Este documento discute combinações, o Triângulo de Pascal e o Binómio de Newton. Explica como calcular combinações usando a fórmula binomial e apresenta propriedades dessas combinações. Também descreve como construir o Triângulo de Pascal e relaciona suas entradas às combinações. Finalmente, deriva a fórmula geral do Binómio de Newton usando indução matemática.

1. Matemática 12.º Ano
Combinações, Triângulo de Pascal e Binómio de Newton
J. Silvestre, 2007-11-20
0. Combinações....................................................................................................................................................................................1
A fórmula e o significado ......................................................................................................................... 1
Propriedades........................................................................................................................................... 2
1. Triângulo de Pascal.........................................................................................................................................................................3
Algumas propriedades ............................................................................................................................. 3
Exercícios (1).......................................................................................................................................... 4
2. Binómio de Newton.........................................................................................................................................................................4
Em busca do desenvolvimento da potência de uma soma........................................................................... 4
Desenvolvimento alternativo ..................................................................................................................... 6
Exercícios (2).......................................................................................................................................... 6
Soma dos números de uma linha do Triângulo de Pascal ............................................................................ 7
Exercícios (3).......................................................................................................................................... 7
Termo médio........................................................................................................................................... 7
Exercícios (4).......................................................................................................................................... 8
0. Combinações
A fórmula e o significado
Designa-se por “combinações de n elementos, p a p ”, e representa-se por nC p , o número de
subconjuntos distintos com p elementos que é possível extrair de um conjunto com n elementos.
Para contar estes subconjuntos (ou seja, para determinar nC p ) podemos proceder do seguinte modo:
• Começamos por determinar o número de sequências distintas com p elementos que é possível
formar a partir dos n elementos do conjunto completo. Temos n elementos à escolha para a 1.ª
posição, n − 1 para a 2.ª posição,..., n − k + 1 para a k.ª posição,..., n − p + 1 para a última
posição. O número total de sequências possíveis é pois igual a
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ K ⋅ (n − p + 1)
que pode reescrito da sequinte forma
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ K ⋅ (n − p + 1) (n − p ) ⋅ (n − p − 1) ⋅ K ⋅1
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ K ⋅ (n − p + 1) = ⋅
1 (n − p ) ⋅ (n − p − 1) ⋅K ⋅1
n!
=
(n − p )!
e que é geralmente representado por n Ap (arranjos sem repetição de n elementos p a p ).
• Acontece que, ao efectuarmos a contagem desta forma, estamos a contar o mesmo subconjunto
mais de uma vez, visto que aos mesmos p elementos de um subconjunto correspondem p Ap
sequências distintas de números. Assim, o número de subconjuntos vai ser igual ao número de
sequências n Ap dividido pelo número de vezes que cada subconjunto aparece na lista de

2. sequências. O resultado é
n! 1
n
C p = n Ap ÷ p A p = ⋅
(n − p )! p!
n!
=
(n − p )! p!
Obviamente nC p só está definido se (cumulativamente)
- n e p são números inteiros não negativos (i.e. pertencem a IN 0 ): o número de elementos de um
conjunto é um número inteiro, que será positivo se houver elementos ou será zero se o conjunto for
vazio;
- p ≤ n (não é possível extrair mais do que n elementos de um conjunto que só tem n elementos.
Propriedades
1. Para qualquer n ∈ IN 0 e para qualquer p ∈ {0, 1, 2, K , n}, tem-se uma das seguintes situações:
- se p = 0 ou p = n então nC p = 1;
- se 0 < p < n então nC p = n −1C p −1 + n −1C p .
n!
