ao mês, bem acima das taxas anunciadas frequentemente pelos anúncios das concessionárias.
Se multiplicarmos o valor da prestação pelo número de meses, descobrimos que ao final do
período, o financiamento custou R$44.100,00. Isso representa uma taxa de 57,50% a mais que
o valor do veículo, basta realizar o seguinte cálculo:

i = [(FV – PV) ÷ PV] × 100
i = [(44.100,00 – 28.000,00) ÷ 28.000,00] × 100 = 57,50%.
Se dividirmos essa taxa pelo número de períodos do financiamento: 57,50% ÷ 60 = 0,96% ao
mês.

Outro exemplo semelhante, porém com uma fórmula distinta: O valor financiado de
R$19.500,00 para pagamento em 60 meses com prestações fixas de R$522,16. Qual a taxa de
juros?

Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL:
Valor Presente -R$ 19.500,00 ----
Taxa de juros ? 1,71%6
Juros ao período ---- ----
Prestação R$ 522,16 ----

Demonstração da aplicação da equação (fórmula):
PV = {[(1 – (1 + i)^(-n)]/i} * PMT
19500 = {[(1 – (1 + i)^(-60)]/i}*522,16
i = 0,0171 × 100 = 1,71% ao mês.

5
Fórmula no Excel: C3 = TAXA(B4;B6;B2;0;0).
6
Fórmula no Excel: C3 = TAXA(B4;B6;B2;0;0).



5- É possível fazer análise de movimentação monetária com base no fluxo de caixa?
Resposta:
Sim, é possível, tendo em vista que o sistema de cálculo de juros compostos na calculadora
financeira HP12C utiliza o diagrama de fluxo de caixa. De acordo com ARAÚJO7, “A
Matemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada. Mais precisamente, é aquele
ramo da Matemática que estuda o comportamento do dinheiro no tempo”. O diagrama de
fluxo de caixa apresenta a movimentação financeira em determinada direção (entrada/saída ou
positivo/negativo) e tempo. Portanto, o diagrama de fluxo de caixa auxiliará em grande parte
a compreensão visual desta movimentação.

O processo de análise de fluxo de caixa é bastante utilizado para verificação do retorno de
investimentos.

A Matemática Financeira se preocupa com o estudo de várias relações dos movimentos
monetários que se estabelecem em distintos momentos no tempo. Estes movimentos
monetários são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de
caixa definido com fluxo de caixa. O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações
de Matemática Financeira, permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o Capital -
dinheiro.

Na figura abaixo, pode-se verificar um diagrama simples de fluxo de caixa, com seus
elementos:

Para identificação e melhor visualização dos efeitos financeiros das alternativas de
investimento, isto é, das entradas e saídas de caixa, pode-se utilizar uma representação gráfica
denominada Diagrama dos Fluxos de Caixa. Este diagrama é traçado a partir de um eixo
horizontal que indica a escala dos períodos de tempo. O número de períodos considerado no
diagrama é definido como o horizonte de planejamento correspondente à alternativa
analisada.

Ressaltamos que é muito importante a identificação do ponto de vista que está sendo traçado o
diagrama de fluxo de caixa. Um diagrama sob a ótica de uma instituição financeira que
concede um empréstimo, por exemplo, é diferente do diagrama sob a ótica do indivíduo
beneficiado por tal transação financeira.

7
ARAÚJO, Carlos Roberto Vieira. Matemática Financeira: uso das minicalculadoras HP 12C e
HP 19BII: mais de 500 exercícios propostos e resolvidos. São Paulo: Atlas, 1992; p.15.


Convencionou-se que os vetores orientados para cima representam os valores positivos de
caixa, isto é, os benefícios, recebimentos ou receitas. Os vetores orientados para baixo
indicam os valores negativos, isto é, os custos, desembolsos ou despesas.

A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, horizonte financeiro da operação. O
ponto zero indica o momento inicial e os demais pontos representam os períodos de tempo
(datas).

As setas para cima da linha do tempo indicam entradas ou recebimentos de dinheiro e as setas
para baixo da linha indicam as saídas ou aplicações de dinheiro.

A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com os dados apresentados em
cada caso, sendo as setas orientadas em função da interpretação do enunciado do problema, da
seguinte forma:

a) Escala horizontal representa tempo, dividido em dias, meses, anos, etc. Os pontos 0, 1, 2,
3, 4,..., n, substituem as datas de calendário e são estipulados em função da necessidade de
indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 (zero) representa
a data inicial (hoje), o ponto 1 (um) indica o final do primeiro período e assim por diante;
b) Saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas
por setas apontadas para baixo;
c) Entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são
representadas por setas apontadas para cima.

Exemplo: Um banco concede um empréstimo de R$40.000,00 a um cliente para pagamento
em 6 prestações iguais de R$9.000,00. Represente graficamente o fluxo de caixa.

Do ponto de vista do banco, a representação gráfica do fluxo de caixa é a seguinte:

9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000
0      
 1 2 3 4 5 6
40.000

Há uma saída inicial de caixa no valor de R$40.000,00 e a entrada de 6 prestações de
R$9.000,00 cada uma nos meses seguintes.

Do ponto de vista do cliente, a orientação das setas é feita no sentido inverso, como segue:

40.000
 1 2 3 4 5 6
     
9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000



6- Explique como trabalhar com regimes de capitalização e taxas equivalentes?
Resposta:
Para efetuar cálculos financeiros, é necessário que taxas e prazos estejam em um mesmo
período. Caso isto não ocorra é necessário, antes de elaborar o cálculo, fazer uma equivalência
entre a taxa e o prazo, ambos devem estar em mesmo período, sempre é conveniente
transformar-se o prazo, mantendo-se a taxa.

No caso da equivalência a Juros Simples basta dividir ou multiplicar pelo período que deseja
saber, porém no caso de Juros Compostos não é simples assim.

Para o caso de Juros Compostos, existe uma fórmula matemática muito difundida no mercado
financeiro para encontrar a taxa equivalente desejada para qualquer período.

As taxas equivalentes estão relacionadas ao regime de capitalização exponencial (juros
compostos), as quais aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo
produzem o mesmo Valor Futuro (Montante).

Resumindo, duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre o mesmo capital, durante o
mesmo período produzem o mesmo montante.

Observação: O Excel não possui uma função para calcular a equivalência de taxas a juros
compostos. Sendo assim, temos que editar a fórmula na célula. Caso queira, poderá utilizar a
fórmula da taxa equivalente:

iq = ((1+it)^(q/t) – 1) × 100
iq → Taxa equivalente que quero;
q → Período que quero a taxa de juros compostos;
t → Período que tenho a taxa de juros compostos;
it → Taxa equivalente que tenho.

O conceito matemático da fórmula é o seguinte:
 nq

iq  1  it  nt  1  100
 
iq→ Taxa que se querer (taxa que desejo encontrar);
it→ Taxa que se tem (taxa da qual desejo calcular)
nq→ Prazo que se querer (prazo da taxa que quero encontrar)
nt→ Prazo que se tem (prazo da taxa que tenho)

Quando se trata do regime de capitalização linear (juros simples) para determinar taxas
equivalentes, basta fazer uma relação entre multiplicação e divisão, conhecida como
proporcionalidade. Assim, uma taxa de 1,35% ao mês é equivalente a 16,20% ao ano e vice-
versa.

No caso dos juros compostos, a solução é mais complexa, haja vista que os juros somam-se ao
capital principal para o cálculo da capitalização do período seguinte. A calculadora HP 12C
facilita bastante o processo de conversão de taxa (mensal em anual, anual em mensal), que é a
determinação de taxas equivalentes.


Na HP 12C para resolver um problema de taxa equivalente, basta realizar as seguintes etapas:

1- Qual a taxa anual equivalente a 1,75% ao mês?
Tecla/Função Visor Explicação
f e f CLX 0,00 Limpam registradores
100 CHS PV -100,00 Regra geral
1,75 i 1,75 Taxa mensal de juros
12 n 12,00 Período pretendido para a taxa
FV 123,14 Valor Futuro
100 - 23,14 Taxa anual equivalente

2- Qual a taxa mensal equivalente a 29,10% ao ano?
Tecla/Função Visor Explicação
f e f CLX 0,00 Limpam registradores
100 CHS PV -100,00 Regra geral
29,10 i 29,10 Taxa mensal de juros
12 1/x n 0,08 Período pretendido para a taxa
FV 102,43 Valor Futuro
100 - 2,43 Taxa mensal equivalente

7- Faça um relato de como trabalhar com juros exatos e comerciais?
Resposta:
JUROS ORDINÁRIOS ou JUROS COMERCIAIS: São aqueles em que se utiliza o ano
comercial para estabelecer homogeneidade entre a taxa e o tempo (prazo). Logo, em juros
ordinários todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias.

JUROS EXATOS: São aqueles em que se usa o prazo (n) na quantidade exata de dias,
observando a quantidade de dias que tem cada mês, sendo a taxa expressa ao ano, utiliza-se o
ano civil com 365 dias para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo (prazo).

Observação: Somente usaremos os juros exatos quando expressamente mencionados.

JUROS BANCÁRIOS (REGRA DOS BANQUEIROS): É o cálculo em que, para
estabelecer a homogeneidade, é usado o ano comercial, 360 dias, como nos juros ordinários,
mas o tempo (prazo), número de dias, segue o princípio dos juros exatos, isto é, segue o
calendário do ano civil, com o número exato de dias de cada mês.

Exemplo: Calcular os juros exatos, os juros ordinários e os juros pela regra dos banqueiros de
um capital de R$128.790,00, que foi aplicado durante os meses de julho e agosto de 2012 a
uma taxa de 11,60% ao ano.

Observações: juros comerciais, a taxa de juros corresponde a 0,96667% ao mês e a 0,03222%
ao dia (11,60%/12; 11,60%/360); meses de julho e agosto de 2012, independentemente cada
mês tem 30 dias; juros exatos, a taxa de juros corresponde a 0,96667% ao mês e a 0,03178%
ao dia (11,60%/12; 11,60%/365); meses de julho e agosto, cada um tem 31 dias.

Juros comerciais = PV × i × n → Jc = 128.790,00 × 0,0003222 × 60 → Jc = R$2.489,77.



Juros exatos = PV × i × n → Je = 128.790,00 × 0,0003178 × 62 → Je = R$2.537,63.
Juros bancários = PV × i × n → Jb = 128.790,00 × 0,0003222 × 62 → Jb = R$2.572,76.

O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso dia-a-dia. Porém, o cálculo
das taxas equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos dias corridos da operação. Essa
conta, por sua vez, pode ser feita de duas maneiras distintas, aplicáveis de acordo com a
operação.

Quando usamos como base o ano civil, com 365 ou 366 dias e meses com números variáveis
de dias, os juros calculados são os juros exatos.

Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e meses com 30 dias, os juros obtidos
são os juros comerciais.

A taxa de juros exatos por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual dada por 365. A
taxa de juros comerciais por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual por 360. Para o
cálculo de ambos os juros, simplesmente multiplique cada uma das taxas diárias equivalentes
pelo período de aplicação.

8- Comente como entender os conceitos utilizados pelos bancos para calcular juros de
cheque especial e para concessão de empréstimos?
Resposta:
As modalidades de crédito referentes a cheque especial e empréstimos e/ou financiamentos é
muito usada pelos brasileiros, mas apesar de demonstrar uma facilidade e agilidade na hora de
compras, pode acabar deixando muitas pessoas endividadas, por isso o melhor a fazer é ficar
atento e não se render a todas as eventuais vantagens oferecidas pelos bancos sem fazer os
devidos cálculos no seu orçamento pessoalmente.

Assim, como os cartões de crédito, o cheque especial deve ser usado de maneira totalmente
planejada para evitar problemas futuros com cheques devolvidos e juros que mesmo com a
diminuição das taxas ainda estão bastante altos.

O grande índice de inadimplência nos cheques especiais está relacionado à falta de
conhecimento das pessoas ou em momentos de extrema necessidade, em que acabam pagando
suas contas com cheques, mas não entendem que o dinheiro usado para cobrir a despesa será
descontado do dinheiro em conta na data de vencimento.

O mais importante é entender que o dinheiro do cheque especial não faz parte de seus
rendimentos e será cobrado futuramente.

A cobrança dos juros relacionados ao cheque especial é elevada aqui no Brasil. Por ser um
crédito rotativo atribuído à conta das pessoas, muita gente acaba usando esse dinheiro na hora
do aperto, porém os juros sempre são cobrados quando os rendimentos entram na conta.

A maioria dos bancos estipula um prazo de contrato do dinheiro especial por até 90 dias, esse
prazo pode ser renovado, porém sempre é cobrada uma taxa nas renovações.



Para entender melhor, se a pessoa sacar ou utilizar o dinheiro do limite do cheque especial os
juros serão cobrados a cada dia útil, calculados novamente todos os dias usando os valores
atualizados de seu saldo devedor.

O problema é que a pessoa não paga somente os juros, mas também a tarifa de contrato e o
IOF - Imposto sobre Operações Financeiras.

A média dos juros no cheque especial dos bancos atualmente está em 10%, por isso o melhor
a se fazer é não dar trégua e ser muito controlado em suas operações financeiras para garantir
um bom orçamento e não ter maiores problemas.

Modalidade: Pessoa física - Cheque Tipo: Prefixado Período:
especial de 28/11/2012 a 04/12/2012
Taxas efetivas8 Publicado em: 15/12/2012
Taxa de juros
Posição Instituição
% a.m. % a.a.
1 BANCO SOFISA 1,86 24,75
2 BCO ALFA S A 2,64 36,71
3 BANCOOB 3,11 44,41
4 BANCO BONSUCESSO S.A. 3,28 47,30
5 BCO INDUSTRIAL E COMERCIAL S A 3,88 57,90
6 CAIXA ECONOMICA FEDERAL 4,26 64,97
7 BCO CAPITAL S A 4,37 67,07
8 BCO INDUSVAL S A 4,88 77,14
9 BCO SAFRA S A 5,00 79,59
10 BCO DAYCOVAL S.A 5,02 80,00
11 BCO DA AMAZONIA S A 5,30 85,84
12 BCO DO BRASIL S A 5,34 86,69
13 BCO DO EST DO PA S A 5,52 90,55
14 BCO LA NACION ARGENTINA 6,13 104,20
15 BCO DO NORDESTE DO BRASIL S A 6,24 106,76
16 BCO LUSO BRASILEIRO S A 6,38 110,05
17 BCO ORIGINAL DO AGRO S/A 6,43 111,24

8
Fonte: Banco Central do Brasil – Disponível: www.bcb.gov.br, acesso: 15 dez. 2012.


18 BCO MERCANTIL DO BRASIL S A 8,09 154,35
19 ITAÚ UNIBANCO 8,37 162,37
20 BCO BRADESCO S A 8,42 163,82
21 BCO DO EST DE SE S A 8,49 165,87
22 BCO DO EST DO RS S A 8,79 174,83
23 BCO BANESTES S A 8,92 178,80
24 BCO RENDIMENTO S A 9,05 182,82
25 BRB BCO DE BRASILIA S A 9,48 196,50
26 HSBC BANK BRASIL SA BCO MULTIP 9,77 206,06
27 BCO SANTANDER (BRASIL) S.A. 10,09 216,94
28 BCO CITIBANK S A 10,83 243,47

Considerações:
1- As taxas efetivas mês resultam da capitalização das taxas efetivas-dia pelo número de dias
úteis existentes no intervalo de 30 dias corridos, excluindo-se o primeiro dia útil e incluindo o
último. Caso a data final seja em dia não útil, será considerado o próximo dia útil
subsequente;

2- Caso alguma instituição não apareça no ranking, ou ela não opera na modalidade ou não
prestou informação para todo o período, estando, neste segundo caso, sujeita às penalidades
previstas na legislação vigente. Verificar a posição individual da instituição.

É relevante ressaltar que cheque especial é um contrato firmado entre o banco e o correntista,
em que uma determinada quantia em dinheiro é disponibilizada na conta corrente para que
seja utilizada e devolvida com acréscimos e outros encargos financeiros. Uma pessoa que
possui conta corrente em banco e se enquadra nos moldes financeiros do cheque especial pode
fazer uso do produto, desde que liberado.

O cheque especial funciona da seguinte forma, atrelado ao seu saldo fica um valor extra, por
exemplo, vamos supor que o saldo da conta corrente de uma pessoa seja de R$2.000,00 e o
limite do cheque especial é de R$3.500,00. Portanto, o saldo disponível deste correntista é de
R$5.500,00. É preciso ter cuidado ao movimentar uma conta corrente com disponibilidade de
cheque especial, pois algumas entidades bancárias fornecem nos extratos o saldo da conta
corrente somado com o valor do cheque especial, constituindo um único saldo.

Diferente dos empréstimos e/ou financiamentos que são cobrados através de prestações, o
valor do cheque especial é cobrado em parcela única na data de vencimento (valor utilizado
mais acréscimos). Por ser um dinheiro disponibilizado automaticamente e sem burocracia, as
pessoas utilizam em razão da facilidade, mas é bom estar atento às taxas efetivas de juros,
alguns bancos abusam na cobrança, chegando a trabalhar com taxas, em média, de 10% ao
mês mais acréscimos.



Para ter ideia da cobrança abusiva, basta realizar a comparação da taxa de juros do cheque
especial com a taxa de correção da poupança. Vimos que o cheque especial pode cobrar em
torno de 10% pelo empréstimo, enquanto paga aos poupadores juros em torno de 0,60%9
(raramente atinge-se este percentual). Essa diferença entre o preço de compra (poupança) e o
preço de venda (cheque especial) é chamada de spread10.

Os especialistas em Economia e Matemática Financeira alertam que o cheque especial é o
dinheiro mais caro do mercado financeiro e orienta as pessoas a usarem somente em situações
de extrema urgência. Por isso fique atento ao usar seu cheque especial, procure saber a taxa de
juros e os encargos que incidirão sobre o valor utilizado.

Resumindo, cheque especial é um crédito pré-aprovado que os bancos colocam à disposição
dos clientes, levando em conta o seu cadastro e o relacionamento. Sua disponibilidade é
automática, até o limite estabelecido, sempre que há um débito na conta corrente superior ao
saldo disponível. O limite é recomposto de acordo com cobertura do saldo devedor. O limite é
periodicamente ajustado, em função das necessidades, cadastro e relacionamento.

Características: Na prática é um "saldo extra", que o cliente pode utilizar quando não possuir
saldo disponível na conta corrente para débitos como cheques, DOC, TED, tarifas, os próprios
juros do cheque especial, etc.

A utilização está sujeita ao pagamento de juros proporcionais ao valor utilizado durante o
mês. Os encargos - juros e IOF - são calculados diariamente e cobrados mensalmente. As
condições de utilização - taxas, prazos, valor, garantias, vencimento antecipado, multas,
renovação automática - são estabelecidas em contrato assinado entre o cliente e o banco. O
banco poderá mudar unilateralmente essas condições, mediante aviso ao cliente.

Finalidades: A utilização racional do cheque especial deve restringir-se a necessidades
eventuais e de curtíssimo prazo.

Como funciona: Vejamos uma simulação:

Limite do Cheque especial (R$) 2.000,00
Taxa de juros ao mês 8,00%
Alíquota mensal de IOF 0,125%

CONTA CORRENTE CHEQUE ESPECIAL

9
Índices mensais da caderneta de poupança – Disponível:
http://www.portalbrasil.net/poupanca_mensal.htm - acesso: 15 dez. 2012.
10
Spread bancário: o risco precificado através da taxa/expectativa de inadimplência, as despesas
estruturais (pessoal, administrativas), os gastos com impostos e o lucro. A taxa de juros pactuada em
uma operação de empréstimo e/ou financiamento é: i = i’ + spread, onde; i é a taxa de juros do
empréstimo e/ou financiamento e i’ é a taxa da captação de recursos. No caso de uma situação-
problema, por exemplo, cujo empréstimo e/ou financiamento contraído a uma taxa de 0,9112% ao
mês, temos: 0,2506% de spread e 0,6606% correspondentes à rentabilidade paga aos depósitos
dos poupadores (excluindo a TR, tanto na i quanto na ‘i’).


Saldo Limite
Referência Débito Crédito Saldo utilizado disponível
R$ R$ R$ (R$) (R$)
28-mar QUINTA 100,00 2.000,00
1-abr SEGUNDA 50,00 50,00 0,00 2.000,00
2-abr TERÇA 60,00 (10,00) (10,00) 1.990,00
3-abr QUARTA 100,00 (110,00) (110,00) 1.890,00
4-abr QUINTA 25,00 (135,00) (135,00) 1.865,00
5-abr SEXTA 250,00 (385,00) (385,00) 1.615,00
8-abr SEGUNDA 1.000,00 615,00 0,00 2.000,00
9-abr TERÇA 615,00 0,00 2.000,00
10-abr QUARTA 380,00 235,00 0,00 2.000,00
11-abr QUINTA 235,00 0,00 2.000,00
12-abr SEXTA 235,00 0,00 2.000,00
15-abr SEGUNDA 235,00 0,00 2.000,00
16-abr TERÇA 235,00 0,00 2.000,00
17-abr QUARTA 235,00 0,00 2.000,00
18-abr QUINTA 235,00 0,00 2.000,00
19-abr SEXTA 235,00 0,00 2.000,00
22-abr SEGUNDA 112,00 123,00 0,00 2.000,00
23-abr TERÇA 123,00 0,00 2.000,00
24-abr QUARTA 123,00 0,00 2.000,00
25-abr QUINTA 90,00 33,00 0,00 2.000,00
26-abr SEXTA 33,00 0,00 2.000,00
29-abr SEGUNDA 600,00 (567,00) (567,00) 1.433,00
30-abr TERÇA (567,00) (567,00) 1.433,00
Saldo médio do mês no cheque especial (80,64)

Cálculo dos encargos: débito no 1º dia útil do mês seguinte:
Valor a ser debitado de juros: R$80,64 × 8% (6,45)
Valor a ser debitado de IOF (0,10)

Benefícios: A utilização do cheque especial é conveniente quando o "furo de caixa" estiver
limitado em poucos dias - máximo uma semana. Nestes casos, mesmo sendo a alternativa
mais cara do mercado, pode resultar em juros menores. Há no mercado três tipos de cheque
especial com "vantagens":

1- Carência: se o prazo de utilização for menor ou igual ao de carência, não há juros, apenas
IOF. Nesta modalidade o cliente precisa saber que, se utilização ultrapassar a da carência,
pagará juros sobre o prazo integral, inclusive da carência;
2- Juros decrescentes: quanto maior o prazo de utilização, menor a taxa de juros. O cuidado
aqui, é que apesar de decrescentes, são muito altos, além do custo, cuidar par não ultrapassar
o limite ou descumprir alguma cláusula do contrato, o que anula o benefício;
3- Juros reduzidos: clientes que tem outras operações com o banco - investimentos, seguros,
cartão, etc. O cliente deve solicitar este produto ao seu gerente, pois não é oferecido a todos.



