Hidraúlica agrícola

2013
Prof. Cláudio Márcio P. Souza
UFVJM
27/05/2013
HIDRÁULICA AGRÍCOLA

Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 3
 ÍNDICE Pagina
01 Generalidades 03
02 Evolução da hidráulica 04
03 Dimensões, símbolos e unidades 06
04 Sistema de unidades 08
05 Algumas Grandezas mecânicas 09
06 Transformação de unidades “ Torricelli” 11
07 Grafia de números 12
08 Prefixos 12
09 Analise do comportamento dos fluidos 12
10 Exercícios (S.U e Prop. fund.fluidos)Lista 1 15
11 Exercícios resolvidos 16
12 Exercícios conversão unidades Lista 2 19
13 Exercícios (S.U e Prop. fund. fluidos) Lista 3 20
14 Hidrostática 21
14
15
Lista 4
Manometria
22
27
16 Empuxo 34
17 Lista 5. Exercícios de hidrostática 36
18 Lista 6. Exercícios empuxo 37
19 Lista 7. Exercícios manometria 42
20 Lista 8. Exercícios sistema de unidades 46
21 Fundamentos da cinemática dos fluidos 47
22 Teste múltipla escolha 51
23 Teorema de Bernoulli 53
24 Potencia da corrente fluida 56
25 Aplicações da equação de Bernoulli 56
26 Lista 9. Exercícios (eq. continuidade e Bernoulli) 60
27 Orifícios 62
28 Bocais 65
29 Vertedores 67
30 Hidrometria 69
31 Condutos livres 69
32 Condutos forçados 75
33 Lista 10. Exercícios hidrometria 78
34 Lista 11. Exercícios condutos forçados e hf 79
35 Dimensionamento de canais 80
36 Elementos geométricos 81
37 Exercícios resolvidos canais 83
38 Lista 12. Exercícios propostos canais 86
39 Escoamento em tubulações 88
40 Determinação da perda de carga(Contin. E localiz.) 88
41 Lista 13. Exercícios de perdas de carga 92
42 Bombas Hidráulicas 94
43 NPSH e Cavitação 96
44 Potências e rendimentos 98
45 Curvas Características De Bombas Centrífugas 102
46 Método Básico Para Seleção De Uma Bomba Centrífuga 108
47 Esquema típico de instalação de motobomba 113
48 Tabela de conversão de unidades
Apendice tabelas e Referencias 114 a 116
114
114

1. GENERALIDADES
A ciência da engenharia denominada mecânica dos fluidos desenvolveu-
se através de um entendimento das propriedades dos fluidos1
(tanto em
repouso quanto em movimento), da aplicação das leis fundamentais da
mecânica e da termodinâmica e da experimentação metódica.
O significado etimológico da palavra hidráulica é a “condução de
água” (do grego hydor, água e aulos, tubos condução). Entretanto a
engenharia hidráulica envolve a aplicação de princípios e métodos da
engenharia para o controle, conservação e utilização dos fluidos. A
hidráulica pode ser dividida em Geral ou Teórica e Aplicada ou
Hidrotécnica. A Hidráulica Geral se aproxima muito da mecânica dos
fluidos e pode ser subdividida em Hidrostática2
, Hidrocinemática3
e
Hidrodinâmica4
; já a Hidráulica Aplicada é a aplicação prática dos
conhecimentos científicos da Mecânica dos Fluidos e da observação
criteriosa dos fenômenos relacionados à água parada ou em movimento.
As áreas de atuação da Hidráulica Aplicada são: Urbana (sistemas de
abastecimento de água, sistema de esgotamento sanitário, sistema de
drenagem pluvial, canais); Rural: (sistemas de drenagem, sistemas de
irrigação, sistemas de água potável e esgotos); Instalações Prediais:
(industriais, comerciais, residenciais e públicas); Lazer e Paisagismo;
Estradas (drenagem); Defesa contra inundações; Geração de energia;
Navegação e Obras Marítimas e Fluviais.
Os instrumentos utilizados na atividade profissional da Hidráulica
Aplicada são: analogias, cálculos teóricos, e empíricos, modelos físicos,
modelos matemáticos de simulação, hidrologia. Os acessórios, materiais e
estruturas utilizados na prática da Hidráulica Aplicada são: Tubulações,
aterros, barragens, bombas, canais, válvulas, vertedores, etc.
1
Definição de fluido: é uma substancia que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de
cisalhamento. Outra definição seria “fluidos são substancias que são capazes de escoar e cujo volume toma
a forma de seus recipientes”.
2
Trata dos fluidos em repouso.
3
Estuda velocidades e trajetórias, sem considerar forças ou energia.
4
Refere-se às velocidades, às acelerações e às forças que atuam nos fluidos em movimento.

2. EVOLUÇÃO DA HIDRÁULICA
Os trabalhos hidráulicos são conhecidos desde a mais remota
antiguidade. As grandes civilizações antigas que se fixaram em regiões
áridas, mas próximas de cursos de água facilmente aproveitáveis, foram
nascidas e conservadas graças à utilização eficiente de seus recursos
hídricos. Há mais de 3000 anos a.C5
., entre os rios Tigre e Eufrates, os
egípcios já haviam construído obras hidráulicas para irrigação de suas
lavouras e em Nipur (Babilônia), existiam coletores de esgoto desde 3750
a. C.
O principio de Arquimedes pertence quase ao inicio da época Romana;
da autoria de FRONTINUS do Imperador Nero, é o primeiro tratado de
Hidráulica, particularmente dedicado aos aquedutos de Roma, considerados
obras de primária importância para o desenvolvimento da civilização.
O primeiro sistema público de abastecimento de água de que se tem
noticia, o aqueduto de Jerwan, foi construído na Assíria, 691 a.C. Alguns
princípios da hidrostática foram enunciados por Arquimedes, no seu
“Tratado sobre corpos flutuantes”, 250 a.C.
Deve-se a Euler as primeiras equações gerais para o movimento dos
fluidos. No seu tempo, os conhecimentos que hoje constituem a Mecânica
dos Fluidos apresentavam-se separados em dois campos distintos: a
Hidrodinâmica Teórica, que estudava os líquidos perfeitos, e a Hidráulica
Empírica, em que cada problema era investigado isoladamente.
Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de
ferro fundido, capazes de resistir a pressões internas, relativamente
elevada, com o crescimento das cidades e importância cada vez maior do
serviço de abastecimento de água e ainda em conseqüência de novas
maquinas hidráulicas é que a Hidráulica teve um progresso rápido e
acentuado.
Finalmente, pode-se admitir que a Hidráulica é jovem como ciência
sendo que novas e importantes descobertas se desenvolverão ano após ano
nesse campo de atividades.
5
Primeiro relato da irrigação no mundo.

3. DIMENSÕES, SIMBOLOS E UNIDADES
O estudo da mecânica dos fluidos envolve uma variedade de
características. Assim, torna-se necessário desenvolver um sistema de
descrevê-la de modo qualitativo (comprimento, tempo, velocidade) e
quantitativo (fornece uma medida numérica para as características). A
descrição qualitativa é conveniente realizada em função de certas
quantidades primarias tais como o comprimento, L, tempo, T, massa, M.
Estas quantidades primárias podem ser combinadas e utilizadas para
descrever, qualitativamente, outras quantidades ditas secundarias, por
exemplo: área = L2
, velocidade = L T-1
e massa especifica = M L-3
. O
símbolo = é utilizado para indicar a dimensão de quantidade secundaria em
função das dimensões das quantidades primarias. Assim nós podemos
descrever qualitativamente a velocidade, V, do seguinte modo:
1

 LT
V
e dizer que a dimensão da velocidade é igual ao comprimento dividido pelo
tempo. As quantidades primárias são também denominadas dimensões básicas.
É interessante notar que são necessárias apenas três dimensões
básicas (L, T e M) para descrever um grande numero de problemas de
mecânica dos fluidos e da hidráulica. Nós aceitamos como premissa básica
que todas as equações que descrevem os fenômenos físicos precisam ser
dimensionalmente homogêneas. Por exemplo, a equação para a velocidade de
um corpo uniformemente acelerado é:
at
Vo
V 

Onde: Vo é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o intervalo de
tempo. Em termos dimensionais a forma desta equação é:
1
1
1 



 LT
LT
LT
podendo concluir desta forma que a equação para a velocidade de um corpo
é dimensionalmente homogênea.
Exemplo: Dada a equação para determinar a vazão do escoamento de um
liquido através de um orifício localizado na lateral de um tanque é:
gh
A
Q 2
61
,
0


Onde: A é área do orifício, g é a aceleração da gravidade e h é a altura
da superfície livre do liquido em relação ao orifício. Investigue a
homogeneidade dimensional desta equação.
Solução: as dimensões dos componentes da equação são:
L
altura
h
T
L
gravidade
aceleracao
g
L
area
A
T
L
tempo
volume
Q










..
..........
.
.
.
..........
..........
/
2
2
1
3
Se substituirmos estes termos na equação, obtemos a forma dimensional:
2
/
1
2
/
1
2
2
1
3
)
(
)
(
)
2
)(
)(
61
,
0
(
)
( L
LT
L
T
L 

 Ou   )
(
)
2
)(
61
,
0
(
)
( 1
3
1
3 

 T
L
T
L
Este resultado mostra que a equação é dimensionalmente homogênea, ou
seja, os dois lados da equação apresentam a mesma dimensão L3
T-1
, sendo
0,61 e 2 adimensionais.
Obs 1.: uma equação é dita homogênea dimensionalmente, quando os seus diferentes
termos apresentam o mesmo grau com relação às grandezas fundamentais
Obs 2: uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente
homogênea.
Quadro: Unidades de diversas grandezas mecânicas nos principais sistemas.
Designação Dimensões Sistema
CGS
S I Sist.
Técnico
MLT FLT (MLT) (MLT) (FLT)
Unid.
fundam
Comprimento L L cm m m
Massa M FT2
L-1
g kg UTM
Força ML T-2
F dina
(dyn)
N kgf
Tempo T T s s s
Unidades
derivadas
Superfície L2
L2
cm2
m2
m2
Volume L3
L3
cm3
m3
m3
Velocidade L T-1
L T-1
cm/s m/s m/s
Aceleração L T-2
L T-2
cm/s2
m/s2
m/s2
Trabalho M L2
T-2
FL erg joule(J) kgf.m
Potencia M L2
T-3
FL T-
1
erg/s watt(W) kgf.m/s
Visc
din.()
M L-1
T-
1
FT L-
2
poise decapoise(da) kgf s/m2
Visc
cin..()
L2
T-1
L2
T cm2
/s
(stokes)
m2
/s m3
/s
Massa esp
()
M L-3
FT2
L-4
g/cm3
kg/ m3
Kgfs2
/m4
(UTM/ m3
)
Peso
esp.()
M L-2
T-2
F L-3
dyn/cm3
N/m3
Kgf/m3
U.T.M = 9.81 kg 1 N = 0.102 kgf 1 kgf = 9.81 N 1 N = kgf.m.s-2

4. SISTEMAS DE UNIDADES
Normalmente, além de termos que descrever qualitativamente uma
quantidade, é necessário quantificá-la. Existem vários sistemas de
unidades em uso e consideraremos apenas três dos sistemas utilizados em
engenharia.
- Sistema Internacional (S.I.) 6
- Sistema Técnico (utilizado nos EUA)
- Sistema C.G.S.
Ainda são toleradas algumas unidades de outros sistemas. Por exemplo:
Unidades de Pressão:
-Atmosfera  1 atm = 101 435 Pa = 101,435 kPa = 1,01 bar = 14,22 lb/pol2
ou PSI
-Bar  1 bar = 100.000 Pa = 100 kPa =
0.985 atm
-Metro de Coluna de Água 
1 m.c.a. = 10 kPa
-Milímetro de Mercúrio 
1 mmHg = 133, 322 Pa
Unidades de Potência:
-Cavalo-Vapor  1 cv =735,5 watt
(muito utilizado em motores)
-Horse-Power  1 hp = 746 watt
Unidades de Força:
-Quilograma-Força  1 kgf = 9,81 N
Obs: Em Hidráulica, os sistemas de
unidades mais utilizados são o S.I. e o
Sistema Técnico.
Obs.: 1200 cfm ("cubic feet per minute", ou pé cúbico por minuto)
6
O decreto n 81.621 de 03/05/1979, tornou oficial no Brasil o uso do Sistema Internacional de Unidades
(S.I.).

Exemplo: Um tanque contem 36 kg de água e está apoiado no chão de um
elevador. Determine a força que o tanque exerce sobre o elevador quando
este movimenta para cima com uma aceleração de 7 ft s-2
.
Solução: A fig. Mostra o diagrama de corpo livre para o
tanque. Note que W é o peso do tanque e da água. A
expressão da segunda lei de Newton é:   ma
F
Eq. 1
Aplicando esta lei ao problema, temos:
ma
W
Ff 
 (considerando positivo para cima).
Como W = m g, a eq. 1 pode ser reescrita como:
Ff = ma + mg ficando
Ff = m(g+a).
Se quisermos conhecer o valor de Ff em Newton, é necessário exprimir
todas as quantidades no SI.
Assim:   .
.
97
,
429
13
,
2
81
,
9
36 2
2
2 




 ms
kg
ms
ms
kg
Ff
Como 1 N = 1 kgf.m.s-2
, temos que a força Ff é igual a 429,97 N (atua no
sentido positivo). O sentido que a força atua no elevador é para o solo
porque a força mostrada no diagrama de corpo livre é a força que atua
sobre o tanque.
5. ALGUMAS GRANDEZAS MECÂNICAS
MASSA: U.T.M.  Unidade Técnica de Massa.
Definição: É a massa de um corpo pesando “9,81” kgf
Obs dimensão :
L
T
F
T
L
F
A
F
M
A
M
F
2
2
.
. 




