O documento descreve o triângulo de Pascal, incluindo suas propriedades e fórmulas matemáticas. O triângulo é formado de forma recursiva e contém números importantes como combinações, números naturais, triangulares e quadrados. Blaise Pascal estudou profundamente o triângulo e suas relações com a teoria das probabilidades.
Binômio de newton e triângulo de pascalespacoaberto
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre números binomiais, binomiais complementares e consecutivos, o triângulo de Pascal e suas propriedades, e a fórmula do binômio de Newton.
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
O documento apresenta um projeto para preparação para o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) contendo 180 questões de matemática aplicadas nos últimos 4 anos do exame, divididas em 17 etapas por tema. O material objetiva otimizar o treinamento dos candidatos para melhor desempenho na prova.
Teorema de pitágoras apresentação de slideRaquel1966
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras e sua aplicação para calcular lados desconhecidos em triângulos retângulos. O teorema relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo da seguinte forma: a2 + b2 = c2. Exemplos ilustram como usar o teorema para resolver problemas geométricos.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas relações: (1) Os naturais N contém os números inteiros positivos. (2) Os inteiros Z incluem N e os inteiros negativos. (3) Os racionais Q são todas as frações de inteiros. (4) Os irracionais i não podem ser expressos como frações. (5) Os reais R são a união de Q e i.
Uma progressão geométrica é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. Existem fórmulas para calcular termos individuais, soma, produto e interpolação de termos em progressões geométricas.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
Binômio de newton e triângulo de pascalespacoaberto
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre números binomiais, binomiais complementares e consecutivos, o triângulo de Pascal e suas propriedades, e a fórmula do binômio de Newton.
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
O documento apresenta um projeto para preparação para o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) contendo 180 questões de matemática aplicadas nos últimos 4 anos do exame, divididas em 17 etapas por tema. O material objetiva otimizar o treinamento dos candidatos para melhor desempenho na prova.
Teorema de pitágoras apresentação de slideRaquel1966
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras e sua aplicação para calcular lados desconhecidos em triângulos retângulos. O teorema relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo da seguinte forma: a2 + b2 = c2. Exemplos ilustram como usar o teorema para resolver problemas geométricos.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas relações: (1) Os naturais N contém os números inteiros positivos. (2) Os inteiros Z incluem N e os inteiros negativos. (3) Os racionais Q são todas as frações de inteiros. (4) Os irracionais i não podem ser expressos como frações. (5) Os reais R são a união de Q e i.
Uma progressão geométrica é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. Existem fórmulas para calcular termos individuais, soma, produto e interpolação de termos em progressões geométricas.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
Razões trigonométricas no triângulo retânguloSandra Barreto
1) O documento discute razões trigonométricas em triângulos retângulos, definindo seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.
2) Também define secante, cossecante e cotangente como razões inversas de cosseno, seno e tangente, respectivamente.
3) Afirma que a razão de um ângulo agudo é igual à co-razão do outro ângulo agudo no mesmo triângulo, de acordo com a propriedade dos ângulos complementares.
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido somando-se uma constante à razão anterior. A P.A. possui fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e outras propriedades.
O documento descreve as funções seno e cosseno, suas propriedades e variações possíveis através de fatores multiplicativos, translações e alterações no argumento. É mostrado como esses fatores modificam a imagem e o período da função. Como exemplo, é analisada a função f(x)=1+sen(2x).
O documento apresenta os conceitos de área de prisma, incluindo classificação, área da base, área lateral e área total. Exemplos e exercícios são fornecidos para demonstrar cálculos de áreas de diferentes tipos de prisma.
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo:
1) A definição de trigonometria e seu significado;
2) Aplicações da trigonometria em triângulos retângulos e a relação entre seno, cosseno e tangente;
3) Cálculo de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Equações literais são equações que contêm duas ou mais variáveis. Resolvem-se isolando cada variável num dos membros da equação. Isola-se a variável que se pretende determinar, tratando as outras como números.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
O documento discute funções afins, definidas como funções do tipo y = ax + b. Apresenta exemplos de situações em que a temperatura varia linearmente com o tempo e constrói os respectivos gráficos. Explica como obter a equação de uma função a partir de dois pontos e analisa propriedades como raiz, crescimento e estudo de sinal.
