Conceitos básicos de dinâmica de fluidos e sobre a geometria em modelos numéricos. Aplicação de modelos hidrodinâmicos, de qualidade de água, e ecológicos, unidade 4 do curso de Modelagem da qualidade de água em reservatórios.

1. Aula 01
Conceitos de dinâmica de fluidos e geometria
Sebastian Krieger
(sebastian@nublia.com)

2. Sumário
● Introdução
● Diferenças finitas
● Conservação de massa
● Hidrostática
● Equações do movimento

3. Mecânica de fluidos
● Estudo de fluidos em repouso (estática) ou em
movimento (dinâmica),
– incluindo interações entre o fluido e o ambiente.
● A dinâmica de fluidos é governada por três
principais princípios de conservação:
– conservação de massa,
– conservação de momento e
– conservação de energia.

4. Hidrodinâmica
● A hidrodinâmica é o mecanismo que move a
água e rege o transporte de sedimentos, o
movimento de toxinas, nutrientes e poluentes
no ambiente aquático
● Modelos hidrodinâmicos podem descrever
– Velocidade da água;
– Padrões de circulação;
– Mistura e dispersão;
– Distribuição de temperatura e densidade.

5. Modelagem numérica
● A modelagem numérica complementa estudos geofísicos de
ambientes marinhos, costeiros, lênticos ou lóticos.
● Os modelos numéricos resolvem uma série de equações
diferenciais que não possuem soluções analíticas.
● Pode-se complementar as observações físicas e bio-geo-
químicas nos ambientes estudados e prever a distribuição
destas características em áreas maiores, sem recorrer a um
número maior de observações.
● Com modelos também é possível fazer experimentos
numéricos e simular diferentes situações para a previsão ou
para a compreensão de determinados processos.

6. Cuidado
● O uso da modelagem numérica não pode ser indiscriminado.
● Para que os resultados dos modelos reflitam cenários prováveis e
reais, precisa-se compreender as leis fundamentais que regem a
dinâmica de fluidos e as limitações impostas pelas aproximações
adotadas.
● A qualidade dos resultados obtidos depende da qualidade dos dados
ambientais utilizados como condições iniciais e para calibrar e
validar os modelos.
● Modelagem não é simplesmente fornecer dados de entrada para os
modelos, definir alguns parâmetros e aceitar cegamente os
resultados.
● É importante conhecer as principais características dos modelos e
suas limitações.

7. Alguns comentários
● Possuir facilidade com cálculo diferencial e
integral ajuda a compreender o significado das
equações diferencias a seguir.
● No entanto, é preferível compreender os
conceitos a saber deduzir ou resolver cada
termo das equações.

8. Quem já desenvolveu e/ou utilizou um modelo?

9. Descrevam o modelo abaixo

10. Como é a dinâmica de uma bacia hidrográfica?

11. Descrevam o movimento
Figura: Carta 4106B - Da Ilha da Grande Eva a Manaus (fonte: DHN)

12. Diferenças finitas
● A dinâmica de fluidos é regida por um conjunto de
equações diferenciais.
● Na prática, a solução destas equações é feita de
forma numérica através de diferenças finitas.
● Diferenças finitas podem ser interpretadas como
taxas de variação de uma determinada propriedade:
– Taxa de crescimento de uma determinada população
ao longo do tempo ou;
– Taxa de aumento da velocidade em função do tempo
(aceleração).

13. Aceleração
● Taxa de variação de velocidade entre dois
intervalos de tempo:
● Na forma contínua:

14. Em três dimensões
● Derivada parcial:

15. Derivada da derivada
● Taxa de variação da taxa de variação, ou
segunda derivada:

16. Para uma propriedade da água
● Seja uma propriedade qualquer (temperatura,
concentração de clorofila, velocidade) função
da posição (x, y, z) e do tempo (t):
● Onde o vetor posição de um elemento de
volume do fluido é
● Que também é função do tempo

17. Para uma propriedade da água
● Logo,
● E a taxa de variação da propriedade com o
tempo é

18. Para uma propriedade da água
● Ou, em outras “palavras”,
● Onde

19. Conservação de massa

20. Conservação de massa
● Dentro do volume

21. Conservação de massa
● Dentro do volume ● Fluxo nas laterais

22. Conservação de massa
● Dentro do volume ● Fluxo nas laterais
● Por conservação,

23. Conservação de massa
● Reescrevendo,
● Para fluidos incompressíveis,

24. Hidrostática
● Considerando-se um
fluido em repouso, ou
seja, em estado de
equilíbrio hidrostático;
– Não há cisalhamento.
● A pressão p pode variar
de acordo com a posição

25. Equações do movimento
● O movimento de fluidos é descrito pelas
equações de Navier–Stokes.
● Este conjunto de equações resulta da
aplicação da segunda lei de Newton ao
movimento de fluidos.

26. Equações do movimento
● Em dinâmica de fluidos é conveniente utilizar-
se a densidade ρ ao invés da massa m.
● Adotando-se a definição da derivada material,

27. Equações do movimento
● Para descrever o movimento de um fluido é preciso
determinar suas características em todos os pontos a
qualquer momento.
● O campo de velocidades, por exemplo, pode variar no
tempo e no espaço de acordo com a geometria do
problema e das principais forçantes.
● A velocidade não é a única característica do fluido que
pode variar:
– densidade, temperatura, concentração de sais e de outros
elementos, ação de ventos, etc.

28. Equações do movimento
● Principais forçantes que atuam sobre um
elemento de fluido:
– Aceleração da gravidade;
– Força de gradiente de pressão;
– Forças de atrito.
● Lembrar: estamos utilizando forças de campo por unidade
de volume (N∙m-3)

29. Equações do movimento
● Em escala global, mais termos entram na
equação:
● Onde,

30. Geometria e contornos
Figura: Carta 4106B - Da Ilha da Grande Eva a Manaus (fonte: DHN)

31. Geometria e contornos
● Determinar os contornos do domínio a ser modelado
(linhas de margem, costa):
– Abertos;
– Fechados;
● Determinar os pontos de grade dentro do domínio do
modelo
– Posição;
– Batimetria;
● Determinar as forçantes e condições de contorno;

32. Forçantes e condições de contorno
● Meteorológicas:
– Velocidade e direção do vento;
– Temperatura do ar;
– Radiação solar;
– Precipitação;
– Cobertura de nuvens;
– Umidade;
– Pressão atmosférica;

33. Forçantes e condições de contorno
● Fluxos de entrada e saída;
● Condições nos contornos abertos:
– Marés;
– Modelos aninhados;

34. Geometria simplificada
Figura: Carta 4106B - Da Ilha da Grande Eva a Manaus (fonte: DHN)

35. Geometria simplificada

36. Perguntas ?