Força = massa x aceleração
Massa = 9,81 kgf 1 U.T.M = 1 kgf . s2
9,81 m.s-2
m
1 U.T.M = 9,81 kg
Exemplo: Um corpo pesa 250 Kgf. Qual sua massa no sistema técnico?
m = 250 kgf = 25,5 U.T.M.
9,81 m /s2
W
Ff
a

FORÇA 2
.
T
L
M
Dimensao  C.G.S  2
.
s
cm
g
= dina (dyn)
S.I.  2
.
s
m
kg
= Newton (N)
Obs: Newton: Força que comunica à massa 1 kg, a aceleração de 1 m/s2
.
S. Técnico  Força = Quilograma-força (kgf)7
.
1F = 1 kg . 9,81 m/s2
1F = 9,81 kg . m/s2
1F = 9,81 N ainda 1 kgf = 9810 N
Observação: A massa no S.I. possui o mesmo módulo que a força no Sistema
Técnico.
Exemplo: 2 kg (massa no S.I) de banana pesam 2 kgf (força no Sistema
Técnico), porém em sistemas diferentes !!!
O Quadro abaixo exemplifica a questão:
S.I. Sistema Técnico
Massa = 2 kg Massa =
kg
kg
81
,
9
2
= 0,204 U.T.M = 0,204
m
s
kgf 2
.
Peso = m . g
Peso = 2 kg . 9,81 2
s
m
Peso = 19,62 N
Peso = m . g
Peso = 0,204
m
s
kgf 2
.
. 9,81 2
s
m
Peso = 2 kgf
Observação: Na resolução de problemas é necessária a utilização de um
mesmo sistema de unidades.
A massa específica (  ) no S.I. = Peso específico () no Sistema
Técnico
(S.Tec.) =
g

(S.I) (S.Tec) =
g

(S.I.) (S.I.) = (S. Tec)
água = 1 000 kgf/m3
(S. Téc.) água = 9 810 N/m3
(S.I.)
7
Peso do protótipo internacional do quilograma, quando submetido à ação da gravidade normal (9,81 m/s
2
).

6. TRANSFORMAÇÕES DE UNIDADES EXPERIÊNCIA DE TORRICELLI (Século XVIII)
A pressão atmosférica em um local pode ser
medida pela coluna de mercúrio na experiência
de Torricelli.
Sendo: h
pE
pB
pB
po .
' 




Mas: pE=zero(pressão em E, vácuo parcial);
 Hg=13590 kgf m-3
(peso espec. merc.)
Então: 2
3
328
10
760
,
0
*
590
13 


 kgfm
m
kgfm
po ou
mmHg
kgfcm
po 760
033
,
1 2

 
Que é o valor da pressão atmosférica ao nível
do mar, correspondendo a 1 atmosfera normal.
Ao emborcar a proveta cheia de mercúrio (Hg)
na cuba, permaneceu uma coluna de 760 mmHg. Concluiu-se com isto, que a
Pressão Atmosférica corresponde à 760 mmHg.
Como Hg = 13 590 Kgf/m3
e P =  . h, então:
13 590 kgf/m3
x 0,760 m = 10 328 kgf/m2
= 1,033 kgf/cm2
(Atmosfera física).
Como a densidade do Hg () = (Hg) / (água) = 13,59
A mesma pressão atmosférica equilibraria uma coluna de água de:13,59 X
0,760 m = 10,33 m.c.a.
Atmosfera Padrão (ao nível do mar, 40º
de latitude)
760 mmHg = 10.340 kgf/m2
= 1,034 kgf/cm2
= 10,34 m.c.a.
Atmosfera Técnica (usada para cálculos em engenharia)
735mmHg = 10.000 kgf/m2
= 1,0 kgf/cm2
= 10 m.c.a. = 1 atm = 100kPa =
14,22 PSI (1 kgf = 10 N).
Observação: Para uma elevação de 100 m na altitude, ha uma redução de
0,012 atm (0,12 m.c.a. ou 120 kgf/m2
) na pressão atmosférica local.
Exemplo: Determinar o valor da Pressão Atm. para Lavras Altitude=920 m)
Sabemos que a atmosfera padrão, ao nível do mar, é igual a 1,034 atm =
10.340 kgf/m2
= 10,34 m.c.a. e também que a pressão é reduzida de 120
kgf/m2
para cada 100 m acima do nível do mar, portanto:
Patm local = 10 340 kgf/m2
– (120 kgf/m2
x Altitude/100)
– (120 kgf/m2
x 920 m / 100)
Exercício: calcular a pressão atm para a cidade de Diamantina (1350m).
h =760mm de Hg
Hg
B’
po
B
E
F
Vácuo parcial

7. GRAFIA DE NÚMEROS
A fim de facilitar a leitura, os números podem ser repartidos em
grupos de três algarismos cada um, esses grupos nunca será separados por
virgula ou ponto (9ª CGPM/1948-resolução 7).
Exemplo: 100 000,0 sendo representativo de cem mil e zero unidades.
8. PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
Fator Prefixo Simbolo Fator Prefixo Simbolo
1018
exa E 10-1
deci d
1015
peta P 10-2
centi c
1012
tera T 10-3
mili m
109
giga G 10-6
micro 
106
mega M 10-9
nano n
103
quilo k min. 10-12
pico p
102
hecto h 10-15
femto f
101
deca da 10-18
atto a
9. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DOS FLUIDOS
Definição de Fluido: é uma substancia que se deforma continuamente quando
submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena
possa ser essa tensão.
a) Peso especifico (γ). É o peso da unidade de volume da substancia.
V
W


Onde: V é o volume da substância e W é peso da substancia.
obs W=mg.
Dimensões MLT 2
2
T
L
M
e FLT 3
L
F
b) Massa especifica (ρ). É a massa contida na unidade de volume, também
conhecida como “densidade absoluta”.
V
m


Onde: m é a massa da substancia.
Dimensões MLT 3
L
M
e FLT 4
2
L
FT
Obs: Entre a massa especifica e o peso específico existe a seguinte
relação:
V
W

 

V
mg
sendo
V
m

 logo g
.

  onde g é a aceleração da
gravidade.

Massa especifica de algumas substancias.
Substancia ρ (g cm-3
) ρ (kg m-3
)
Agua (4ºC) 1,0 1 000
Gelo 0,92 920
Álcool 0,79 790
Ferro 7,8 7 800
Chumbo 11,2 11 200
Mercurio 13,6 13 600
Obs.: água, peso especifico 101,94 UTM/m3
sendo UTM=
m
s
kgf 2
.
c) Densidade (δ). É a relação entre a massa especifica de uma substancia
e a massa específica de outra substância, tomada como referência.
1


  sendo adimensional.
Geralmente a substancia tomada como referência é a água a 4ºC que
apresenta massa específica de 1000 kg m-3
.
d) Viscosidade (atrito interno). é a propriedade dos fluidos responsável
pela sua resistência à deformação. Obs: em conseqüência da viscosidade o
escoamento dos fluidos dentro das canalizações somente se verifica com
perda de energia denominada “perda de carga”.
e) Coeficiente de viscosidade dinâmica (μ). É o parâmetro que traduz a
existência de esforços tangencias nos líquidos em movimento.
n
V
S
F



 
Onde: ΔF é força necessária para o deslocamento, S é superfície contato,
Δn é distancia de deslocamento e ΔV é velocidade relativa.
f) Coeficiente de viscosidade cinemática (υ). É o quociente de
viscosidade dinâmica pela massa especifica.


 
Obs: coeficiente de viscosidade cinemática da água (υ) = 1,01.10-6
m2
s-1
=
1,01 centistokes.
g) Coesão. Permite às partículas fluidas resistirem a pequenos esforços
de tensão. Por exemplo: formação da gota d’água.
h) Adesão. Quando um liquido está em contato com um sólido, a atração
exercidas pelas moléculas do sólido é maior que a atração existente entre
as moléculas do próprio liquido.

i) Tensão superficial (σs). Na superfície de contato entre dois fluidos
não miscíveis (água e ar), forma-se uma película elástica capaz de
resistir a pequenos esforços.
Por exemplo, pernilongo sobre a água.
j) Capilaridade. As propriedades de adesão, coesão, tensão superficial
são responsáveis pelo fenômeno da capilaridade. É a elevação (ou
depressão no Hg) de um liquido dentro de um tubo de pequeno diâmetro.
gr
s
h


 cos
.
2

Onde: α é o ângulo formado pela superfície do liquido com a parede do
tubo, ρ é a massa específica da água, g é a aceleração da gravidade e r é
o raio do tubo capilar.
l) Compressibilidade. Para efeitos práticos, os líquidos são considerados
incompressíveis. Por exemplo, 1 000 L de água à pressão de 7 kgf cm-2
,
sofre uma redução de 0,0033 m3
ou de 3,3 L.
m) Solubilidade dos gases. Os líquidos dissolvem os gases (água dissolve
o ar). Implicação: causa do desprendimento de ar e aparecimento de bolhas
de ar nos pontos altos das tubulações.
FLUIDO NEWTONIANO
Definimos fluido como “toda substancia que se deforma continuamente
quando submetida a uma tensão de cisalhamento” na ausência deste, não
existe deformação. Os fluidos podem se classificar, de forma geral,
segundo a relação entre os esforços cortantes aplicados e a rapidez de
deformação resultante. Aqueles fluidos onde o esforço cortante é
proporcional a rapidez de deformação, se denominam fluidos Newtonianos,
p.e. água, ar, gasolina, e o termo Não Newtoniano se utiliza para
classificar todos os fluido onde o esforço cortante no é diretamente
α
Patm h
menisco
agua
Fig.: tubo capilar de vidro em água
Coesão >
adesao
Adesão >
Coesão

proporcional a rapidez de deformação, p.e. creme dental, tintas. Na nossa
apostila, somente faremos menção a fluidos Newtonianos.
Obs. VISCOSIDADE
Considerando a deformação dos fluidos Newtonianos diferentes, por
exemplo, a água e a glicerina se deformam em diferentes tempos para uma
mesma força cortante. A glicerina oferece muito mais resistência à
deformação do que a água, então, diz-se que a glicerina é muito mais
viscosa. Outro exemplo seria o mel com o álcool, qual seria mais viscoso?
10. LISTA 1.
HIDRÁULICA (Sist. de Unidades e Prop.Fundamentais dos fluidos)
1. Transformar a pressão de 35.000 2
m
kgf
em :
a) kgf / cm2
(Resp.: 3,5 kgf / cm2
)
b) m.c.a. (Resp.: 35 m.c.a)
c) atm (Resp.: 3,5 atm)
d) Pascal (Pa) (Resp.: 350.000 Pa)
e) kPa (Resp.: 350 kPa)
Obs: Utilizar atmosfera técnica
2. Sabe-se que 3 dm3
de um líquido pesam 2.550 gf. Calcular o peso
específico, massa específica e a densidade deste líquido no Sistema
Técnico.
Resposta:  = 850 kgf/m3
 = 86,65 kgf . s2
/ m4
 = 0,85
3. Um frasco de densidade tem massa igual a 12g quando vazio e 28g
quando cheio de água. Retirando-se a água, enche-se o frasco com um
ácido e Obtém-se uma massa total de 37,6g (frasco + ácido).
Calcular a densidade relativa do ácido. Resposta:  = 1,6
4. Sabendo-se que a massa de 3 950 kg de álcool ocupa um volume de 5
000 litros, calcular o peso específico do álcool em N / m3
.Resposta:
 = 7 750 N / m3
5. Há 4 200 kgf de gasolina em um tanque com 2 m de largua, 2 m de
comprimento e 1,5 m de altura. Determinar a massa específica da
gasolina em g/cm3
. Resposta:  = 0,7 g/cm3
6. Um tubo cilíndrico mede 50 cm de comprimento e 12 mm de diâmetro
interno. Determinar a massa de mercúrio (Hg = 13,6 g/cm3
) necessária
para encher o referido tubo. Resposta: massa = 769 g

11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
(Sistemas de Unidades e Propriedades Fundamentais dos Fluidos)
1- Determinar o peso em kgf de uma massa de 8,76 U.T.M. num local onde
a aceleração da gravidade (g) é igual a 8,94 m/s2
.
Resolução:
U.T.M. =
m
s
kgf 2
*
W (peso) = m.g
W =
s
m
m
s
kgf
94
,
8
*
*
76
,
8
2
W = 78,31 kgf
2- A massa específica () de uma substância é 1,76 g/cm3
. Determinar no
Sistema Internacional:
a) Densidade (  ); b) Peso específico (  ).
Resolução:  = 1,76 g/cm3
massa (m) = 1,76 g = 0,00176 kg
1 cm = 0,01 m  1 cm3
= (0,01 m)3
= 0,000001 m3
 = 3
6
10
*
1
00176
,
0
m
kg

  = 1.760 kg/m3
a)  = 3
3
/
000
.
1
/
760
.
1
m
kg
m
kg
água



  = 1,76
b)  = 2
3
81
,
9
*
760
.
1
*
s
m
m
kg
g 
   = 17.265 N/m3
Obs.: N = 2
*
s
m
kg
3 - Se 8 m3
de óleo pesam 7 200 kgf , Calcule seu peso específico (),
massa específica () e sua densidade ().
Resolução:
Vamos resolver utilizando o sistema técnico: V = 8 m3
; W= 7 200 kgf

 = 3
8
200
.
7
m
kgf
V
P
   = 900 kgf/m3
 =
V
m
ou  = 2
3
/
81
,
9
/
900
s
m
m
kgf
g