Esta propriedade pode ser verificada a partir da fórmula nC p = , mas pode também ser
(n − p )! p!
justificada do sequinte modo (no que se segue, B designa um conjunto com n elementos):
- se p = 0 estamos a extrair um subconjunto com 0 elementos e só há um subconjunto nessas
condições: o conjunto vazio;
- se p = n estamos a extrair todos os elementos do conjunto, e só há uma forma de o fazer;
- se 0 < p < n podemos começar por formar um subconjunto B' com n − 1 elementos de B ,
deixando um elemento isolado; para formar o nosso subconjunto com p elementos de B temos
então duas alternativas: ou extraímos n − 1 elementos de B ' e lhes juntamos o elemento que
ficou de fora (o que dá n −1C p −1 subconjuntos distintos com p elementos) ou extraímos os n
n −1
elementos todos de B' (o que dá mais C p subconjuntos distintos com p elementos). Todos
os nC p subconjuntos de B podem ser obtidos de uma destas formas, portanto tem-se
n
C p = n −1C p −1 + n −1C p .
2. Para qualquer n ∈ IN (i.e. para cada número inteiro n > 0 ) tem-se nC1 = n .
Esta propriedade obtém-se imediatamente substituindo p por 1 na fórmula e simplificando.
Alternativamente: fazer p = 1 corresponde a contar o número de subconjuntos de 1 elemento que
é possível formar a partir dos n elementos do conjunto original B ; obviamente existirão tantos
subconjuntos de 1 elemento quantos os elementos, ou seja, n .
3. Para qualquer n ∈ IN 0 e para qualquer p ∈ {0, 1, 2, K , n}, tem-se
n
C p = n Cn − p .
Mais uma vez, esta propriedade pode ser verificada a partir da fórmula, ou pode ser justificada do
seguinte modo:
A cada subconjunto de p elementos que formemos corresponde um e apenas um subconjunto
de n − p elementos: os que “deixámos para trás”. Logo, terá que haver tantos subconjuntos de

3. p elementos (em número de nC p ) quantos os subconjuntos com n − p elementos ( nCn − p ),
donde sai o resultado pretendido.
1. Triângulo de Pascal
Algumas propriedades
• O Trângulo de Pascal é um triângulo de números com este aspecto (são mostradas apenas as
primeiras 5 linhas).
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Constrói-se linha por linha, aplicando as seguintes regras:
- a n-ésima linha tem n números, em posições intercaladas com a linha imediatamente acima;
- o primeiro número e o último número de cada linha são iguais a 1;
- os restantes números de cada linha obtêm-se adicionando os dois números mais próximos da linha
imediatamente acima.
• Repara que estas são exactamente as mesmas regras que encontrámos acima, na propriedade 1
das combinações:
- o primeiro valor possível para n é zero, e para esse valor apenas está definida uma “combinação”,
que é 0C0 ; o 2.º valor possível para n é 1, e para esse valor de n estão definidas 2 “combinações”,
que são 1C0 e 1C1 ; e assim sucessivamente: para o k-ésimo valor que n pode tomar, estão definidas k
“combinações”;
- na lista nC0 , n C1 , K, n C n o primeiro elemento e o último elemento são ambos iguais a 1;
- se escrevermos sucessivamente estas listas, com os números intercalados, a propriedade
n
C p = n −1C p −1 + n −1C p garante que cada número de uma lista (à excepção dos das pontas) resulta da
soma dos números mais próximos da lista imediatamente acima.
Como as regras de formação são as mesmas,
pelas
as entradas do Triângulo de Pascal são ocupadas pelas “combinações” nC p .
• Como o primeiro valor que n toma nas combinações é zero, a 1.ª linha corresponde a n = 0 , a 2.ª
linha corresponde a n = 1 ,..., a r-ésima linha corresponde a n = r − 1 (verifica na porção do Triângulo
de Pascal reproduzida acima que, por exemplo, a 5.ª linha corresponde a n = 5 − 1 = 4 ).
Do mesmo modo, como o primeiro valor que p toma em cada linha é zero, o 1.º elemento de uma
linha corresponde a p = 0 , o 2.º elemento corresponde a p = 1 ,..., o k-ésimo elemento corresponde a
p = k − 1 (verifica na porção do Triângulo de Pascal reproduzida acima que o 2.º elemento da 4.ª linha
4−1
é igual a C2 −1 =3C1 ).