1. A geometria se baseia nos conceitos primitivos de ponto, reta e plano, que não podem ser definidos, mas sim entendidos por exemplos.
2. Um ponto não tem dimensão e é representado por uma letra maiúscula. Uma reta é formada por pontos alinhados e é representada por uma letra minúscula.
3. Um plano tem duas dimensões e é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego.
Trigonometria trata da medição de triângulos. O documento discute conceitos como razões trigonométricas, resolução de triângulos, ângulos generalizados, medição de ângulos em radianos e funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente.
Este documento descreve as funções do segundo grau, definidas como f(x) = ax2 + bx + c. Explica que o gráfico é uma parábola que pode ter concavidade voltada para cima ou baixo dependendo do sinal de a. Detalha como encontrar as raízes, vértice e traçar o gráfico passo a passo.
Geometria analítica distancia entre dois pontosCamila Oliveira
O documento discute geometria analítica e fornece a fórmula para calcular a distância entre dois pontos. Ele também apresenta exemplos de cálculos de distâncias entre pontos e determinação de pontos equidistantes em eixos.
Este documento resume os principais conceitos sobre funções quadráticas, incluindo: (1) a definição de função quadrática como f(x)=ax2+bx+c; (2) que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola; (3) que os zeros da função quadrática são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
Expressões algébricas são expressões matemáticas que contêm letras e podem conter números, com as letras representando valores variáveis. Há diferentes tipos de expressões como monômios (um elemento), binômios (dois elementos) e trinômios (três elementos). Polinômios são expressões formadas por adições e subtrações de vários monômios, e o grau de um polinômio é indicado pelo maior expoente da variável. É possível reduzir termos semelhantes agrupando monômios com partes literais idênticas e
O documento descreve a vida e obra de Euclides, um matemático grego do século IV a.C. considerado o "pai da geometria". Ele é mais conhecido por seu livro "Os Elementos", que foi por séculos o texto de referência para o ensino da matemática e um dos livros mais publicados no mundo.
I. O documento apresenta o plano de uma aula digital sobre relações métricas no triângulo retângulo para o 9o ano.
II. A aula é dividida em atividades como revisão, apresentação do tema, pergunta desafio e diagnóstico prévio dos alunos.
III. O objetivo é que os alunos aprendam a identificar e aplicar relações métricas nos triângulos retângulos na resolução de problemas.
Este documento apresenta uma aula sobre probabilidade. Ele introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de um evento, soma de probabilidades e probabilidade de eventos independentes. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e exercícios são resolvidos para reforçar a compreensão.
O documento discute os conceitos fundamentais de radiciação, incluindo:
1) A radiciação é a operação inversa da potenciação e envolve a extração da raiz de um número.
2) Um radical é composto pelo radicando, índice e raiz.
3) As propriedades da radiciação incluem operações com radicais como adição, subtração, multiplicação e divisão.
O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, incluindo fatorial, triângulo de Pascal, coeficientes binomiais e aplicações em genética e herança.
O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, incluindo fatorial, triângulo de Pascal, herança quantitativa e princípio fundamental da contagem.
Razões trigonométricas no triângulo retânguloSandra Barreto
1) O documento discute razões trigonométricas em triângulos retângulos, definindo seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.
2) Também define secante, cossecante e cotangente como razões inversas de cosseno, seno e tangente, respectivamente.
3) Afirma que a razão de um ângulo agudo é igual à co-razão do outro ângulo agudo no mesmo triângulo, de acordo com a propriedade dos ângulos complementares.
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido somando-se uma constante à razão anterior. A P.A. possui fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e outras propriedades.