  = 91,74 4
2
*
m
s
kgf
 =
água


ou  = 3
3
/
000
.
1
/
900
m
kgf
m
kgf
água



  = 0,9
4. Enche-se um frasco (até o afloramento) com 5,23g de ácido sulfúrico.
Repete-se a experiência, substituindo o ácido por 2,98g de água. Calcule
a densidade, massa específica e peso específico do ácido sulfúrico no
Sistema Técnico.
Resolução:
Obs.: Volumes iguais (mesmo recipiente ).
Densidade: ácido =
água
água
ácido
ácido
água
ácido
V
m
V
m



 ácido =
água
ácido
m
m
ácido =
g
g
98
,
2
23
,
5
ácido = 1,75
Massa Específica:  =
água


  = 1,75 * 102 3
.
.
.
m
M
T
U
 = 178,5 3
.
.
.
m
M
T
U
Obs.: U.T.M = 3
2
*
m
s
kgf
5,23g de ácido
Vfrasco
2,98g de água
Vfrasco

Peso Específico:  =  * g   = 178,5 4
2
*
m
s
kgf
* 9,81 2
s
m
logo
 = 1 751 3
m
kgf
5. Sendo a densidade relativa da cerveja 1,03; calcular a sua massa
específica () e peso específico () no Sistema Internacional.
Resolução:
Massa Específica: cerveja =
água
cerveja


 cerveja =  * água
cerveja = 1,03 * 1000 kg/m3
cerveja = 1.030 kg/m3
Peso Específico: =  * g  cerveja = 1.030 kg/m3
* 9,81 m/s2
cerveja = 10.104 N/m3
6. Transformar a pressão de 2,5 atm (atmosfera) em:
a) kgf/cm2
; b) kgf/m2
; c) m.c.a. ; d) kPa
Obs.: Utilizar a atmosfera técnica
(1 atm = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2
= 10 000kgf/m2
= 100 000 Pa)
Resolução:
a) 1 atm ------- 1 2
cm
kgf
x =
atm
cm
kgf
atm
1
.
1
5
,
2 2


= 2,5 2
cm
kgf
2,5 atm ----- x 2
cm
kgf
b) 1 atm ---------------- 10 000 kgf/m2
x = 25 000 kgf/m2
2,5 atm -------------- x kgf/m2
c) 1 atm -------------- 10 m.c.a. x = 25 m.c.a.
2,5 atm ------------ x m.c.a.
d) 1 atm --------- 100 000 Pa x = 250 000 Pa = 250 kPa
2,5 atm ------ x Pa
2,5 atm = 2,5 kgf/cm2
= 25 000 kgf/m2
= 25 m.c.a. = 250 kPa

12. LISTA 2 Exercícios de sistemas de unidades
1) Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidades do sistema
técnico.
Exemplo: 50,0 l/s = 0,05 m3
/s (vazão)
a) 9 810 dinas (g.cm.s-2
);
Conversão de dina para N
1 ( g.cm.s-2
) ------ 10-5
kg.m.s-2
9 810 ----- X logo X = 0,0981 kg.m s-2
.
Conversão de N para kgf
1 kgf --------- 9,81 N
X --------- 0,0981 N
x= 0,01 kgf
b) 250g; c) 7814 N; d) 200 cm/s2
; e) 80 km/h;f) 200 000 KN;
g) 3 000 l/h; h) 4,0” (polegadas); i) 5,0 lb. (libras); j) 7 500 N/m2;
k) 5 PSI (libras por polegada quadrada); l) 7,0 kgf/cm2
;
m) 9,81 g/cm3
; n) 8 000 000 cm2
/s; o) 20 000 kW; p) 10 H.P;
q) 10 c.v;

13. LISTA 3 (Sistemas de Unidades e Prop. Fundamentais dos Fluidos)
1 - Se 7 m3
de um óleo tem massa de 6 300 Kg, calcular sua massa
específica (  ), densidade relativa (  ) e peso específico no Sistema
Internacional ( S.I. ). Considere g = 9,81 m/s2
.
2 - Repita o problema do exercício anterior usando o Sistema Técnico.
Compare os resultados.
3 - Dois dm3
de um líquido pesam 1 640 gf. Calcular seu peso
específico, massa específica e densidade.
4 - Um fluido pesa 25 N / m3
em um local onde a aceleração da gravidade
9,81 m / s2
. Determinar:
a) Massa específica do fluido no referido local em kg / m3
;
b) O peso esp. do mesmo fluido em outro local onde g=9,83 m/s2
.
5 - Para um líquido cuja massa específica é  = 85,3 4
2
*
m
s
kgf
, calcular
o respectivo peso específico e a densidade relativa. (Sistema Técnico).
6 - Um frasco de densidade cheio de gasolina pesa 31,6 g, quando cheio
de água ele pesa 40 g, e quando vazio, pesa 12 g. Determine a densidade
relativa da gasolina (  ).
7 - Calcular o peso de uma massa de 5,55 U.T.M. em um local onde a
aceleração gravitacional é 9,65 m / s2
.
8 - Transformar a pressão de 15 m.c.a. em:
a) kgf / cm2
; b) kgf / m2
; c) atm ; d) kPa.
Obs.: Utilizar atmosfera técnica ( 1 atm = 1 kgf / cm2
= 10 000 kgf /
m2
= 10 m.c.a. = 100 kPa)
9 - Para uma viscosidade dinâmcia (  ) de 0,6 poise 





2
*
cm
s
dina
e
densidade igual a 0,6, qual o valor da viscosidade cinemática () ?
(Usar o Sist. Técnico)

14. HIDROSTÁTICA
A estática dos fluidos é o estudo dos fluidos no qual não há
movimento relativo entre as partículas do fluido. A pressão é a única
tensão que existe onde não há movimento.
Conceito de pressão e empuxo.
Pressão: Pode ser definida relacionando-se uma força a uma unidade de
área.
dA
dF
p 
Onde:
A
p
E
pDa
E
.

 
Se pressão for a mesma em toda a área.
Pressão nos líquidos.
O que é pressão? Muitas pessoas pensam que pressão é sinônimo de força.
Pressão, no entanto, leva em conta não apenas a força que você exerce mas
também a área em que a força atua. A Fig. abaixo representa um bloco de 1
decímetro quadrado por dois decímetros de altura, pesando 4 kgf. O peso
do bloco é distribuído sobre uma área de 1dm2
, de modo que exerce uma
pressão de 4kg* por decímetro quadrado. Se o bloco estiver apoiado na
face lateral (Fig. B) de modo que a área em contato com a mesa seja de 2
dm2, a pressão será de 2kg* por dm2
. Um pneu de automóvel de cerca de 20
centímetros de largura tem uma grande superfície em contato com o chão.
Com esse pneu um carro pesado roda mais suavemente que com um pneu menor
que exigiria maior pressão?
dA
dF
A

Exemplo: Uma caixa pesando 150kg* mede 1,20m de comprimento por 0,5m de
largura. Que pressão exerce ela sobre o chao?
120 kg* = peso da caixa;
0,5 m = largura da caixa;
1,2 m = comprimento da caixa.
Determinar a pressão.
Lista 4
Resolva os problemas
1. Um tanque contém agua pesando 480kg*. O tanque tem 1,20m de
comprimento por 80 cm de largura. Qual a pressão no fundo do tanque, em
quilograma-força por decímetro quadrado?
2. A base de um monumento tem uma área de 4 m2
. Se seu peso é de 6
toneladas. Que pressão ele exerce (em kgf/m2
)?
3. O vapor de uma caldeira exerce a pressão de 100kgf/cm2
na base de um
pistão de 40cm2
. Que força o vapor exerce sobre o pistão?
4. A água de uma represa exerce uma pressão média de 0,3kgf/cm2
contra a
muralha de 6 m ele altura por 18 m de largura. Determine a força total
sobre a muralha.
Respostas:
Pressão
1) 5 kgf/dm2
; 3) 4000 kgf.
Pressão de água
1) 22 kgf/dm2
; 3) 450 kgf/dm2
e 4,5 kgf/cm2
; 5) (a) 600 gf/cm2
e (b) 0,6
kgf/cm2
.
Densidade e pêso específico
1) 2,25; 3) (a) 1,11 (b)36 cm2
.
Pressão num líquido qualquer
1) 410 gf/cm2; 3) 0,062 kgf/dm2
.

E
w ou P
5. uma caixa de concreto armado pesa 540 kgf sendo suas diemnsoes 1,2 x
0,5 x 1,0 de altura. Que pressão unitária ela exerce sobre o chão estando
vazia? E cheia ? e cheia com mercúrio?
6. A pressão d’água numa torneira A é de 0,3
kgf/cm2
. calcule a altura da coluna de água (ver
figura ao lado).
7. determine a pressão em kgf/m2
a uma profundidade
de 10 m de um óleo de .
75
,
0


Resp.: 7 500 kgf/m2
.
8. Determine a pressão absoluta em kgf/m2
do
problema anterior num local onde o barômetro indica
720 mmHg .
57
,
13


9. um tubo vertical de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto
na extremidade auperior, contem volumes iguais de água e mercurio.
Pergunta-se:
a) qual a pressão manométrica, em kgf/cm2 no fundo do tubo?
b) Qual os pesos liquidos nele contidos ?
Princípio de Arquimedes
Um corpo imerso num liquido está sujeito a um empuxo vertical (γ V) de
intensidade igual ao peso do liquido deslocado.
Seja (Vf) o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então a massa do
fluido deslocado é dado por:
Vf
df
mf .

A intensidade do empuxo é igual à do peso dessa massa deslocada:
g
dfVf
g
mf
E .
. 

Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é igual ao
próprio volume do corpo. Neste caso, a intensidade do peso do corpo e do
empuxo são dados por:
g
Vc
df
E
e
g
Vc
dc
P .
.
...
..........
....
..........
.
. 

A resultante das forças (Fr) será:
Peso
força
da
e
Empuxo
f .
.
.
.


Quando um corpo mais denso que um liquido é totalmente imerso nesse
liquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse liquido, é
aparentemente menor que o do ar. A diferença entre o valor do peso real e
do peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo liquido.
E
real
P
aparente
P 
 .
.
Lei de Pascal: Em qualquer ponto no interior de um
liquido em repouso, a pressão é a mesma em todas as
direções.
Consideremos um liquido em equilíbrio colocado em um
recipiente. Supondo as pressões hidrostáticas, 0.2 e
0.5 nos pontos A e B, respectivamente.
Demonstração da lei de Pascal: Considerar mo interior de um liquido, um
prisma imaginário de dimensões elementares.
Para que haja equilíbrio é necessário que a resultante das forças seja
nula:
Na direção x: 
.
.
.
. sen
ds
ps
dy
px 
px.dy.1 = ps.ds.sen.α ficando px dy = ps ds dy / ds Logo px = ps
Na direção y: 
cos
.
.
. ds
ps
dx
py 
py.dx.1 = ps.ds.cos.α ficando py dx = ps ds dx / ds Logo py = ps
ps.ds
dx
px.dy
dw
α
py.dx
A
B
F
Se através de um embolo
comprimirmos o liquido,
produzindo uma pressão de 0,1
atm, todos os pontos sofrerão o
mesmo acréscimo de pressão.
Logo A=0,3atm
B=0,6atm.

Princípio da Prensa Hidráulica.
1
2
1
2
A
A
F
F 
F1 = esforço aplicado
F2 = força obtida
A 1,2 = seção do embolo.
Exemplo: Em um macaco hidráulico aplica-se uma força de 280kgf no embolo
menor (diâmetro=52mm). Calcular o esforço no embolo maior (364mm).
Logo F2 = 280 * A2 / A1;
F2 = 280 * 104 062,72 / 2 123,72 = 13 720kgf
Vasos Comunicantes
Quando dois líquidos não se misturam
(imiscíveis) são colocados num mesmo recipiente,
eles se dispõem de modo que o liquido de maior
densidade ocupe a parte de baixo e o de menor
densidade a parte de cima.
Caso os líquidos imiscíveis colocados num
sistema constituído por vasos comunicantes, como
um tubo em U, eles se dispõem de modo que as
alturas de colunas liquidas, medidas a partir da
superfície de separação, sejam proporcionais às
respectivas densidades.
d2
d1 h2
h1
Sendo d1 a densidade do liquido
menos denso, d2 a densidade do
liquido mais denso, h1 e h2 as
respectivas alturas das colunas,
obtemos:
d1.h1=d2.h2
d1 ( óleo)
d2 (água)
d2 > d1

Equação Fundamental da Fluidostática (Lei de Stevin)
Obs: para água γ = 1 kg. m-3
= 104
N. m-3
No caso de se querer medir a pressão no interior de um massa
liquida, a partir de uma superfície, basta:
Poder-se-ia pensar que o líquido contido
em B, pelo facto de B ter maior diâmetro
do que A, e portanto conter uma porção
de líquido de maior peso, obrigasse esse
mesmo líquido a ascender mais em A. Tal não sucede.
Exercício
1. Em um recipiente há 2 líquidos não-misciveis e de densidades
diferentes. Através da lei de Stevin (Equação geral da
fluidostatica) mostrar que a superfície de separação dos 2 líquidos
é plana e horizontal.
Solução:
Sejam M e N dois pontos na superfície de separação dos 2 liquidos, cujos
pesos específicos são 1
 E 2
 . Deve-se demonstrar que M e N é horizontal
(Fig. Acima). Considerando o liquido cujo o peso especifico é 1
 , acima
da superfície de separação , tem-se pela lei de Stevin:
Pn-Pm= 1
 .h
Para o liquido cujo peso é 2
 , abaixo da mesma superfície:
Pn-Pm= h
2

Subtraindo membro a membro: )
2
1
(
0 
 
 h
Sendo 2
1 
  O que implica em 0

h
Conclusão : os pontos M e N têm a mesmas cotas, o que ocorrerá também com
todos os outros pontos da superfície de separação.