• Observando o Triângulo de Pascal, verificas que ele é simétrico em relação a uma linha vertical que
passe pelo “vértice” (o número 1 situado no topo): as entradas simétricas em relação a esta linha são

4. iguais. Por que será?
Quais são essas entradas simétricas? São as entradas que se situam à mesma distância dos extremos
do triângulo. Se uma dessas entradas corresponde a nC p , então deixa à sua esquerda exactamente p
entradas, logo a sua simétrica será a entrada que deixa à sua direita exactamente p entradas, e
corresponde a nC n − p . Mas nós já sabemos que nC p = nC n − p , portanto em cada linha do Triângulo de
Pascal as entradas simétricas são iguais -- ou seja, o Triângulo de Pascal é simétrico.
Exercícios (1)
Exercício
□ Exercício 1. (a: fácil/médio; b: difícil)
A soma dos três primeiros números de uma certa linha (linha r) do Triângulo de Pascal é igual a 154.
a) Qual é o terceiro número da linha imediatamente abaixo (linha r+1)?
b) Qual é o penúltimo número da mesma linha (linha r)?
Exercício
□ Exercício 2. (bastante difícil)
Três números consecutivos de uma certa linha do Triângulo de Pascal são 80730, 296010 e 888030.
Determine o 2.º número dessa mesma linha do Triângulo de Pascal.
Sugestões
(Sugestões :
- Dê nomes aos três números do enunciado: x = 80730 , y = 296010 , z = 888030 .
- Considere que x= nC p e obtenha as expressões correspondentes para y e z . Nestas expressões só
intervêm n e p . Temos pois 3 equações e 2 incógnitas ( n e p ); em teoria será possível
determinarmos os valores das incógnitas.
y z
- Vai-nos ser útil considerar duas novas quantidades, α = e β = . Use as expressões de x , y e
x y
z obtidas na etapa anterior para relacionar as novas quantidades α e β com as incógnitas n e p .
y z
- Calcule os valores de α = e β = a partir dos dados do enunciado, e substitua-os nas equações
x y
que obteve na etapa anterior. Deste modo obteve um sistema de duas equações do 1.º grau em n e
em p , sistema este que pode ser resolvido (por exemplo pelo método de substituição) para obter n e
p . Caso tenha usado valores aproximados para α e β , não irá obter valores inteiros para n e p ,
pelo que terá que arredondar para o inteiro mais próximo.
- Recorrendo à sua calculadora, confirme que x= nC p , y = n C p +1 e z = nC p + 2 .
- Por fim, use a informação de que agora dispõe para responder à questão colocada no enunciado.)
2. Binómio de Newton
Em busca do desenvolvimento da potência de uma soma
Considere a conhecida expansão do quadrado de uma soma:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Repare que esta igualdade pode ser escrita na forma
2
(a + b)2 = ∑ 2C p ⋅ a 2− p ⋅ b p
p=0

5. (a parcela a 2 obtém-se fazendo p = 0 , a parcela 2ab corresponde a p = 1 , e a parcela b 2 resulta de
fazer p = 2 ).
Se usarmos a letra n para representar o número 2, a igualdade pode ainda ser escrita na forma
n
(a + b)n = ∑ nC p ⋅ a n− p ⋅ b p .
p=0
Facilmente se verifica que esta igualdade permanece válida quando n = 1 e quando n = 0 . Com um
pouco mais de contas, verifica-se que também é válida quando n = 3 . Mas será que é válida para
qualquer n inteiro?