O documento descreve as funções seno e cosseno, suas propriedades e variações possíveis através de fatores multiplicativos, translações e alterações no argumento. É mostrado como esses fatores modificam a imagem e o período da função. Como exemplo, é analisada a função f(x)=1+sen(2x).
O documento apresenta os conceitos de área de prisma, incluindo classificação, área da base, área lateral e área total. Exemplos e exercícios são fornecidos para demonstrar cálculos de áreas de diferentes tipos de prisma.
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo:
1) A definição de trigonometria e seu significado;
2) Aplicações da trigonometria em triângulos retângulos e a relação entre seno, cosseno e tangente;
3) Cálculo de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Equações literais são equações que contêm duas ou mais variáveis. Resolvem-se isolando cada variável num dos membros da equação. Isola-se a variável que se pretende determinar, tratando as outras como números.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
O documento discute funções afins, definidas como funções do tipo y = ax + b. Apresenta exemplos de situações em que a temperatura varia linearmente com o tempo e constrói os respectivos gráficos. Explica como obter a equação de uma função a partir de dois pontos e analisa propriedades como raiz, crescimento e estudo de sinal.
1. A geometria se baseia nos conceitos primitivos de ponto, reta e plano, que não podem ser definidos, mas sim entendidos por exemplos.
2. Um ponto não tem dimensão e é representado por uma letra maiúscula. Uma reta é formada por pontos alinhados e é representada por uma letra minúscula.
3. Um plano tem duas dimensões e é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego.
Trigonometria trata da medição de triângulos. O documento discute conceitos como razões trigonométricas, resolução de triângulos, ângulos generalizados, medição de ângulos em radianos e funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente.
Este documento descreve as funções do segundo grau, definidas como f(x) = ax2 + bx + c. Explica que o gráfico é uma parábola que pode ter concavidade voltada para cima ou baixo dependendo do sinal de a. Detalha como encontrar as raízes, vértice e traçar o gráfico passo a passo.
Geometria analítica distancia entre dois pontosCamila Oliveira
O documento discute geometria analítica e fornece a fórmula para calcular a distância entre dois pontos. Ele também apresenta exemplos de cálculos de distâncias entre pontos e determinação de pontos equidistantes em eixos.
Este documento resume os principais conceitos sobre funções quadráticas, incluindo: (1) a definição de função quadrática como f(x)=ax2+bx+c; (2) que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola; (3) que os zeros da função quadrática são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
Expressões algébricas são expressões matemáticas que contêm letras e podem conter números, com as letras representando valores variáveis. Há diferentes tipos de expressões como monômios (um elemento), binômios (dois elementos) e trinômios (três elementos). Polinômios são expressões formadas por adições e subtrações de vários monômios, e o grau de um polinômio é indicado pelo maior expoente da variável. É possível reduzir termos semelhantes agrupando monômios com partes literais idênticas e
O documento descreve a vida e obra de Euclides, um matemático grego do século IV a.C. considerado o "pai da geometria". Ele é mais conhecido por seu livro "Os Elementos", que foi por séculos o texto de referência para o ensino da matemática e um dos livros mais publicados no mundo.
I. O documento apresenta o plano de uma aula digital sobre relações métricas no triângulo retângulo para o 9o ano.
II. A aula é dividida em atividades como revisão, apresentação do tema, pergunta desafio e diagnóstico prévio dos alunos.
III. O objetivo é que os alunos aprendam a identificar e aplicar relações métricas nos triângulos retângulos na resolução de problemas.
Este documento apresenta uma aula sobre probabilidade. Ele introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de um evento, soma de probabilidades e probabilidade de eventos independentes. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e exercícios são resolvidos para reforçar a compreensão.
O documento discute os conceitos fundamentais de radiciação, incluindo:
1) A radiciação é a operação inversa da potenciação e envolve a extração da raiz de um número.
2) Um radical é composto pelo radicando, índice e raiz.
3) As propriedades da radiciação incluem operações com radicais como adição, subtração, multiplicação e divisão.
