O documento apresenta os principais tópicos da teoria dos números: divisibilidade, congruências lineares e o teorema chinês do resto. Aborda conceitos como primos, algoritmo de Euclides, fatoração única e infinitude dos primos. Explica como as congruências lineares podem ser usadas para resolver equações diofantinas.

1. Aritmética
Modular
Arquimedes Paschoal

2. Roteiro
I. Introdução
II. Divisibilidade
III.Congruências Lineares
IV.Aplicações das Congruências Lineares
V. Teorema Chinês do Resto

3. Introdução
- Teoria dos Números é uma disciplina nova?
1800 AC 1650 AC 300AC

4. Introdução
- É preciso um conhecimento profundo em Matemática
para se entender as formulações da Teoria dos
Números?
“Todo número par maior do que 2 pode ser escrito como a
soma de dois números ímpares?”
4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; 12 = 5 + 7...
Euler disse: “Parece verdadeiro, mas eu não consigo
provar...”

5. Introdução
- Inicialmente não possuía qualquer aplicação
prática.
Criptografia!

6. Divisibilidade
Definição 1: Um inteiro a é divisível por um inteiro
b (não-nulo), se existe um inteiro k, tal a = kb.
Escreve-se: b|a
Leia-se: b divide a

7. Divisibilidade
Teorema 1: Para quaisquer a, b, c e d inteiros, tem-se:
a) a|b  a|bc, c
b) a|b e c|d  ac|bd
c) a|b e b|c  a|c
d) a|b e a|c  a|(bx+cy), x,y inteiros
e) a|b e b|a  a=b
f) a|b com a,b > 0  a  b
g) a|b  ma|mb, m inteiro não-nulo

8. Divisibilidade
Teorema 2: Para quaisquer a, b inteiros, com b>0, existem
inteiros únicos q e r, tais que a = qb+r, 0  r < b. Se b não
divide a (b∤a), então, 0 < r < b.
Este Teorema é conhecido como o Algoritmo da Divisão.
Chamos q de quociente e r de resto.
Obs: Note que se a = -19 e b = 5, então, pelo Algoritmo da
Divisão deve-se ter q = -4 para que r = 1 (r  0).

9. Divisibilidade
Definição 2: Para quaisquer a, b inteiros, com pelo menos
um deles não-nulo, então, d = MDC(a,b) se:
a) d|a e d|b
b) Se c|a e c|b  c  d

10. Divisibilidade
Teorema 3: Se d = MDC(a,b), então, existem inteiros x e y
tais que d = ax + by.
Prova: No quadro durante a apresentação
Note que se a e b são relativamente primos, então,
podemos escrever:
ax + by = 1
Como encontrar
X e y?

11. Divisibilidade
Algoritmo de Euclides: Considere a aplicação repetida do
algoritmo da divisão da seguinte forma:
O MDC(a,b) é o último resto não-nulo

12. Divisibilidade
Exemplo: MDC(172,20)
172 = 20x8 + 12
20 = 12x1 + 8
12 = 8x1 + 4  MDC (172,20) = 4
8 = 4x2 + 0

13. Divisibilidade
Vamos encontrar x e y?
12 = 172 -20x8
8 = 20 -12
4 = 12 – 8 = 12 – (20 – 12) = 12x2 -20
4 = 2x(172-20x8)-20
4 = 172x2 -20x16 -20
4 = 172x(2) + 20x(-17)
X = 2, y = -17

14. Divisibilidade
Uma pergunta interessante e que não pode passar
livremente é: “Por que o Algoritmo de Euclides funciona?”
O que o Algoritmo de Euclides diz, de fato, é que:
d = MDC(a,b) = MDC(a,b-qa)
Mas, isto é uma consequência da propriedade que afirma
MDC(a,b)=MDC(a,ax+b) onde x = -q.

15. Divisibilidade
Vamos provar então que se d = MDC(a,b), então,
d = MDC(a,ax+b)
Considere que t = MDC(a,ax+b). Logo, t|a e t|(ax+b).
Portanto, t|b. Logo, t|d (td). Suponha t < d.
d =qt + r  r = d – qt (r < t). Portanto, t|r, pois t|d e t|qt.
Impossível, pois r<t. Logo, t = d.

16. Números Primos
Um número inteiro p>1 é dito ser primo se não houver
nenhum divisor d de p tal que 1<d<p. Caso contrário, o
número é dito ser composto.
Atualmente, o criptosistema RSA te sua segurança
baseada na dificuldade em se fatorar um número
composto n como o produto de dois primos distintos p e q.

17. Números Primos

18. Números Primos

19. Um inteiro da forma: 𝑀 𝑛 =
2 𝑛
− 1 é chamado um inteiro
de Mersenne. Quando este
número for primo, chamamos
os mesmos de “Primos de
Mersenne”.
Primos de Mersenne

20. Pode-se mostrar que se 𝑎 𝑛 − 1 (𝑎 > 0, 𝑛 ≥ 2) é primo,
então, a = 2 e n é primo.
Existe um especial interesse em corpos finitos do tipo
𝐺𝐹(2 𝑝
− 1) pois as operações de multiplicação são mais
simples.
Primos de Mersenne

21. Um inteiro da forma
𝐹𝑛 = 22 𝑛
+ 1 é dito ser um
número de Fermat. Se um
número de Fermat é primo,
então ele possui a forma
acima. O contrário pode não
ser verdade.
Primos de Fermat

22. A fatoração de qualquer número inteiro n (n>1) como
produto de fatores primos é única.
Note que em S = {2,4,6,8,...} a fatoração não é única neste
conjunto, pois 60 = 2x30 = 6x10.
Teorema da Fatoração Única

23. A série dos números primos é infinita.
Teorema de Euclides

24. Congruências Lineares
Introduzidas por Gauss em 1801 no seu livro
Disquisitiones Arithmeticae (Pesquisas Aritméticas).
Definição: Dados os inteiros a,b e n (n>0), diz-se
que a é congruente com b módulo n se n divide a-b.
𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)

25. Congruências Lineares

26. Congruências Lineares
A equação
𝑎𝑥 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛),
com x a determinar, pode ser escrita como
𝑎𝑥 − 𝑐 = 𝑘𝑛
Portanto,
𝑎𝑥 − 𝑛𝑘 = 𝑐 x e k inteiros a determinar

27. Congruências Lineares
Teorema: A equação diofantina ax + by = c possui solução
se, e somente se, d=MDC(a,b)|c. Se (x0,y0) é uma solução
particular, então, todas as outras soluções são:
𝑥 = 𝑥0 +
𝑏
𝑑
𝑡
𝑦 = 𝑦0 −
𝑎
𝑑
𝑡
t inteiro

28. Aplicações das C.L.
Projetar do livro

29. Teorema Chinês do Resto
Uma das primeiras aparições foi no livro “Manual
de Aritmética do Mestre Sun” (287 DC-473 DC).
Desenvolvido simultaneamente por gregos e
chineses para resolver problemas de astronomia.

30. Teorema Chinês do Resto