Para mostrar que sim, suponhamos (“hipótese de indução”) que a igualdade
n
(a + b)n = ∑ nC p ⋅ a n− p ⋅ b p
p=0
é válida para um certo número inteiro n , e vejamos se ainda é válida quando avançamos para o
número inteiro seguinte (isto é, quando substituimos n por n + 1 ):
(a + b )n+1 = (a + b )(a + b )n
(aplicar a hipótese de indução)
n
= (a + b )∑ nC p ⋅ a n − p ⋅ b p
p =0
n n
= a ∑ nC p ⋅ a n − p ⋅ b p + b ∑ nC p ⋅ a n − p ⋅ b p
p=0 p=0
n n
= ∑ nC p ⋅ a n +1− p ⋅ b p + ∑ nC p ⋅ a n − p ⋅ b p +1
p =0 p=0
(fazer k = p + 1 ⇒ p = k − 1)
n n +1
= ∑ nC p ⋅ a n +1− p ⋅ b p + ∑ nC k −1 ⋅ a n +1−k ⋅ b k
p =0 k =1
(fazer p = k )
n n +1
= ∑ nC p ⋅ a n +1− p ⋅ b p + ∑ n C p −1 ⋅ a n +1− p ⋅ b p
p =0 p =1
n n
= 1 ⋅ a n +1 ⋅ b 0 + ∑ nC p ⋅ a n +1− p ⋅ b p +∑ nC p −1 ⋅ a n +1− p ⋅ b p + 1 ⋅ a 0 ⋅ b n +1
p =1 p =1
( )
n
= 1 ⋅ a n +1 ⋅ b 0 + ∑ nC p −1 + nC p ⋅ a n +1− p ⋅ b p + 1 ⋅ a 0 ⋅ b n +1
p =1
n
= n +1C0 ⋅ a n +1−0 ⋅ b 0 + ∑ n +1C p ⋅ a n +1− p ⋅ b p + n +1Cn +1 ⋅ a n +1−( n +1) ⋅ b n +1
p =1
n +1
= ∑ n +1C p ⋅ a n +1− p ⋅ b p
p =0
Concluímos, finalmente, que a igualdade ainda é válida para o número inteiro seguinte:
n +1
(a + b )n+1 = ∑ n+1C p ⋅ a n+1− p ⋅ b p .
p =0

6. Mas daqui, por um procedimento semelhante, mostraríamos que a igualdade se manteria válida se
substituíssemos n por n + 2 , n + 3 , etc.., percorrendo todos os números inteiros não negativos.
(Chama-se a isto uma demonstração por indução.)
Conclusão: para qualquer número inteiro n ≥ 0 é válida a expansão
n
(a + b)n = ∑ nC p ⋅ a n− p ⋅ b p
p=0
A esta expansão da potência de uma soma dá-se o nome de Binómio de Newton.
Para cada valor de p , a parcela nC p ⋅ a n − p ⋅ b p é um termo do desenvolvimento de (a + b ) . Obviamente
n
o 1.º termo corresponde a p = 0 , o 2.º termo corresponde a p = 1 ,..., o k -ésimo termo corresponde a
p = k − 1 . Portanto, o k -ésimo termo (que podemos representar por Tk : “termo de ordem k ”) é dado
por
Tk = nCk −1 ⋅ a n −k +1 ⋅ b k −1 .
Desenvolvimento alternativo
Repare-se que, quando o índice p percorre os números inteiros de 0 até n , o número r = n − p
percorre também os números inteiros de n até 0 (por ordem decrescente). Então também podemos
usar r como índice do somatório, visto que iremos obter exactamente as mesmas parcelas (por ordem
inversa). Substituindo p por r = n − r na expressão que está a ser somada, obtemos
n
(a + b )n = ∑ nCn− r ⋅ a n−(n− r ) ⋅ b n−r
r =0
n
= ∑ n Cr ⋅ a r ⋅ b n − r
r =0
onde se usou a propriedade nC n −r = nC r .
Mas r é uma “variável muda” (é um índice que só aparece dentro do somatório), e portanto podemos
voltar a usar um p em seu lugar:
n
(a + b)n = ∑ nC p ⋅ a p ⋅ b n− p
p=0
Esta é uma versão alternativa do Binómio de Newton. Ambas são perfeitamente equivalentes: as n + 1
parcelas são as mesmas – só muda a ordem pela qual são somadas. Neste desenvolvimento o
k -ésimo termo é Tk = nC k −1 ⋅ a k −1 ⋅ b n −k +1 . Obviamente é diferente do k -ésimo termo do desenvolvimento
anterior.