O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, incluindo fatorial, triângulo de Pascal, coeficientes binomiais e aplicações em genética e herança.
O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, incluindo fatorial, triângulo de Pascal, herança quantitativa e princípio fundamental da contagem.
Este documento fornece instruções sobre como calcular a raiz quadrada de um número racional. Explica que a raiz quadrada é o número que, quando elevado ao quadrado, produz o número original. Detalha como representar a raiz quadrada com símbolos e como lidar com raízes quadradas positivas e negativas. Inclui exemplos passo a passo e exercícios para praticar os conceitos.
Triângulo de Pascal - Exercícios resolvidostadilu3
1) O documento discute o Triângulo de Pascal, no qual os elementos são dispostos em forma triangular de acordo com fórmulas matemáticas.
2) Apresenta propriedades do triângulo de Pascal como termos equidistantes iguais e soma de termos consecutivos.
3) Exemplifica como usar o triângulo de Pascal para resolver problemas envolvendo a soma e posição de termos.
1) O documento discute o Triângulo de Pascal, no qual os elementos são dispostos em forma triangular de acordo com fórmulas matemáticas.
2) Apresenta propriedades do triângulo de Pascal e exemplos de como usar suas regras para resolver problemas envolvendo a soma e posição de termos.
3) Explica como o Triângulo de Pascal está relacionado ao Binômio de Newton, que pode ser usado para desenvolver expressões algébricas.
Este documento resume conceitos básicos sobre equações do 1o grau, incluindo: (1) expressões algébricas e literais, (2) conjunto universo e conjunto solução de uma equação, e (3) verificação se um número é raiz de uma equação. O documento também discute equações equivalentes e os princípios de equivalência.
1) O quarto termo da progressão aritmética é 37 e o termo geral é a + (n - 1)d, onde a = 34 e d = 1.
2) O primeiro termo da progressão geométrica é 4.
3) Analisa a convergência de quatro sucessões, identificando quais são convergentes.
1) O documento apresenta soluções para questões de um exame de matemática sobre preenchimento de quadriculados e sequências numéricas. 2) As soluções incluem preenchimento de quadriculados de forma única e máxima soma, além de análise de sequências de Fibonacci. 3) A lonjura de pontos é calculada através de poligonais que passam por pontos de coordenadas inteiras.
1) O documento apresenta 11 exercícios resolvidos sobre geometria analítica. Os exercícios envolvem cálculo de coeficientes angulares de retas, determinação de colinearidade ou perpendicularidade entre retas, conversão entre formas de equações de retas e determinação de equações de circunferências.
O documento descreve a evolução dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais e chegando aos números reais. Explica como cada novo conjunto foi necessário para resolver problemas matemáticos e como eles se relacionam entre si, com cada um englobando o anterior e acrescentando novos tipos de números.
1) O documento apresenta o binômio de Newton, uma fórmula para calcular potências de binômios.
2) É introduzido o triângulo de Pascal, que organiza os coeficientes binomiais usados no desenvolvimento do binômio de Newton.
3) A fórmula geral para o desenvolvimento do binômio de Newton é apresentada, usando os coeficientes binomiais do triângulo de Pascal.
O documento descreve a evolução histórica dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais usados para contar e evoluindo para os números inteiros, racionais e reais. Os conjuntos numéricos são representados graficamente em uma reta real.
O documento descreve a sequência de Fibonacci, na qual cada número é a soma dos dois anteriores. Começa com 1, 1 e prossegue para 2, 3, 5, 8 e assim por diante. Essas quantidades descrevem o crescimento populacional de coelhos. O texto também discute generalizações como números de Lucas e aplicações em áreas como música, arquitetura e mercado financeiro.
Apresenta uma breve história do surgimento dos complexos, relacionando-os com uma Geometria e, ainda, apresentado os polígonos regulares formados pelas raízes de números complexos.