Cuidados: Mantenha o saldo de sua conta corrente, rigorosamente em controle; observe os
débitos de tarifas; débitos automáticos; etc. O cheque especial deve ser encarado como a
última alternativa no caso de necessidade de crédito. No caso de estar fazendo uma compra,
pense em alternativas:
1- Resgate seu investimento e pague à vista;
2- Questione sobre o pagamento parcelado sem juros, no cartão de crédito ou cheque pré-
datado;
3- Questione sobre o financiamento, mesmo com juros;
4- Adie sua compra.

Importante: Quando estiver pensando em entrar numa dívida, pense também em como sairá
dela. Analise seu orçamento e certifique-se que a dívida cabe nele.

A determinação dos encargos financeiros sobre os valores devedores é geralmente processada
por capitalização simples por meio do denominado “método hamburguês”.

O exemplo ilustrativo a seguir, permite melhor entendimento do funcionamento das contas
garantidas e do “método hamburguês” para cálculo dos juros incidentes sobre os saldos
devedores.

Exemplo: Admita uma conta garantida com limite de R$500.000,00, contratada por 2 meses e
aberta no dia 15/janeiro/2012. Os encargos financeiros fixados para a operação são juros
nominais de 3,9% a.m., debitados ao final de cada mês e uma taxa de abertura de crédito
(TAC) de 2% cobrada no ato e incidente sobre o limite. Sabe-se que no período da operação
foram realizadas as seguintes movimentações na conta garantida:

1º MÊS:
Dia 15 – saque de R$250.000,00;
Dia 20 – saque de R$100.000,00.
2º MÊS:
Dia 01 – saque de R$ 50.000,00;
Dia 10 – depósito de R$40.000,00;
Dia 18 – saque de R$35.000,00;
Dia 22 – saque de R$50.000,00.

1- Construir um quadro com as várias movimentações realizadas nesta conta garantida; 2-
Calcular os juros pelo método hamburguês:

DATA HISTÓRICO DÉBITO (D) SALDO NÚMERO Nº DE DIAS ×
CRÉDITO (C) DEVEDOR DE DIAS SALDO
DEVEDOR
15-01 TAC 10.000,00 (D) 10.000,00 ------- -------
15-01 Saque 250.000,00 (D) 260.000,00 5 1.300.000,00
20-01 Saque 100.000,00 (D) 360.000,00 11 3.960.000,00
31-01 Juros 6.838,00 (D) 366.838,00 ------- -------
31-01 TOTAL – 1º 16 5.260.000,00
01-02 Saque 50.000,00 (D) 416.838,00 9 3.751.542,00



10-02 Depósito 40.000,00 (D) 376.838,00 8 3.014.704,00
18-02 Saque 35.000,00 (D) 411.838,00 4 1.647.352,00
22-02 Saque 50.000,00 (D) 461.838,00 7 3.694.704,00
29-02 TOTAL – 2º 28 12.108.302,00
29-02 TOTAL BIMESTRE 44 17.368.302,00

O cálculo dos juros pelo “método hamburguês” envolve o produto da taxa proporcional diária
(3,9/30 % a.d.) pelo (SD × nº dias). Assim:

Juros 1 = 0,0013 × (1.300.000,00 + 3.960.000,00) = 0,0013 × 5.260.000,00 = R$6.838,00;
Juros 2 = 0,0013 × (3.751.542,00 + 3.014.704,00 + 1.647.352,00 + 3.694.704,00) = 0,0013 ×
12.108.302,00 = R$15.740,80.
Total dos juros = R$6.838 + R$15.740,80 = R$22.578,80.

Exemplo: Admita um cliente que mantenha um cheque especial com limite definido de R$
200.000,00. Ao final do mês de junho, o banco expede um extrato de movimentação do
período conforme ilustrado a seguir. Sabendo-se que esse banco cobra 3,2% a.m., de juros.
Determinar os encargos totais do mês que devem ser debitados na conta do cliente:
Data Histórico Débito (D) Saldo
Crédito (C) (D/C)
01-04 Transporte 36.000,00 (C) 36.000,00 (C)
03-04 Cheque 30.000,00 (D) 6.000,00 (C)
09-04 Cheque 72.000,00 (D) 66.000,00 (D)
15-04 Aviso Débito 14.000,00 (D) 80.000,00 (D)
18-04 Cheque 100.000,00 (D) 180.000,00 (D)
24-04 Depósito 60.000,00 (C) 120.000,00 (D)
29-04 Cheque 30.000,00 (D) 150.000,00 (D)
30-04 Depósito 70.000,00 (C) 80.000,00 (D)

Data Histórico Débito (D) Saldo nº Dias nº de dias ×
Crédito (C) (D/C) Devedor Saldo
Devedor
01-04 Transporte 36.000,00 (C) 36.000,00 (C) --- -----
03-04 Cheque 30.000,00 (D) 6.000,00 (C) --- -----
09-04 Cheque 72.000,00 (D) 66.000,00 (D) 6 396.000,00
15-04 Aviso Débito 14.000,00 (D) 80.000,00 (D) 3 240.000,00
18-04 Cheque 100.000,00 (D) 180.000,00 (D) 6 1.080.000,00
24-04 Depósito 60.000,00 (C) 120.000,00 (D) 2 240.000,00
29-04 Cheque 30.000,00 (D) 150.000,00 (D) 3 450.000,00
30-04 Depósito 70.000,00 (C) 80.000,00 (D) 1 70.000,00
TOTAL 21 2.476.000,00
Juros Totais do Mês: (0,032/30) × 2.476.000,00 = R$ 2.641,07.

CÁLCULO DO CUSTO EFETIVO
Na operação de cheque especial, conforme comentado, é geralmente cobrada uma taxa de
juros, definida em bases mensais e também uma taxa de abertura de crédito (TAC). Esta taxa



de crédito, cobrada no momento da liberação dos recursos, eleva o percentual de juros
cobrado.
O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida (cheque especial) pode
ser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal:
Limite da conta:
(-) TAC

1 2 3 n (meses)

Juros Juros Juros Juros +
Limite da conta

O custo efetivo final será, evidentemente, a taxa interna de retorno deste fluxo de caixa.

Exemplo: Uma conta garantida cobra juros de 2,6% a.m., debitados mensalmente e uma TAC
de 1,5%. Determinar o custo efetivo admitindo que a conta garantida tenha sido contratada
por: a) 30 dias; b) 60 dias; c) 90 dias:

a) Para um prazo de 30 dias, tem-se:
Limite da conta: R$100,00
TAC: -R$1,50
Crédito Liberado: R$98,50
Juros: 100 × 2,6% = R$2,60
Limite: R$100,00
Total: R$102,60
102,60
Custo Efetivo: (Total ÷ Crédito Liberado) → i   1 → i = 0,0416 equivale à taxa de
98,50
4,16% a.m.

Observação: A comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 dias
de 2,60% para 4,16%.

b) Para um prazo de 60 dias, tem-se:
TAC: -R$1,50
Crédito Liberado: R$ 98,50 → 2 (meses)
Juros: R$100 × 2,60% = R$2,60
Limite: R$100,00
Total: 102,60



Custo Efetivo: Crédito Liberado = [Juros ÷ (1 + i)] + [Total ÷ (1 + i)2] →
2,60 102,60
98,50  
1  i  1  i 2
Com a utilização da calculadora HP 12C, temos:
f e f CLX f2
98,50 CHS g PV (CF0)
2,60 g PMT (CFj)
102,60 g PMT (CFj)
f FV (IRR)
Resultado: i = 3,39% ao mês.

c) Para um prazo de 90 dias, tem-se:
TAC: -R$1,50
Crédito Liberado: 98,50 → 3 (meses)
Juros: R$100 × 2,60%= R$2,60

Custo Efetivo: Crédito Liberado = (Juros ÷ (1 + i)) + (Total ÷ (1 + i) 2) →
2,60 2,60 102,60
98,50   
1  i  1  i 2 1  i 3
Com a utilização da calculadora HP 12C, temos:
f e f CLX f2
98,50 CHS g PV (CF0)
2,60 g PMT (CFj)
2,60 g PMT (CFj)
102,60 g PMT (CFj)
f FV (IRR)
Resultado: i = 3,13% ao mês.

Conclusão:
O custo efetivo final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida. Este
comportamento é explicado pela maior diluição da TAC cobrada, uma única vez, no ato de
liberação do crédito pelos meses de operação.

Os técnicos e especialistas do Banco Central costumam dizer que a taxa de juros do cheque
especial é “proibitiva”, isto é, deve-se evitar a utilização dessa modalidade de crédito. Por
isso, correntistas endividados com o cheque especial devem trocar a dívida por uma mais
modalidade de crédito que cobre menor taxa de juros, por exemplo, o crédito consignado.

O Professor de Finanças da Faculdade IBMEC, Marcos Aguerri Pimenta explica que os juros
são altos porque o “dinheiro está disponível na conta corrente a qualquer momento, sem a
necessidade de negociar com o gerente no banco”. Continua a explicar, “O cheque especial é
útil apenas para momentos de emergência e, portanto, em casos de curtíssima duração, como
alguns dias”.



Porém, os brasileiros costumam utilizar o cheque especial por 22 dias, em média, ao longo do
mês. Pelos cálculos do citado professor, se um correntista usar R$100 de cheque especial
nesse período de 22 dias, irá pagar R$5,82. O Professor destaca, “Isso é um valor
considerável, ainda mais se compararmos à caderneta de poupança, que remunera em torno
disso no período de um ano”. Se em vez de utilizar o cheque especial, o correntista tivesse
R$100 para aplicar na poupança, levaria um ano para ter em torno de R$5,82 de remuneração,
valor pago ao banco pelo empréstimo em apenas 22 dias.

No cálculo do valor do cheque especial, foram considerados a taxa média de juros e o Imposto
sobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguros (IOF). De acordo com a Receita Federal, a
alíquota de 0,38% incide sobre cada novo empréstimo. Além dessa alíquota, é cobrado
0,0041% ao dia, incidente sobre o somatório dos saldos devedores diários.

9- Faça um resumo sucinto sobre as utilizações das fórmulas corretas para aplicações de
descontos simples e compostos?
Resposta:
A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro
de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu
valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um
título e o seu valor presente na data da operação: D = VF – VP, em que D representa o valor
monetário do desconto, VF o seu valor futuro (FV), valor assumido pelo título na data do seu
vencimento e VP o valor creditado (PV) ou pago ao seu titular. Assim como no caso dos
juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de
tempo.

Embora seja frequente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos,
claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período
da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto à taxa do período
incide sobre o seu montante ou valor futuro.

De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e composto,
envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso do desconto
composto.

O desconto simples é dividido em:

1- Desconto Racional (por dentro).
2- Desconto Comercial (por fora).

1- DESCONTO RACIONAL (por dentro).

Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes do
vencimento, isto é, é o mesmo que juro simples. Não será dada muita importância a menos de
comparação, pois raramente tem sido aplicado no Brasil.

Dr = VF – VP→ Fórmula direta para o cálculo do desconto racional



Dr→ Desconto Racional;
VF ou FV→ Valor Futuro;
VP ou PV→ Valor Presente.

VF
VP  → Fórmula para o cálculo do valor presente no desconto racional
(1  i  n)

VP ou PV→ Valor Presente;
i→ Taxa de desconto;
n→ Número de períodos (prazo).

VF  VP  (1  i  n) → Fórmula para o cálculo do valor futuro no desconto racional

VP ou PV→ Valor Presente;
i→ Taxa de desconto;

VF  i  n
Dr  → Fórmula para o cálculo do desconto racional
(1  i  n)

VF
1
i VP → Fórmula para o cálculo da taxa de desconto racional
n

VF
1
n  VP → Fórmula para o cálculo do número de períodos no desconto racional
i

2- DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (por fora)

Desconto comercial simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o
montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado,
principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos,
sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. É obtido
multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até
o seu vencimento:

Db  VF  d  n → Fórmula para o cálculo do desconto bancário ou comercial

d→ Taxa de desconto;



Para obtermos o valor presente, também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor
do desconto do valor futuro do título, como segue:
VP = VF – D→ Fórmula direta para o cálculo do valor presente

VP = VF × (1 – d × n) →Fórmula para o cálculo do valor presente

VP
VF  → Fórmula para o cálculo do valor futuro no desconto comercial
(1  d  n)

 D 
d   100 → Fórmula para o cálculo da taxa de desconto comercial (em função
 VF  n 
do desconto comercial e do valor futuro)

 VP 
 1 
d  VF   100 → Fórmula para o cálculo da taxa de desconto comercial
 n 
 
 

D
n → Fórmula para o cálculo do número de períodos no desconto comercial (em
VF  d
função do desconto comercial e do valor futuro)

VP
1
n VF → Fórmula para o cálculo do número de períodos no desconto comercial
d

Exemplo: Qual a taxa mensal de desconto comercial utilizada em uma operação a 120 dias,
cujo valor de resgate é de R$5.000,00 e cujo valor atual é de R$4.500,00?

Solução:
 D   500,00  500,00
d   100  d     100  d   100  d = 2,5% ao mês.
 VF  n   5000,00  4  20000,00
 VP   4500,00 
1  1 
0,10
d   VF   100  d  
5000,00 
 100  d   100  d = 2,5% ao mês.
 n   4  4
   
   

Exemplo: Uma duplicata no valor de R$6.800,00 é descontada por fora, pelo Banco BMG,
gerando um crédito de R$6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo
banco é de 3,20% ao mês. Determinar o prazo de vencimento da duplicata?
Solução:
 D   800,00  800,00
n  n n  n = 3,676 meses × 30 dias = 110
 VF  d   6800,00  0,032  217,60
dias.



 VP   6000,00 
1  1 
n   VF n  6800,00   d  0,118  100  n = 3,676 meses × 30 dias = 110
 d   0,032  0,032
   
   
dias.

TAXA IMPLÍCITA
Quando o desconto (taxa) é aplicado sob o valor futuro, para com isto obter o valor atual, a
uma determinada taxa é x, porém com o valor atual é a taxa x não se obtém o valor futuro
inicial. Com isto observamos que existe uma taxa implícita na operação que é maior que a
taxa de desconto.

i = y% ao período (taxa de juro)
d = x% ao período (taxa de desconto)

Devemos aplicar uma taxa y ao valor do título com desconto e chegar ao valor do título,
usando capitalização simples.

1- FV = PV × (1 + i × n)
Temos ainda que o valor do título com desconto é dado por:
2- PV = FV × (1 – d × n)
Isolando FV em (2) e substituindo em (1) temos:

PV PV

1  d  n 1  i  n
Resultando:

PV PV

1  d  n 1  i  n

d
i
1  d  n
Onde:
i→ taxa efetiva;
d→ taxa de desconto;
n→ número de períodos.

Exemplo: Um título que possui uma taxa de desconto de 4% ao mês durante 6 meses. Qual é
a taxa real de juro simples?
Utilizando-se a equação acima, temos:
d 0,04
i → i → i = 5,2632% ao mês.
1  d  n 1  0,04  6


CÁLCULO DO VALOR DO DESCONTO SIMPLES PARA SÉRIES DE TÍTULOS DE
IGUAIS VALORES:
Vamos admitir sejam apresentados a um banco 5 títulos, no valor de R$1.000,00 cada um,
com vencimentos para 30 a 150 dias, isto é, de 1 a 5 meses, respectivamente, para serem
descontados. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês. Calcular
o valor do desconto global e o valor líquido correspondente a ser creditado na conta do
cliente.
Dt → valor do desconto total = D1 + D2 + ... + Dn
n → número de títulos ou prestações
PV → valor de cada título
VLt → valor líquido total dos títulos = n x PV – Dt

a) Obtenção do desconto global, a partir do cálculo individual para cada título:
Sendo:
D = PV × d × n:
D1 = 1.000,00 × 0,03 × 1 = R$ 30,00;
D2 = 1.000,00 × 0,03 × 2 = R$ 60,00;
D3 = 1.000,00 × 0,03 × 3 = R$ 90,00;
D4 = 1.000,00 × 0,03 × 4 = R$120,00;
D5 = 1.000,00 × 0,03 × 5 = R$150,00.
Logo:
Dt = 30,00 + 60,00 + 90,00 + 120,00 + 150,00 = R$450,00

b) Dedução de uma fórmula que possibilita obter o desconto total de forma simplificada. Com
base no desenvolvimento realizado no item anterior, podemos escrever:
Dt = D1 + D2 + D3 + D4 + D5
Dt = (1.000 × 0,03 × 1) + (01.000 × 0,03 × 2) + (1.000 × 0,03 × 3) + (1.000 × 0,03 × 4) +
(1.000 × 0,03 × 5)
Dt = (1.000,00 × 0,03) × (1+ 2 + 3 + 4 + 5)
Aplicando-se a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética (PA):
t  t  n
S PA  1 n
2
t1 → prazo do título que vence primeiro
tn → prazo do título que vence por último
n → número de títulos
Temos:
t  t  n
Dt  PV  i  1 n
2
Dt  1.000,00  0,03
1  5 5 → D  1.000,00  0,03 15 → D  450,00
t t
2
O valor líquido creditado na conta do cliente:
VLt = PV × n – Dt
VLt = 1.000,00 × 5 – 450,00 = R$4.550,00

Substituindo na expressão geral acima, cada número pelo seu símbolo correspondente, temos:



Dt  PV  d 
t1  tn  n ou Dt  PV  d 
1  tn  n
2 2
Assim, a expressão (t1 + tn) ÷ 2, representa o prazo médio dos títulos descontados.
Essa fórmula somente é válida para desconto de séries de títulos ou de prestações com valores
iguais, de vencimentos sucessivos e de periodicidade constante, a partir do primeiro
vencimento. Quando os vencimentos ocorrem no final dos períodos unitários, a partir do
primeiro, a fórmula para determinar o desconto total de uma série de títulos pode ser escrita:

Dt  PV  n  d 
1  tn 
2

Onde, tn representa o prazo expresso em número de períodos unitários (mês, bimestre, ano,
etc.), referente ao título que vence por último, será sempre igual ao número de títulos (n).

É importante lembrar que o período unitário da taxa deve estar sempre coerente com o
período unitário do prazo, isto é, se na fórmula de cálculo os prazos forem representados em
meses, trimestres ou anos, a taxa de desconto também deve ser representada em termos de
taxa mensal, trimestral ou anual, respectivamente.

Exemplo: Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no
valor de R$1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de
desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês.

Solução:
Dt  PV  n  d 
1  tn  → D 1  12 → D
t t  3.276,00
 1.680,00 12  0,025 
2 2
VLt = 1.680,00 × 12 – 3.276,00→ VLt = 20.160,00 – 3.276,00→ VLt = 16.884,00

Exemplo: Quatro duplicatas, no valor de R$32.500,00 cada uma, com vencimentos para 90,
120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto
cobrada pelo banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor do desconto.

Solução:
Dt  PV  n  d 
t1  tn  → D  32.500,00  4  0,0345 
3  6 → D  20.182,50
t t
2 2

RELAÇÃO ENTRE TAXA DE DESCONTO NO PERÍODO E JURO COMPOSTO:
Exemplo: Se um produto é vendido a R$1.000,00 para 63 dias, qual o desconto que o
fornecedor pode conceder na venda à vista, se pratica uma taxa de juros composto de 5,0%
a.m.?

Podemos calcular a taxa de desconto, igualando as equações:

PV = FV ÷ (1 + i)n, da capitalização composta;
PV = FV × (1 – d × n), do desconto comercial:



d
1  i n  1 100
1  i n  n
n = 63/30 =2,1 meses
Temos:

d
1  i n  1 100 → d  1  0,052,1  1 100 → d = 4,637% ao mês (taxa de desconto)
1  i n  n 1  0,052,1  2,1
De acordo com o exemplo anterior, como o comprador, ao receber a oferta de desconto de
4,637% ao mês na compra à vista poderá calcular a taxa mensal de juros compostos
praticados pelo fornecedor?

Da mesma maneira acima, poderemos chegar à equação para calcular a taxa de juro:

1
in  1100
1  d  n

1 1
in  1100 → i  2,1  1100 → i = 5,0% ao mês
1  d  n 1  0,04637  2,1

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
Exemplo: Se a um produto no valor de R$100,00 forem concedidos dois descontos de 20%, o
valor líquido será de R$64,00. De fato, com o primeiro desconto de 20%, o valor líquido será
de R$80,00 e com o segundo desconto de 20%, agora sobre R$80,00, o valor líquido passa a
ser de R$64,00. A equação do valor líquido no caso do desconto composto poderá ser
deduzida a partir do desconto simples.
Equação:
VA = VN × (1 – d)n

Onde VA é o valor atual, VN é o valor nominal do título, d é a taxa de desconto e n prazo a
decorrer até o vencimento.

Na prática, dificilmente será constatada a aplicação do desconto composto tal como aqui
colocado. No entanto, se um fornecedor tivesse cobrado 25% a.m., de juros na venda com 30
dias, na venda à vista poderia conceder 20% de desconto. Essa relação entre taxa de juros e
taxa de desconto, já foi descrita anteriormente.

Se esse mesmo fornecedor vendesse com 60 dias, certamente cobraria um acréscimo de
56,25% a.p., de juros. Se fizermos a equivalência de taxa obteremos a taxa de desconto de
36% a.p., que é exatamente o desconto composto aplicado na apuração do valor líquido de
R$64,00 que resulta do exemplo acima.

Se aplicarmos uma equação em relação aos valores dados, obteremos:
d = (VA – VN) ÷ VA × 100



d = (100,00 – 64,00) ÷ 100 × 100 = 36% a.p.
Portanto, a utilização do desconto composto é comum na prática comercial brasileira, porém
compõe-se a taxa de desconto para o período antes de informá-la. Como no exemplo aqui
demonstrado, concede-se 36% ao bimestre em vez de dois descontos sucessivos de 20% a.m.

10- Qual o paralelo entre elementos e terminologia?
Resposta:
Todo processo de ensino e aprendizagem em Matemática envolve um forte apelo
comunicativo, seja nas formas escrita, falada, gestual ou em uma combinação destas. Por estas
vias que são construídos e compartilhados conceitos e relações no âmbito da Matemática.
Particular atenção deve ser dedicada às funções que desempenham o sistema simbólico
(elementos) e a terminologia, que na Matemática assumem características muito peculiares.

Chamamos a atenção para o fato de que o uso adequado desses elementos e terminologia, de
tantos outros símbolos na comunicação escrita em Matemática tem como seus principais
atributos concisão e precisão para aprendizagem. Nas variadas situações podem auxiliar
decisivamente na transmissão de quantidades de informações muito densas ocupando pouco
espaço. Com isso, podemos, por exemplo, evitar corriqueiras confusões entre símbolos e
objetos que os primeiros representam.

A identificação de conceitos e definições relacionada ao processo de representação de termos
de uma determinada área do conhecimento se dá através da terminologia dos elementos dessa
área de conhecimento.