15. MANOMETRIA
 Manometria: É a medida das pressões.
 Manômetros: São instrumentos (dispositivos) utilizados na medição da
Pressão Efetiva (função da altura da coluna líquida)
Pabs = P + Patm
P  Pressão efetiva ou manométrica ou piezométrica (medida através de
manômetros ou piezômetros);
Patm  Pressão atmosférica local (medida através de barômetros, de
mercúrio ou aneróide).
Lista de Exercícios de Hidrostática
1. Uma caixa d’água de concreto armado pesa 840 kgf, sendo suas dimensões
1,2 * 0,5 * 1,0 de altura. Que pressão unitária ela exerce sobre o chão
vazia? E quando cheia de água? E com material de densidade = 6?
2. A pressão de água em uma torneira A é de 1,3kgf/cm2
, segundo a figura.
Calcule a altura de coluna de água.
3. Um tambor com 2 ft (pés-foot) de diametro esta cheio de água e tem um
tubo vertical com 0,5 in (inch-polegada) de diâmetro ligado a sua parte
superior. Quantos litros de água devem ser adicionados pelo tubo para que
seja exercida uma força de 1000 lb (libra-força)no topo do tambor?
4. Determinar a pressão em kgf/cm2
a uma profundidade de 10 m em um óleo
de densidade = 0,75?
5. Determinar a pressão absoluta em kgf/m2
do problema anterior num local
onde o barômetro indica 700 mm Hg (densidade = 13,57).

6. Qual o peso especifico do liquido B do esquema abaixo.
7. Um tubo vertical, de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto
na sua extremidade superior, contem volumes iguais de água e mercúrio.
Pergunta-se:
a. qual a pressão manométrica em kgf/cm2
no fundo do tubo?
b. qual os pesos líquidos nele contidos?

2. Pressão efetiva e pressão absoluta
A pressão em um ponto também pode ser calculada a partir do zero absoluto
(vácuo), obtendo nesse caso a pressão absoluta. Agora a pressão nula
corresponde ao vácuo total e, portanto a pressão absoluta é sempre
positiva.
Pab. B = Pef.B. + Po e Pab. D = Pef.D + Po e Pab. E = Pef.E + Po
II - CLASSIFICAÇÃO DOS MANÔMETROS
1) Manômetro de Coluna Líquida
a) Piezômetro Simples ou Tubo Piezométrico;
b) Tubo ou Manômetro em “U”;
c) Manômetro Diferencial;
d) Manômetro ou Tubo
Inclinado.
2) Manômetro Metálico
a) “Bourdon”;
b) Digital
(Eletrônico).
a) Piezômetro ou Tubo
Piezométrico
- É o dispositivo mais simples para a medição de pressão;
- Consiste na inserção de um tubo transparente no recipiente
(tubulação) onde se quer medir a pressão;
- O líquido subirá no Tubo Piezométrico a uma altura “h”,
correspondente à pressão interna;
Po
E
D
B
P ef B = pressão efet em B.
P ef D = pressão efet em D.
P ef E = pressão efet em E.
a pressão efetiva pode ser:
positiva: quando > Po
nula: quando = Po
negativa: quando < Po(vácuo)
Obs: a pressão efetiva é também chamada de pressão manométrica (manômetros)

- Devem ser utilizados Tubos Piezométricos com diâmetro superior a
1cm para evitar o fenômeno da capilaridade;
- Não serve para a medição de grandes pressões ou para
gases.
b) Tubo em “U”
- Utilizado para medir pressões muito pequenas ou pressões muito
grandes;
- Utiliza-se um líquido indicador ou líquido manométrico com a
finalidade de aumentar ou diminuir o comprimento da coluna
líquida.
Pressões muito pequenas:
Densidade () do líquido manométrico  densidade () do líquido do
recipiente
Líquidos manométricos:Água (=1,0),Tetracloreto de carbono (= 1,6)
Exemplo: P = 10.000 kgf / m2
Água  h = 10 m.c.a. Mercúrio  h = 0,735 mHg
P =  . h 
h = P/
A

água
h
Patm
Patm
Patm
PA = água . h
Exemplo: Um oleo de  = 0,8, está submetido a uma pressão
de 4 kgf/cm2
. Exprimir esta pressão em coluna de liquido.
Sendo P=γ h Logo: h = 40 000 / 800 = 50 m de coluna de
óleo.

Pressão muito grande:
Densidade do líquido manométrico > densidade do líquido do
recipiente
Líquido manométrico: Mercúrio (  = 13,6)
Líquido do recipiente: Água (  = 1,0 )
Exemplos de Tubos em “U “: a) Tubo U.
Obs.: Pontos situados na mesma cota
e na mesma porção fluida, estão
submetidos à mesma pressão (para
fluidos em repouso).
P1 = Patm + 2 . h2 P2 =
Patm + 2 . h2 = 0 + 2 . h2
PA + 1 . h1 = 2 . h2 PA =
Patm + 2 . h2 - 1 . h1
a) Duplo “U”.
P (1)  P(2)  P(3)
PE = PD e PB = PC
PE = Patm + 2 . h2 = PD
PD = 1 . y + PF
PF = PD - 1 . y (PD = PE)
PF = PG PC = 2 . h1 + PG
PC = PB
PB = 1 . (h1 + x) + PA
Ou, inicia-se em um ponto e percorre todo o
manômetro:
PA + 1 . (x + h1) - 2 . h1 + 1 .y - 2 . h2 = 0
PA + 1 . (x + h1 + y) - 2 . (h1 + h2) = 0
PA = 2 . (h1 + h2) - 1 . (x + h1 + y)

b) Manômetro Diferencial: É utilizado para medir a diferença de pressão
entre dois pontos.
MANÔMETRO METÁLICO DE “ BOURDON ”
- São utilizados em estações de bombeamento, indústrias, etc.;
- Funcionamento: Em seu interior existe uma tubulação recurvada que,
sob o efeito da pressão tende a se alinhar, fazendo assim a
movimentação de um ponteiro sobre uma escala graduada;
- Sujeitos a deformações permanentes, por isso de baixa precisão.
Obs: Vacuômetros são manômetros que medem pressões efetiva negativas
Manômetro Diferencial:
PA = PC + h1. γ1 + h3. γ3 = PD = PE + h2. γ2
Logo: PA – PE = + h1. γ1 + h3. γ3 - h2. γ2
PA > PB
PC = Pa
PC = PA + 1 . x
PB + 2 . h + 1 . y
PA + 1 . x = PB + 2 . h + 1 . y
PA - PB = 2 . h + 1 . h - 1 . x
 B  A
C
D
y
x
h
1
2

MANÔMETRO ELETRÔNICO (DIGITAL )
- Não possui peças móveis, portanto mais resistente a vibrações;
- Substitui tanto os manômetros convencionais como os vacuômetros
- É alimentado por baterias de 09 V, com duração de até um ano;
B
γ3
C
E
h1
h3
D
h2
A
γ1
γ2
γ3

16. EMPUXO
Freqüentemente o engenheiro encontra problemas relativos a projetos
de estruturas que devem resistir a pressões exercidas por líquidos. Tais
são os projetos de comportas, de barragens, tanques, canalizações, etc.
A força agindo em dA será:
dA
sen
y
A
d
h
A
d
p
dF .
.
.
.
.
.
.
. 

 


Cada uma das forças dF será normal à respectiva área:
A resultante ou empuxo (total) sobre toda a área, também normal,
será dado por:
dA
y
sen
y
dA
sen
y
dF
F
A
A
.
.
.
.
.
.
.
. 

 

 


dA
y
A
.
.
 é o momento da área em relação à interseção O; portanto Aÿ
dA
y
A

 .
.
onde ÿ é a distancia do centro de gravidade da área ate O, e A é a área
total.
A
sen
ÿ
F .
.
.
. 

 como h
sen
y 
.
.
.  A
h
F .
.


A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o
teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à
interseção O deve igualar-se aos momentos das forças elementares dF.
A
h-
B
CG
CP
dA
O
h
yp
A
B
ÿ
y
α


 Fy
d
y
F p .
.
.
Na dedução anterior; dA
sen
y
dF .
.
.
. 

 ou A
sen
y
F .
.
.
. 


Substituindo: 
 

A
A
p A
d
y
sen
dA
sen
y
y
A
sen
y .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 2






logo
y
A
I
y
A
A
d
y
y A
p 

 .
.
2
expressão em que I é o momento de inércia em relação ao eixo-intersecao.
Mais comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que
passa pelo centro de gravidade, sendo conveniente a substituição.
2
.y
A
I
I o 
 y
y
A
I
y
y
A
y
A
I
y o
p
o
p 




2
Como 2
k
A
Io
 , quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo,
passando pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, y
y
k
yp 

2
.
O centro de pressão esta sempre abaixo do centro de gravidade a uma
distancia igual a
y
k 2
, medida no plano da área.
O
y p sen θ
yp
F
B
ÿ
y
θ
y sen θ

17. LISTA 5 EXERCÍCIOS (Hidrostática: Lei de Stevin e Lei de Pascal)
1 - Determinar a pressão (efetiva) em kgf / m2
a uma profundidade de 8,5
m abaixo da superfície livre de um volume de água.
Resposta: P = 8 500 kgf / m2
2 - Determinar a pressão em kgf / m2
a uma profundidade de 17 m em um
óleo de densidade igual a 0,75.
Resposta: P = 12 750 kgf / m2
3 - Determine a pressão absoluta em kgf / m2
no problema anterior quando
um barômetro instalado no local indica uma pressão de 760 mmHg (densidade
do Hg = 13,6).
Resposta: Pabs = 23 086 kgf / m2
4 - Que profundidade de óleo, com densidade 0,85, produzirá uma pressão
de 4,6 kgf / cm2
? Qual a profundidade em água?
Resposta: Profundidade em óleo (h) = 54,1 m
Profundidade em água (h) = 46,0 m
5 - Converter a altura de carga de 6,5 m de água para metros de óleo
(densidade de 0,75).
Resposta: Altura de óleo (h) = 8,7 m
6 - Converter a pressão de 640 mmHg para metros de óleo (densidade =
0,75).
Resposta: Altura de óleo (h) = 11,6 m
7 - Em um tanque de querosene, tem-se uma diferença de pressão igual a
0,288 kgf / cm2
entre dois pontos da massa líquida, distanciados de 4
metros na vertical. Obter o peso específico do querosene. Resposta:
 = 720 kgf / m3
8 - Calcular as pressões efetiva e absoluta em um ponto à profundidade
de 17 m em água do mar (densidade = 1,025). A atmosfera local é 750 mmHg
(densidade do Hg = 13,6).
Resposta: Pefe. = 17 425 kgf / m2
Pabs. = 27 629 kgf / m2
9 - A pressão atmosférica em uma determinada cidade corresponde a 630
mmHg. Calcular as pressões efetiva e absoluta (kgf / cm2
) para um ponto
situado a 15 m de profundidade da superfície livre de uma lagoa desta
cidade. Resp. Pefe. =1,50 kgf/cm2
Pabs. = 2,357 kgf/cm2

10 - Um tanque cilíndrico fechado possui em sua parte superior um tubo
com 12 m de altura. Ele contém água até o nível de 0,90 m acima do
fundo e óleo daí para cima. Sendo os pesos específicos da água e do óleo
1.000 kgf / m3
e 850 kgf /m3
respectivamente, determinar as pressões
nos pontos 1, 2 e 3 situados na face interna da parede do tanque.
Resposta:
P1 = 12 000 kgf / m2
P2 = 12 935 kgf / m2
P3 = 13 835 kgf / m2
11. Calcular a pressão efetiva em A, em N/cm2
.
12 m
1,10 m
0,90 m
Água
Óleo
P1
P2
P3

18. Lista 6 EXERCÍCIOS (Empuxo)
1 - Determinar o valor do Empuxo (E) e a profundidade do centro de
pressão ou empuxo (hp) para uma comporta retangular de 1,50m X 3,0m cujo
plano faz com a vertical um ângulo de 45º
e cuja aresta superior (que
corresponde ao lado de 1,50m) está a 1,30m de profundidade e é paralela à
superfície livre da água.
Respostas: E = 10 620 kgf; hp = 2,519 m
2 – Calcular o Empuxo (E), posição do centro de gravidade (Y) e posição
do centro de empuxo (Yp) na comporta retangular (5,0m X 2,0m) da figura
abaixo.
Respostas: E = 32 930 kgf Y = 4,658 m Yp = 4,730 m

3 - Determinar a posição do centro de empuxo (Yp) da figura abaixo.
Resposta: Yp = d
*
3
2
4 - Um túnel T é fechado por uma comporta retangular com 1,50 m de
largura. Calcular o Esforço (E) suportado pela comporta e o respectivo
ponto de aplicação (Yp).Resposta: E = 12 727,92 kgf Yp = 4,400 m
5 - Calcular o Empuxo (E) e determinar a posição do centro de pressão
(Yp) numa comporta retangular inclinada, como a da figura abaixo.
Respostas: E = 4 362,37 kgf; Yp = 2,383 m

6 - Uma comporta quadrada de 0,6 m de lado, faz um ângulo de 60º
com a
horizontal, tendo a aresta superior horizontal submersa de 0,90 m, num
líquido cuja densidade () é 3,0. Calcular o Empuxo (E) sobre ela e
determinar o centro de aplicação (Yp) dessa força.
Resposta: E = 1 252,8 kgf; Yp = 1,362
7 - Uma comporta circular vertical de 0,90 m de diâmetro, trabalha sob
pressão de melado (=1,50) cuja superfície livre está 2,40 m acima do
topo da mesma. Calcular o empuxo (E) e a posição do centro de pressão
(Yp).
8 - Uma comporta circular de 1,50 m de diâmetro, inclinada 45º
, está
sujeita à pressão do mar (=1,06), a profundidade de 9 m, contados de seu
centro de gravidade. Qual o empuxo sobre a comporta e a posição do centro
de pressão?