Este documento apresenta exemplos e exercícios sobre funções e suas aplicações em diferentes situações. Na primeira situação de aprendizagem, discute-se sobre grandezas que dependem de outras variáveis e exemplos de funções, incluindo circunferência em função do raio, área em função do lado de um quadrado e massa em função do tempo de decomposição. A segunda situação trata da construção de gráficos funcionais. A terceira aborda as formas básicas de crescimento e decrescimento linear, exponencial e logarítmica.
Triângulo de Pascal: Exercícios resolvidosnumerosnamente
1. O documento apresenta 24 exercícios resolvidos sobre o triângulo de Pascal.
2. Os exercícios envolvem identificar elementos específicos de linhas do triângulo a partir de informações fornecidas, como a soma de elementos ou a probabilidade de escolha de elementos.
3. As resoluções demonstram propriedades matemáticas do triângulo de Pascal, como a igualdade entre elementos simétricos e a relação entre elementos de linhas consecutivas.
Este documento discute equações de primeiro grau com duas incógnitas, como encontrar soluções para tais equações, e representá-las graficamente em um plano cartesiano. Explica como cada solução é um par ordenado (x, y) e como atribuir valores a uma das variáveis calcula o valor da outra.
O documento explica os diferentes tipos de números reais, incluindo inteiros, racionais, irracionais e sua representação na reta numérica. Mostra como localizar números irracionais como raízes quadradas e o número p na reta através de construções geométricas.
1) No passado, quadrados mágicos eram usados como amuletos devido aos poderes místicos atribuídos a eles.
2) Para quadrados mágicos de tamanhos diferentes, há números planetários específicos que representam a soma de cada linha, coluna e diagonal.
3) Existem fórmulas matemáticas para calcular os números planetários e encontrar disposições válidas para quadrados mágicos de diferentes tamanhos.
1) No passado, quadrados mágicos eram usados como amuletos devido aos poderes místicos atribuídos a eles.
2) Para quadrados mágicos de tamanhos diferentes, há números chamados "números planetários" que definem as somas das linhas, colunas e diagonais.
3) Existem fórmulas matemáticas para calcular os números planetários e construir quadrados mágicos de forma sistemática.
2. Propriedades
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações
entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o seu nome.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
3. Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são
formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como
exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).
Sendo n o número de linhas e k o número de colunas dessa linha onde o número
está (não se conta com o topo do triângulo, pois numa sucessão definida por
recorrência tem que existir uma condição inicial, tal é 1).
Tal fórmula prova-se por indução matemática em n.
5. Fórmulas
Uma outra consequência é a soma dos elementos de uma linha.
Pascal ao constatar este resultado particularizou o método da indução para um
determinado valor e disse que o mesmo sucederia para os restantes.
A 20ª consequência que Blaise Pascal retirou do triângulo foi a seguinte:
6. Também esta fórmula pode ser demonstrada usando o método da indução.
Com as 20 consequências que Pascal retirou do triângulo, foi-lhe possível chegar ao
resultado
Usando o método da indução, ele chegou ainda à conclusão que
ou seja, ao número de combinações de n elementos k a k.
Também mostrou que as linhas do triângulo correspondem aos coeficientes da
potência de a na expansão de
Pascal relaciona o triângulo aritmético com a teoria das probabilidades da qual foi
também pioneiro.
7. • Relação de Stifel
Podemos somar dois números quaisquer de
uma linha e veremos que o resultado irá estar
debaixo do segundo número.
8. Outras propriedades do triângulo
de Pascal
É de realçar que o triângulo é simétrico. Por isso os elementos equidistantes aos extremos do
triângulo iguais, ou seja em linguagem matemática, nCp= nCn-p com n, pÎN0, n³p.
Encontramos também os números naturais aqui, na 2ª diagonal. Quando um deles for primo (isto é,
apenas divisível por ele próprio e por 1 então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são
divisíveis por ele.
Temos como exemplo na linha 7: 1 7 21 35 35 21 7 1
como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisíveis por ele.