Elementos são as representações de coisas, números e objetos na Matemática.
Terminologia são os conceitos essenciais das representações Matemática, aliadas as regras e
suas leis de formação.

Para compreendermos bem os conceitos e definições, teoremas que constituem as teorias
matemáticas, é indispensável à terminologia que se traduz na linguagem mais precisa e
rigorosa do que a que se utiliza, em geral, na vida corrente.

Conjuntos são usados para descrever propriedades matemáticas. Conjunto é uma reunião de
elementos, podemos dizer que essa definição é bem primitiva, mas a partir dessa ideia
podemos relacionar outras situações. O conjunto universo e o conjunto vazio são tipos
especiais de conjuntos. Vazio: não possui elementos e pode ser representado por { } ou Ø.
Universo: possui todos os elementos de acordo com o que estamos trabalhando, pode ser
representado pela letra maiúscula U. Os conjuntos servem para representar qualquer situação
envolvendo ou não elementos.

Como em qualquer assunto a ser estudado, principalmente na Matemática também exige uma
linguagem adequada para o seu desenvolvimento, chamada de TERMINOLOGIA.

A teoria dos conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos
desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.
Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que
adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos conjuntos.
Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência.


Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores
desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de
habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e
o que é pertinência.

Os elementos são os conjuntos e suas operações desses conjuntos. Os elementos são as
coleções de objetos de natureza qualquer, as quais se dizem elementos do conjunto e para
representar os elementos usamos os símbolos matemáticos.

Considerando que a utilização de uma terminologia homogênea simplifica o entendimento e
facilita a comunicação. Em sua primeira acepção, a palavra terminologia significa um
“conjunto de palavras técnicas pertencentes a uma ciência, uma arte, um autor ou um grupo
social”. O conhecimento dos conceitos específicos e da terminologia utilizada em uma
especialidade determinada é um precioso trunfo profissional. O trabalho de terminologia
exige uma série de procedimentos, tais como: identificar os termos que designam os conceitos
próprios de uma área, atestar o emprego por meio de referências precisas, descrevê-los com
concisão, discernindo o uso correto do uso incorreto e de recomendar ou desaconselhar certos
usos, a fim de facilitar uma comunicação isenta de ambiguidades.

Em terminologia comparada, as discrepâncias que penetram necessariamente na transferência
de conhecimentos especializados entre línguas manifestam-se no momento de identificação
dos termos, pela ausência de designações naturais em uma das línguas em contato.

11- O que são juros simples?
Resposta:
Primeiramente, juros é um atributo de uma aplicação financeira, isto é, uma quantia em
dinheiro que deve ser paga por um devedor (tomador) - o que pede emprestado, pela
utilização do dinheiro de um credor - aquele que empresta.

Juro é o preço pago pela utilização de fundos tomados por empréstimo ou financiamento,
pode-se referir também a um valor adicional, incidente sobre as prestações de pagamento ou
sobre o montante total; expressado geralmente por uma percentagem anual, semestral,
trimestral ou mensal, seu cálculo considera três variáveis: o valor do capital inicial ou do bem
adquirido, o prazo para que seja saldado e a taxa de mercado, quando calculado sobre o
principal, denomina-se juro simples.

Os juros simples são acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação.

Capital é o valor que é emprestado e/ou financiado, seja na compra de produtos ou
empréstimos em dinheiro. A grande diferença dos juros é que no final das contas quem
financia por juros simples obtém um montante - valor total a pagar.

O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética
(PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critério, os juros somente
incidem sobre o capital inicial da operação.

No regime de capitalização a juros simples, somente o capital inicial, também conhecido
como principal, Valor Presente (PV), rende juros é diretamente proporcional ao tempo de


aplicação. Assim, o total dos juros (J) resultante da aplicação de um capital por um
determinado período n, a uma taxa de juros dada, será calculado pela fórmula:

J = PV × i × n

A taxa de juros deverá estar na mesma unidade de tempo do período de aplicação, isto é, para
um período de n anos, a taxa será anual.
Podemos calcular o total conseguido ao final do período, isto é, o montante (FV), através da
soma do capital inicial aplicado com o juro gerado. O montante pode ser expresso, para este
caso, por: FV = PV + J, originando a fórmula:

FV = PV × (1 + i × n)

Nos meios, econômico e financeiro, o emprego de juros simples é pouco frequente. De acordo
com OLIVEIRA (1982), o reinvestimento dos juros é prática usual e a sua consideração na
consecução de estudos econômico-financeiros deve ser levada em conta, até mesmo por uma
questão de realismo.

Situação-problema: Um capital de R$10.000,00 foi aplicado por 12 meses, a juros simples.
Calcule o valor a ser resgatado no final deste período à taxa de 1,20% a.m.

O valor a ser resgatado é o capital mais os juros do período, isto é, o montante.
Primeiramente podemos calcular os juros:
J = 10.000,00 × 12 × 0,0120 = R$1.440,00.
Como FV = PV + J, o valor resgatado será: FV = R$10.000,00 + 1.440,00 = R$11.440,00.

Planilha de evolução do capital pelo Excel:
MÊS MONTANTE INICIAL JUROS MONTANTE
ATUALIZADO
1 R$ 10.000,00 R$ 120,00 R$ 10.120,00
2 R$ 10.120,00 R$ 120,00 R$ 10.240,00
3 R$ 10.240,00 R$ 120,00 R$ 10.360,00
4 R$ 10.360,00 R$ 120,00 R$ 10.480,00
5 R$ 10.480,00 R$ 120,00 R$ 10.600,00
6 R$ 10.600,00 R$ 120,00 R$ 10.720,00
7 R$ 10.720,00 R$ 120,00 R$ 10.840,00
8 R$ 10.840,00 R$ 120,00 R$ 10.960,00
9 R$ 10.960,00 R$ 120,00 R$ 11.080,00
10 R$ 11.080,00 R$ 120,00 R$ 11.200,00
11 R$ 11.200,00 R$ 120,00 R$ 11.320,00
12 R$ 11.320,00 R$ 120,00 R$ 11.440,00



Concluímos que, de acordo com estes cálculos a juros simples possuem a característica de que
a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, dessa forma em uma operação financeira
o valor dos juros serão iguais em todos os períodos.

A equação matemática no Excel:

VF = VP × (1 + TAXA × NPER)

Observemos os dois exemplos abaixo: no primeiro exemplo o cálculo está sendo realizado
fora das células em que se encontram as variáveis citadas, a fim de que seja possível realizar
um novo cálculo a qualquer momento. Desse modo, faz-se necessário proteger as células que
modificam a célula.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Equivalência de Taxas:
Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital;
• pelo mesmo intervalo de tempo.
Ambas produzem o mesmo juro ou montante.

No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes, ou
seja, uma taxa de 12% ao ano é equivalente a 1% ao mês.



Exemplo: Seja um capital de R$10.000,00 que pode ser aplicado alternativamente à taxa de
2% a.m., ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar-se as taxas são
equivalentes.

Solução:
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m., pelo prazo de dois anos, temos o juro de:
J1 = 10.000,00 × 0,02 × 24 = R$4.800,00

Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a., por dois anos, temos um juro igual a:
J2 = 10.000,00 × 0,24 × 2 = R$4.800,00

Constatamos que o juro gerado é igual nas duas hipóteses, nestas condições, concluímos que a
taxa de 2% a.m., é equivalente à taxa de 24% a.a.

Períodos não-inteiros
Quando o prazo de aplicação não é um número inteiro de períodos a que se refere à taxa de
juros, faz-se o seguinte:
1. Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de períodos;
2. Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente.

O juro total é a soma do juro referente à parte inteira com o juro da parte fracionária.

Exemplo: Qual o juro e qual o montante de um capital de R$1.000,00 que é aplicado à taxa
de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses?

Solução:
Sabemos que 5 anos e 9 meses são iguais a 5 x 12 meses + 9 meses = 69 meses
Cada semestre tem seis meses: 69 ÷ 6 = 11,5 semestres, isto é, 5 anos e 9 meses é igual a 11
semestres e 3 meses ou 11,5 semestres.

a) Cálculo do juro:
J = 1.000,00 × 0,12 × 11,5 = R$1.380,00

12- O que são juros compostos?
Resposta:
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial,
acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa
varia exponencialmente em função do tempo.

O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do
capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da
dívida.

A simbologia usada será FV para valor futuro ou montante, PV para valor presente ou capital
inicial, n para o prazo ou período de capitalização e i para a taxa.



A dedução da equação para calcular o valor futuro (montante) para um único pagamento é
pouco mais complexa que a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos
admitir o seguinte problema:

Calcular o montante de um capital de R$1.000,00, aplicado á taxa de 4% ao mês, durante 5
meses.

Mês (n) Capital no início do Juros correspondentes ao mês (Jn) Montante no final do
mês (PVn) mês (FVn)
1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00
2 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60
3 1.081,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86
4 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86
5 1.169,86 1.169,86 x 0,04 = 46,79 1.216,65
Logo, o montante será de R$1.216,65.

Demonstração algébrica da equação do montante:
FV0 = PV→ montante no momento zero (hoje).

Temos que, montante é capital mais juros: FV = PV + (VP × i):

FV1 = PV + PV × i = VP × (1 + i) → montante no final do primeiro período;
FV2 = PV × (1 + i) + VP × (1 + i) × i = VP × (1 + i) × (1 + i) = VP × (1 + i)2
FV3 = PV × (1 + i)2 + VP × (1 + i)2 × i = VP × (1 + i)2 × (1 + i) = VP × (1 + i)3
FV4 = PV × (1 + i)3 + VP × (1 + i)3 × i= VP × (1 + i)3 × (1 + i) = VP × (1 + i)4
...
FVn = VP × (1 + i)n + VP × (1 + i)n × i = VP × (1 + i) n × (1 + i) = VP × (1 + i)n

Para simplificar, vamos fazer FVn = FV. Assim, a fórmula final do montante é dada pela
equação:

VF = VP × (1 + i)n

No exercício anterior podemos fazer:
FV = 1.000 × (1 + 0,04)5 = R$1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.

Exemplo: Calcular o montante de uma aplicação de R$15.000,00 pelo prazo de 6 meses, à
taxa de 1,75% ao mês.

Solução:
FV = PV × (1 + i)n
FV = 15.000,00 × (1 + 0,0175)6 = R$16.645,54.

Cálculo do Juro
Para calcular somente o juro, temos que J = FV – PV→ J = VP × (1 + i)n – VP, resultando:
J = PV × [(1 + i)n – 1]



Exemplo: Qual o juro pago no caso do empréstimo de R$10.000,00 à taxa de juros compostos
de 1,25% a.m., pelo prazo de 10 meses?

Solução:
J = VP × [(1 + i)n – 1]
J = 10.000,00 × [(1 + 0,0125)10 – 1] = R$1.322,71.

Exemplo: No final de dois anos, devo efetuar um pagamento de R$200.000,00 referentes ao
valor de um empréstimo contraído hoje, sabendo que a taxa acordada foi de 1,10% ao mês
com capitalização mensal, pergunta-se: Qual o valor emprestado?

Solução:
FV 200.000,00
PV  → PV  → PV = R$153.816,26.
1  i n
1  0,01124
Exemplo: Uma determinada loja financia a venda de uma mercadoria no valor de R$
1.299,99, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 2.151,48 no final de 8
meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Solução:
FV 2.151,48
in  1100 → i  8  1100 → i = 6,5% ao mês.
PV 1.299,99

Exemplo: Em que prazo um empréstimo de R$20.000,00 pode ser quitado em um único
pagamento de R$41.951,35, sabendo-se que a taxa contratada é de 2,5% ao mês?

Solução:
 FV   41.951,35 
log  log 
n  PV  → n   20.000,00  → n = 30 meses.
log 1  i  1  0,025
Exemplo: Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$10.000,00 no seu vencimento,
que ocorrerá dentro de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 15% ao ano,
determinar o seu valor presente.

Solução: Neste caso o período está em meses e a taxa em ano, na capitalização composta à
taxa não pode ser dividida para se adequar ao período, para adequar a taxa ao período
temos que fazer equivalência de taxa ou adequar o período a taxa.

13- Argumente a equivalência de taxas de juros simples e juros compostos?
Resposta:
Equivalência de Taxas – Juro Composto
Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital;
• pelo mesmo intervalo de tempo.



Ambas produzem o mesmo juro ou montante.

No regime de juros composto, as taxas de juros não são proporcionais, ou seja, uma taxa de
12% ao ano é não é equivalente a 1% ao mês.

Partido do principio acima, se tomarmos um capital inicial PV e aplicarmos a juro composto
no período de um ano teremos FV = VP × (1+ ia) aplicando o mesmo capital inicial no mesmo
período, mas capitalizado mensalmente, temos: FV = PV × (1+ im)12.

Para que as taxas sejam equivalentes, os montantes terão que ser iguais, assim:
PV × (1 + ia) = PV × (1 + im)12
Da igualdade acima, deduz-se que:
(1 + ia) = (1 + im)12

Para determinar a taxa anual, conhecida a taxa mensal:
ia = (1 + im)12 – 1 × 100

Para determinar a taxa mensal, quando se conhece a anual:
im  12 1  ia   1100 ou im  1  ia 12  1100
1

Observação: da mesma forma, dada uma taxa mensal ou anual, determina-se à taxa diária e
vice-versa.

Exemplos:
1. Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês:

ia = (1 + im)12 – 1 × 100 = (1,02)12 – 1 × 100 = 26,82% ao ano.

2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano:

im = (1 + ia)1/12 – 1 × 100 = (1,60103)1/2 – 1 × 100 = 4% ao mês.

3. Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia:

ia = (1 + id)360 – 1 × 100 = (1,0019442)360 – 1 × 100 = 101,22% ao ano.

4. Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos:

it = (1 + i2a)1/8 – 1 × 100 = (1,47746 )1/8 – 1 × 100 = 5% ao trimestre.

5. Determinar a taxa anual equivalente a 1% à quinzena:

ia = (1 + iq)24 – 1 × 100 = (1,01)24 – 1 × 100 = 26,97% ao ano.

Como no dia-a-dia, os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são
os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para
qualquer caso, isto é:



iq  1  it  t  1100
q

Para efeito de memorização, denominamos as variáveis como segue:
iq → taxa para o prazo que eu quero;
it → taxa para o prazo que eu tenho;
q → prazo que eu quero;
t → prazo que eu tenho.

Exemplos:
6. Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano:

i183 = (1 + 0,65)183/360 – 1 × 100 = 28,99%.

7. Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês:

i491 = (1 + 0,05)491/30 – 1 × 100 = 122,23%.

8. Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre:

i27 = (1 + 0,13)27/90 – 1 × 100 = 3,73%.

O regime de capitalização composta comporta-se como uma Progressão Geométrica – PG,
crescendo os juros de forma exponencial ao longo do tempo. Neste critério os juros se
incorporam ao capital (Valor Presente) ao final de cada período de capitalização, assim sendo
em todo início de cada período, sempre terá um novo capital.

O fator (1 + i)n é denominado de fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.

14- Qual a diferença entre taxa nominal e efetiva?
Resposta:
A taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator
capital, utilizado durante certo período de tempo. As taxas de juros se referem a uma unidade
de tempo (dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.) e podem ser: percentual e unitária.
Em linhas gerais, a taxa de juros nada mais é do que a remuneração obtida a partir de um
determinado capital aplicado por um prazo determinado.
Quando falamos de taxas de juros, várias denominações podem aparecer, confundindo aqueles
que não estão familiarizados com a terminologia financeira. Neste tópico iremos conhecer as
diferenças entre a denominação para as taxas de juros nominal e efetiva.
A taxa nominal é a taxa de juros, acordada em contrato que se acrescentará às prestações de
um empréstimo e/ou financiamento. Esta taxa geralmente é expressa em períodos de
incorporação dos juros que não coincide com aquele que a taxa está se referindo.
A taxa efetiva geralmente é usada quando o período de formação e incorporação dos juros
coincide com o período que a taxa está se referindo. Essa taxa é resultante da aplicação
periódica do juro previsto na taxa nominal.
Por exemplo, a uma taxa nominal de 12% ao ano, a taxa efetiva será de 1% ao mês. Como a
aplicação desse percentual é feita mês a mês, juro sobre juro, a taxa total, no final de um ano,
não será mais os 12% contratados, mas 12,68%.



Observação importante, a taxa nominal e a taxa efetiva nos juros simples são iguais, nos juros
compostos a taxa nominal é menor ou igual à taxa efetiva.

Quanto menor o período considerado para a contagem dos juros, maior será a diferença
entre a taxa efetiva e a taxa nominal. Taxa Efetiva e Taxa Nominal: Uma taxa de juro é
considerada nominal quando o prazo de incorporação de juros não coincide com aquele que a
taxa se refere. É comum no dia-a-dia apresentar a taxa nominal, porém para o cálculo dos
juros é utilizada a taxa efetiva.
Por exemplo, uma taxa de juros nominal de 6% ao ano, corresponde a uma taxa efetiva de
0,5% ao mês (= 6 ÷ 12). Se calcularmos a taxa efetiva anual, teremos 6,1678% ao ano: taxa
ano = [(1 + 0,5/100)^12 -1] * 100 (através do Excel). A diferença entre taxa nominal e taxa
real é bastante simples: a taxa nominal é a taxa que normalmente é divulgada pelas
instituições financeiras, enquanto que a taxa real é dada pela diferença entre taxa nominal e a
inflação do período.
Por exemplo, se uma aplicação bancária teve uma rentabilidade de 10% no ano passado
(chamamos de taxa nominal) e a inflação no mesmo período foi de 6%, temos que a taxa
real foi de quase 4%.
Concluímos que, a taxa nominal é aquela taxa que é contratada na hora da compra e a
taxa efetiva é aquela taxa que é cobrada na hora de pagar.

Taxa de juro nominal, efetiva e real:
A taxa de juro nominal é a taxa de juro que deve ser indicada em todos os contratos de crédito
e aplicações financeiras e corresponde ao período de um ano. É normalmente identificada
como taxa anual nominal (ian).
Sempre que o pagamento de juros tiver periodicidade inferior a um ano e os juros forem
adicionados ao capital inicial (juro composto), a taxa efetiva (ie) é superior à taxa de juro
nominal.
A taxa efetiva (ie) depende da taxa de juro anual nominal (ian), do prazo expresso em
proporção do ano (n) e da periodicidade de pagamento de juros (k):

nk
 i 
ie  1  an   1100
 k 

A taxa efetiva (ie) ao ser corrigido pela taxa de inflação verificada no período permite
determinar a taxa de juro real (ir) que é dada por:

 1  ie 
ir     1100
1  

Taxa de juro bruta e líquida:
A taxa de juro anual nominal (ian) é uma taxa de juro anual, apresentada, em geral, em termos
brutos (ianb), pois não desconta os impostos que incidem sobre as aplicações financeiras.
A taxa anual nominal líquida (ianl), já incorpora retenção de impostos (26,5% caso não haja
regime especial) efetuada pela instituição, assim, pelo que a taxa anual nominal bruta (ianb) é
maior do que a taxa anual nominal líquida (ianl).
ianl = 0,735 × ianb



O que é taxa anual nominal?
Resposta: A taxa anual nominal (ian) serve de base para quando aplicada a um determinado
capital, por determinado período, produza um valor que se denomina por juro. Representa o
preço do dinheiro, servindo de referência para determinar o seu custo. É aplicada em todas as
aplicações financeiras e deve estar presente em todos os contratos de crédito. Na generalidade
das vezes, neste tipo de taxa é utilizada a periodicidade anual.
O que é taxa anual efetiva?
Resposta: A taxa anual efetiva (iae) espelha a taxa de juro nominal contratada, a periodicidade
de pagamentos e custos associados ao crédito, iniciais e mensais, à exceção dos seguros. A
taxa anual efetiva pratica a mesma unidade de tempo que o período de capitalização, sendo
considerada entre as taxas de juros como a única medida de comparação rigorosa, que revela
o custo efetivo de um crédito. Este tipo de taxa é aplicada, frequentemente, ao crédito de
habitação. Através da taxa anual efetiva foi criada a taxa anual efetiva global para créditos
relacionados com o consumo.

As diferenças entre as taxas de juros, anual nominal e anual efetiva são que, enquanto a
taxa anual nominal, apenas se refere aos juros referentes ao montante em questão, a taxa anual
efetiva envolve todas as despesas associadas ao crédito, iniciais e mensais. Visto não ser
apenas sobre o valor que é emprestado e/ou financiado pela instituição financeira que recai os
juros, mas também sobre comissões e impostos. Para comparações entre propostas de crédito,
de maneira a optar pela melhor oferta, deve verificar sempre o valor da taxa anual efetiva e
não da taxa anual nominal. No entanto, os critérios de comparação também têm de serem
semelhantes para a comparação ter fundamento, critérios esses como, por exemplo: os
montantes, os prazos e os indexantes têm de ser iguais. Como conclusão, podemos retirar que
a taxa nominal é a base para o cálculo de juros sobre o montante original, a taxa efetiva
engloba a nominal mais as despesas com os encargos envolventes num crédito e trata-se de
uma ótima taxa de comparação de créditos. A taxa efetiva é aplicada no crédito de habitação,
tendo sido criada a taxa efetiva global para créditos ao consumo. Na decisão de escolha de um
crédito, não só o spread influência a mensalidade de um crédito, mas também a taxa anual
efetiva, o que a torna em uma das taxas mais importantes para a obtenção de uma mensalidade
baixa.

=EFETIVA(taxa nominal; nper)
 Taxa_nominal é a taxa nominal de juros.
 Nper é o número de pagamentos de juros compostos por ano.



Exemplo: Suponha que você tenha a oportunidade de fazer um empréstimo com uma taxa
nominal de juros anual de 8.25% compostos trimestralmente. Qual será a taxa efetiva de
juros?

Para determinar a taxa efetiva de juros, faça o seguinte:
 Posicione o mouse sobre a célula D8.
 Digite a fórmula =EFETIVA(D5;D6), onde D5 é a taxa nominal e D6 é o número de
períodos no ano. Como estamos trabalhando com períodos trimestrais, o valor
assumido aqui será 4 (considerando que 4 trimestres totalizam o período de um ano).

Como resultado, a função retornará o percentual de 8,51%.



Importante: Para que essa função seja reconhecida pelo Excel, é necessário saber
disponibilizar novas funções de planilha. Para isso, acesse: Menu Ferramentas, clique sobre
Suplementos e ative a opção Ferramentas de Análise. Clique em OK para confirmar.
=NOMINAL(taxa efetiva; nper)
 Taxa efetiva é a taxa efetiva de juros
 Nper é o número de pagamentos de juros compostos por ano.

Exemplo: Em nosso exemplo, vamos calcular a taxa nominal de uma taxa efetiva anual de
6% composta mensalmente.

Para determinar a taxa efetiva de juros, faça o seguinte:
 Posicione o mouse sobre a célula D8.
 Digite a fórmula =NOMINAL(D5; D6), onde D5 é a taxa efetiva e D6 é o número de
períodos no ano. Como estamos trabalhando com períodos mensais, o valor assumido
aqui será 12 (considerando que 12 meses totalizam o período de um ano).