9 - Uma caixa d’água tem 2 m de largura, 2 m de comprimento e 0,90 m de
altura. Calcular o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e
obter o ponto de aplicação do empuxo, supondo a caixa totalmente cheia de
água.
Respostas: E = 810,0 kgf; Yp = 0,60 m
10 - Uma comporta circular com 100 cm de diâmetro está localizada na
parede e um reservatório inclinado de 60º
. O ponto mais alto da comporta
está 150 cm abaixo do N.A.
Calcular:
a) O empuxo da água sobre a comporta;
b) A posição do centro de empuxo.
Respostas: a) E = 1 518,18 kgf; b) Yp = 2,260 m
11. Qual o empuxo e o yp do centro de pressão exercido pela água em uma
comporta vertical de 3 x 4 m cujo topo se encontra a 5 m de profundidade?
Resp.: F = 764 400 N e Yp = 6,615 m.

19. Lista 7. EXERCÍCIOS (MANOMETRIA)
1 - Determinar a pressão manométrica em A, devido a deflexão do mercúrio
do manômetro em “U” da figura abaixo.
Resposta: PA = 10 280 kgf/m2
2- De acordo com a figura e os dados abaixo, pede-se:
a) Determinas a diferença de pressão entre A e B em kgf/cm2
;
b) Se a pressão em B = 0,75 kgf/cm2
,qual será a pressão em A ?
Resposta: a) PA – PB = -0,013 kgf/cm2
b) PA = 0,74 kgf/cm2
A
água
mercúrio
3,0 m
3,6 m
3,8 m
Cotas
B C
D
A
B
h1
h2
h3
h1 = 25 cm
h2 = 15 cm
h3 = 50 cm
Água ( = 1,0)
Azeite ( = 0,8)

3- Os recipientes A e B da figura que contém água sob pressão de 3
kgf/cm2
e 1,5 kgf/cm2
,respectivamente. Qual será a deflexão do mercúrio
(h) no manômetro diferencial ?
Resposta: h = 1,34 m
4 - Sabendo-se que a leitura de um piezômetro é de 0,6 m e está
preenchido com água, calcule a pressão, em kgf/m2
, no interior da
tubulação a que ele está ligado.
A
B
h
x
y
2,0 m
Água ( = 1000 kgf/m3
)
Mercúrio ( = 13600 kgf/m3
)
Obs.: y + x = 2,0 m
0,6 m

5 - Calcular a pressão no ponto “A “.
6 - Calcular a diferença de pressão entre os pontos A e B .
A
0,95m
E’ E
D’ D
C’ C
B
0,8m
0,6m
Água
Mercúrio
0,9m
A
1,2m
D’ D
C
Água
Mercúrio
B
0,1m
0,9m

7 - Na Figura abaixo, determinar o valor de “z”, sabendo-se que a
pressão no ponto A é igual a 2.795 kgf/m2
.
8 - Calcular a diferença das pressões a montante e jusante do diafragma,
de acordo com a indicação do manômetro diferencial do esquema abaixo.
Líquido em escoamento (Água), líquido manométrico (Mercúrio).
A
Óleo (  = 0,80)
Bromofórmio ( = 2,87)
z
2,40m
eixo do
conduto
0,6m
Z
A B
Água
Mercúrio

9 - Dado o tensiômetro esquematizado a seguir, determine:
a) Potencial matricial (tensão) no ponto A em atmosfera técnica (atm),
para um valor de h = 37 cm;
b) Para um potencial matricial igual a tensão de 0,5 atm, qual o valor
da leitura da coluna de mercúrio?
20. Lista 8. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE UNIDADES
2) Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidades do sistema
técnico.
Exemplo: 50,0 l/s = 0,05 m3
/s (vazão)
a) 9 810 dinas (g.cm.s-2
);
Conversão de dina para N
1 (g.cm.s-2
)____10-5
kg.m.s-2
9 810___________ X logo X = 0,0981 kg.m s-2
.
Conversão de N para kgf
1 kgf____________ 9,81 N
X________________0,0981 N logo x= 0,01 kgf
b) 250g; c) 7 814 N; d) 200 cm/s2
; e) 80 km/h;
f) 200 000 KN; g) 3 000 l/h; h) 4,0” (polegadas);
i) 5,0 lb. (libras); j) 7 500 N/m2;
k) 5 PSI (libras por polegada quadrada);
l) 7,0 kgf/cm2
; m) 9,81 g/cm3
; n) 8 000 000 cm2
/s;
o) 20 000 kW; p) 10 H.P; q) 10 c.v;
h
60 cm
A
20 cm

21. FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
Escoamento
O cisalhamento deforma o fluido, dando a este a propriedade de
escoar, ou seja, de mudar de forma facilmente. Portanto, o escoamento é a
fácil mudança de forma do fluido, sob a ação do esforço tangencial. É a
chamada fluidez.
Finalidade
A cinemática dos fluidos estuda o escoamento dos líquidos e gases,
sem considerar suas causas.
Corrente fluida
É o escoamento orientado do fluido, isto é, seu deslocamento com
direção e sentido bem determinados.
Método de Lagrange
Um dos métodos de estudo na cinemática dos fluidos é o de Lagrange,
que descreve o movimento de cada partícula, acompanhado-a na trajetória
total. Apresenta grandes dificuldades nas aplicações praticas.
Método de Euler
Consiste em adotar um certo intervalo de tempo, escolher um ponto do
espaço e considerar todas as partículas que passam por este ponto. Neste
método observador é fixo, e é o preferido para se estudar o movimento dos
fluidos.
Linhas de corrente
No método de Euler, tomemos os vetores v1, v2, v3, etc., que
representam as diversas velocidades da partícula nos instante
considerados, no interior da massa fluida. Tracemos a curva que seja
tangente, em cada ponto, ao respectivo vetor velocidade (v1, v2, v3,
etc.). Tal curva é conhecida como linha de corrente ou linha de fluxo. A
linha de corrente é uma curva imaginaria.
As linhas de corrente não podem cortar-se, pois, em caso positivo a
partícula teria velocidades diferentes ao mesmo tempo, o que não é
possível. Em cada instante e em cada ponto, passa uma e somente uma linha
de corrente. Considerando um conjunto de linhas de corrente, em cada
instante, o fluido move-se sem atravessá-la.
Linha de
corrente
V1
V2
V3

Tubo de Corrente
Suponhamos duas curvas fechadas A e A’, que não sejam linhas de
corrente. Por outro lado consideremos todas as linhas de corrente que
toquem nessas duas curvas fechadas em um instante dado. Se o campo de
velocidades for continuo, formar-se-á então um tubo de corrente, que não
pode ser atravessado pelo fluido nesse instante porque não há componente
normal de velocidade. O tubo de corrente também é conhecido como veia
liquida.
Laminar
Turbulento
Permanente
Não- Permanente
Uniforme
Variado
Rotacional
Irrotacional
Quanto a
direção da
trajetória
Quanto a
variação no
tempo
Quanto à
variação na
trajetória
Quanto ao
Movimento
de rotação
Classificação dos
movimentos dos
fluidos.
A
A’
Fig. Tubo de corrente

Classificação do escoamento dos fluidos.
1.1 Escoamento laminar.
As partículas dos fluidos percorrem trajetórias paralelas, também
chamadas de escoamento lamelar, tranqüilo ou de Poiseuille.
As trajetórias das partículas em movimento são bem definidas, não se
cruzam.
1.2 Escoamento turbulento
As trajetórias são curvilíneas, elas se cruzam. Na pratica o
escoamento dos fluidos quase sempre é turbulento. P.e. encontrado nas
obras de engenharia, adutoras, vertedores de barragens, etc.
Número de Reynolds
Fez experiência variando o diâmetro e a viscosidade do liquido.

D
V.
Re  Onde; V = velocidade de escoamento (m/s).
D = diâmetro (m).
υ = viscosidade cinemática (m2
/s).
Re <= 2 000 Regime laminar.
2 000 < Re < 4 000 Regime critico.
Re >= 4 000 Regime turbulento.
Exemplo: Calcular Re para a seguinte situação: V=1,5m/s. D=100mm.
υ=1. 6
10
m2
/s. turbulento
regime
o
s
m
m
s
m
.
.
log
.
150000
/
10
.
1
1
,
0
*
/
5
,
1
Re 2
6

 
1,3 Escoamento Não Permanente
Neste caso, a velocidade e a pressão, em determinado ponto, variam
com o tempo. variam também de um ponto pra outro, também chamado de
transitório, e diz que a corrente é instável. Agora a velocidade e a
pressão em um ponto A (x,y,z) dependem tanto das coordenadas como também
do tempo t. p.e. o escoamento não permanente ocorre quando se esvazia um
recipiente através de um orifício.

1,4 Escoamento Permanente
Os elementos que definem o escoamento (P, V, Q e t) permanecem
constantes ao longo do tempo em uma determinada seção. Todas as
partículas que passam por um ponto determinado no interior da massa
liquida terão, a qualquer tempo, a mesma velocidade.
1,5 Escoamento Uniforme
A velocidade é constante ao longo do tempo e em todas as seções da
trajetória.
OBS: No escoamento uniforme, a seção transversal da corrente é
invariável.
1,6 Escoamento Variado
Neste caso, os diversos pontos da mesma trajetória não apresentam
velocidade constante no intervalo de tempo considerado.
p.e. vertedouro de uma barragem.
V1
V3
V2
Acelerado
V3>V2>V1
comporta
agua
V1 V2 V3
Retardado
V3<V2<V1
agua
Q1
V1
t1
Q2
V2
T2
agua Q1= Q2
V1= V2
t1 diferente t2
0

dT
dQ
0

dT
dV
0

dT
dP

Equação da continuidade
Vazão: é definido como sendo o volume do liquido que atravessa uma
determinada seção por unidade de tempo.
Exercício 1: verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa
linha de recalque é de 1,05m/s. A vazão necessária a ser fornecida pela
bomba é de 450m3
/h. Determinar o diâmetro da linha. Resp.: 0,39m
Exercício 2: Em um edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável,
devido ao uso de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de
60mm de diâmetro, é de 7,5 l/s.
Determinar a velocidade de escoamento. Resp.: 2,65m/s.(Obs: esta veloc. é
admitida pela norma NBR 5626).
22. Teste de Múltipla escolha
1) o escoamento de um fluido é:
a) a resistência a sua mudança de forma;
b) a sua viscosidade;
c) a sua facilidade em aquecer-se;
d) a sua fácil mudança de forma.
2) a corrente fluida é:
a) o escoamento orientado do fluido;
b) o deslocamento do fluido, com direção e sentido bem
determinados;
c) qualquer volume do fluido;
d) a massa fluida em quantidade considerável.
3) no método de Lagrange
a) cada partícula é acompanhada na sua trajetória total;
b) o observador desloca-se simultaneamente com a partícula;
c) o observador é fixo;
d) cada partícula corresponde a uma trajetória e vice versa.
4) no método de Euler
a) consideram-se todas as partículas que passam por um ponto
escolhido;
b) o observador é fixo;
c) estuda-se o comportamento individual de cada partícula;
d) adota-se o principio dos deslocamentos virtuais da mecânica
geral.
A
dS
V=A.dS % dT
V / dT=A dS / dT
Q=A.V

5) a linha de corrente é:
a) uma curva real;
b) conhecida também como linha de fluxo;
c) a curva que tem a propriedade de ser tangente, em cada ponto,
ao respectivo vetor-velocidade;
d) uma curva imaginaria.
6) as linhas de corrente:
a) não podem cortar-se;
b) são atravessadas pelo fluido;
c) indicam a direção da velocidade em diversos pontos;
d) passam todas, ao mesmo tempo, a cada instante, pelo ponto
7) o tubo de corrente:
a) é qualquer conjunto de linhas de corrente;
b) é um conjunto de todas as linhas de correntes que toquem em
curvas fechadas
c) não podem ser atravessadas pelos fluidos;
d) pressupõe um campo continuo de velocidades.
8) o filamento de corrente:
a) é um fino tubo de corrente;
b) é cada corrente fluida, de reduzidas dimensões;
c) é a porção da corrente limitada por uma diretriz que abrange
uma área infinitesimal.
d) é a corrente liquida que permite a entrada e saída das
partículas fluidas.
9) quanto à variação no tempo, o escoamento classifica-se em:
a) rotacional e irrotacional;
b) permanente e não permanente;
c) continuo e descontinuo;
d) escoamento médio.
10) quanto à direção da trajetória, o escoamento pode ser:
a) laminar e turbulento;
b) tranqüilo e turbilhonário;
c) lamelar e hidráulico;
d) de Poiseuille e turbulento
11) quanto a variação na trajetória, os escoamento são:
a) uniformes e variados;
b) contínuos e descontínuos;
c) de Reynolds e trajetórias errantes;
d) rotacional e irrotacional.
Obs.: as velocidades da água no interior das tubulações de recalque devem
estar compreendidas entre 0,8 e 2,4 m/s.

Exercício:
1. Qual a máxima velocidade de escoamento da água e óleo lubrificante
SAE-30 e temp. 40 o
C numa tubulação de 118,11 polegadas sob regime
laminar ? Dados: visc. Cin água = 0,66.10-6
m2
/s.
2. Caracterize o tipo de escoamento numa canalização de 10” de
diâmetro que transporta 360 000 l/s de água a 20 o
C (1,007.10-6
m2
/s).Resp. V=1,97 m/s Reynolds=501 396 regime turbulento.
23. TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS OU IDEAIS
Nesta parte apresentamos a equação que provavelmente é a mais usada na
aplicação de escoamento do que qualquer outra equação. A obtenção desta
importante equação começa com a aplicação da segunda lei de Newton para
uma partícula do fluido.
Para a dedução desse teorema é necessário considerarmos os fluidos como
perfeitos ou ideais (não possuem viscosidade, coesão, elasticidade, etc).
Teorema das forças vivas.
“a variação da energia cinética de um sistema é igual ao trabalho
por todas as forças do sistema”.
2
.
2
1
V
m
Ec  to
deslocamen
x
força .
.

 forças
as
todas
de
trabalho
Ec .
.
.
.
.



