O documento apresenta o método do binômio de Newton para desenvolver potências de binômios. Explica que cada termo do desenvolvimento é dado por um coeficiente binomial multiplicado pelos expoentes da variável x e a. Fornece a fórmula geral para calcular qualquer termo e aplica exemplos para encontrar termos específicos de binômios.

1. Professora Michele Boulanger 1
BINÔMIO DE NEWTON

2. Professora Michele Boulanger 2
Sobre uma mesa há 2 bandejas e em cada uma há um cartão com a letra
X e outro com a letra A. Um menino deve escolher uma letra de cada
bandeja.
X A X A
X X
X A
A X
A A
X2
XA
AX
A2
X2
+ 2XA + A2
3 TERMOS
(X + A)2
Quadrado da soma

3. Professora Michele Boulanger 3
Sobre uma mesa há 3 bandejas e em cada uma há um cartão com a letra
X e outro com a letra A. Um menino deve escolher uma letra de cada
bandeja.
X A X A X A
X X X
X A A
X X A
X A X
A A X
A X X
A X A
X3
XA2
X2
A
X2
A
XA2
X2
A
XA2
A3
X3
+ 3X2
A + 3XA2
+ A3
4 TERMOS
(X + A)3

4. Professora Michele Boulanger 4
Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Se quisermos calcular (a + b)4
, podemos adotar o mesmo procedimento:
(a + b)4
= (a + b)3
.(a+b) = (a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
).(a+b)=
a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ b4
De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de
modo geral, obter o desenvolvimento da potência (a+b)n
a partir da anterior, ou
seja, de (a+b) n - 1
.
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é
muito trabalhoso.
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio,
conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico
inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são
coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

5. Professora Michele Boulanger 5
A disposição ordenada dos
números binomiais, como na tabela
ao lado, recebe o nome de Triângulo
de Pascal
Substituindo cada número
binomial pelo seu respectivo
valor, temos:

6. Professora Michele Boulanger 6
Como vimos, a potência da forma , em que a, , é
chamada binômio de Newton. Além disso:
•quando n = 0 temos
•quando n = 1 temos
•quando n = 2 temos
•quando n = 3 temos

7. Professora Michele Boulanger 7

8. Professora Michele Boulanger 8

9. Professora Michele Boulanger 9

10. Professora Michele Boulanger 10

11. Professora Michele Boulanger 11

12. Professora Michele Boulanger 12

13. Professora Michele Boulanger 13

14. Professora Michele Boulanger 14
De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a
fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:
Note que os expoentes de x vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n
até 0,
Os expoentes de a vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n.
O desenvolvimento de (x + a)n
possui n + 1 termos.
Exemplo: (2x – 3y)10
tem 11 termos

15. Professora Michele Boulanger 15
No desenvolvimento do binômio (x – a) n
, os sinais de cada termo do
desenvolvimento são alternados, isto é, os termos de ordem par (2o
, 4o
,
6o
…) são negativos, e os de ordem ímpar (1o
, 3o
, 5o
…) são positivos.

16. Professora Michele Boulanger 16
Caso seja pedido a soma dos coeficientes numérico do desenvolvimento de
um binômio, não é necessário fazer todo o desenvolvimento pelo binômio de
newton, basta saber a seguinte dica:
-troque qualquer letra do binômio por 1
- calcule o valor que ficará dentro dos parênteses, e pronto, basta elevá-lo à
n.
Obtemos a expressão:
1.16x4
.1 + 4.8x3
.1 + 6.4x2
.1 + 4.2x . 1 + 1.1.1
16x4
+ 32x3
+ 24x2
+ 8x + 1
No desenvolvimento acima, a soma dos coeficientes é 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1),
agora utilizando a dica dada:
(2x+1)4
(2.1 + 1)4
= 34
= 81

17. Professora Michele Boulanger 17
Não é necessário desenvolver todos os termos de um binômio para
encontrarmos um termo em particular.
A formação de cada termo obedece a uma lei.
T 1 = C n,0 . a0
. x n-0
T 2 = C n,1 . a1
. x n-1
T 3 = C n,2 . a2
. x n-2
T 4 = C n,3 . a3
. x n-3
T p+1 = C n,p . ap
. x n-p
T n + 1 = C n,n . an
. x n-n
Em cada termo de (x + a) n
, o
coeficiente é Cn,p, o expoente de a é p
e o expoente de x é n-p

18. Professora Michele Boulanger 18

19. Professora Michele Boulanger 19
Determine o 7.° termo do binômio (2x + 1)9
Vamos aplicar a fórmula do termo geral
de (x + a)n
, onde x = 2x , a = 1 e n = 9. Como
queremos o sétimo termo, fazemos p = 6, na fórmula
do termo geral, e efetuamos os cálculos indicados.
Temos então:
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9–6
. (1)6
=
9! /[(9–6)! . 6!] .(2x)3
. 1 =
9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3
=
84.8x3
=
672x3
.
Portanto o sétimo termo procurado é 672x3
.

20. Professora Michele Boulanger 20
Calcule o coeficiente do termo em x9
no desenvolvimento de (x2
– 2x)6
.
Tp+1 = C6,p . (x2
)6–p
. (-2x)p
=
C6,p .x12-2p
. (-2x) p
=
C6,p .x12-2p
. (-2) p
.x p
=
Agrupando as potências de x, temos:
Tp+1 = C 6,p. x 12-2p+p
. (-2)p
Tp+1= C 6,p . x 12-p
. (-2)p
Para que o expoente de x seja igual a 9, devemos ter 12 – p =9, ou seja, p =3
P = 3  T3+1= C6,3. x 12 -3
. (-2)3
T4= 20. x9
.(-8) T4 = -160x9

21. Professora Michele Boulanger 21
Determine o sexto termo do desenvolvimento de (x + 2)6
.
T5+1 = C 6,5 . x6-5
. 25
T6 = 6 . x. 32
T6 = 192x

22. Professora Michele Boulanger 22
Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8
?
Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do
binômio terá 9 termos, porque n = 8.
Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do
binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o
nosso problema resume-se ao cálculo do T5 .
Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos
decorrentes. Teremos:
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4
. (3y)4
= 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4
. (3y)4
= 8.7.6.5.4! /
(4! . 4.3.2.1) . 16x4
.81y4
Fazendo as contas vem:
T5 = 70.16.81.x4
. y4
= 90720x4
y4
, que é o termo médio procurado.