Como resultado, a função retornará o percentual de 5,84%.



Importante: Para que essa função seja reconhecida pelo Excel, é necessário saber
disponibilizar novas funções de planilha. Para isso, acesse: Menu Ferramentas, clique sobre
Suplementos e ative a opção Ferramentas de Análise. Clique em OK para confirmar.

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
Temos uma taxa nominal de juros quando o prazo de capitalização não coincide com aquele a
que se refere à taxa. Neste caso, é comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de
capitalização seja proporcional à taxa nominal. Quando calculamos a taxa efetiva de uma
operação não utilizamos o tempo da operação, mas o prazo de um ano sempre.
Um bom exemplo de diferença é a Taxa de Juros do Cheque Especial. Sempre mostram a
Taxa Nominal “ao mês”, enquanto os juros são capitalizados diariamente.

TAXA NOMINAL, TAXA EFETIVA E TAXA EQUIVALENTE
Sem dúvida, se tem um assunto que gera muita confusão na Matemática Financeira são os
conceitos de taxa nominal, taxa efetiva e taxa equivalente. Até na esfera judicial esses
assuntos geram muitas dúvidas nos cálculos de empréstimos, financiamentos, consórcios e
etc.

Vamos tentar esclarecer esses conceitos, que na maioria das vezes, nos livros e apostilas
disponíveis no mercado não são apresentados de maneira clara e objetiva.
Temos a chamada taxa de juros nominal, quando esta não é realmente a taxa utilizada para o
cálculo dos juros (é uma taxa “sem efeito”). A capitalização (o prazo de formação e
incorporação de juros ao capital inicial) será dada através de outra taxa, em uma unidade de
tempo diferente, taxa efetiva.
Como calcular a taxa que realmente será utilizada; isto é, a taxa efetiva?
Vamos acompanhar através do exemplo:
Calcular o montante do capital de R$1.000,00, aplicados durante 18 meses, capitalizados
mensalmente, a uma taxa de 12% a.a. Explicando o que é taxa nominal, efetiva mensal e
equivalente mensal:
Respostas e soluções:
1. A taxa nominal é 12% a.a.; pois o capital não será capitalizado com a taxa anual;
2. A taxa efetiva mensal a ser utilizada depende de duas convenções: taxa proporcional
mensal ou taxa equivalente mensal:
a) Taxa proporcional mensal (divide-se a taxa anual por 12): 12% ÷ 12 = 1% a.m.;
b) Taxa equivalente mensal (é aquela que aplicado aos R$1.000,00, rende os mesmos juros
que a taxa anual aplicada nesse mesmo capital).


Cálculo da taxa equivalente mensal:
iq  1  it  t  1100
q

Onde:
iq → taxa equivalente para o prazo que eu quero;
it → taxa para o prazo que eu tenho;
q → prazo que eu quero;
t → prazo que eu tenho.

iq  1  it  t  1100 → iq  1  0,1212  1100 → iq = 0,948879% a.m.
q 1

Exemplo: Cálculo do montante pedido, utilizando a taxa efetiva mensal:
a) pela convenção da taxa proporcional:
FV = PV × (1 + i)n→ FV = 1.000,00 × (1 + 0,01)18 → FV = 1.000,00 × 1,196147
FV = 1.196,15.
b) pela convenção da taxa equivalente:
FV = PV × (1 + i)n→ FV = 1.000,00 × (1 + 0,00948879)18 → FV = 1.000,00 × 1,185297
FV = 1.185,30.

Nota: Para comprovar que a taxa de 0,949% a.m., é equivalente a taxa de 12% a.a., basta
calcular o montante utilizando a taxa anual, neste caso, teremos que transformar 18 meses em
anos para fazer o cálculo, ou seja, 18 ÷ 12 = 1,5 anos.
Assim:
FV = PV × (1 + i)n→ FV = 1.000,00 × (1 + 0,12)1,5 → FV = 1.000,00 × 1,185297
FV = 1.185,30.

Conclusões:
1. A taxa nominal é 12% a.a., pois não foi aplicada no cálculo do montante. Normalmente a
taxa nominal vem sempre ao ano;
2. A taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é aquela que foi utilizado para cálculo do
montante. Pode ser uma taxa proporcional mensal (1% a.m.) ou uma taxa equivalente mensal
(0,949% a.m.);
3. Qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em se tratando de concursos públicos, na
grande maioria das bancas examinadoras utilizam a convenção da taxa proporcional. Em se
tratando do mercado financeiro, utiliza-se a convenção de taxa equivalente.

15- Quais as modalidades de desconto comercial?
Resposta:
A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro
de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu
valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um
título e o seu valor presente na data da operação, ou seja: D = FV – PV, em que D representa
o valor monetário do desconto, FV o seu valor futuro (valor assumido pelo título na data do
seu vencimento) e PV o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim, como no caso dos



juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de
tempo.

Embora seja frequente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos,
claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período
da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto à taxa do período
incide sobre o seu montante ou valor futuro.

De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e composto,
envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso do desconto
composto.

O desconto é dividido em:
a) Desconto Racional (por dentro).
b) Desconto Comercial (por fora).

a) DESCONTO RACIONAL (por dentro).

Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes do
vencimento, ou seja, é o mesmo que juro simples. Não será dada muita importância a menos
de comparação, pois raramente tem sido aplicado no Brasil.

Assim, temos que:
Dr = FV – PV

Como:
PV = FV ÷ (1 + i × n)

Conclusão:

FV  i  n
Dr 
1  i  n
b) DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (por fora)

Desconto comercial simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o
montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado,
principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicata” realizadas pelos bancos,
sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. É obtido
multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até
o seu vencimento, ou seja:

Assim, temos que:
Dc = FV × d × n



Onde: d representa a taxa de desconto e n representa o prazo. Para se obter o valor presente,
também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do
título, como segue:

PV = FV – D

Assim, temos que:
PV = FV – FV × d × n

Conclusão:

PV = FV × (1 – d × n)

Exemplo: Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$2.000,00, com
vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? Observação: n = 90 dias = 3 meses (a taxa
está em mês, devemos transformar o período para essa unidade)

Solução:
Dc = FV × d × n→ D = 2.000,00 × 0,025 × 3 = R$150,00.

Exemplo: Qual a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação para 120 dias,
cujo valor de resgate é de R$1.000,00 e cujo valor atual é de R$880,00?

Solução:
Dc = FV – PV = 1.000,00 – 880,00 = R$120,00.

Isolando a taxa d na fórmula do desconto, temos:
d = [D ÷ (FV × n)] × 100 → d = [120,00 ÷ (1.000,00 × 4)] × 100 → d = 3% ao mês.

Exemplo: Uma duplicata no valor de R$6.800,00 é descontada por fora, por um banco,
gerando um crédito de R$6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo
banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata.

Solução:
Dc = FV – PV
DC = 6.800,00 – 6.000,00 = R$800,00.
Isolando o prazo n na equação Dc = FV × d × n, temos: n = Dc ÷ (FV × d), substituindo os
valores resulta que:

n = 800,00 ÷ (6.800,00 × 0,032)→ n = 3,676 meses, equivale 110 dias (3,676 × 30).

Exemplo: Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao
desconto por fora de uma duplicata no valor R$34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se
que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% ao mês.

Solução:



Como nesse problema a taxa e o prazo não estão na mesma unidade de tempo (a taxa é mensal
e o prazo está expresso em número de dias), basta, para compatibilizá-los, dividir um dos dois
por 30, como segue:

Dc = FV × d × n
Dc = 34.000,00 × 0,047 × (41 ÷ 30)
Dc = 2.183,93

Como: PV = FV – Dc tem-se: PV = 34.000,00 – 2.183,93 = R$31.816,07.

RELAÇÃO ENTRE TAXA DE DESCONTO NO PERÍODO E JURO COMPOSTO:
Exemplo: Se um produto é vendido a R$1.000,00 para 63 dias, qual o desconto que o
fornecedor pode conceder na venda à vista, se pratica uma taxa de juros composto de 5,0%
a.m.?

Podemos calcular a taxa de desconto, igualando as equações:

PV = FV ÷ (1 + i)n, da capitalização composta;
PV = FV × (1 – d × n), do desconto comercial:

d
1  i n  1 100
1  i n  n
n = 63/30 =2,1 meses
Temos:

d
1  i n  1 100 → d  1  0,052,1  1 100 → d = 4,637% ao mês (taxa de desconto)
1  i n  n 1  0,052,1  2,1
De acordo com o exemplo anterior, como o comprador, ao receber a oferta de desconto de
4,637% ao mês na compra à vista poderá calcular a taxa mensal de juros compostos
praticados pelo fornecedor?

Da mesma maneira acima, poderemos chegar à equação para calcular a taxa de juro:

1
in  1100
1  d  n

1 1
in  1100 → i  2,1  1100 → i = 5,0% ao mês
1  d  n 1  0,04637  2,1
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
Exemplo: Se a um produto no valor de R$100,00 forem concedidos dois descontos de 20%, o
valor líquido será de R$64,00. De fato, com o primeiro desconto de 20%, o valor líquido será
de R$80,00 e com o segundo desconto de 20%, agora sobre R$80,00, o valor líquido passa a



ser de R$64,00. A equação do valor líquido no caso do desconto composto poderá ser
deduzida a partir do desconto simples.
Equação:
VA = VN × (1 – d)n

Onde VA é o valor atual, VN é o valor nominal do título, d é a taxa de desconto e n prazo a
decorrer até o vencimento.

Na prática, dificilmente será constatada a aplicação do desconto composto tal como aqui
colocado. No entanto, se um fornecedor tivesse cobrado 25% a.m., de juros na venda com 30
dias, na venda à vista poderia conceder 20% de desconto. Essa relação entre taxa de juros e
taxa de desconto, já foi descrita anteriormente.

Se esse mesmo fornecedor vendesse com 60 dias, certamente cobraria um acréscimo de
56,25% a.p., de juros. Se fizermos a equivalência de taxa obteremos a taxa de desconto de
36% a.p., que é exatamente o desconto composto aplicado na apuração do valor líquido de
R$64,00 que resulta do exemplo acima.

Se aplicarmos uma equação em relação aos valores dados, obteremos:
d = (VA – VN) ÷ VA × 100
d = (100,00 – 64,00) ÷ 100 × 100 = 36% a.p.
Portanto, a utilização do desconto composto é comum na prática comercial brasileira, porém
compõe-se a taxa de desconto para o período antes de informá-la. Como no exemplo aqui
demonstrado, concede-se 36% ao bimestre em vez de dois descontos sucessivos de 20% a.m.

16- O que é taxa interna de retorno?
Resposta:
A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos
(saídas de caixa) com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa). Como
normalmente temos um fluxo de caixa inicial (no instante “zero”) que representa o valor do
investimento ou do empréstimo ou do financiamento, diversos fluxos futuros de caixa
representando os valores das receitas ou das prestações, a equação que nos dá a taxa interna
de retorno – TIR pode ser escrita como segue:

n
FC j FC1 FC2 FCn
FC0      ... 
j 1 1  i  j
1  i  1  i 
1 2
1  i n

n
FC j
FC0   0
j 1 1  i  j
Assim, se deduz que, a partir do exemplo a seguir deixa claro esse conceito.

Exemplo: Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de
R$1.000,00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$300,00; R$500,00 e R$400,00.
O fluxo de caixa correspondente a essa operação, tomando-se como referência o doador de
recursos, é representado como segue:



300,00 500,00 400,00
1.000,00   
1  i 1 1  i 2 1  i 3
A solução desse problema implica resolver a seguinte equação matemática em que i é
denominado taxa interna de retorno. A solução dessa equação somente pode ser obtida pelo
processo iterativo, ou seja, por “tentativa e erro”. Assim, vamos admitir inicialmente uma taxa
qualquer que julgarmos próxima da taxa procurada. Digamos 6%. Com base nessa taxa,
vamos calcular o valor presente dos três pagamentos.

300,00 500,00 400,00
P    1.063,86
1  0,06 1  0,06 1  0,063
1 2

Como o valor presente desses pagamentos é superior a R$1.000,00, deduz-se logo que a TIR é
maior que 6%. Vejamos para 11%:

300,00 500,00 400,00
P    968,56
1  0,11 1  0,11 1  0,113
1 2

Portanto, a TIR é uma taxa situada entre 6% e 11%. A partir daqui, como ternos duas taxas de
referência, o mais indicado é utilizarmos o processo de interpolação linear, como segue:

1.063,86  968,56  6% 11%
1.000,00  968,56  x 11%

95,30  5%
31,44  x  11%

31,44   5%
x  11% 
95,30
x  11%  1,65%
Assim, x é a taxa interna de retorno procurada. A partir destes valores, podemos escrever:
x = 11% - 1,65% = 9,35%

300,00 500,00 400,00
P    998,42
1  0,0935 1  0,0935 1  0,09353
1 2



Vamos verificar o valor presente para essa taxa:
A taxa procurada é um pouco menor que essa. A solução é proceder à nova interpolação,
tomando como base à taxa anterior:

998,42  968,56  9,35% 11%
1.000,00  998,42  x  9,35%

29,86  1,65%
1,58  x  9,35%

1,58   1,65%
x  9,35% 
29,86
x  9,35%  0,09%

x = 9,35% - 0,09% = 9,26%

300,00 500,00 400,00
P    1.000,09
1  0,0926 1  0,0926 1  0,09263
1 2

Para essa taxa temos o seguinte valor presente:
Rigorosamente, a taxa ainda não é essa. Pouco superior. Uma nova interpolação entre 9,26% e
9,35% nos dará 9,265%, calculando-se o valor presente dos três pagamentos, a essa taxa,
obteremos o valor de R$999,99, ou seja, com uma diferença de apenas R$0,01. Portanto,
podemos aceitar essa taxa como a taxa interna de retorno do nosso problema.

Resolver esse tipo de problema sem um recurso adequado é muito trabalhoso e demanda de
tempo, usando uma calculadora financeira a resolução é um pouco mais simples, mas na
planilha esse tipo de problema é muito simples de resolver.

17- Faça uma explicação detalhada sobre indexação de juros?
Resposta:
A indexação, em economia, é um sistema de reajuste de preços, inclusive salários e aluguéis,
de acordo com índices oficiais de variação dos preços. Em conjunturas inflacionárias, a
indexação permite corrigir o valor real dos salários e aluguéis e demais preços da economia,
reajustando-os com base na inflação passada. No entanto, a indexação automática pode
realimentar a inflação futura. Antes de 1994, a inflação anual no Brasil11 era de quase 5000%

11
Trabalho científico de autoria deste Acadêmico: Mário Ferreira Neto:
Título: A HISTÓRIA DA INFLAÇÃO E OS JUROS NO BRASIL. Endereço eletrônico
www.webartigos.com/artigos/a-historia-da-inflacao-e-os-juros-no-brasil/64195/. Data da publicação:
19/abril/2011.
Título: A HISTÓRIA DA INFLAÇÃO E OS JUROS NO BRASIL. Endereço eletrônico: Revista de Doutrina
Jurídica - Brasil Jurídico, Goiânia, ano 9, nº 1, jan./dez. 2011. Data da publicação: Goiânia, ano 9, nº
1, jan./dez. 2011. Entidade publicadora: BRASIL JURÍDICO – REVISTA DE DOUTRINA JURÍDICA –
EDIÇÃO 2011: www.bj.com.br ou www.infocomp.com.br, 62 3225 3878, CNPJ 02.795.183/0001-04,
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e os preços subiam quase diariamente. Os salários, a fim de acompanhar os preços, também
eram reajustados através do chamado "gatilho" inflacionário que determinava uma correção
automática dos valores, assim que a inflação atingisse determinado nível.
Junto da inflação voltou à indexação: a prática de se atrelar valores a algum índice, que
provocam reajustes automáticos. Reajustes que provocam novos reajustes e levam os
economistas a dizer que dependendo do grau de indexação, fica ainda mais difícil combater a
inflação.
Viver está mais caro, não há dúvida, porque os preços estão subindo e a inflação, mesmo com
o argumento de que está controlada, a dor de cabeça para o consumidor é grande. O que muita
gente não sabe é que 1/3 da alta dos preços está sob o efeito de uma palavra que andou um
pouco sumida: a indexação. A indexação atinge muitas despesas presentes no dia-a-dia:
transporte, energia elétrica, água, telefone, aluguel. Em apenas quatro meses, a alta dos preços
administrados subiu mais do que em todo o ano passado. São contratos que carregam na
fórmula de reajuste a inflação passada. O economista Silvio Campos Neto diz: “Independente
do cenário econômico, mais aquecido ou menos aquecido, esses preços vão ser reajustados
com base na inflação passada e ainda assim acabar mantendo uma inflação mais alta para os
próximos períodos”.
A indexação é a forma que a sociedade encontrou para se proteger da inflação. A indexação
era muito usada na época em que os preços mudavam quase todo dia. Depois do Plano Real, o
Governo conseguiu desindexar boa parte da economia, mas sobraram alguns resquícios, que
em tempos de inflação alta ficam mais evidentes. É o caso do salário mínimo. Indexado à
inflação e ao crescimento do PIB. A economista Thais Marzola Zara disse: “Num ambiente
em que o rendimento real sobe, fica muito mais difícil você controlar repasses de aumento de
preço, porque quando o poder aquisitivo aumenta, as pessoas acabam tendendo a aceitar
aumentos de preços muito maiores do que se ela não tivesse aumento de poder aquisitivo”.
Os economistas alertam: quanto mais indexada for à economia, mais persistente será a
inflação e mais trabalho o Banco Central do Brasil terá para combatê-la.
Explica o economista Silvio Campos Neto: “A política monetária tem que ser mais apertada,
mais aumento de juros e só assim você consegue reduzir a inflação em meio ao ambiente de
indexação elevada”.
No Brasil, o Plano Real, implantado, a partir de 1º de julho de 1994, deu início à estabilidade
econômica, reduzindo a inflação anual para cerca de 4%. No entanto, ainda permanece
alguma indexação na economia, embora não automática. Os reajustes anuais de salários, por
exemplo, ainda são negociados com base no índice inflacionário do ano anterior.
Dada à conjuntura atual de estabilidade monetária, a correção automática de contratos, via
indexação, foi desaparecendo do cenário econômico brasileiro. Os preços não são mais
reajustados com base na variação mensal dos índices de preços do IBGE. A inflação, medida
pelo IPCA/IBGE (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), tem baixado, pouco, mas tem. Os
preços administrados, ou seja, os monitorados pelo governo federal, tais como: gasolina,
energia elétrica, telefonia, planos de saúde, remédios, gás de cozinha, passagens aéreas e
transporte público, vez por outro aumentam. Os preços administrados eram apontados como
os responsáveis pelo aumento contínuo da inflação. Também, os índices de serviços

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103, Setor Oeste, CEP 74080-075 - Goiânia – GO, Fone - Fax: (62) 3225-3878.



nãocomercializáveis (escola, aluguéis, etc.), os quais de 2001 a 2005, aumentaram entre 6% e
7%, tiveram aumento menor (4,4%) entre julho de 2005 e junho de 2006.
A inflação em queda possibilitou a desindexação de grande parte da economia brasileira. No
entanto, é senso comum entre os economistas que uma desindexação total não é possível. Há
alguns "vilões" que eventualmente provocam aumentos de preços.
Além dos preços administrados acima mencionados, há também o setor da telefonia, cujos
índices de serviços aumentaram, desde julho de 1994 (início do Plano Real), em 662,21%,
contra o IPCA/IBGE de 200,29% no mesmo período. Ocorre que as tarifas telefônicas sofriam
correções através dos IGP (Índices Gerais de Preços) da Fundação Getúlio Vargas (FGV),
cujas taxas eram influenciadas pelo dólar, em baixa em 2006. Por conseguinte, com as crises
cambais em 1999 e em 2002, os serviços de telefonia tiveram um aumento bem superior ao
nível da inflação. Hoje, a telefonia segue uma combinação dos índices IPCA/IBGE e
IGP/FGV, com o que são suavizados os impactos de eventuais crises de câmbio. Ademais,
basta notar que em 2005 o IGP beirou 1% e o IPCA ficou em 4,03%.
A consequência da estabilidade dos preços pela indexação é boa, tanto para os fornecedores
de serviços, quanto para os clientes: os primeiros aumentam sua clientela, enquanto que os
segundos não sofrem no bolso os efeitos corrosivos da inflação. No Brasil, a tendência é
continuar a vigorar a livre negociação dos contratos.
Em uma economia instável, em que se recorre a indexação geral dos preços, um dos maiores
problemas é a retenção de títulos indexados em contas correntes não indexadas, ou seja,
aquelas em que se desenvolvem um fluxo de caixa; em que esta conta corrente não é
indexada também; na mesma proporção. A necessidade de se criar uma moeda de transição.
No Brasil, antes da implantação do Real, foi a Unidade Real de Valor (URV), esta
indexada. Onde toda a Economia se indexava e disciplinava, antes da implantação definitiva
da MoedaReal.
Não sendo aconselhado, portanto, acrescentar a uma conta corrente nâo - indexada, valores
(Moedas) indexados; sob pena de descontrole contábil, vide estudos de Econometria a
respeito, do professor Mario Henrique Simonsen elaborados no periodo inflacionário de 1954
a 1964, no livro Inflação: Gradualismo X Tratamento de Choque. Uma vez que o mesmo
processo da moeda indexada Unidade Real de Valor para o Real, já ocorreu também, em
1967 no Brasil: na chamada Moeda indexada Novo Cruzeiro (NCr$), que teve sua
existência entre 1964 até 1967, quando a Economia finalmente se estabilizou e o Cr$ perdeu
o n de seu prefixo, voltando a ser apenas Cruzeiro e simbolizado por Cr$. Desta forma, ajuste
para se conhecer a evolução real de valores monetários em inflação se processam mediante
indexações (inflacionamento) e desindexações (deflacionamento) dos valores aparentes,
através de índices de preços.
A indexação consiste em corrigir os valores aparentes de uma data em moeda representativa
de mesmo poder de compra em momento posterior. A desindexação, ao contrário, envolve
transformar valores aparentes em moeda representativa de mesmo poder de compra em um
momento anterior.
A inflação é o aumento persistente e generalizado no valor dos preços onde esse aumento é
contínuo. Quando a inflação chega a zero dizemos que houve uma estabilidade nos preços. A
famigerada inflação pode ser dividida ou classificada em inflação de demanda, é quando há
excesso de demanda agregada em relação à produção disponível. As chances da inflação da
demanda acontecer aumentam quando a economia produz próximo do emprego de recursos.
Para a inflação de demanda ser combatida, é necessário que a política econômica se baseie em
instrumentos que provoquem a redução da procura agregada. Já a inflação de custos está
associada à inflação de oferta. O nível da demanda permanece e os custos aumentam.