Forças: Devido a pressão dF = p d A logo p = dF / dA.
Devido ao peso w = γ vol. Logo γ = w / vol
Ec2-Ec1 = dF1* dS1 - dF2*dS2 + w (z1-z2)
½ m2 V2
2
– ½ m1 V1
2
= P1dA1 * dS1 – P2dA2 * dS2 + γ vol (z1-z2)
dS1
A2’
A1’
A1
A2
Plano referencia Z2
dS2
Z1

½ m2 V2
2
– ½ m1 V1
2
= P1 vol – P2 vol + γ vol (z1-z2)
sendo ρ = m / vol logo m = ρ / vol
½ ρ / vol V2
2
– ½ ρ / vol V1
2
= P1 vol – P2 vol + γ vol (z1-z2) //
dividindo por vol. :
½ ρ V2
2
– ½ ρ V1
2
= P1 – P2 + γ (z1-z2) sendo ρ = γ / g
substituindo temos:
½ γ / g V2
2
– ½ γ / g V1
2
= P1 – P2 + γ (z1-z2) dividindo por γ :
½ V2
2
– ½ V1
2
= P1 / γ – P2 / γ + (z1-z2)
te
cons
z
P
g
V
z
P
g
V
tan
.
.
.
2
.
1
.
.
.
2
.
1
2
2
2
2
1
1
2
1








ou seja
“ao longo de qualquer linha de corrente é constante o somatório das
energias piezométrica, cinética e potencial”.
O teorema de Bernoulli não é senão o principio de conservação da
energia. Cada um dos termos representa uma forma de energia
g
V
.
2
2
energia cinética = )
.
.
.
.
arg
.(
.
.
/
/
2
2
2
dinamica
ou
velocidade
de
a
c
m
s
m
s
m


P
energia de pressão ou piezométrica = )
.
.
arg
.(
.
.
/
/
3
2
pressao
de
a
c
m
m
kgf
m
kgf

Z = energia de posição ou potencial = m = carga geométrica ou de posição.

Demonstração experimental
Instalando-se piezômetros nas diversas seções verifica-se que a água
sobe a alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é
maior e, portanto, também é maior a carga cinética, resultando menor
carga de pressão.

h
Sejam:
h= profundidade do centro do orifício;
g= aceleração da gravidade;
V=velocidade media da veia liquida.
Orificio
agua
Lei da conservação da massa
Q = A.V
24. POTENCIA DA CORRENTE FLUIDA
Em qualquer seção do tubo de corrente, a potencia da corrente fluida
é, por definição:











g
V
P
Z
Q
N
2
*
*
.
2

 onde Q, é vazão em volume.
Sendo He (energia total do sistema)=
g
V
P
Z
2
2



Logo: N = γ * Q * He
25. APLICAÇÕES IMEDIATAS DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI
1. Teorema de Torricelli
Suponhamos um recipiente de paredes delgadas e admitamos que a
superfície livre do liquido seja constante. Em uma parede
vertical do recipiente, há um orifício pelo qual escoa o liquido.
h
g
V *
*
2

2. Tubo de Venturi (fluido ideal hf = 0)

Serve para medir, diretamente a vazão Q em tubulações. O venturimetro,
tubo de venturi ou apenas venturi, consiste em um trecho estrangulado
da tubulação. Em um venturi horizontal, sejam:
Q= vazão da tubulação;
A1=seção transversal do ponto 1; seção convergente,
A2=seção transversal no ponto 2; seção divergente
Obs.: também utilizado como injetor de fertilizantes.
onde: g= aceleração da gravidade;
γ= peso especifico do fluido;
p1= pressão unitária no ponto 1;
p2= pressão unitária no ponto 2.
2
1
*
*
2
*
2
*
1
2
2
1
2
p
p
g
A
A
A
A
Q 



Em cada tubo de venturi é constante o produto dos dois primeiros fatores
do 2º membro.
2
1
* p
p
K
Q 

Observe-se que o orifício e o tubo de pitot fornecem a velocidade da
corrente, ao passo que o venturi indica a vazão da tubulação.
3. tubo de Pitot
Serve para medir a velocidade em um ponto qualquer de uma corrente
liquida (rio, canal, etc). consiste em um tubo de vidro recurvado, de
pequeno diâmetro e aberto nas duas extremidades.
Sejam:
V1= velocidade da corrente na
entrada do tubo de Pitot;
g= aceleração da gravidade;
h=altura que subiu o liquido no tubo,
acima da superfície livre;
h
g
V *
*
2
1 
2
1
A1 A2
Tubulação
Tubo de venturi
agua
h
corrente
Tubo de
Pitot

26. Lista 9.
Exercício 1. A água escoa pelo tubo indicado abaixo, cuja seção varia do
ponto 1 para o ponto 2, de 100cm2
para 50cm2
. em 1, a pressão é de
0,5kgf/cm2
e a elevação 100, ao passo que no ponto 2, a pressão é de
3,38kgf/cm2
na elevação 70. calcular a vazão em litros por segundo.
Resp.: 28l/s.
Exercício 2. Na tubulação que parte da barragem a vazão é de 28l/s. A
pressão no ponto 1 é p1=29,6mca. Calcular a seção da tubulação
desprezando as perdas de energia. Resp.: A=100cm2
.
Exercício 3. Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente,
em um tubo tronco-conico de 1,83m de altura. As extremidades superior e
inferior tem os diâmetros de 100 e 50mm, respectivamente. Se a vazão é de
23l/s, achar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo. Resp.:
p2-p1=4 586 kgf/m2
.
30m
1
2
agua
1
2
70
100

Exercício 4. De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250mm de
diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para
125m; do tubo de 125, a água passa para a atmosfera sob a forma de jato.
A vazão foi medida, encontrando-se 105 l/s. Calcular a pressão na seção
inicial da tubulação de 250mm; a altura de água H na barragem; a potencia
do jato. Resp: H=3,71m; Potencia = 5,2cv.
Exercicio 5. deduzir a expressão que determina a velocidade da corrente
liquida na entrada do Tubo de Pitot.
H
Ponto 2
Jato agua
Ponto 1
Q=105L/s
125mm
250mm
V12
2g
1
2
1,83m
50mm
100mm
P R
h

1
p
g
v
2
1
H
V1 PR
A B

25cm
h Pitot
agua
Exercício 6: O centro de um orifício circular está a 8,5m abaixo da
superfície livre de água de um reservatório. Determinar o diâmetro deste
orifício para que a vazão seja de 25,34litros/s
(desprezar as perdas de energia) supor escoamento permanente. Resp.:
50mm.
Exercício 7: Com um tubo de Pitot mede-se a velocidade da água no centro
de um conduto com 25cm de diâmetro. A diferença de carga é h=0,1mca.
Devido ao grande diâmetro, supõe-se que a velocidade media da água neste
tubo corresponde a 2/3 da velocidade no seu centro. Calcular a vazão
(l/s). Resp.: 45,6l/s.
Lista 9
26. EXERCÍCIOS (Equação da Continuidade e Teorema de Bernoulli)
8 - 50 litros/s escoam no interior de uma tubulação de 8” . Esta
tubulação, de fofo, sofre uma redução de diâmetro e passa para 6”.
Sabendo-se que a parede da tubulação é de ½” , calcule a velocidade nos
dois trechos e verifique se ela está dentro dos padrões.
orificio
8,5m
7” ½”
8”
½”
Visualização, em corte, do
diâmetro interno ( Di ) no primeiro
trecho.

9 - No início de uma tubulação de 20 m de comprimento, a vazão é de 250
litros/h. Ao longo deste trecho são instalados gotejadores com vazão de 4
litros/h cada, distanciados de 0,5 m. Calcule a vazão no final do trecho.
10 - Um projeto fixou a velocidade V1 para uma vazão Q1, originando um
diâmetro D1. Mantendo-se V1 e duplicando-se Q1, demonstre que o diâmetro
terá que aumentar 41%.
11 - A água com  = 1,01 x 10-6
m2
/s escoa num tubo de 50 mm de diâmetro.
Calcule a vazão máxima para que o regime de escoamento seja laminar.
12 - Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente em um
tubo tronco-cônico de 1,83 m de altura. As extremidades superior e
inferior do tubo têm os diâmetros de 100 mm e 50 mm, respectivamente. Se
a vazão é de 23 litros/s, achar a diferença de pressão entre as
extremidades do tubo. (desprezar as perdas de carga).
13 - A um tubo de Venturi, com os pontos 1 e 2 na horizontal, liga-se um
manômetro diferencial . Sendo Q = 3,14 litros/s e V1 = 1 m/s, calcular os
diâmetros D1 e D2 do Venturi, desprezando-se as perdas de carga.
0,05 m
Q
1
2
P.R.
1 (D1) 2 (D2)
P.R.
Q
0,29 m
0,03 m água
mercúrio

14 - No tubo recurvado abaixo, a pressão no ponto 1 é de 1,9 kgf/cm2
.
Sabendo-se que a vazão transportada é de 23,6 litros/s, calcule a perda
de carga entre os pontos 1 e 2 .
15- Em um canal de concreto a profundidade é de 1,2 m e as águas escoam
com uma velocidade media de 2,4 m/s, até um determinado ponto, onde,
devido a uma queda, a velocidade se eleva a 12 m/s, reduzindo-se a
profundidade a 0,6 m . desprezando-se as possíveis perdas por atrito.
Determinar a diferença de nível entre as partes do canal.
Resp.: y = 6,3 m.
27. ORIFÍCIOS
São aberturas por onde os líquidos escoam mediante as seguintes
características:
a) tem forma geométrica definida;
b) o perímetro é fechado;
c) a abertura esta situada na parede do reservatório;, tanque, canal
ou encanamento;
d) a abertura esta abaixo da superfície livre do liquido.
Foronomia: estuda o escoamento por orifícios.
Finalidade: medir vazão.
Classificação:
Quanto a forma: circulares e retangulares;
Quanto a divisões: pequenos e grandes;
Quanto a condições das bordas: em parede delgada e parede espessa.
1
2
D1 = 125 mm
D2 = 100 mm
1,25 m
P.R.

Orifícios pequenos e grandes
Orifícios em parede delgada e espessa (bocais)
Orifícios pequenos em paredes delgadas:
L = (0,5 a 1,0) d
No caso da água: L = 0,5 . d
Logo
a
ac
cc 
cc
a
ac .

onde: ac = área da seção contraída;
a = área seção do orifício;
cc = coeficiente de contração.
L
Seção contraída
V Max.
ac
d
Veia liquida Inversão jato
X P
Seção contraída
y
h
e < d
d
e
Parede delgada Parede espessa (bocais)
e
d
h
d
d<=1/3 . h d > 1/3 . h
Orifícios
pequenos
Orifícios
grandes
d

Cc varia muito pouco, adota-se 62
,
0

cc
Para orifícios retangulares
Vimos que no teorema de Torricelli h
g
V .
.
2
 eq. 1. é a velocidade media
ideal que ocorreria na veia liquida se não houvesse atrito no orifício.
Sendo U = velocidade media veia liquida < V, entra coeficiente de redução
CV
V
U
V
U
CV .


 __________________________________eq. 2.
Substituindo 1 em 2: h
g
CV
U .
.
2
.
 _________________________eq. 3.
como U<V na pratica adotamos CV=0,985.
Por definição o volume do liquido em escoamento no orifício é:
U
ac
Q .
 //sendo: cc
a
ac .
 e h
g
CV
U .
.
2
.

h
g
CV
cc
a
Q .
.
2
.
.
.
 //a=área orifício
sendo cc.CV = cd coef. Descarga
logo: h
g
cd
a
Q .
.
2
.
.

