(1) O documento discute técnicas de prova de teoremas em matemática, como prova direta e prova por redução ao absurdo. (2) A prova direta assume a hipótese e tenta deduzir a conclusão, enquanto a prova por redução ao absurdo assume a negação da conclusão e tenta deduzir uma contradição. (3) Um exemplo ilustra cada técnica, provando que se x é par, então x+5 é ímpar.

1. MATEMÁTICA ELEMENTAR
PROVAS DE TEOREMAS
Prof. Carlos Campani

2. PROVAS DE TEOREMAS
●
Uso da lógica para provar verdades da
matemática (teoremas)
●
Existem diversas técnicas, mas apresentaremos
apenas duas: prova direta; e prova por redução
ao absurdo

3. PROVA DIRETA
Para provar P→Q ou Se P Então Q, lançar como
hipótese P e tentar deduzir Q

4. EXEMPLO DE PROVA DIRETA
Provar que se x é par então y=x+5 é ímpar.

5. EXEMPLO DE PROVA DIRETA
Prova:
(1) Assumimos que x é par (hipótese)
(2) Assim, x=2k, para
(3) y=x+5=2k+5=(2k+4)+1=2(k+2)+1
(4) Fazemos n=k+2, para
(5) Assim, y=2n+1, e se 2n é par, 2n+1 é ímpar
(6) Logo, o enunciado está provado.

6. PROVA POR REDUÇÃO AO
ABSURDO
Para provar P, assumimos como hipótese e
tentamos deduzir uma contradição

7. EXEMPLO DE PROVA POR
REDUÇÃO AO ABSURDO
Provar que se x é par então y=x+5 é ímpar.

8. NEGANDO O ENUNCIADO
●
O enunciado é uma implicação, Se P Então Q
ou P→Q, onde P= “x é par” e Q= “y=x+5 é ímpar”
●
Sabemos que a negação de uma implicação
P→Q é
●
Então a negação do resultado é “x é par e y é
par”

9. EXEMPLO DE PROVA POR
REDUÇÃO AO ABSURDO
Prova:
(1) Assumimos x é par e y é par (hipótese)
(2) Então y=x+5=2m, para
(3) Segue-se que x=2m-5=(2m-6)+1=2(m-3)+1
(4) Fazemos k=m-3, para
(5) Assim, x=2k+1 e x é ímpar, o que é uma
contradição com a hipótese que x é par