Com o aumento dos custos ocorre uma retração da produção fazendo com que os preços de
mercado também sofram aumento. As causas mais comuns da inflação de custos são: os
aumentos salariais fazem com que o custo unitário de um bem ou serviço aumente o aumento
do custo de matéria-prima que provoca super aumento nos custos da produção fazendo com
que o custo final do bem ou serviço aumente e por fim, a estrutura de mercado que algumas
empresas aumentam seus lucros acima da elevação dos custos de produção. A inflação é
medida por períodos e quando ela se manifesta com certa ferocidade, na medição teremos os
índices de inflação.
A inflação possui vários índices entre eles o IGP (Índice Geral de Preços), IPA (Índice de
Preços no Atacado), INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor), IPCA (Índice de
Preços ao Consumidor Amplo), INCC (Índice Nacional do Custo da Construção), CUB
(Custo Unitário Básico). Dos sites Brasil Escola, Wikipédia fizemos uma visita e anotamos o
que se segue: “Em economia inflação é a queda do valor de mercado ou poder de compra do
dinheiro”. Isso é equivalente ao aumento no nível geral de preços. Inflação é o oposto de
deflação. Inflação zero ou muito baixa, é uma situação chamada de estabilidade de preços.
O poder de compra cai porque o dinheiro perde seu valor rapidamente. A dívida interna e
externa de um país aumenta assustadoramente e consequentemente a nação se torna mais
endividada. A crise aumenta, as exportações sofrem queda obrigando a importação
desenfreada causando imenso impacto na economia. Em alguns contextos, a palavra inflação
é utilizada para significar um aumento no suprimento de dinheiro e a expansão monetária, o
que é às vezes visto como a causa do aumento de preços; alguns economistas (como os da
Escola austríaca) preferem o primeiro significado, em vez de definir inflação pelo aumento de
preços.
Assim, por exemplo, alguns estudiosos da década de 1920 nos EUA referem-se à inflação,
ainda que os preços não estivessem aumentando naquele período. Mas de um modo geral, a
palavra inflação é usada como aumento de preços, a menos que um significado alternativo
seja expressamente especificado. Outra distinção também se faz quando se analisam os efeitos
internos e externos da inflação: externamente, a inflação se traduz mais por uma
desvalorização da moeda local frente a outras, e internamente ela se exprime mais no aumento
do volume de dinheiro e aumento dos preços.
Um exemplo clássico de inflação foi o aumento de preços no Império Romano, causado pela
desvalorização dos denários que, antes confeccionados em ouro puro, passaram a ser
fabricados com todo tipo de impurezas. O imperador Diocleciano, ao invés de perceber essa
causa, já que a ciência econômica ainda não existia, culpou a avareza dos mercadores pela alta
dos preços, promulgando em 301 um edito que punia com a morte qualquer um que praticasse
preços acima dos fixados. Com os senhores podem notar e avaliar a inflação não é coisa nova,
visto que ela já tinha grandes raízes no grande Império Romano. Os denários, palavra de
origem do latim denarium, por via erudita, na adjetivação significava aquilo que contém dez.
Antiga moeda romana que valia dez asse. Antigo peso de farmácia e ourivesaria, bem como a
antiga moeda romana de cobre. A inflação pode ser contrastada com a reflação, que é ou um
aumento de preços de um estado deflacionado, ou alternativamente, uma redução na taxa de
deflação (ou seja, situações em que o nível geral de preços está caindo em uma taxa
decrescente). Um termo relacionado é desinflação, que é uma redução na taxa de inflação,
mas não o suficiente para causar deflação. A inflação é uma situação caótica que preocupa
qualquer governo e também sua população.
Para encerrar esta matéria muito importante para quem quer se inteirar dos males da inflação
informamos o seguinte: “Os processos inflacionários podem ser classificados, segundo


algumas características como: Inflação prematura - processo inflacionário gerado pelo
aumento dos preços sem que o pleno emprego seja atendido”. Inflação reprimida - processo
inflacionário gerado pelo congelamento dos preços por parte do governo. Inflação de custo -
processo inflacionário gerado pelo aumento dos custos de produção. Por causa de uma
redução na oferta de fatores de produção, o seu preço aumenta. Com o custo dos fatores de
produção mais altos, a produção se reduz e ocorre uma redução na oferta dos bens de
consumo aumentando seu preço. A inflação de custo ocorre ceteris paribus quando a
produção se reduz. A Inflação de demanda - processo inflacionário gerado pelo aumento do
consumo com a economia em pleno emprego. Ou seja, os preços sobem por que há aumento
geral da demanda sem um acompanhamento no crescimento da oferta.
Esse tipo de inflação é causado também pela emissão elevada de moeda e aumento nos níveis
de investimento, pois, ceteris paribus, passa a haver muito dinheiro à cata de poucas
mercadorias. Uma das formas utilizadas para o controle de uma crise de inflação de demanda
é um redução na oferta de moeda, que gera uma redução no crédito, e consequente
desaceleração econômica. Alternativas é o aumento de tributos, elevação da taxa de juros e
das restrições de crédito. Há ainda aqueles que discutem a chamada inflação (por razão)
estrutural, proposta pela Cepal, que tem a ver com alguma questão especifica de um
determinado mercado, como pressão de sindicatos, tabelamento de preços acima do valor de
mercado (caso do salário mínimo), imperfeições técnicas no mecanismo de compra e venda.
Outro tipo de inflação, também muito danoso, é a Inflação Inercial, onde há um circulo
vicioso de elevação de preços, taxas e contratos, com base em índices de inflação passados.
Quase na mesma linha, podemos citar ainda a inflação de expectativas, consequência de um
aumento de preços provocados pelas projeções dos agentes sobre a inflação. Se nos
estendermos mais sobre o assunto com certeza iremos ter que construir um livro sobre
economia.
A medição da inflação é feita através de uma grandeza denominada núcleo da inflação: mede
o que os economistas chamam de "coração da inflação". O Banco Central do Brasil utiliza o
modelo de médias aparadas: ou seja, excluem-se as altas e baixas mais expressivas. Em outras
palavras, todo o índice é bom, o segredo científico, da verdade científica está em não ficar
mudando de indicador (palavras do ex-ministro Delfim Neto), pois mais cedo ou mais tarde
será corrigido esse índice pelo levantamento científico dos valores, pelos órgãos científicos
competentes. Outro modelo é o utilizado pelo FED (o banco central americano): aqui, são
excluídos do cálculo os preços de itens mais sujeitos a choques de custo, como alimentos e
energia. Cepal é a Comissão Econômica para a América Latina e o Caribe e o FED é uma
entidade econômica que mede a inflação nos Estados Unidos da América do Norte (EUA).
Fizemos o possível para a execução dessa matéria de pesquisa sobre os efeitos daninhos da
inflação para a população de um país e de uma nação como queiram. A generalização, cada
vez maior, da correção monetária, e a popularização do emprego de indexadores, levaram as
autoridades monetárias brasileiras a ficar praticamente sem controle da moeda nacional
Cruzeiro, que era cada vez menos eficaz, o que acabou impondo a sua revogação por outra,
que foi denominada Cruzado, instituída pelo Decreto-lei 2.264, de 10 de março de 1986.
Tendo em vista, contudo, a rede de interesses que se montou em torno da correção monetária,
e a poderosa “clientela” que foi alimentada por ela durante mais de uma década, não foi nada
fácil extingui-la, o que exigiu a edição de diversos outros “pacotes” econômicos posteriores
ao Plano Cruzado.
As sucessivas reformas monetárias tiveram, todas elas, a finalidade de acabar com a correção
monetária que, porém, no caso dos primeiros planos, passado algum tempo, de novo
recrudescia, obrigava o governo a colocar em prática outro modelo, o que deu a todos esses


planos – até a edição do último deles, o Real, em 1994, que foi bem sucedido – certo toque de
transitoriedade.
Desde 1986 até 8 de maio de1991- data em que foi deferida, em sessão plenária do STF, a
liminar na ADI n. 493-0, DF – houve, no Brasil, nada menos do que 11 (onze) reformas com
características monetárias, que foram as seguintes:
a) em 1986, o Plano Cruzado, que extinguiu a ORTN e criou a OTN (Obrigação do Tesouro
Nacional) e o IPC (Índice de Preços ao Consumidor) e instituiu uma nova moeda,
denominada Cruzado;
b) ainda em 1986, o governo SARNEY baixou o Decreto-lei 2.290, de 21 de novembro de
1986, que procurava fortalecer o Cruzado;
c) no mesmo ano, foi publicado o Decreto-Lei 2.302, de 21 de novembro de 1986, que criou o
denominado “gatilho salarial”;
d) em 1987, o Decreto-lei 2.322, de 26 de fevereiro de 1987, “descongelou” a OTN;
e) ainda em 1987 pelo Decreto-Lei 2.335, de 12 de junho de 1987, foi editado o Plano
Bresser, que instituiu a Unidade de Referência de Preços (URP), que foi depois “congelada”
pelo Decreto-Lei 2.425, de 7 de abril de 1988;
f) em 1989, a Medida Provisória n. 32, de 15 de janeiro de 1989, convolada na Lei 7.730, de
31 de janeiro de 1989, instituiu o Plano Verão, que criou outra moeda, denominada Cruzado
Novo;
g) em 1989, a Lei 7.774, de 8 de junho de 1989, estendeu, retroativamente, a aplicação do IPC
a diversas obrigações monetárias anteriores;
h) ainda em 1989, a Lei 7.777, de 1° de junho de 1989, criou o BTN (Bônus do Tesouro
Nacional);
i) pouco depois, também em 1989, a Lei 7.799, de 10 de julho de 1989, criou o BTN-fiscal;
j) em 1990, a Lei 8.024, de 12 de abril de 1990, em que foi convolada a Medida Provisória n.
168, de 15 de março de 1990, baixou o Plano Collor, que criou uma nova moeda, designada
Cruzeiro;
k) em 1991, através das Medidas Provisórias ns. 294 e 295, de 31 de janeiro de 1991, que
foram convoladas nas Leis 8.177 e 8.178, de 1° de março de 1991, foi editado o Plano Collor
II, que extinguiu os BTNs, proibiu o IBGE de divulgar o IPC, e criou a Taxa Referencial
(TR).
O Plano Cruzado, o primeiro a pretender acabar com a indexação, subestimou a força da
correção monetária (de sua clientela) julgando que poderia eliminá-la através de um amplo
“congelamento”, retirando o “R” (abreviatura de “reajustável”) da ORTN, transformando-a
em OTN, e criando um misto de índice e indexador, o IPC.
Instituir a OTN, e congelá-la por um ano, foi um equívoco do Plano Cruzado, pois não se
tratava de um simples preço da Economia, mas, sim, de um indexador, que deveria ter sido
extinto definitivamente, para evitar a sua repristinação, como ocorreu, um ano depois, pelo
Decreto-lei 2.322, de 1987, que “descongelou” a OTN, de forma, aliás, inconstitucional, por
ter tido efeitos retroativos. A repristinação da ORTN foi a primeira das muitas e sucessivas
aplicações retroativas de índices e indexadores, que acabaram atribuindo, na prática, efeitos
contínuos à correção monetária.
O Decreto-lei 2.322, de 1987, numa reação contra o Cruzado, “descongelou” a OTN e, com
isso, reindexou a Economia, dando início a série de idas e vindas que desmoralizaram, perante
o Judiciário, as autoridades responsáveis pela edição dos “pacotes” econômicos, instaurando
um conflito entre os Poderes da República, com reflexos negativos na ordem jurídica.
O índice de reajuste da OTN era a variação do IPC, que foi estendido, também
retroativamente, ao período anterior de um ano, em que houvera o congelamento da OTN. A


aplicação do IPC passou a incidir sobre todas as obrigações (além daquelas a que fizera
menção o Decreto-lei 2.284, de 1986), sempre com efeitos retroativos (de forma, portanto,
mais uma vez, inconstitucional).
O Plano Verão, baixado pela Lei 7.730, de 1989, de vigência efêmera, extinguiu a OTN, mas
manteve o IPC como indexador residual e substitutivo (que mais tarde generalizou-se).
Medidas posteriores ao Plano Verão, (como, por exemplo, a Lei 7.774, de 8 de junho de
1989) procuraram estimular a utilização de “índices setorizados”, para evitar o uso de
indexador de caráter geral o que, porém, não ocorreu na prática.
A URP, criada pelo Plano Bresser, foi uma tentativa, logo frustrada, de o governo administrar
a indexação, o que, ao não produzir resultados, fortaleceu o IPC como indexador.
A instituição do indexador BTN e, pouco depois, do BTN-fiscal (este último com frequência
diária de reajuste) consistiu no reconhecimento explícito do fracasso dos planos anteriores de
desindexação e manteve a prática inconstitucional de preservar a artificial continuidade dos
indexadores que sustentavam a correção monetária.
A estratégia de combate à inflação da equipe econômica de COLLOR consistia numa
diminuição abrupta da quantidade de haveres financeiros na economia (não só de moeda
como de créditos indexados), que ficou conhecido como o “confisco da poupança”. A reação
a essas medidas foi, contudo, desde o início, muito forte, especialmente na área jurídica.
Apesar de ter ido tão longe, a ponto de promover a retenção de ativos financeiros para, através
disso, desindexar a economia, o governo COLLOR não considerou necessário extinguir,
desde logo, a unidade de conta BTN, bastando, a seu ver, controlá-la, através da vedação da
aplicação de fórmulas de reajustamento de preços ou de indexação de contratos proibidas por
Lei, regulamento, instrução ministerial ou de outro órgão ou entidade competente, ou diversas
daqueles que forem legalmente estabelecidos.
A desindexação incidiu, portanto, pelo menos no início, apenas sobre os salários, tendo o
governo imposto a livre negociação salarial entre patrões e empregados, após o que foi fixado,
oficialmente, em zero, o índice para reajuste mínimo dos salários.
Em um revide à campanha que estava sendo promovida contra a sua política econômica, o
Governo, em 31 de janeiro de 1991, através das Medidas Provisórias ns. 294 e 295 deu fim,
de uma penada, ao over e ao overnight, substituindo-os pelo "fundão" (administrado pelo
Banco Central e não mais pelos bancos privados) e acabou com a unidade de conta BTN,
ganhando com isso certo fôlego político.
Impõem-se, a esta altura, algumas considerações sobre essas Reformas Monetárias, que
antecederam o Plano Real.
A instituição de uma nova moeda, com a revogação da anterior, é, por definição, uma medida
retroativa, porque ela, na medida em que visa tornar mais eficaz a moeda revogada, afeta o
conteúdo de validade das normas jurídicas anteriores. A retroatividade, nos casos de reforma
monetária em senso estrito, não é, todavia, inconstitucional, porque a moeda nacional é única,
e consiste na norma superior e fundamental da ordem monetária nacional, o que transforma a
substituição de uma moeda por outra numa verdadeira reforma constitucional.
Não se pode, porém, admitir que o mesmo ocorra quando se trata não de moedas, mas de
indexadores, dando-lhes caráter retroativo, como ocorreu no Brasil, sendo inadmissível a
continuidade atribuída a tais indexadores.
Os indexadores não passam de obrigações monetárias cujas quantias, utilizadas para reajustar
as demais obrigações, são expressas em moeda nacional (em termos absolutos ou
percentuais). Quando a moeda, em que as diversas quantias dos indexadores se expressam, é
revogada, e substituída por outra, os indexadores, como todas as obrigações monetárias na
moeda anterior, ficam, também, necessariamente, revogados.


Um indexador não pode, mais tarde, ser “recriado”, pois isso implica em fazer a norma
posterior retroagir, para incidir sobre situações de fato anteriores, o que é inconstitucional,
como decidiu o STF ao julgar a ADI 493-0-DF.
Depois do julgamento da ADI 493-0-DF houve outras reformas de cunho monetário. Em
1991, a Lei 8.383 criou a Unidade Fiscal de Referência (UFIR); em 1993, foi criado o
Cruzeiro Real; em 1994, a Lei 8.880 instituiu a Unidade Real de Valor e em 1994, a Medida
Provisória n. 542, que foi convolada na Lei 9.069, de 1995, baixou o Plano Real, que foi
muito mais eficiente do que os planos anteriores, embora seja vulnerável, especialmente pelos
dois motivos seguintes: (a) tentou acabar com a correção monetária através de um indexador
temporário, a Unidade Real de Valor (URV), tratando-a como se fosse um padrão monetário e
(b) deixou de instituir, explicitamente, uma norma de conversão das obrigações monetárias
anteriormente expressas em cruzeiros reais.
Existem no mercado financeiro inúmeros índices e indexadores que estabelecem relações com
diversos segmentos.
No mercado de renda fixa os títulos têm emissores e características próprias. Basicamente,
existem três grupos de emissores de títulos de renda fixa: Governo (títulos públicos), Bancos
e empresas (títulos privados). Com relação a remuneração podemos classificar os títulos em:
pré-fixados quando os rendimentos já são conhecidos previamente ou pós-fixados quando o
rendimento depende de um indexador.
Consulte mais informações sobre os principais indexadores e suas características:
Renda Fixa pós-fixada: principais indexadores:
Entidades que divulgam cotações dos títulos de renda fixa:
 DI
 IGP: Índice Geral de Preços
 TR: Taxa Referêncial
 IPCA: Índice de Preços ao Consumidor Amplo
O Depósito Interfinanceiro é um “instrumento” através do qual as instituições “trocam”
reservas bancárias entre si. Além de ser este “instrumento”, o DI também é o “indexador”
(taxa de juros) que representa média das taxas diárias praticadas pelas instituições financeiras
nestas transações.
Se um investidor aplica recursos em DI por 30 dias, ao final deste prazo o montante a ser
resgatado será o principal corrigido pelo acumulado em dias úteis da taxa DI de cada dia
expressa de forma diária.
A taxa do DI é expressa em percentual ao ano, considerando 252 dias úteis para seu cálculo.

Exemplo: Taxa de juros = 10,00% a.a. (ao ano, base 252 dias úteis). Taxa de juros de 1 dia =
(1 + 0,10)^(1/252) = 0,0378% ao dia (fórmula do Excel). O DI é um indexador utilizado para
remunerar alguns títulos de renda fixa como o CDB ou como referência em operações de
troca de indexadores.

A indexação nascida com a correção monetária, essa indexação é uma invenção brasileira.
Um “jeitinho” típico para acomodar tensões entre classes e categorias sociais, na corrida para
reduzir as perdas reais de lucros e salários, ocorridas com a alta persistente dos preços. Foi
adotada em 1964, ou seja, no bojo dos primeiros conjuntos de medidas com vistas a uma
reinstitucionalização do País, sob a ótica liberal que orientou, pelo menos nos primeiros
tempos, a política econômica dos militares que haviam tomado o poder naquele ano, tendo
entre os mentores principais o economista Roberto Campos. Copiada em vários países, depois



de um período inicial de estabilidade, a indexação desandou em virulentas hiperinflações em
todos eles.
A luta pela desindexação no Brasil é uma das páginas mais dramáticas da história das
políticas econômicas. A construção e o desenvolvimento do conceito de inflação inercial –
aquela que se realimenta dela mesma -, que está no DNA do Plano Real, é também um dos
mais belos capítulos das teorias que formam a história do pensamento econômico
contemporâneo. Obra de brilhantes economistas, professores da PUC-RJ, que, depois de
prestigiosas carreiras acadêmicas e de passagens pelo governo, transferiram-se quase todos
para o setor financeiro.
Não é tudo que foi desindexado com o Plano Real. Tarifas públicas, por exemplo,
continuaram com correção anual por índices de inflação definidos em contrato. Cerca de um
terço do IPCA, no fim das contas, é composto por preços administrados, em geral indexados,
imunes aos efeitos da política monetária.
Essa é uma das fragilidades do sistema de metas de inflação e um dos fatores que contribuem
para que a taxa de juros acabe mais alta. É preciso puxá-la para compensar a indexação dos
preços administrado imunes ao enxugamento monetário.
Além de um privilégio sem razão de ser e de um (mau) exemplo para o resto da sociedade
vindo do topo, a troco do que o Judiciário achou por bem querer indexar os salários dos seus -
o que, obviamente, por conta das regras de isonomia, repercutirá por todo o funcionalismo
público, se não há horizonte nem longínquo nível de inflação que justifique a indexação?
A resposta pode estar em outras passagens dos projetos de lei do Judiciário. Querem também
o STF e a Procuradoria-Geral reservar para o próprio Judiciário a fixação de seus reajustes
salariais, sem o escrutínio do Congresso e sem a devida adequação aos orçamentos públicos.
O reajuste automático, desde logo vazio de razões técnicas, parece fazer parte dessa
inexplicável e gravíssima tentativa de desequilibrar o peso dos Poderes republicanos.
A imagem do Judiciário junto à opinião pública é péssima – o que também é péssimo para a
democracia brasileira. Mas parece que o próprio Poder não se importa com isso e quer piorá-
la ainda mais.