Equação Para Vazão Em Orifícios Pequenos
OBS: na pratica adotamos: cd=cc.cv=0,62*0,985= cd= 0,61
Orifícios de grandes dimensões
Em orifícios grandes não se pode admitir que todas as partículas tenham
mesma velocidade. V = raiz(2.g.h) logo varia h, varia v.
A carga para este trecho elementar será:
h
g
dh
L
Cd
dQ .
.
2
.
.

a vazão para todo orifício será:
h2
dh
Parede delgada
h
h1 L
b>h
cc = 0,611

 


2
1
2
1
*
.
.
2
.
.
.
.
2
.
.
h
h
h
h
dh
h
h
g
L
cd
h
g
dh
L
Cd
Q










 1
2
/
1
.
2
..
.
.
2
.
.
1
2
/
1
2
1
2
/
1 h
g
L
cd
dh
h
g
L
Cd
Q
h
h
2
/
3
2
/
3
1
2
.
.
2
.
.
3
2
h
h
g
L
Cd
Q 

Sendo:
1
2 h
h
A
L

 Logo:
1
2
1
2
.
.
2
.
.
3
2 2
/
3
2
/
3
h
h
h
h
g
A
Cd
Q



28. BOCAIS
São pequenos tubos adaptados a orifícios em paredes delgadas, pelos quais
escoam líquidos dos reservatórios.
Finalidade: a principal é dirigir o jato d’água e regular a vazão.
Bocal interior:
Bocal exterior:
OBS: Cd obtido no bocal exterior é maior do que o obtido no interior.
Classificação dos bocais:
Quanto a forma geométrica;
Quanto a dimensões relativas.
Tubo fora reservatório.
D
L
Tubo esta dentro do
reservatório e seu L=D
D
L

Forma geométrica:
Bocal curto: Bocal longo:
D <=L<=2.D escoamento oscila entre orifício de parede delgada e orifiocio
parede espessa
2.D<=L<=3.D o escoamento é característico de bocal longo funcionando à
semelhança de orifício de parede espessa;
3.D<L<=100.D tubo curto
L>100.D considerado como encanamento
OBS: bocal padrão: L=2,5*D
Vazão nos Bocais: aplica-se a equação geral deduzida para os orifícios
pequenos.
h
g
A
cd
Q .
.
2
.
.
 Onde:
Q= vazão e m3
/s;
A= seção do tubo, m2
;
G=9,8 m/s2
;
h=carga inicial disponível, m;
cd=coef. de descarga (coef. de velocidade).
Para orifícios de parede delgada 61
,
0
.
log
.
5
,
0 
 cd
o
D
L
Para bocais 82
,
0
.
log
.
3
2 

 cd
o
D
L
Obs: bocal padrão: cd=2,5
L>D.
D
L
L<D.
D
L
cilíndrico Cônico
divergente
Cônico
convergente

29. VERTEDORES
Definição: são orifícios incompletos,
pois tem perímetro aberto, Localizam-se
na parte superior do reservatório,
canais, etc.
Finalidade: medir vazão de córregos,
galerias pluviais, etc.
Classificação: o vertedor pode ter
qualquer forma, mas são preferíveis as
geométricas, a logarítmica, etc.
Quanto a forma geométrica:
Vertedor simples;
Vertedor composto.
Vertedor composto:
Reunião das formas geométricas acima
indicadas.
Denominações
Vertedor retangular: mais usado, fácil execução.
Sendo orifício de parede delgada de grande dimensão:
L
D
L L
D D
1 contração 2 contrações
sem
contração
5 x h
mínimo
régua
Veia
liquida
b
h
soleira
a
Veia
liquida
Vertedor simples:
Retangular;
Triangular;
Trapezoidal;
Circular;
Parabólico, etc.

1
2
1
2
.
.
2
.
.
3
2 2
/
3
2
/
3
h
h
h
h
g
A
Cd
Q



e adotando h1=0 e h2 = h a eq anterior fica:
0
0
.
.
2
.
.
3
2 2
/
3
2
/
3



h
h
g
A
Cd
Q
sendo A=b.h //b=soleira e b
h
A

substituindo fica:
2
/
3
.
.
2
.
.
3
2
h
g
b
Cd
Q  Equação de DU Buat.
Que também se escreve da forma:
2
/
3
2
.
2
1
1 h
b
a
h
h
C
C
Q

















onde: C1 e C2 são coeficientes em função de h, g, cd, etc).
Vertedor triangular: Vertedor circular:
2
/
5
.
15
.
2
8
h
cd
g
Q  807
,
1
963
,
0
.
.
518
,
1 H
D
Q 
h
d
h
α Para α=900
Obs: indicado p/
carga muito
pequenas
h2
dh
Parede delgada
h
h1 L

30.HIDROMETRIA (Processos de medidas hidráulicas)
I - INTRODUÇÃO
 Definição: é uma das partes mais importantes da hidráulica, cuida das
questões tais como, medidas de profundidade, de variação de nível de
água, das seções de escoamento, das pressões, das velocidades das
vazões, ensaio de bombas, etc.
 Importância
 Quantificar a vazão disponível para projetos de irrigação;
 Controlar a vazão (volume) de água de irrigação a ser aplicada em
projetos (racionalizar o uso da água);
 Quantificar a vazão disponível para acionar uma roda d’água ou
carneiro hidráulico;
 Sistemas de abastecimento de água e lançamento de esgoto;
 Instalações hidrelétricas.
 A escolha do método depende:
 Do volume do fluxo de água;
 Das condições locais;
 Do custo (existem equipamentos caros e outros simples e baratos);
 Da precisão desejada
II - MÉTODOS
1) CONDUTOS LIVRES (CANAIS)
a) MÉTODO DIRETO
 Volumétrico
 Gravimétrico (Alta precisão, usado como calibração de outros
métodos).
Utilização: Pequenas vazões (Q  10 L/s)
a-1) Volumétrico
Baseia-se no tempo gasto para que um determinado fluxo de água ocupe
um recipiente com volume conhecido.
t
Vol
Q  onde: Q ( L/s ) ; Vol ( L ) ; t ( s )

Importante: Realizar 3 repetições e obter a média
3
3
2
1 Q
Q
Q
Qméd


a-2) Gravimétrico
Consiste na pesagem de um determinado volume de água obtido em um
determinado tempo.
t
Vol
Q  mas,
Vol
Peso

 

Peso
Vol  
t
Peso
Q
*


Exemplo: Balança: 20 kg (massa no S.I) ou 20 kgf (peso no Sist.
Técnico)
Tempo: 10 s
b) MÉTODO DO FLUTUADOR
Através de flutuadores (pode ser utilizada uma garrafa plástica,
bóia, etc.) determina-se a velocidade superficial do escoamento. Esta
velocidade superficial é, na maioria das vezes, superior a velocidade
média do escoamento. A velocidade média corresponde a 80/90% da
velocidade superficial. Multiplicando-se a velocidade média pela área
molhada (área da seção transversal por onde está ocorrendo o escoamento),
obteremos a vazão.
média
média A
V
Q *

10 a 20
litros

Determinação da área
Obs.: a seguinte equação nos dá o numero de verticais a serem levantadas
em função da largura do rio.
onde L é a largura do rio (m).
Determinação da velocidade
t
x
V



Ex.O flutuador demorou 20 s para percorrer do ponto 1 ao 2 (10m).
s
m
s
m
V 5
,
0
20
10


Continuando o exemplo anterior:
VMED = 0,85 x 0,5 m/s VMED = 0,425 m/s
Supondo uma área da seção transversal igual a 1,5 m2
:
Q = 0,425 m/s x 1,5 m2
Q = 0,64 m3
/s ou Q = 640 L/s
A
A área é determinada por
batimetria
A determinação em escritório, é feita utilizando-se
planímetros, papel milimetrado, etc
1 2
10 m
-Fazer 3 repetições
-Trecho mais reto e uniforme
-Baixa precisão
Vmáx
Vméd
V  0
-0,6 h
-0,2 h
VMED = 0,85 . VSUP.

c) MÉTODO DO VERTEDOR
Vertedores são simples aberturas ou entalhes na parte superior de
uma parede por onde o líquido escoa. Podem ser instalados em cursos
d’água naturais ou artificiais.
Utilização: pequenos cursos d’água, canais. (Q  300
L/s)
L  largura da soleira
H  altura da lâmina de água que passa sobre a soleira
P  distância do fundo d’água à soleira
P’ profundidade do curso de água à jusante do vertedor
Alguns cuidados na instalação do Vertedor
- A soleira deve estar nivelada;
- Face de montante na verticale deve ser lisa;
- Paredes delgadas ou cantos em bisel;
- Não deve ser afogado. A água não deve escoar pela parede de jusante;
- P  2H ( P deve ser superior a 20 cm );
- 5 cm  H  60 cm;
- Escolher um trecho retilíneo, de pelo menos 3 m para a instalação do
vertedor;
- Fazer a medição de H 1,5 m antes do vertedor.
P
H
Soleira ou crista
Faces
H
P
1,5 m
P’
P’ < P
(vertedouro livre)

Tipos de Vertedores e suas equações para a determinação da vazão
1- Vertedor Triangular:
 Maior precisão para pequenas vazões
2- Vertedor Retangular
2.1 – Com duas contrações laterais
 As contrações ocorrem nos vertedores cuja largura é inferior à
largura do curso d’água.
2.2 - Sem contração lateral
H
Q = 1,4 . H5/2
( Q = m3
/s ; H = m ;  = 90º
)
H
L
Q = 1,84 . L . H3/2
(Q = m3
/s ; H = m ; L = m )
H
L
Q = 1,85 . L . H3/2
(Q = m3
/s ; H = m ; L = m )

2.3 - Vertedor trapezoidal (CIPOLETTI)
2.4 - Vertedor circular
d) MEDIDOR “WSC FLUME” ( Calha )
 Muito utilizado para medir a vazão em sulcos de irrigação ou canais.
Neste equipamento, a água praticamente não se eleva ( represamento ) à
montante do ponto de instalação. Por este motivo é muito utilizado em
projetos de irrigação por superfície ( sulcos );
 São construídas em três tamanhos diferentes: pequena, média e
grande;
 Para a medição da vazão, somente a leitura de uma régua graduada em
milímetros, encostada na parede lateral da entrada, é suficiente. A
leitura é convertida em vazão através de tabelas ou de prévia calibração
com outros métodos.
e) MOLINETES
 São pás ou hélices que giram impulsionadas pela velocidade de
escoamento;
 Estabelece-se uma proporcionalidade entre o número de voltas por
unidade de tempo e velocidade de escoamento;
 É necessário a determinação da área da seção de escoamento para a
determinação da vazão ( Q = A . V );
 Podem ser utilizados em condutos “livres” ou “forçados” ;
 São muito precisos na determinação da velocidade de escoamento.
H
L
Q = 1,86 . L . H3/2
(Q = m3
/s ; H = m ; L = m )
inclinação: 1:4
4
1
D
H
Q = 1,518 . D0,963
. H1,807
(Q = m3
/s ; H = m ; D = m )
Q = a . Hb
a , b  coeficientes experimentais, H  altura ( cm ), Q  vazão ( l/s )

2) CONDUTOS FORÇADOS (Tubulações)
f) MÉTODO DIRETO
 Volumétrico
 Gravimétrico (Alta precisão, usado como calibração de outros
métodos).
Utilização: Pequenas vazões (Q  10 L/s)
MÉTODO DO VENTURI ( Venturímetro)
É um medidor “diferencial”
Ou:
 1  2
Q 
h
x
 1  2
Q 
h
h1
h2





















2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
.
.
.
.
.
2
.
P
P
A
A
A
A
g
Cd
Q 











2
1
.
.
P
P
K
Cd
Q
h
K
Cd
Q 
 .
.
Exemplo Venturi :
D1 = 31,75 mm (0,03175 m) ; D2 = 15 mm (0,015 m) ; Cd = 0,98





































 2
1
4
2
2
2
2
.
1
.
2
.
4
.
.
P
P
D
D
g
D
Cd
Q h
K
Cd
Q 
 .
.
K = 0,000803 Cd = 0,98 portanto:
h
Q 
 *
000803
,
0
*
98
,
0 h
Q 
 *
000787
,
0
g) MÉTODO DO ORIFÍCIO ( Diafragma )
Medidor Diferencial
Obs.: O diâmetro do orifício deve ser da ordem de 30% a 80% do
diâmetro do tubo.
h
g
A
Cd
Q 
 .
.
2
.
. 2
Q = m3
/s
h = m
Q   1  2
D2
D1
h1
h2
h
D1 D1/2
Q = m3
/s
A2 = m2
h = m

Orifício ou Diafragma
A = 3,14 x 10-4
m2
Cd = 0,63
   
h
g
Q 
 
*
2
*
10
*
14
,
3
*
63
,
0 4
h
Q 
 *
000876
,
0
Exemplo: h = 10 cm (0,10 m)
Q = 0,000277 m3
/s ou Q = 0,28 L/s
h) ROTÂMETRO ( Medidor de área variável)
Obs.: O rotâmetro deve ser instalado sempre em
tubulações na vertical e com fluxo ascendente.
i) MEDIDOR ELETRONICO DE PÁS
Existem modelos com leituras digital ou direta.
Q 

33. LISTA 10 EXERCÍCIOS (Hidrometria)
01 - Um vertedor retangular, sem contração lateral, tem 1,25 m de
soleira (largura) e esta fica 70 cm distante do fundo do curso d’água.
Sendo 45 cm a carga do vertedor, calcular sua vazão.
Resposta: Q = 0,698 m3
/s ou 698 litros /s
02 - Determinar a descarga ( vazão ) de um vertedor retangular, com 2,5 m
de soleira, situado no centro de um curso d’água com 4 m de largura, para
uma carga de 0,35 m sobre a soleira. A distância da soleira ao fundo do
curso d’água é de 0,90 m. Resposta: Q = 0,95 m3
/ s
03 - A vazão de 850 litros /s ocorre em um vertedor cipolletti
(trapezoidal), sob carga de 37,8 cm. Calcular a largura que a lâmina de
água terá sobre a soleira. Resposta: L = 1,97 m.
04 - Deseja-se construir um vertedor trapezoidal (Cipolletti) para medir
uma vazão de 2m3
/s. Determine a largura da soleira deste vertedor, para
que a altura d’água sobre a soleira NÃO ultrapasse a 60 cm.
Resposta: L = 2,31 m.
05 - Qual a descarga (vazão) de um vertedor triangular, de 90, sob uma
carga de 15 cm ? Resp. 12,2l/s
06 - Um flutuador leva 1,5 minuto para percorrer 35 metros em um canal
retangular. Sabendo que o canal tem uma largura de 3,5 m e a lâmina
d’água no interior deste é de 2,0m, calcule a provável vazão deste canal
( Considerar Vmédia = 0,85 . Vsuperf ). Resposta: Q = 2,31 m3
/ s
1,25 m
70 cm
45 cm
0,35m
2,5m
4,0m
0,9m
H
L
H = 37,8 cm
L = ?