9. Como Pascal observou, a soma de cada linha é uma potência de 2.
Assim temos
Linha 0: 20=1
Linha 1: 21=2
Linha 2: 22=4
Linha 3: 23=8
...
Podemos verificar também que existem potências de 11, neste triângulo.
Linha 0: 110=1(100)=1
Linha 1: 111=1(101)+1(100)=10+1=11
Linha 2: 112=1(102)+2(101)+1(100)=100+20+1=121
Linha 3: 113=1(103)+3(102)+3(101)+1(100)=1000+300+30+1=1331
Linha 4: 114=1(104)+4(103)+6(102)+4(101)+1(100)=14641
...
Concluímos assim que:
a maior potência de cada soma corresponde a linha que estamos a considerar;
os coeficientes das potências são os elementos da linha em questão;
a potência de 11 corresponde à maior potência apresentada na soma, ou seja, o número da linha.
10. Na 3ª diagonal encontramos os números triangulares, estes pertencem à categoria dos números figurados (descobertos
por matemáticos das escolas pitagóricas) pois formam figuras geométricas, neste caso triângulos como é exemplificado:
É de notar que estes números são alternadamente dois ímpares dois pares, podendo ser alcançados através de
sucessões por recorrência através da fórmula T(n)= n(n+1)/2 (a partir dos n-1 elementos conseguimos alcançar o
elemento n).
Como a partir dos números triangulares se podem obter os números hexagonais H(n)=n(2n-1), é possível vê-los aqui
também.
11. Esta diagonal contém ainda os números quadrados, pois se somarmos o primeiro elemento ao segundo (1+3)
obtemos o 4 que é um número quadrado, ao somarmos o segundo ao terceiro elemento (3+6) ficamos com o número
9, também ele um número quadrado, e assim por diante. Para além do que estamos habituados a fazer (a2) podemos
também representar estes números sobre a forma geométrica
Na 4ª diagonal podemos observar mais alguns números figurados tais como os números tetraédricos (1, 4, 10, 20, 35, 56,
84, 120, ...). Estes, de acordo com os esquemas anteriores também representam formas geométricas, neste caso um
tetraedro (pirâmide regular com base triangular).
A sua fórmula é:
sendo o seu termo geral:
12. Blaise Pascal
Blaise Pascal (nasceu em Clermont-Ferrand, 19 de Junho de 1623 — Paris, 19 de Agosto de 1662)
foi um físico, matemático, filósofo moralista e teólogo francês.
Contribuições à Matemática
Pascal continuou a influenciar a matemática ao longo de sua vida. Seu Traité du triangle
arithmétique ("Tratado sobre o Triângulo aritmético") de 1653 descreveu uma apresentação
tabular conveniente para os coeficientes binomiais, agora chamado triângulo de Pascal. O
triângulo também pode ser representado:
13. Em 1654, solicitado por um amigo interessado em problemas de jogo, ele correspondeu-se com
Fermat sobre o assunto, e desta colaboração nasceu a teoria matemática das probabilidades. O
amigo era o Chevalier de Méré, e o problema específico foi o de dois jogadores que querem
terminar um jogo mais cedo e, dadas as atuais circunstâncias do jogo, querem dividir as apostas de
forma justa, com base na chance que cada um tem de ganhar o jogo a partir desse ponto. A partir
desta discussão, a noção de valor esperado foi introduzida. Pascal mais tarde (nos seus Pensées)
usou um argumento probabilístico, a Aposta de Pascal para justificar a crença em Deus e uma vida
virtuosa. O trabalho realizado por Fermat e Pascal para o cálculo de probabilidades estabeleceu os
fundamentos importantes para a formulação de Leibniz do cálculo infinitesimal.
Depois de uma experiência religiosa em 1654, Pascal praticamente desistiu do trabalho em
matemática.
14. Alunos
Bruno T. Nº 02
Eduardo S. Nº 04
Lucas B. Nº 06
Ronner M. Nº 14