Conceito: Atualização Monetária são os ajustes contábeis e financeiros, realizados com o
intuito de se demonstrar os preços de aquisição em moeda em circulação no país (atualmente
o Real), em relação ao valor de outras moedas ou índices de inflação ou cotação do mercado
financeiro.
A indexação, em economia, é um sistema de reajuste de preços, inclusive salários e aluguéis,
de acordo com índices oficiais de variação dos preços. Em conjunturas inflacionárias, a
indexação permite corrigir o valor real dos salários e aluguéis e demais preços da economia,
reajustando-os com base na inflação passada. No entanto, a indexação automática pode
realimentar a inflação futura.
Variação cambial: é a diferença resultante da conversão de um número específico de
unidades em uma moeda para outra moeda, a diferentes taxas cambiais. Taxa de câmbio é a
relação de troca entre duas moedas.
Princípios contábeis: Em função das características da Economia brasileira, e da doutrina da
essência econômica utilizada para o estudo das Ciências Contábeis no Brasil, a Atualização
Monetária é considerada pelo CFC - Conselho Federal de Contabilidade, um Princípio
Fundamental de Contabilidade. Antes denominado de "Princípio da Correção Monetária", ele
atualmente é denominado "Princípio da Atualização Monetária". Com o fim da hiperinflação,
os ajustes dessa natureza nas Demonstrações Financeiras brasileiras são efetuados em razão



das altas taxas de juros praticadas pelas instituições financeiras; e em decorrência do regime
de "Câmbio Flutuante", que periodicamente provoca grandes oscilações na cotação do Dólar
americano em relação ao Real. Quem nunca ouviu (ou disse) a expressão “você vai me pagar
com juros e correção monetária”? O termo “atualização monetária”, também conhecida como
correção monetária, é muito utilizado no pagamento de dívidas. Em Economia é também
chamado de “Correção Monetária”, ou seja, um ajuste feito periodicamente de certos valores
na economia tendo em base o valor da inflação de um período, objetivando compensar a perda
de valor da moeda.
Em outras palavras, atualização monetária representa um valor que pagamos além dos juros
ou eventualmente da multa (quando se trata de atraso de pagamento) para compensar a perda
do poder de compra (por conta da inflação no período).
Mas o que seria a perda do poder de compra? Considere que na ida ao supermercado para
fazer as compras do mês, a pessoa comprasse sempre os mesmos itens nas mesmas
quantidades e das mesmas marcas. No primeiro mês, ele realiza todas as compras ao custo de
R$100,00. Por conta disso, ele leva no mês seguinte os mesmos R$100,00, mas ao se dirigir
ao caixa, percebe que o valor total ultrapassa um pouco esse valor, porque alguns itens
aumentaram de preço. Isso significa que o poder de compra dos R$100,00 no dia 1º do mês, já
não é mais o mesmo no segundo mês, por conta da elevação (ou inflação) do preço.
Aumento ou reajuste de salário? Algumas empresas, prefeituras e governos promovem um
“aumento salarial” anual em torno de 5%. Quando recebem, muitos funcionários ficam felizes
por acharem que receberam um aumento. Mas pensemos um pouco. Se a inflação do ano
anterior foi em torno de 5%, o que receberam foi realmente um aumento ou apenas um
reajuste por conta da inflação ou, em outras palavras, nosso salário foi atualizado
monetariamente, para não perdermos nosso poder de compra? Será que esse reajuste não
deveria ser obrigatório? É algo a se pensar...
No Brasil, a Atualização Monetária é considerada pelo Conselho Federal de Contabilidade
como um Princípio Fundamental de Contabilidade. Até 1994, o Brasil sofria com os altos
índices da inflação, os ajustes que eram feitos na economia eram considerados como Correção
Monetária de Balanço, que tinha uma regulamentação determinada pelo governo federal.
Atualmente, as correções econômicas são denominadas pelo Princípio da Atualização
Monetária, por isso é comum se deparar com a utilização de dois termos: Atualização
Monetária ou Correção Monetária. Passado o período em que o país sofreu com a
hiperinflação, os novos reajustes na economia são baseados nas altas taxas de juros que as
instituições financeiras praticam. Outro fator que se tornou comum na rotina da economia
brasileira é o Câmbio Flutuante, que, por sua vez, é responsável pelas oscilações da cotação
do Dólar em relação ao Real.
Assim, a Atualização ou Correção Monetária é praticada atualmente no país com o intuito de
regular os valores da economia, baseando-se no preço da moeda, nos índices da inflação e na
cotação do mercado financeiro. Tais ajustes são praticados periodicamente.

EXTINÇÃO DA CORREÇÃO MONETÁRIA LEGAL: Foi o Brasil o país responsável
pela criação da Correção Monetária que em pouco tempo foi adotada por vários outros países.
Ela veio como instrumento responsável pela recomposição do poder de compra dos ativos das
organizações e isso ocorreu com certa eficácia durante aproximadamente trinta anos, quando,
por vários motivos, foi extinta pela Lei n° 9.249, de 26 de dezembro de 1995. Em seu art. 4°
diz que ”fica revogada a correção monetária das demonstrações financeiras de que tratam a
Lei n° 7.799 de 10 de julho de 1989 e o art. 1° da Lei n° 8.200 de 28 de junho de 1991,
Parágrafo Único. Fica vedada a utilização de qualquer sistema de correção monetária de


demonstrações financeiras inclusive para fins societários.” A ultima Correção Monetária
ocorreu em 31-12-95, tornando-se por base o valor da UFIR vigente em 1°-01-96, que
correspondeu R$ 0,8287. A Receita Federal continuou a divulgar os valores da UFIR (em
1996, semestral e em 1997, anual) entretanto, eles não são mais utilizados para fins de
Correção Monetária societária. A partir daí (dívidas e haveres da União) há apenas acréscimo
de juros, equivalentes à taxa referencial do Sistema Especial de Liquidação e de Custódia -
SELIC para títulos públicos federais. Não há previsão legal de correção monetária, e assim
nenhum deles pode ser atingido por indexação. Neste sentido, a Correção Monetária foi criada
para recompor o poder de compra dos ativos das organizações e utilizada com eficiência por
vários anos. A Contabilidade foi quem concebeu o método de operacionalizar o instrumento a
partir das suas Partidas Dobradas.

Na atual situação que se encontra a política monetária brasileira, percebe-se uma relativa
estabilidade da inflação, visto os índices existentes antes do plano de estabilização aplicado
pelo governo (Plano Real), estabilidade esta, que não existia na economia do país em
exercícios anteriores ao Plano Real. Diante da hiperinflação a que fomos expostos, surgia a
Correção Monetária Legal, como tentativa de amenizar os problemas causados pela inflação,
e manutenção do poder aquisitivo constante da moeda, como também possibilitar que as
demonstrações contábeis pudessem ser utilizadas para fins gerenciais, com informações mais
precisas, demonstrando o real estado econômico financeiro da empresa. Foi com a Correção
Monetária Integral que estas distorções formam praticamente solucionadas aumentando a
qualidade das informações prestadas pela contabilidade.
Para a avaliação gerencial correta da lucratividade e rentabilidade da entidade, é indispensável
a utilização da moeda em poder aquisitivo constante, pois mesmo em tempos de estabilidade
econômica pode se perceber variações entre um exercício e outro. Porém, pelo fato da não
obrigatoriedade da Correção Monetária percebe-se a sua não utilização, perdendo assim a
Contabilidade em informação de vital importância para a tomada de decisões. Destaca-se
assim, que a correção monetária dos demonstrativos contábeis é uma ferramenta
indispensável para fornecer informações precisas aos gestores para tomada de decisões mais
acertadas.

18- O que é Sistema de Amortização Constante – SAC12?
Resposta:
A obrigação é satisfeita periodicamente, em função de que os juros são calculados período a
período sobre o saldo devedor, adicionando-se estes juros às amortizações para constituir-se o
valor mensal e periódico da prestação.
As amortizações da dívida são constantes, iguais e periódicas. A equação matemática que
define a amortização é: A = PV ÷ n.
No caso do nosso exemplo, o devedor dever-se-á pagar o valor principal do financiamento em
300 (trezentos) pagamentos mensais e periódicos, isto é, em 300 (trezentas) prestações
variáveis e decrescentes, em função de que as prestações obedecem à seguinte equação
matemática:
PMT = J + A.

12
Trabalho científico de autoria deste Acadêmico: Mário Ferreira Neto: Título: MATEMÁTICA
FINANCEIRA–ESTUDO DOS MÉTODOS OU SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES. Publicações:
http://www.ebah.com.br/user/AAAAATCQsAL/mario-ferreira-neto;
http://www.slideshare.net/marioferreiraneto.


Neste sistema, o devedor pagará o empréstimo ou financiamento em prestações variáveis e
decrescentes, pois incluem em cada uma delas, uma amortização constante (fixa), acrescida
dos juros sobre o saldo devedor: J1 = SD × i em cada período, assim por diante.
Os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor do período anterior.
A→ Amortização;
PV→ Valor presente ou capital ou principal;
n→ Número de período (tempo, prazo);
PMT→ Valor da prestação;
J→ Juros;
SD→ Valor do saldo devedor;
i→ Taxa de juros.
Características básicas do SAC:
 Prestação variável e decrescente;
 Amortização constante, isto é, fixa;
 Juros = Saldo Devedor x taxa de juros (fator);
 Saldo Devedor posterior = Saldo Devedor anterior – Amortização;
 Amortização = Valor presente ÷ número de períodos (meses).
Observação: Saldo Devedor do período é o Saldo Devedor anterior subtraído da Amortização:
SD = SDanterior – A.
Para elaboração da planilha de cálculo deve-se seguir o seguinte roteiro prático:
n Prestações Juros Amortizações Saldo Devedor
PMT J A SD
0 ----- ----- ----- PV
1 PMT1 = A + J1 J1 = PV × i A1 SD1 = PV – A1
2 PMT2 = A + J2 J2 = SD1 × i A2 SD2 = SD1 – A2
n PMT300 = A + J300 J300 = SD299 × i A300 SD300 = SD299 – A300

Para saldar a dívida, no caso presente, financiamento, para calcular o valor de cada
amortização, é necessário dividir o valor financiado, denominado de valor presente pelo
número de prestações (quantidade de meses do financiamento).
PV
A →Fórmula para o cálculo do valor da Amortização no Sistema de
n
Amortização Constante – SAC.
A→ Amortização;
PV→ Valor presente ou capital ou principal;
Observe que o valor da prestação já inclui os juros. Portanto, esse é o valor que o devedor
irá de fato pagar a cada mês. A coluna dos juros é meramente informativa.
Exemplo: Empréstimo de R$128.790,00 para pagamentos com prazo de 300 meses à taxa
mensal efetiva de 0,9112% (conforme dados do contrato).



Cálculo de apuração do valor da amortização:
PV 128.790,00
A   R$429,30
n 300

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - TABELA SAC

NÚMERO VALOR PRESTAÇÃO VALOR SEGUROS VALOR JUROS VALOR AMORTIZAÇÃO
PERÍODO MENSAL TAXA ADM MENSAIS MENSAL VALOR SALDO DEVEDOR