Como existem estas duas versões equivalentes do Binómio de Newton, todas as questões que
coloquemos que envolvam a posição de cada termo são vazias de sentido, salvo no caso excepcional
de se tratar do termo médio, que é o mesmo em ambas as expansões.
Exercícios (2)
Exercício
□ Exercício 3. (médio)
12
 1
No desenvolvimento de  3 x +  existe algum termo independente? Calcula-o se existir, ou justifica
 x
que não existe.

7. Soma dos números de uma linha do Triângulo de Pascal
Já sabemos que os elementos da r -ésima linha do Triângulo de Pascal (i.e. da “linha número r ”, se
numerarmos as linhas começando em 1) são nC0 , nC1 ,..., nCn , onde n = r − 1 . Qual será a soma de
n
todos estes números? Podemos escrevê-la na forma de somatório: nC0 + nC1 + K+ nCn = ∑ nC p . Mas
p=0
como vamos calcular este somatório?
Repare-se que este somatório é muito parecido com o da expansão do Binómio de Newton,
n
(a + b)n = ∑ nC p ⋅ a n− p ⋅ b p . A diferença é que nas parcelas não aparecem os factores a n− p e b p .
p=0
Será que existe algum valor que possamos atribuir a a e a b para que as suas potências sejam todas
iguais? Sim, existe: o número 1! Então, tomando a = 1 e b = 1 e substituindo no Binómio de Newton,
obtemos
n n
(1 + 1)n = ∑ nC p ⋅1n− p ⋅1p = ∑ nC p ⋅1⋅1
p =0 p =0
n
= ∑ nC p
p =0
Mas (1+ 1) é simplesmente 2n , portanto
n
n
∑
p =0
n
C p = 2n .
Substituindo n por r − 1 , concluímos que
a soma das entradas da r -ésima linha do Triângulo de Pascal
é igual a 2 r −1 .
Exercícios (3)
Exercício
□ Exercício 4. (médio)
O produto dos 4 elementos das extremidades de uma linha do Triângulo de Pascal (os dois primeiros e
os dois últimos) é igual a 1296. Qual é a soma de todos os números da linha seguinte (imediatamente
abaixo) do Triângulo de Pascal?
Termo médio
A expansão de (a + b ) tem n + 1 termos. Se n for par – ou seja, se n = 2m para um certo inteiro m –
n
então o termo Tm +1 = C m ⋅ a m ⋅ b m deixa exactamente m termos à sua esquerda e m termos à sua
n
direita, ou seja, está posicionado no meio do desenvolvimento . Por esse motivo, dá-se-lhe o nome de
termo médio do desenvolvimento.
n
Substituindo m por , podemos escrever o termo médio da seguinte forma:
2
n n
Tn +1 = nC n ⋅ a 2 ⋅ b 2 .
2 2

8. O termo médio não depende do desenvolvimento do Binómio de Newton que estamos a utilizar: ele vai
n
ser igual a nC n ⋅ a 2 ⋅ b 2 tanto no desenvolvimento (a + b )n = ∑ nC p ⋅ a n − p ⋅ b p como no desenvolvimento
n n
2
p=0
n
alternativo (a + b )n = ∑ nC p ⋅ a p ⋅ b n − p .
p=0
Exercícios (4)
Exercício
□ Exercício 5. (difícil)
( )
n
No desenvolvimento de x 2 − 3 , ao dividir o termo do 4º grau (ou seja, o termo onde aparece x 4 ) pelo
3
termo do 2.º grau (o termo cuja parte literal é x 2 ) obtém-se − x 2 . Determina o termo médio deste
2
desenvolvimento.
Sugestões
(Sugestões :
- Escreve a expressão geral dos termos deste desenvolvimento, mantendo as letras n e p mas
substituindo a e b pelos respectivos valores.
- Determina os valores de p correspondentes aos termos do 4.º grau e do 2.º grau, e simplifica ao
máximo esses termos, de modo a que desapareça o p e fique apenas o n .
3
- Calcula o quociente entre esses termos, e compara com x 2 . Qual terá que ser o valor de n ?
2
- Uma vez conhecido n , calcula o termo médio do desenvolvimento.)