SALDO DEVEDOR INICIAL (SD0) R$ 128.790,00

1 R$ 1.687,83 R$ 85,00 R$ 1.173,53 R$ 429,30 R$ 128.360,70

2 R$ 1.683,92 R$ 85,00 R$ 1.169,62 R$ 429,30 R$ 127.931,40

3 R$ 1.680,01 R$ 85,00 R$ 1.165,71 R$ 429,30 R$ 127.502,10

4 R$ 1.676,10 R$ 85,00 R$ 1.161,80 R$ 429,30 R$ 127.072,80

5 R$ 1.672,19 R$ 85,00 R$ 1.157,89 R$ 429,30 R$ 126.643,50

6 R$ 1.668,28 R$ 85,00 R$ 1.153,98 R$ 429,30 R$ 126.214,20

7 R$ 1.664,36 R$ 85,00 R$ 1.150,06 R$ 429,30 R$ 125.784,90

8 R$ 1.660,45 R$ 85,00 R$ 1.146,15 R$ 429,30 R$ 125.355,60

9 R$ 1.656,54 R$ 85,00 R$ 1.142,24 R$ 429,30 R$ 124.926,30

10 R$ 1.652,63 R$ 85,00 R$ 1.138,33 R$ 429,30 R$ 124.497,00

11 R$ 1.648,72 R$ 85,00 R$ 1.134,42 R$ 429,30 R$ 124.067,70

12 R$ 1.644,80 R$ 85,00 R$ 1.130,50 R$ 429,30 R$ 123.638,40

13 R$ 1.640,89 R$ 85,00 R$ 1.126,59 R$ 429,30 R$ 123.209,10

14 R$ 1.636,98 R$ 85,00 R$ 1.122,68 R$ 429,30 R$ 122.779,80

15 R$ 1.633,07 R$ 85,00 R$ 1.118,77 R$ 429,30 R$ 122.350,50

16 R$ 1.629,16 R$ 85,00 R$ 1.114,86 R$ 429,30 R$ 121.921,20

17 R$ 1.625,25 R$ 85,00 R$ 1.110,95 R$ 429,30 R$ 121.491,90

18 R$ 1.621,33 R$ 85,00 R$ 1.107,03 R$ 429,30 R$ 121.062,60

19 R$ 1.617,42 R$ 85,00 R$ 1.103,12 R$ 429,30 R$ 120.633,30

20 R$ 1.613,51 R$ 85,00 R$ 1.099,21 R$ 429,30 R$ 120.204,00

21 R$ 1.609,60 R$ 85,00 R$ 1.095,30 R$ 429,30 R$ 119.774,70

22 R$ 1.605,69 R$ 85,00 R$ 1.091,39 R$ 429,30 R$ 119.345,40

23 R$ 1.601,78 R$ 85,00 R$ 1.087,48 R$ 429,30 R$ 118.916,10

24 R$ 1.597,86 R$ 85,00 R$ 1.083,56 R$ 429,30 R$ 118.486,80



25 R$ 1.593,95 R$ 85,00 R$ 1.079,65 R$ 429,30 R$ 118.057,50

26 R$ 1.590,04 R$ 85,00 R$ 1.075,74 R$ 429,30 R$ 117.628,20

27 R$ 1.586,13 R$ 85,00 R$ 1.071,83 R$ 429,30 R$ 117.198,90

28 R$ 1.582,22 R$ 85,00 R$ 1.067,92 R$ 429,30 R$ 116.769,60

29 R$ 1.578,30 R$ 85,00 R$ 1.064,00 R$ 429,30 R$ 116.340,30

30 R$ 1.574,39 R$ 85,00 R$ 1.060,09 R$ 429,30 R$ 115.911,00

31 R$ 1.570,48 R$ 85,00 R$ 1.056,18 R$ 429,30 R$ 115.481,70

32 R$ 1.566,57 R$ 85,00 R$ 1.052,27 R$ 429,30 R$ 115.052,40

33 R$ 1.562,66 R$ 85,00 R$ 1.048,36 R$ 429,30 R$ 114.623,10

34 R$ 1.558,75 R$ 85,00 R$ 1.044,45 R$ 429,30 R$ 114.193,80

35 R$ 1.554,83 R$ 85,00 R$ 1.040,53 R$ 429,30 R$ 113.764,50

36 R$ 1.550,92 R$ 85,00 R$ 1.036,62 R$ 429,30 R$ 113.335,20

37 R$ 1.547,01 R$ 85,00 R$ 1.032,71 R$ 429,30 R$ 112.905,90

38 R$ 1.543,10 R$ 85,00 R$ 1.028,80 R$ 429,30 R$ 112.476,60

39 R$ 1.539,19 R$ 85,00 R$ 1.024,89 R$ 429,30 R$ 112.047,30

40 R$ 1.535,27 R$ 85,00 R$ 1.020,97 R$ 429,30 R$ 111.618,00

41 R$ 1.531,36 R$ 85,00 R$ 1.017,06 R$ 429,30 R$ 111.188,70

42 R$ 1.527,45 R$ 85,00 R$ 1.013,15 R$ 429,30 R$ 110.759,40

43 R$ 1.523,54 R$ 85,00 R$ 1.009,24 R$ 429,30 R$ 110.330,10

44 R$ 1.519,63 R$ 85,00 R$ 1.005,33 R$ 429,30 R$ 109.900,80

45 R$ 1.515,72 R$ 85,00 R$ 1.001,42 R$ 429,30 R$ 109.471,50

46 R$ 1.511,80 R$ 85,00 R$ 997,50 R$ 429,30 R$ 109.042,20

47 R$ 1.507,89 R$ 85,00 R$ 993,59 R$ 429,30 R$ 108.612,90

48 R$ 1.503,98 R$ 85,00 R$ 989,68 R$ 429,30 R$ 108.183,60

49 R$ 1.500,07 R$ 85,00 R$ 985,77 R$ 429,30 R$ 107.754,30

50 R$ 1.496,16 R$ 85,00 R$ 981,86 R$ 429,30 R$ 107.325,00

51 R$ 1.492,25 R$ 85,00 R$ 977,95 R$ 429,30 R$ 106.895,70

52 R$ 1.488,33 R$ 85,00 R$ 974,03 R$ 429,30 R$ 106.466,40

53 R$ 1.484,42 R$ 85,00 R$ 970,12 R$ 429,30 R$ 106.037,10

54 R$ 1.480,51 R$ 85,00 R$ 966,21 R$ 429,30 R$ 105.607,80



55 R$ 1.476,60 R$ 85,00 R$ 962,30 R$ 429,30 R$ 105.178,50

56 R$ 1.472,69 R$ 85,00 R$ 958,39 R$ 429,30 R$ 104.749,20

57 R$ 1.468,77 R$ 85,00 R$ 954,47 R$ 429,30 R$ 104.319,90

58 R$ 1.464,86 R$ 85,00 R$ 950,56 R$ 429,30 R$ 103.890,60

59 R$ 1.460,95 R$ 85,00 R$ 946,65 R$ 429,30 R$ 103.461,30

60 R$ 1.457,04 R$ 85,00 R$ 942,74 R$ 429,30 R$ 103.032,00

61 R$ 1.453,13 R$ 85,00 R$ 938,83 R$ 429,30 R$ 102.602,70

62 R$ 1.449,22 R$ 85,00 R$ 934,92 R$ 429,30 R$ 102.173,40

63 R$ 1.445,30 R$ 85,00 R$ 931,00 R$ 429,30 R$ 101.744,10

64 R$ 1.441,39 R$ 85,00 R$ 927,09 R$ 429,30 R$ 101.314,80

65 R$ 1.437,48 R$ 85,00 R$ 923,18 R$ 429,30 R$ 100.885,50

66 R$ 1.433,57 R$ 85,00 R$ 919,27 R$ 429,30 R$ 100.456,20

67 R$ 1.429,66 R$ 85,00 R$ 915,36 R$ 429,30 R$ 100.026,90

68 R$ 1.425,75 R$ 85,00 R$ 911,45 R$ 429,30 R$ 99.597,60

69 R$ 1.421,83 R$ 85,00 R$ 907,53 R$ 429,30 R$ 99.168,30

70 R$ 1.417,92 R$ 85,00 R$ 903,62 R$ 429,30 R$ 98.739,00

71 R$ 1.414,01 R$ 85,00 R$ 899,71 R$ 429,30 R$ 98.309,70

72 R$ 1.410,10 R$ 85,00 R$ 895,80 R$ 429,30 R$ 97.880,40

73 R$ 1.406,19 R$ 85,00 R$ 891,89 R$ 429,30 R$ 97.451,10

74 R$ 1.402,27 R$ 85,00 R$ 887,97 R$ 429,30 R$ 97.021,80

75 R$ 1.398,36 R$ 85,00 R$ 884,06 R$ 429,30 R$ 96.592,50

76 R$ 1.394,45 R$ 85,00 R$ 880,15 R$ 429,30 R$ 96.163,20

77 R$ 1.390,54 R$ 85,00 R$ 876,24 R$ 429,30 R$ 95.733,90

78 R$ 1.386,63 R$ 85,00 R$ 872,33 R$ 429,30 R$ 95.304,60

79 R$ 1.382,72 R$ 85,00 R$ 868,42 R$ 429,30 R$ 94.875,30

80 R$ 1.378,80 R$ 85,00 R$ 864,50 R$ 429,30 R$ 94.446,00

81 R$ 1.374,89 R$ 85,00 R$ 860,59 R$ 429,30 R$ 94.016,70

82 R$ 1.370,98 R$ 85,00 R$ 856,68 R$ 429,30 R$ 93.587,40

83 R$ 1.367,07 R$ 85,00 R$ 852,77 R$ 429,30 R$ 93.158,10

84 R$ 1.363,16 R$ 85,00 R$ 848,86 R$ 429,30 R$ 92.728,80



85 R$ 1.359,24 R$ 85,00 R$ 844,94 R$ 429,30 R$ 92.299,50

86 R$ 1.355,33 R$ 85,00 R$ 841,03 R$ 429,30 R$ 91.870,20

87 R$ 1.351,42 R$ 85,00 R$ 837,12 R$ 429,30 R$ 91.440,90

88 R$ 1.347,51 R$ 85,00 R$ 833,21 R$ 429,30 R$ 91.011,60

89 R$ 1.343,60 R$ 85,00 R$ 829,30 R$ 429,30 R$ 90.582,30

90 R$ 1.339,69 R$ 85,00 R$ 825,39 R$ 429,30 R$ 90.153,00

91 R$ 1.335,77 R$ 85,00 R$ 821,47 R$ 429,30 R$ 89.723,70

92 R$ 1.331,86 R$ 85,00 R$ 817,56 R$ 429,30 R$ 89.294,40

93 R$ 1.327,95 R$ 85,00 R$ 813,65 R$ 429,30 R$ 88.865,10

94 R$ 1.324,04 R$ 85,00 R$ 809,74 R$ 429,30 R$ 88.435,80

95 R$ 1.320,13 R$ 85,00 R$ 805,83 R$ 429,30 R$ 88.006,50

96 R$ 1.316,22 R$ 85,00 R$ 801,92 R$ 429,30 R$ 87.577,20

97 R$ 1.312,30 R$ 85,00 R$ 798,00 R$ 429,30 R$ 87.147,90

98 R$ 1.308,39 R$ 85,00 R$ 794,09 R$ 429,30 R$ 86.718,60

99 R$ 1.304,48 R$ 85,00 R$ 790,18 R$ 429,30 R$ 86.289,30

100 R$ 1.300,57 R$ 85,00 R$ 786,27 R$ 429,30 R$ 85.860,00

101 R$ 1.296,66 R$ 85,00 R$ 782,36 R$ 429,30 R$ 85.430,70

102 R$ 1.292,74 R$ 85,00 R$ 778,44 R$ 429,30 R$ 85.001,40

103 R$ 1.288,83 R$ 85,00 R$ 774,53 R$ 429,30 R$ 84.572,10

104 R$ 1.284,92 R$ 85,00 R$ 770,62 R$ 429,30 R$ 84.142,80

105 R$ 1.281,01 R$ 85,00 R$ 766,71 R$ 429,30 R$ 83.713,50

106 R$ 1.277,10 R$ 85,00 R$ 762,80 R$ 429,30 R$ 83.284,20

107 R$ 1.273,19 R$ 85,00 R$ 758,89 R$ 429,30 R$ 82.854,90

108 R$ 1.269,27 R$ 85,00 R$ 754,97 R$ 429,30 R$ 82.425,60

109 R$ 1.265,36 R$ 85,00 R$ 751,06 R$ 429,30 R$ 81.996,30

110 R$ 1.261,45 R$ 85,00 R$ 747,15 R$ 429,30 R$ 81.567,00

111 R$ 1.257,54 R$ 85,00 R$ 743,24 R$ 429,30 R$ 81.137,70

112 R$ 1.253,63 R$ 85,00 R$ 739,33 R$ 429,30 R$ 80.708,40

113 R$ 1.249,71 R$ 85,00 R$ 735,41 R$ 429,30 R$ 80.279,10

114 R$ 1.245,80 R$ 85,00 R$ 731,50 R$ 429,30 R$ 79.849,80



115 R$ 1.241,89 R$ 85,00 R$ 727,59 R$ 429,30 R$ 79.420,50

116 R$ 1.237,98 R$ 85,00 R$ 723,68 R$ 429,30 R$ 78.991,20

117 R$ 1.234,07 R$ 85,00 R$ 719,77 R$ 429,30 R$ 78.561,90

118 R$ 1.230,16 R$ 85,00 R$ 715,86 R$ 429,30 R$ 78.132,60

119 R$ 1.226,24 R$ 85,00 R$ 711,94 R$ 429,30 R$ 77.703,30

120 R$ 1.222,33 R$ 85,00 R$ 708,03 R$ 429,30 R$ 77.274,00

121 R$ 1.218,42 R$ 85,00 R$ 704,12 R$ 429,30 R$ 76.844,70

122 R$ 1.214,51 R$ 85,00 R$ 700,21 R$ 429,30 R$ 76.415,40

123 R$ 1.210,60 R$ 85,00 R$ 696,30 R$ 429,30 R$ 75.986,10

124 R$ 1.206,69 R$ 85,00 R$ 692,39 R$ 429,30 R$ 75.556,80

125 R$ 1.202,77 R$ 85,00 R$ 688,47 R$ 429,30 R$ 75.127,50

126 R$ 1.198,86 R$ 85,00 R$ 684,56 R$ 429,30 R$ 74.698,20

127 R$ 1.194,95 R$ 85,00 R$ 680,65 R$ 429,30 R$ 74.268,90

128 R$ 1.191,04 R$ 85,00 R$ 676,74 R$ 429,30 R$ 73.839,60

129 R$ 1.187,13 R$ 85,00 R$ 672,83 R$ 429,30 R$ 73.410,30

130 R$ 1.183,21 R$ 85,00 R$ 668,91 R$ 429,30 R$ 72.981,00

131 R$ 1.179,30 R$ 85,00 R$ 665,00 R$ 429,30 R$ 72.551,70

132 R$ 1.175,39 R$ 85,00 R$ 661,09 R$ 429,30 R$ 72.122,40

133 R$ 1.171,48 R$ 85,00 R$ 657,18 R$ 429,30 R$ 71.693,10

134 R$ 1.167,57 R$ 85,00 R$ 653,27 R$ 429,30 R$ 71.263,80

135 R$ 1.163,66 R$ 85,00 R$ 649,36 R$ 429,30 R$ 70.834,50

136 R$ 1.159,74 R$ 85,00 R$ 645,44 R$ 429,30 R$ 70.405,20

137 R$ 1.155,83 R$ 85,00 R$ 641,53 R$ 429,30 R$ 69.975,90

138 R$ 1.151,92 R$ 85,00 R$ 637,62 R$ 429,30 R$ 69.546,60

139 R$ 1.148,01 R$ 85,00 R$ 633,71 R$ 429,30 R$ 69.117,30

140 R$ 1.144,10 R$ 85,00 R$ 629,80 R$ 429,30 R$ 68.688,00

141 R$ 1.140,19 R$ 85,00 R$ 625,89 R$ 429,30 R$ 68.258,70

142 R$ 1.136,27 R$ 85,00 R$ 621,97 R$ 429,30 R$ 67.829,40

143 R$ 1.132,36 R$ 85,00 R$ 618,06 R$ 429,30 R$ 67.400,10

144 R$ 1.128,45 R$ 85,00 R$ 614,15 R$ 429,30 R$ 66.970,80



145 R$ 1.124,54 R$ 85,00 R$ 610,24 R$ 429,30 R$ 66.541,50

146 R$ 1.120,63 R$ 85,00 R$ 606,33 R$ 429,30 R$ 66.112,20

147 R$ 1.116,71 R$ 85,00 R$ 602,41 R$ 429,30 R$ 65.682,90

148 R$ 1.112,80 R$ 85,00 R$ 598,50 R$ 429,30 R$ 65.253,60

149 R$ 1.108,89 R$ 85,00 R$ 594,59 R$ 429,30 R$ 64.824,30

150 R$ 1.104,98 R$ 85,00 R$ 590,68 R$ 429,30 R$ 64.395,00

151 R$ 1.101,07 R$ 85,00 R$ 586,77 R$ 429,30 R$ 63.965,70

152 R$ 1.097,16 R$ 85,00 R$ 582,86 R$ 429,30 R$ 63.536,40

153 R$ 1.093,24 R$ 85,00 R$ 578,94 R$ 429,30 R$ 63.107,10

154 R$ 1.089,33 R$ 85,00 R$ 575,03 R$ 429,30 R$ 62.677,80

155 R$ 1.085,42 R$ 85,00 R$ 571,12 R$ 429,30 R$ 62.248,50

156 R$ 1.081,51 R$ 85,00 R$ 567,21 R$ 429,30 R$ 61.819,20

157 R$ 1.077,60 R$ 85,00 R$ 563,30 R$ 429,30 R$ 61.389,90

158 R$ 1.073,68 R$ 85,00 R$ 559,38 R$ 429,30 R$ 60.960,60

159 R$ 1.069,77 R$ 85,00 R$ 555,47 R$ 429,30 R$ 60.531,30

160 R$ 1.065,86 R$ 85,00 R$ 551,56 R$ 429,30 R$ 60.102,00

161 R$ 1.061,95 R$ 85,00 R$ 547,65 R$ 429,30 R$ 59.672,70

162 R$ 1.058,04 R$ 85,00 R$ 543,74 R$ 429,30 R$ 59.243,40

163 R$ 1.054,13 R$ 85,00 R$ 539,83 R$ 429,30 R$ 58.814,10

164 R$ 1.050,21 R$ 85,00 R$ 535,91 R$ 429,30 R$ 58.384,80

165 R$ 1.046,30 R$ 85,00 R$ 532,00 R$ 429,30 R$ 57.955,50

166 R$ 1.042,39 R$ 85,00 R$ 528,09 R$ 429,30 R$ 57.526,20

167 R$ 1.038,48 R$ 85,00 R$ 524,18 R$ 429,30 R$ 57.096,90

168 R$ 1.034,57 R$ 85,00 R$ 520,27 R$ 429,30 R$ 56.667,60

169 R$ 1.030,66 R$ 85,00 R$ 516,36 R$ 429,30 R$ 56.238,30

170 R$ 1.026,74 R$ 85,00 R$ 512,44 R$ 429,30 R$ 55.809,00

171 R$ 1.022,83 R$ 85,00 R$ 508,53 R$ 429,30 R$ 55.379,70

172 R$ 1.018,92 R$ 85,00 R$ 504,62 R$ 429,30 R$ 54.950,40

173 R$ 1.015,01 R$ 85,00 R$ 500,71 R$ 429,30 R$ 54.521,10

174 R$ 1.011,10 R$ 85,00 R$ 496,80 R$ 429,30 R$ 54.091,80



175 R$ 1.007,18 R$ 85,00 R$ 492,88 R$ 429,30 R$ 53.662,50

176 R$ 1.003,27 R$ 85,00 R$ 488,97 R$ 429,30 R$ 53.233,20

177 R$ 999,36 R$ 85,00 R$ 485,06 R$ 429,30 R$ 52.803,90

178 R$ 995,45 R$ 85,00 R$ 481,15 R$ 429,30 R$ 52.374,60

179 R$ 991,54 R$ 85,00 R$ 477,24 R$ 429,30 R$ 51.945,30

180 R$ 987,63 R$ 85,00 R$ 473,33 R$ 429,30 R$ 51.516,00

181 R$ 983,71 R$ 85,00 R$ 469,41 R$ 429,30 R$ 51.086,70

182 R$ 979,80 R$ 85,00 R$ 465,50 R$ 429,30 R$ 50.657,40

183 R$ 975,89 R$ 85,00 R$ 461,59 R$ 429,30 R$ 50.228,10

184 R$ 971,98 R$ 85,00 R$ 457,68 R$ 429,30 R$ 49.798,80

185 R$ 968,07 R$ 85,00 R$ 453,77 R$ 429,30 R$ 49.369,50

186 R$ 964,15 R$ 85,00 R$ 449,85 R$ 429,30 R$ 48.940,20

187 R$ 960,24 R$ 85,00 R$ 445,94 R$ 429,30 R$ 48.510,90

188 R$ 956,33 R$ 85,00 R$ 442,03 R$ 429,30 R$ 48.081,60

189 R$ 952,42 R$ 85,00 R$ 438,12 R$ 429,30 R$ 47.652,30

190 R$ 948,51 R$ 85,00 R$ 434,21 R$ 429,30 R$ 47.223,00

191 R$ 944,60 R$ 85,00 R$ 430,30 R$ 429,30 R$ 46.793,70

192 R$ 940,68 R$ 85,00 R$ 426,38 R$ 429,30 R$ 46.364,40

193 R$ 936,77 R$ 85,00 R$ 422,47 R$ 429,30 R$ 45.935,10

194 R$ 932,86 R$ 85,00 R$ 418,56 R$ 429,30 R$ 45.505,80

195 R$ 928,95 R$ 85,00 R$ 414,65 R$ 429,30 R$ 45.076,50

196 R$ 925,04 R$ 85,00 R$ 410,74 R$ 429,30 R$ 44.647,20

197 R$ 921,13 R$ 85,00 R$ 406,83 R$ 429,30 R$ 44.217,90

198 R$ 917,21 R$ 85,00 R$ 402,91 R$ 429,30 R$ 43.788,60

199 R$ 913,30 R$ 85,00 R$ 399,00 R$ 429,30 R$ 43.359,30

200 R$ 909,39 R$ 85,00 R$ 395,09 R$ 429,30 R$ 42.930,00

201 R$ 905,48 R$ 85,00 R$ 391,18 R$ 429,30 R$ 42.500,70

202 R$ 901,57 R$ 85,00 R$ 387,27 R$ 429,30 R$ 42.071,40

203 R$ 897,65 R$ 85,00 R$ 383,35 R$ 429,30 R$ 41.642,10

204 R$ 893,74 R$ 85,00 R$ 379,44 R$ 429,30 R$ 41.212,80



205 R$ 889,83 R$ 85,00 R$ 375,53 R$ 429,30 R$ 40.783,50

206 R$ 885,92 R$ 85,00 R$ 371,62 R$ 429,30 R$ 40.354,20

207 R$ 882,01 R$ 85,00 R$ 367,71 R$ 429,30 R$ 39.924,90

208 R$ 878,10 R$ 85,00 R$ 363,80 R$ 429,30 R$ 39.495,60

209 R$ 874,18 R$ 85,00 R$ 359,88 R$ 429,30 R$ 39.066,30

210 R$ 870,27 R$ 85,00 R$ 355,97 R$ 429,30 R$ 38.637,00

211 R$ 866,36 R$ 85,00 R$ 352,06 R$ 429,30 R$ 38.207,70

212 R$ 862,45 R$ 85,00 R$ 348,15 R$ 429,30 R$ 37.778,40

213 R$ 858,54 R$ 85,00 R$ 344,24 R$ 429,30 R$ 37.349,10

214 R$ 854,62 R$ 85,00 R$ 340,32 R$ 429,30 R$ 36.919,80

215 R$ 850,71 R$ 85,00 R$ 336,41 R$ 429,30 R$ 36.490,50

216 R$ 846,80 R$ 85,00 R$ 332,50 R$ 429,30 R$ 36.061,20

217 R$ 842,89 R$ 85,00 R$ 328,59 R$ 429,30 R$ 35.631,90

218 R$ 838,98 R$ 85,00 R$ 324,68 R$ 429,30 R$ 35.202,60

219 R$ 835,07 R$ 85,00 R$ 320,77 R$ 429,30 R$ 34.773,30

220 R$ 831,15 R$ 85,00 R$ 316,85 R$ 429,30 R$ 34.344,00

221 R$ 827,24 R$ 85,00 R$ 312,94 R$ 429,30 R$ 33.914,70

222 R$ 823,33 R$ 85,00 R$ 309,03 R$ 429,30 R$ 33.485,40

223 R$ 819,42 R$ 85,00 R$ 305,12 R$ 429,30 R$ 33.056,10

224 R$ 815,51 R$ 85,00 R$ 301,21 R$ 429,30 R$ 32.626,80

225 R$ 811,60 R$ 85,00 R$ 297,30 R$ 429,30 R$ 32.197,50

226 R$ 807,68 R$ 85,00 R$ 293,38 R$ 429,30 R$ 31.768,20

227 R$ 803,77 R$ 85,00 R$ 289,47 R$ 429,30 R$ 31.338,90

228 R$ 799,86 R$ 85,00 R$ 285,56 R$ 429,30 R$ 30.909,60

229 R$ 795,95 R$ 85,00 R$ 281,65 R$ 429,30 R$ 30.480,30

230 R$ 792,04 R$ 85,00 R$ 277,74 R$ 429,30 R$ 30.051,00

231 R$ 788,12 R$ 85,00 R$ 273,82 R$ 429,30 R$ 29.621,70

232 R$ 784,21 R$ 85,00 R$ 269,91 R$ 429,30 R$ 29.192,40

233 R$ 780,30 R$ 85,00 R$ 266,00 R$ 429,30 R$ 28.763,10

234 R$ 776,39 R$ 85,00 R$ 262,09 R$ 429,30 R$ 28.333,80



235 R$ 772,48 R$ 85,00 R$ 258,18 R$ 429,30 R$ 27.904,50

236 R$ 768,57 R$ 85,00 R$ 254,27 R$ 429,30 R$ 27.475,20

237 R$ 764,65 R$ 85,00 R$ 250,35 R$ 429,30 R$ 27.045,90

238 R$ 760,74 R$ 85,00 R$ 246,44 R$ 429,30 R$ 26.616,60

239 R$ 756,83 R$ 85,00 R$ 242,53 R$ 429,30 R$ 26.187,30

240 R$ 752,92 R$ 85,00 R$ 238,62 R$ 429,30 R$ 25.758,00

241 R$ 749,01 R$ 85,00 R$ 234,71 R$ 429,30 R$ 25.328,70

242 R$ 745,10 R$ 85,00 R$ 230,80 R$ 429,30 R$ 24.899,40

243 R$ 741,18 R$ 85,00 R$ 226,88 R$ 429,30 R$ 24.470,10

244 R$ 737,27 R$ 85,00 R$ 222,97 R$ 429,30 R$ 24.040,80

245 R$ 733,36 R$ 85,00 R$ 219,06 R$ 429,30 R$ 23.611,50

246 R$ 729,45 R$ 85,00 R$ 215,15 R$ 429,30 R$ 23.182,20

247 R$ 725,54 R$ 85,00 R$ 211,24 R$ 429,30 R$ 22.752,90

248 R$ 721,62 R$ 85,00 R$ 207,32 R$ 429,30 R$ 22.323,60

249 R$ 717,71 R$ 85,00 R$ 203,41 R$ 429,30 R$ 21.894,30

250 R$ 713,80 R$ 85,00 R$ 199,50 R$ 429,30 R$ 21.465,00

251 R$ 709,89 R$ 85,00 R$ 195,59 R$ 429,30 R$ 21.035,70

252 R$ 705,98 R$ 85,00 R$ 191,68 R$ 429,30 R$ 20.606,40

253 R$ 702,07 R$ 85,00 R$ 187,77 R$ 429,30 R$ 20.177,10

254 R$ 698,15 R$ 85,00 R$ 183,85 R$ 429,30 R$ 19.747,80

255 R$ 694,24 R$ 85,00 R$ 179,94 R$ 429,30 R$ 19.318,50

256 R$ 690,33 R$ 85,00 R$ 176,03 R$ 429,30 R$ 18.889,20

257 R$ 686,42 R$ 85,00 R$ 172,12 R$ 429,30 R$ 18.459,90

258 R$ 682,51 R$ 85,00 R$ 168,21 R$ 429,30 R$ 18.030,60

259 R$ 678,59 R$ 85,00 R$ 164,29 R$ 429,30 R$ 17.601,30

260 R$ 674,68 R$ 85,00 R$ 160,38 R$ 429,30 R$ 17.172,00

261 R$ 670,77 R$ 85,00 R$ 156,47 R$ 429,30 R$ 16.742,70

262 R$ 666,86 R$ 85,00 R$ 152,56 R$ 429,30 R$ 16.313,40

263 R$ 662,95 R$ 85,00 R$ 148,65 R$ 429,30 R$ 15.884,10

264 R$ 659,04 R$ 85,00 R$ 144,74 R$ 429,30 R$ 15.454,80



265 R$ 655,12 R$ 85,00 R$ 140,82 R$ 429,30 R$ 15.025,50

266 R$ 651,21 R$ 85,00 R$ 136,91 R$ 429,30 R$ 14.596,20

267 R$ 647,30 R$ 85,00 R$ 133,00 R$ 429,30 R$ 14.166,90

268 R$ 643,39 R$ 85,00 R$ 129,09 R$ 429,30 R$ 13.737,60

269 R$ 639,48 R$ 85,00 R$ 125,18 R$ 429,30 R$ 13.308,30

270 R$ 635,57 R$ 85,00 R$ 121,27 R$ 429,30 R$ 12.879,00

271 R$ 631,65 R$ 85,00 R$ 117,35 R$ 429,30 R$ 12.449,70

272 R$ 627,74 R$ 85,00 R$ 113,44 R$ 429,30 R$ 12.020,40

273 R$ 623,83 R$ 85,00 R$ 109,53 R$ 429,30 R$ 11.591,10

274 R$ 619,92 R$ 85,00 R$ 105,62 R$ 429,30 R$ 11.161,80

275 R$ 616,01 R$ 85,00 R$ 101,71 R$ 429,30 R$ 10.732,50

276 R$ 612,09 R$ 85,00 R$ 97,79 R$ 429,30 R$ 10.303,20

277 R$ 608,18 R$ 85,00 R$ 93,88 R$ 429,30 R$ 9.873,90

278 R$ 604,27 R$ 85,00 R$ 89,97 R$ 429,30 R$ 9.444,60

279 R$ 600,36 R$ 85,00 R$ 86,06 R$ 429,30 R$ 9.015,30

280 R$ 596,45 R$ 85,00 R$ 82,15 R$ 429,30 R$ 8.586,00

281 R$ 592,54 R$ 85,00 R$ 78,24 R$ 429,30 R$ 8.156,70

282 R$ 588,62 R$ 85,00 R$ 74,32 R$ 429,30 R$ 7.727,40

283 R$ 584,71 R$ 85,00 R$ 70,41 R$ 429,30 R$ 7.298,10

284 R$ 580,80 R$ 85,00 R$ 66,50 R$ 429,30 R$ 6.868,80

285 R$ 576,89 R$ 85,00 R$ 62,59 R$ 429,30 R$ 6.439,50

286 R$ 572,98 R$ 85,00 R$ 58,68 R$ 429,30 R$ 6.010,20

287 R$ 569,06 R$ 85,00 R$ 54,76 R$ 429,30 R$ 5.580,90

288 R$ 565,15 R$ 85,00 R$ 50,85 R$ 429,30 R$ 5.151,60

289 R$ 561,24 R$ 85,00 R$ 46,94 R$ 429,30 R$ 4.722,30

290 R$ 557,33 R$ 85,00 R$ 43,03 R$ 429,30 R$ 4.293,00

291 R$ 553,42 R$ 85,00 R$ 39,12 R$ 429,30 R$ 3.863,70

292 R$ 549,51 R$ 85,00 R$ 35,21 R$ 429,30 R$ 3.434,40

293 R$ 545,59 R$ 85,00 R$ 31,29 R$ 429,30 R$ 3.005,10

294 R$ 541,68 R$ 85,00 R$ 27,38 R$ 429,30 R$ 2.575,80



295 R$ 537,77 R$ 85,00 R$ 23,47 R$ 429,30 R$ 2.146,50

296 R$ 533,86 R$ 85,00 R$ 19,56 R$ 429,30 R$ 1.717,20

297 R$ 529,95 R$ 85,00 R$ 15,65 R$ 429,30 R$ 1.287,90

298 R$ 526,04 R$ 85,00 R$ 11,74 R$ 429,30 R$ 858,60

299 R$ 522,12 R$ 85,00 R$ 7,82 R$ 429,30 R$ 429,30

300 R$ 518,21 R$ 85,00 R$ 3,91 R$ 429,30 R$ (0,00)

TOTAL R$ 330.906,94 R$ 25.500,00 R$ 176.616,94 R$ 128.790,00 R$ 330.906,94

RESUMO DAS FÓRMULAS - EQUAÇÕES MATEMÁTICAS DOS CÁLCULOS

PV R$ 128.790,00 Valor do financiamento Variação [%] (J/A)*100%

i 0,009112 Taxa mensal de juros efetiva Variação [%] 137,13560%

A R$ 429,30 Amortização Amortização PV ÷ n

n 300 Número de períodos Variação [%] ((S+J)/A)*100%

Observação: Os valores referentes aos seguros e serviços de administração já
estão embutidos no valor da prestação mensal. Variação [%] 156,93527%

Valor financiado R$ 128.790,00 ∑(J) = (J1 + Jn)× n ÷ 2 ∑(J) = (1.173,53 + 3,91)× 300 ÷ 2 = R$176.616,00

Taxa de juros efetiva 0,9112% a.m. ∑(P) = (P1 + Pn)× n ÷ 2 ∑(P) = (1.687,83 + 518,21)× 300 ÷ 2 = R$330.906,00

∑(P) = 128.790,00+176.616,94+25.500,00 =
Prazo de financiamento 300 meses ∑(P) = PV + ∑(J) + V seg R$330.906,94

Observação: Esta modalidade de sistema é principalmente adotada pelas instituições bancárias
e financeiras para empréstimo ou financiamento a respeito do Sistema Financeiro de
Habitação – SFH.
Os juros e as prestações são decrescentes e estão em progressão aritmética. Depois do cálculo
da segunda prestação é possível determinar a razão da progressão aritmética.
Resumo prático: Efetuam-se os pagamentos periódicos e uniformes dos juros sobre o saldo
devedor na respectiva data de vencimento da obrigação contratada (obrigação parcial) e paga-
se também uma parte do valor do empréstimo ou financiamento, através da amortização, cujo
valor é constante, fixo, igual e periódico, pois que os juros e a amortização constituem o valor
da prestação. PMT = J + A. Esses pagamentos são realizados até o último período do
vencimento da obrigação.
O valor do saldo devedor em um prestação qualquer pode ser dado pela equação (regra):
SDn  PV  n  A

SD(n)→ Saldo devedor na prestação n qualquer;
PV→ Valor presente (valor financiado);
A→ Valor da amortização.



SD(120) = 128.790,00 – 120 × 429,30
SD(120) = 128.790,00 – 51.516,00
SD(120) = R$77.274,00

A soma total dos juros pode ser dada pela equação (regra):
J1  J n   n
 J   2

∑(J)→ Soma de todos os juros;
J1→ Juros do primeiro período;
Jn→ Juros do último período;
n→ Número de período (tempo, prazo).

1.173,53  3,91 300  1.177,44  300  353.232,00  R$176.616,00
 J   2 2 2

A soma total das prestações pode ser dada pela equação (regra):
PMT1  PMTn  n
 PMT   2

∑(PMT)→ Soma de todas as prestações;
PMT1→ Prestação do primeiro período;
PMTn→ Prestação do último período;
n→ Número de período (tempo, prazo).

1.687,83  518,21 300  2.206,04  300  661.812,00  R$330.906,00
 PMT   2 2 2

A soma total das prestações pode ser dada pela equação (regra prática):
PMT   PV  J   V seg

∑(PMT)→ Soma de todas as prestações;
PV→ Valor presente (valor do financiamento);
∑(J)→ Soma de todos os juros;
Vseg→ Valor dos seguros e serviços de administração se houver;
 PMT   128.790,00  176.616,94  25.500,00  R$330.906,94
Observação: O saldo devedor é uma progressão aritmética, cuja razão é o valor da
amortização, por ser uma variável constante, fixa, igual, periódica.

Sistema de Amortização Constante com ou sem carência:
Com carência, a amortização começa a ser realizada depois do período de carência, porém
existe a carência com pagamento dos juros e a carência sem o pagamento dos juros.
No período de carência, se houver obrigação de pagar os juros, estes são incorporados ao
valor presente (valor financiado) para encontrar o valor da amortização posteriormente ou os



juros serão pagos a cada período da carência, neste caso, o valor financiado permanece o
mesmo, somente se paga os juros no período da carência, no vencimento de cada período.
Importante anotar que quando há carência, postergar-se o pagamento do valor principal (valor
emprestado ou financiado), neste período de carência, porém, conforme já dito, poderá haver
pasto de pagar ou não os juros produzidos no período de carência. É comum a obrigação de
pagar os juros no período de carência. Se houver a postergação do pagamento dos juros no
período de carência, estes deverão ser pagos quando do vencimento da primeira prestação,
isto é, pagar-se-ão os juros do período de carência somado ao valor da prestação.

mensal efetiva de 0,9112%, com carência de 24 meses com a incorporação dos juros
compostos ao valor financiado.
FV = PV (1 + i)n
FV = 128.790,00 (1 + 0,009112)24
FV = 128.790,00 (1,009112)24
FV = 128.790,00 × 1,243211
FV = R$ 160.113,14
Cálculo de apuração do valor da amortização:
PV 160.113,14
A   R$533,71
n 300

mensal efetiva de 0,9112%, com carência de 24 meses sem a incorporação dos juros
compostos ao valor financiado, cujos juros devem ser pagos mês a mês.
J = PV [(1 + i)n – 1]
J = 128.790,00 [(1 + 0,009112)1 -1]
J = 128.790,00 [1,009112 – 1]
J = 128.790,00 × 0,009112
J = R$ 1.1073,53 por mês.

Na prática, primeiramente se calcula o valor da amortização, através da equação matemática
existente, envolvendo valor presente (valor emprestado ou financiado) dividido pelo prazo
(períodos). Depois se calcula o valor dos juros do período sobre o valor emprestado ou
financiado, no primeiro período, através da aplicação da taxa estabelecida no contrato,
posteriormente estes juros são calculados sobre o saldo devedor (valor emprestado ou
financiado remanescente) no início de cada período. Por fim, se calcula o valor da prestação, a
qual é a soma entre o valor da amortização e os juros do período. Por isso, o saldo devedor
decresce periódica e uniformemente em função da amortização ser constante. Os juros
decrescem ao longo dos períodos.
Este tipo de sistema é comumente utilizado nas aplicações financeiras afetas: a) empréstimos
ou financiamentos imobiliários (Sistema Financeiro de Habitação); b) empréstimos ou
financiamentos às empresas por parte de algumas Instituições Bancárias ou Financeiras e de
Entidades Governamentais, entre outros.
A Tabela SAC é muito usada nos financiamentos imobiliários. Sua característica
fundamental é: como o próprio nome diz, a amortização é feita de forma constante em cada
prestação.



Exemplo: Uma empresa quer tomar R$50.000,00 emprestados para compra de uma máquina.
O banco com a melhor oferta propõe um prazo de 5 anos com taxa de 12% ao ano e
prestações anuais.

Tabela da operação pelo SAC - Algumas informações relevantes com relação a essa tabela:
1. Como a amortização da dívida é constante, vemos o valor R$10.000,00 compondo
cada uma das 5 prestações;
2. Os juros anuais são decrescentes, já que o saldo devedor decresce com o valor
amortizado de cada prestação;
3. As amortizações são constantes e os juros são decrescentes, portanto, as prestações são
decrescentes, já que prestação = amortização + juros.

SAC: resolução no papel com HP 12C:
1. Comece com o preenchimento da linha referente ao momento zero (início da operação),
com saldo devedor igual ao valor do empréstimo e demais campos zerados.

Passo 1: preenchimento da linha ano 0:
2. Em seguida, preencha a coluna de amortização, já que pela própria característica do SAC, a
amortização é constante ao longo das prestações.



Passo 2: preenchimento da coluna amortização:
3. Calcule os juros referentes ao ano 1 (usando a fórmula 1):
J (ano 1) = taxa x SD (ano 0) = 12% x 50.000 = 6.000.

Passo 3: cálculo dos juros referente ao ano 1:
4. Calcule a prestação referente ao ano 1 (usando a fórmula 2):
P (ano 1) = A (ano 1) + J (ano 1) = 10.000 + 6.000 = 16.000.

Passo 4: cálculo da prestação referente ao ano 1:
5. Calcule o saldo devedor (SD) referente ao ano 1 (usando a fórmula 3):
SD (ano 1) = SD (ano 0) - A (ano 1) = 50.000 - 10.000 = 40.000.

Passo 5: cálculo do saldo devedor referente ao ano 1:
6. Calcule os valores de Juros (J), Prestação (PMT) e Saldo devedor (SD) para os anos 2, 3, 4
e 5, respectivamente.



Ano 2:
J (ano 2) = taxa x SD (ano 1) = 12% x 40.000 = 4.800;
PMT (ano 2) = A (ano 2) + J (ano 2) = 10.000 + 4.800 = 14.800;
SD (ano 2) = SD (ano 1) - A (ano 2) = 40.000 - 10.000 = 30.000;

Ano 3:
PMT (ano 3) = A (ano 3) + J (ano 3) = 10.000 + 3.600 = 13.600;
SD (ano 3) = SD (ano 2) - A (ano 3) = 30.000 - 10.000 = 20.000;

Ano 4:
PMT (ano 4) = A (ano 4) + J (ano 4) = 10.000 + 2.400 = 12.400;
SD (ano 4) = SD (ano 3) - A (ano 4) = 20.000 - 10.000 = 10.000;

Ano 5:
PMT (ano 5) = A (ano 5) + J (ano 5) = 10.000 + 1.200 = 11.200;
SD (ano 5) = SD (ano 4) - A (ano 5) = 10.000 - 10.000 = 0.

Passo 6: preenchimento dos valores referentes aos anos 2, 3, 4 e 5.

SAC: resolução com Excel:
1. Monte a estrutura da tabela e insira os valores dos parâmetros. Além disso, preencha a linha
do período 0 com os valores 0 nas 3 primeiras colunas e 50.000 no saldo devedor.
O momento 0 representa o início da operação, quando o credor libera o valor para o devedor.
Por isso na linha do momento zero não há amortização, juros ou pagamento, qualquer que seja
o sistema adotado. Além disso, o saldo devedor passa a ser o valor do empréstimo.



Passo 1: estrutura da tabela, valores dos parâmetros e ano 0:
2. Insira a fórmula de amortização no ano 1.
A amortização segue um padrão uniforme em todas as prestações, podemos lançar a fórmula
no ano 1 e arrastar para os demais períodos, assim como é feito nos demais campos.
Como a amortização é constante, basta dividir o valor do empréstimo pelo número de
prestações.
Para inserir essa fórmula:
Selecione a célula I7 (amortização do ano 1)
digite =
clique sobre a célula J2 (valor do empréstimo)
digite F4
digite ÷
clique sobre a célula J4 (número de prestações)
digite F4
finalize com ENTER
Como já visto anteriormente, a tecla F4 serve para travar as células quando as fórmulas forem
arrastadas, pois são valores fixos e independentes do período. O sinal $ antes do valor da
coluna e da linha da célula indica que a célula está travada.



Passo 2: preenchimento da fórmula de cálculo da amortização:
3. Insira a fórmula de cálculo dos juros no campo de juros do ano 1.
Como J (ano 1) = taxa x SD (ano 0), para inserir essa fórmula:
selecione a célula J7 (juros do ano 1)
digite =
clique sobre a célula J3 (taxa de juros da operação)
digite F4
digite x (operador de multiplicação)
clique sobre a célula L6 (saldo devedor do ano 0)
finalize com ENTER



Passo 3: preenchimento da fórmula de cálculo dos juros:
4. Insira a fórmula de cálculo da parcela referente ao ano 1.
Como parcela = amortização + juros, para inserir essa fórmula:
selecione a célula K7 (parcela do ano 1)
digite =
clique sobre a célula I7 (amortização do ano 1)
digite +
clique sobre a célula J7 (juros do ano 1)
finalize com ENTER

Passo 4: preenchimento da fórmula de cálculo da parcela ref. ao ano 1
5. Insira a fórmula do saldo devedor (SD) referente ao ano 1.
Como SD (ano 1) = SD (ano 0) - amortização (ano 1), para inserir essa fórmula:
selecione a célula L7 (saldo devedor do ano 1)
digite =
clique sobre a célula L6 (saldo devedor do ano 0)
digite -
clique sobre a célula I7 (amortização do ano 1)
finalize com ENTER



Passo 5: preenchimento da fórmula de cálculo do saldo devedor:
6. Selecione as 4 células dos passos 2, 3, 4, e 5.
Com as fórmulas de cada campo para o ano 1, pode-se facilmente preencher os demais
períodos "arrastando" as fórmulas. Para isso, selecione as 4 células com as fórmulas, como
mostra a figura abaixo.

Passo 6: seleção das células com fórmulas para arrasto:
7. Arraste as fórmulas para preencher toda a tabela.



Na figura anterior veja que o canto inferior direito da área selecionada está destacado. Aponte
o indicador do mouse para esse ponto, clique o botão esquerdo e desça até a linha do último
período com o botão apertado, "arrastando" as fórmulas.

Passo 7: arrasto das fórmulas para preenchimento da tabela:

Informações relevantes:
Não importa se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:
Taxa Nominal: A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao
Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.
Taxa Efetiva: A taxa efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao
Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da
operação.

1. O que é inflação? É o aumento no nível geral de preços dos bens e serviços de uma
economia. Sua medição dá-se pelo acompanhamento de índices de inflação.

2. O que causa inflação? São vários os fatores que causam inflação. Um dos mais
importantes é a (a) aproximação entre oferta e demanda agregada. Em outras palavras, quando
o consumo interno de um país fica muito perto de sua capacidade produtiva, os empresários
podem ter incentivo para aumentar os preços. Outro processo muito comum é o (b) choque de
oferta, que se dá quando algum imprevisto causa queda brusca no volume de produção de
determinado bem. Trata-se de ocorrência relativamente comum no setor agrícola, pois, não
raro, lavouras são afetadas por problemas climáticos. Contudo, tais declínios acentuados de
produção tendem a ter efeito limitado sobre os índices gerais de preço, haja vista que o
cálculo de sua variação dá-se sobre uma cesta muito grande de produtos. Há outros fatores,
não menos relevantes, que influenciam o comportamento da inflação. Um deles é (c) a
variação cambial. Uma eventual elevação súbita da cotação do dólar ante o real, como a que


se viu em 1999, tem como efeito automático o encarecimento dos chamados produtos
‘tradables’, isto é, aqueles comercializáveis tanto interna quanto externamente. é que esses
bens e serviços, justamente por essa característica, são cotados na moeda americana.

Ainda no campo externo, um (d) fenômeno inflacionário que atinja diversos países tende a
contaminar os preços domésticos. é o que se viu antes da crise financeira americana de 2008,
quando as cotações das commodities agrícolas, minerais e energéticas subiam com vigor na
esteira da pujante demanda internacional. Por fim, (e) a inflação passada também pode
alimentar reajustes de preços no presente. Este processo, que atualmente se dá em nível muito
menor que o verificado no período de hiperinflação, é chamado de indexação. A boa notícia é
que este efeito restringe-se hoje aos chamados preços administrados - aqueles regulados por
contratos que determinam a recomposição da inflação passada por meio de um índice de
preço. Este é o caso de muitos serviços públicos, cadernetas de poupança e aluguéis.

3. Quais são os tipos de inflação? São dois os principais tipos de inflação: a de oferta e a de
demanda. A primeira se verifica quando há escassez de produto, ao passo que a segunda
ocorre quando a procura é maior do que a quantidade ofertada.

A indexação de preços e salários ainda é um mal que persiste na economia brasileira,
embora alguns avanços tenham sido realizados desde a implementação do real. De fato,
antes do Plano Real, nossa economia convivia com um elevado grau de indexação: todos
os preços e salários eram reajustados pela inflação passada com uma frequência cada
vez maior.
A frequência dos reajustes ampliou muito no início da década de 1980, quando a inflação
brasileira se acelerou significativamente. As tentativas inicias de estabilização da inflação em
patamar baixo naquela década naufragaram, em parte, por não terem lidado adequadamente
com a questão da indexação.
Esse foi um dos fatores que, com o fracasso dos programas de estabilização, fazia com que a
inflação voltasse com uma potência ainda maior.
Apenas o Plano Real conseguiu lidar minimamente com essa questão, proibindo reajustes de
preços contratuais e de salários por uma periodicidade inferior a 12 meses.
Com isso, a economia ganhou mais espaço para operar em um regime normal, conferindo
capacidade à política monetária para lidar com a dinâmica inflacionária brasileira.
Isso ocorreu à medida que o comportamento dos preços livres (não contratuais) passaram a
flutuar em função das condições de mercado (oferta e demanda) sem que fossem reajustados
automaticamente pela inflação passada.
Isso permitiu que o BC pudesse controlar mais efetivamente a inflação via política monetária,
apertando os juros caso a inflação apresente sinais de aceleração.
Apesar dos avanços ocorridos desde então, a economia brasileira ainda convive com a
indexação, ainda que em base menor que no período de inflação alta e com uma frequência de
reajustes de preços contratuais e salários ainda em bases anuais.
De qualquer forma, boa parte dos preços contratuais no Brasil possuem cláusulas de reajuste
automático pela inflação passada.
Essa constatação se traduz em uma inércia inflacionária ainda relativamente alta na nossa
economia. Constate-se, por exemplo, o quadro atual: a inflação brasileira medida pelo IPCA
se encontra em patamar superior a 5,5% quando medida em 12 meses, enquanto a meta é de
4,5%.



Supondo-se, hipoteticamente, que os preços contratuais são reajustados pelo patamar da
inflação em curso, isso significa que os preços livres terão que se situar em um patamar
inferior a esse para conseguir trazer a inflação de volta à meta.
O mecanismo através do qual isso se dará será o de uma demanda mais fraca e de um
crescimento econômico menor. Em outras palavras, a indexação residual existente na nossa
economia ainda confere um grau de rigidez na dinâmica dos preços.
Isso faz com que o processo dinâmico tenha que ser corrigido pelos preços livres através de
uma demanda mais fraca.
Logicamente, um avanço importante na nossa economia seria eliminar totalmente os
mecanismos de indexação e deixar que a formação de preços e salários se dê integralmente
através das condições de mercado.
No entanto, essa é uma agenda difícil de ser discutida em um momento em que a inflação se
encontra em um patamar relativamente alto.
Esses avanços só serão factíveis quando a inflação se situar recorrentemente em patamar
baixo por alguns anos.

Índices de Preços e Taxas de Inflação:
Um índice de preços é resultante de um procedimento estatístico que, entre outras aplicações,
permite medir as variações ocorridas nos níveis gerais de preços de um período para outro.
Em outras palavras, o índice de prelos representa uma média global das variações de preços
que se verificaram num conjunto de determinados bens ponderada pelas quantidades
respectivas.
No Brasil são utilizados inúmeros índices de preços, sendo originados de amostragem e
critérios desiguais e elaborados por diferentes instituições de pesquisa. É importante, antes de
selecionar um índice para atualização de uma série de valores monetários, proceder-se a uma
análise de sua representatividade em relação aos propósitos em consideração. (ASSAF, 2001).

Fórmula:
Cálculo da taxa de inflação

Cálculo da taxa acumulada de inflação

Exemplo: No ano de 2009, o preço de um produto era de R$ 10,00. Em 2010, o preço do
mesmo passou para R$ 12,50. Qual a taxa de inflação do período?
Solução:



Exemplo: (PARENTE, 1996) A taxa de inflação no Brasil em 1940 foi de 6,3%a.a. Em 1941
foi de 16,2%a.a. Qual a inflação acumulada nesses dois anos?
Solução:

Taxa de Desvalorização Monetária:
Enquanto a inflação representa uma elevação nos níveis de preços, a taxa de desvalorização
da moeda (TDM) mede a queda no poder de compra da moeda causada por estes aumentos de
preço. (ASSAF, 2001).

Fórmula:

Exemplo: A taxa de inflação no Brasil no ano de 2010 foi 6,3%. Qual a taxa de
desvalorização monetária correspondente?
Solução:



Taxa Aparente e Taxa Real:
A taxa aparente de juros é aquela adotada normalmente nas operações correntes mercado,
incluindo os efeitos inflacionários previstos para o prazo da operação. Constitui-se, em outras
palavras, numa taxa prefixada de juros, que incorpora as expectativas da inflação.
Em contexto inflacionário, ainda, devem ser identificadas na taxa aparente (prefixada) uma
parte devida à inflação, e outra definida como legitima, Real, que reflete “realmente” os juros
que foram pagos ou recebidos.
Em consequência, o tempo real para as operações de Matemática Financeira denota um
resultado apurado livre dos efeitos inflacionários. Ou seja, quanto se ganhou (ou perdeu)
verdadeiramente, sem a interferência das variações verificadas nos preços. (ASSAF, 2001).

Fórmulas:
Cálculo da Taxa Aparente

Cálculo da Taxa Real

Exemplo: Um banco realiza empréstimos a uma taxa aparente de 35% a.a. Se a taxa de
inflação for de 25% a.a., qual o ganho real auferido pelo banco?
Solução:



Correção Monetária:
O mecanismo alternativo utilizado nestes contratos foi o de combinar valores (já acrescidos de
juros reais) corrigidos monetariamente por algum indexador (que pode ou não ser um índice
de preços).
A correção monetária foi criada em meados da década de 1960, sendo a variação das
Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional (ORTN) utilizada como indexador. Tal
correção foi instituída por lei para correções de débitos fiscais, saldos de financiamentos de
imóveis, FGTS, alugueis, etc.
Com a sucessão dos planos econômicos de combate à inflação, começando pelo Plano
Cruzado (março de 1986), foram criados vários indexadores oficiais: Obrigação do Tesouro
Nacional (OTN), Bônus do Tesouro Nacional (BTN) e outros.
Em fevereiro de 1991, depois do Plano Collor, foi criada a Taxa Referencial (TR), visando a
dar uma medida para a expectativa de inflação. Assim, a partir de taxas médias de aplicações
financeiras prefixadas, eliminando-se a taxa real embutida, obtém-se a TR (esta taxa real é
determinada pelas autoridades monetárias e não é um valor constante para todos os meses,
mas sim variável de acordo com uma série de circunstâncias).
Os indexadores mais utilizados atualmente são: a TR, o IGP-DI, o IGP-M e o INCC.
(HAZZAN, 2007).

Fórmula:

Exemplo: A empresa Biriba S.A. foi condenada a pagar uma indenização de R$ 50.000,00 a
um de seus clientes por uma cobrança indevida, sendo que essa indenização deverá ser
atualizada monetariamente por 3 meses pela variação do INPC/IBGE, com as seguintes taxas
de correção 0,94%, 0,54%, 0,66%. Qual o valor da dívida corrigida?
Solução:



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANGELO, BELTRAME e FOUTO, Claudio Felisoni de, Nelson Bruxellas e Nuno Manoel
Martins Dias. Matemática Financeira e Avaliação de Investimentos. São Paulo: Saint Paul,
2011.

BRUNI e FAMÁ, Adriano Leal e Rubens. Matemática Financeira: Com HP 12C e Excel –
Série Finanças na Prática. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2010.

CASTANHEIRA e SERENATO, Nelson P., e Virginia S. Matemática Financeira e Análise
Financeira para Todos os Níveis: Soluções Algébricas e Soluções na HP-12C. 2. ed.
Curitiba: Juruá, 2011.

CRES, Fabio Caldas. Questões com Gabaritos Comentados – Matemática Financeira. 2.
ed. Brasília: Vestcon, 2008.

CESAR, Benjamin. Matemática Financeira: Teoria, mais de 100 questões resolvidas e
750 questões propostas. 8. ed. Niterói: Impetus, 2010.

FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Dicionário Aurélio. 3. ed. Curitiba: Editora
Positivo, 2004.

FERREIRA e FERREIRA, Roberto G., e Natasha Gomes. Matemática Financeira para
Concursos Públicos: mais de 400 problemas resolvidos e comentados. São Paulo: Atlas,
2010.

GOMES e MATHIAS, José Maria e Washington Franco. Matemática Financeira. 4. ed. São
Paulo: Atlas, 2004.

MANOEL e FERREIRA, Ronildo de Conceição e Vital Junior. Perito-Contador Com foco
na área econômico-financeira. 1. ed. Curitiba: Juruá, 2011.

HAZZAN e POMPEO, Samuel e José Nicolau. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo:
Atual, 1997.


HAZZAN, SAMUEL. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.

LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira. São Paulo: Treinamento e Editora, 1998.

MARCONDES, Oswaldo. Matemática Financeira para Concursos. São Paulo: Ática.

MARIANO, Fabrício. Matemática Financeira para Concursos. 2. ed. São Paulo: Elsevier,
2011.

MERCHEDE e MOREIRA, Alberto e Francisco Otávio. Matemática Financeira para
Advogados. São Paulo: Atlas, 2003.

MULLER e ANTONIK, Aderbal Nicolas e Luis Roberto. Cálculos Periciais: Efeitos
Inflacionários, Números Índices, Indexadores e Sistemas de Amortização. 2. ed. Curitiba:
Juruá, 2012.

NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações. 6. ed. São Paulo: Atlas,
2001.

NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações. 11. ed. São Paulo:
Atlas, 2009.

PARENTE, Eduardo Afonso de Medeiros. Matemática Comercial e Financeira. Ed. reform.
São Paulo: FTD, 1996.

PIRES, Marco Antônio Amaral. Laudo Pericial Contábil na Decisão Judicial. 3. ed.
Curitiba: Juruá, 2012.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada com planilha
eletrônica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 1998.

ROVINA, Edson. Uma Nova Visão da Matemática Financeira para Laudos Periciais e
Contratos de Amortização. Campinas-SP: Millennium, 2009.

SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: Aplicações às Análises de Investimentos. 3ª ed.
São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002.

SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática Financeira Aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas,
2010.

SANDRONI, Paulo. Dicionário de Economia. 5. ed. Editora Best Seller.

SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000.

SOUZA e CLEMENTE, Alceu e Ademir. Matemática Financeira: fundamentos, conceitos
e aplicações. São Paulo: Atlas, 2000.



TEIXEIRA, J, NETTO, S. Di Pierro. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education
do Brasil, 1998.

TOSI, Armando José. Matemática Financeira com Utilização do Excel 2000. 3. ed. São
Paulo: Atlas, 2008.

TOSI, Armando José. Matemática Financeira com Ênfase em Produtos Bancários. 2. ed.
São Paulo: Atlas, 2007.

VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira: Uso de Calculadoras Financeiras,
Aplicações ao Mercado Financeiro, Introdução à Engenharia Econômica, 300 Exercícios
Resolvidos e Propostos com Respostas. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2001.


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