34. Lista 11. EXERCÍCIOS
(Conduto Forçado por Gravidade e Perda de Carga Contínua)
01 - Admite-se que uma tubulação de ferro fundido com D = 600 mm,
prevista para 35 anos de uso (C = 90), tenha a perda de carga unitária de
24 m / km. Com a fórmula de Hazen-Williams, obter a velocidade média e a
vazão da água nessa tubulação.
Respostas: V = 3,08 m/s Q = 0,87014 m3
/s
02 - A água escoa em tubos de PVC com 50 mm de diâmetro, à
velocidade média de 1,6 m/s. Calcular a vazão e a perda de carga
unitária, segundo a fórmula de Flamant.
Respostas: J = 0,05198 m/m Q = 0,00314 m3
/ s
03 - Em certa tubulação de PVC com 50 mm de diâmetro, mede-se a perda de
carga unitária J = 0,0212 m / m. Utilizando a fórmula de Flamant,
calcular a velocidade média e a vazão.
Respostas: V = 0,96 m/s Q = 0,00188 m3
/s.
04 - Calcular o diâmetro de uma tubulação de aço (C = 130 (Equação de
Hazen-Williams)) que veicula uma vazão de 250 l/s, com uma perda de
carga de 1,7 m / 100 m. Calcular também a velocidade.
Respostas: D = 0,3487 m V = 2,6 m/s.
05 - Para o abastecimento de água de uma grande fábrica, será executado
uma linha adutora com tubos de ferro fundido novo ( C = 130 ) numa
extensão de 2.000 m. Dimensionar a canalização com capacidade para 25
l/s. A cota do nível da água na barragem de captação é 615 m e a cota na
entrada do reservatório de distribuição é de 599,65 m.
Resposta: D = 0,1711 m.
06 - Calcular o volume d’água que pode ser obtido diariamente com uma
adutora de ferro fundido usada ( C = 90 ), com 200 mm de diâmetro e 3.200
m de comprimento, alimentada por um reservatório cujo nível está na cota
338 m. O conduto descarrega no ar e a sua extremidade está na cota 290 m.
Resposta: V = 1,19 m/s e Q = 0,0374 m3
/s . Portanto, em 1 dia:
Volume = 3 231,36 m3

35. Dimensionamento de canais
O escoamento de superfície livre é provavelmente o fenômeno de
escoamento mais comumente encontrado na superfície da
terra. Correntes de rios e escoamento de água da chuva são
exemplos que ocorrem na natureza. As situações induzidas
pelo homem incluem escoamentos em canais e galerias
pluviais, drenagem sobre materiais impermeáveis, tais como
telhados e áreas de estacionamento. Em todas essas
situações o escoamento se caracteriza por uma interface
entre o ar e a superfície da água, chamada superfície
livre, nela a pressão é constante e, para quase todas as
situações, é atmosférica.
I - DIMENSIONAMENTO
a) Equação da Resistência
2
1
3
2
.
. J
R
K
V  (STRICKLER) 2
1
3
2
.
.
1
J
R
n
V  (MANNING)
b) Equação da Continuidade
Q = A.V
Onde:
Q = Vazão ( m3
/s );
A = Área da seção molhada ( m2
);
K = Coeficiente de rugosidade de Strickler;
n = Coeficiente de rugosidade de Manning;
V = Velocidade de escoamento ( m/s );
R = Raio hidráulico ( m )  R = A / P ( P = Perímetro molhado
);
J = Declividade do fundo ( m/m ).
Existem basicamente dois casos distintos para resolução de problemas
envolvendo condutos livres:
CASO I :
Dados: K, A, R , J  Deseja-se conhecer: Q ou V
Dados: K, A, R , Q  Deseja-se conhecer: J
Neste caso, a solução é encontrada com a aplicação direta da equação:

2
1
3
2
.
.
. J
R
K
A
Q  ou
n
A
J
R
Q
.
2
/
1
.
3
/
2
  Lembrar que: Q = A.V
CASO II :
Dados: Q, K, J  Deseja-se conhecer: A Seção do Canal (A, R )
Neste caso, existem três maneiras de se solucionar o problema:
 MÉTODO DA TENTATIVA (será utilizado em Hidráulica);
 Algebricamente;
 Graficamente.
MÉTODO DA TENTATIVA:
2
1
3
2
.
.
. J
R
K
A
Q  
2
1
3
2
.
.
J
K
Q
R
A 
Existem diversas combinações de GEOMETRIA que satisfazem os dados
fornecidos. SOLUÇÃO: Fixar b ou h.
ou
36. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
As seções transversais dos canais podem ser consideradas regulares
ou irregulares, a forma de canal mais simples é a de seção retangular. O
canal trapezoidal é, muitas vezes utilizado, em condições onde se tem
problemas de estabilização dos taludes.
b
h
b
h
Dados conhecidos
m.h
m.h
b
B
h
1
m
Talude :
m
1
Talude:

Tabela: Equações de área, perímetro molhado raio hidráulico e largura de
algumas figuras geométricas.
Forma da seção
Área (A)
( m2
)
Perímetro
molhado (P)
( m )
Raio hidráulico
(R) ( m )
Largura do
Topo (B)
( m )
h
b.
h
b .
2
 h
b
h
b
P
A
.
2
.








b
 h
h
m
b .
.

2
1
.
.
2 m
h
b 
 P
A
h
m
b .
.
2

2
.h
m 2
1
.
.
2 m
h  P
A
h
m.
.
2
  2
.
sen
.
8
1
D

 
RAD


2
.D
 D
.
sen
1
.
4
1









D
.
2
sen 




 
8
2
.D

2
.D

2
4
h
D

h
D .
2

Obs.:  
D
h
.
2
1
arccos
.
2 

 , onde  deve ser calculado em radianos.
b
h
h
b
1
m
h
1
m
h
D
h
B = D
h = D/2

III - INFORMAÇÕES IMPORTANTES
a) Declividade de canais:
Vazão ( m3
/s) Declividade ( % ) Porte
> 10 0,01 a 0,03 Grande
3 a 10 0,025 a 0,05 Mediano
0,1 a 3 0,05 a 0,1 Pequeno
< 0,1 0,1 a 0,4 Muito pequeno
b) Inclinação dos Taludes (valores de m):
Material das paredes
Canais pouco profundos
( h < 1 m ) Canais profundos
( h > 1 m)
Rochas em boas condições
0 0,25
Argilas Compactas 0,5 1,0 ou 0,75
Limo Argiloso 1,0 1,0 ou 1,50
Limo Arenoso 1,5 2,0
Areias Soltas 2,0 3,0
c) Limites de velocidade:
Material Velocidade máxima ( m/s )
Terreno Arenoso Comum 0,76
Terreno de Aluvião 0,91
Terreno Argila Compacta 1,14
Cascalho grosso , Pedregulho, Piçarra 1,83
Concreto 6,00

d) Coeficiente de Rugosidade de Strikler ( K )
Material K ( m1/3
/ s )
Concreto 60 a 100
Tubos de Concreto 70 a 80
Asfalto 70 a 75
Tijolos 60 a 65
Argamassa de cascalho ou britas 50
Pedras assimétricas 45
Canal aberto em rocha 20 a 55
Canal em Terra ( sedimentos médios) 58 a 37
Canal gramado 35
e) Folga ou borda-livre
f) Canal de máxima eficiência hidráulica
Um canal é chamado de Max. Efic. Quando
transporta uma máxima vazão por unidade de
área.
Dimensões do canal:
Tipo de
canal
Area Perímetro Raio hidráulico
retangular 2.y2 4.y
Trapezoidal
Base menor do canal b = 2.y
h
folga
 Folga  20 cm ( mínima )
 Folga = 0,2 h ( 20% de h )

37. EXERCÍCIO RESOLVIDO (CANAIS)
1 - Um projeto de irrigação precisa de 1.500 litros / s de água, que
deverá ser conduzida por um canal de concreto, com bom acabamento ( K =
80 ). A declividade do canal deverá ser de 1 %0 e sua seção trapezoidal
com talude de 1 : 0,5 ( V : H ). Qual deve ser a altura útil do canal,
se sua base for de 60 cm.
Dados:
Canal de seção trapezoidal
Q = 1.500 litros / s = 1,5 m3
/ s
K = 80 ( coef. de rugosidade de STRICKLER )
J = 1 %o = 0,1 % = 0,001 m/m
m = 0,5 ( talude da parede do canal )
b = 60 cm = 0,6 metros.
h = ?
Q = A.V (Eq. Continuidade) V = K.R2/3
.J1/2
(Eq. de Strickler)
Portanto: Q = A.K.R2/3
.J1/2
  2
/
1
3
2
/
1
3
/
2
001
,
0
.
80
/
5
,
1
.
.
s
m
J
K
Q
R
A 
 593
,
0
. 3
/
2

R
A
Solução: Resolvendo pelo Método da Tentativa, devemos encontrar um valor
de h que satisfaça a condição de: 593
,
0
. 3
/
2

R
A . Para isto, montamos a
seguinte tabela auxiliar:
h h
h
m
b
A ).
.
( 
 2
1
.
2 m
h
b
P 


R=A/P R2/3
A.R2/3
Valor
conhecido
1,00 1,10 2,84 0,387 0,531 0,584 < 0,593
1,20 1,44 3,28 0,439 0,577 0,832 > 0,593
1,05 1,15 2,95 0,390 0,534 0,614 > 0,593
1,02 1,12 2,88 0,389 0,533 0,597 > 0,593
1,01 1,11 2,86 0,388 0,532 0,591  0,593
Supor h = 1,0 m logo A =   1
1
5
,
0
6
,
0 x
x
 = 1,10 m2
P =  2
5
,
0
1
1
2
6
,
0 
 x
x = 2,84 m
R = A / P = 1,10 / 2,84 = 0,387
h = 1,01 m V = Q / A = 2
3
11
,
1
/
5
,
1
m
s
m
= 1,35 m/s ok!!
(VMáx = 6,0 m/s) Folga = 0,20 x 1,01 m Folga = 0,20 m
h = ?
folga
b= 0,6m
1
m = 0,5

38. Lista 12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS (CANAIS)
1. Dimensionar um canal de seção retangular para escoar uma vazão de
25m3
/s, com declividade de 0,003m/m e rugosidade Manning igual a 0,03.
Utilizar critério de máxima eficiência onde A=2y2
, P=4.y e R=y/2. o
critério de máxima eficiência hidráulica considera menor volume de
escavação do canal.
Resp.: y = 2,45m, b = 4,9m.
2 - Calcular a Vazão transportada por um canal revestido de nata de
cimento (n = 0,012 ou K = 83) tendo uma declividade de 0,3%o . As
dimensões e forma estão na figura abaixo. Verificar o valor da velocidade
média de escoamento.
3 - Calcular a vazão transportada por um canal de terra dragada (n =
0,025), tendo declividade de 0,4%o . As dimensões e formas estão na
figura abaixo.obs. m=1,5
4 - Calcular a vazão transportada por um tubo de seção circular,
diâmetro de 500 mm, construído em concreto (n = 0,013). O tubo está
trabalhando à meia seção, em uma declividade é de 0,7%.
5 – Um canal de concreto mede 2m de largura e foi projetado para
funcionar com uma profundidade útil de 1m. A declividade é de 0,0005 m/m.
Determinar: vazão e velocidade da água no canal.
Resp.: Q = 2,17m3
/s e V = 1,08m/s.
b = 4,0 m
h = 2,0 m
h = 1,6 m
b = 1,20 m
1
1,5
D
h

6- Qual a profundidade de escoamento num canal trapezoidal (m=1) que aduz
uma vazão de 2,4m3
/s e com velocidade de escoamento de 0,81m/s? Dados:
n=0,018, b=2m e I=0,0004m/m.
Resp.: y = 1 m
7- Um canal de drenagem em más condições e fundo de barro (n=0,02), com
m=1, I=40cm/km. Foi dimensionado para uma vazão Q, tendo-se chegado às
dimensões da figura abaixo: Resp.: Q = 3,37m3
/s
8 - Um canal de forma trapezoidal com taludes laterais com m=1,5 deve dar
escoamento a 45m3
/s. quais as dimensões do canal tendo o mesmo um
comprimento de 10km sendo 1,3m a diferença de cota entre seus extremos.
Impõe-se como condição do problema que o fundo do canal deve ter b=15m
obs: k=40,81. Resp.: h=2,9m e B=23,7m.
9 – Um canal de concreto mede 2,5m de largura e foi projetado para
funcionar com uma profundidade útil de 1,5m. A declividade é de 0,0005
m/m. Determinar: vazão e velocidade da água no canal.
10 - Calcular a Vazão transportada por um canal revestido de argamassa de
cascalho tendo uma declividade de 0,035% . As dimensões e forma estão na
figura abaixo. Verificar o valor da velocidade média de escoamento.
11 - Um canal de forma trapezoidal com taludes laterais com m=1,5 deve
dar escoamento a 20m3
/s. quais as dimensões do canal tendo o mesmo um
comprimento de 10km sendo 1,2m a diferença de cota entre seus extremos.
Impõe-se como condição do problema que o fundo do canal deve ter b=15m
obs: k=40,81.
12 – Um canal de concreto mede 1,5m de largura e foi projetado para
funcionar com uma profundidade útil de 2,0m. A declividade é de 0,0003
m/m. Determinar: vazão e velocidade da água no canal.
h = 1,5 m
b = 1,66 m
b = 2,0 m
h = 2,0 m

39. ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES
Obs: Rios e canais é o melhor exemplo de condutos livres.
40. PERDAS DE CARGA:
É a “perda de energia na forma de calor, ou seja, parte da energia
disponível se dissipa na forma de calor”.
L
j
hf .

Onde: hf é a perda de carga continua, j é a perda de carga unitária (m m-
1
) e L é o comprimento da tubulação.
Classificação das perdas de carga:
Perda de carga continua (hf). Ocasionada pelo movimento da água na
tubulação.
Perda de carga localizada (hfLoc.) . Provocada pelas peças especiais; por
exemplo registros, curvas, etc.
V1
2
/2g
V2
2
/2g
P1/γ
P2/γ
Z1
Z2
hf = j. L
Plano de referência
Canalização
Linha Piezométrica
Linha Energética
Corte A
A’
Pressão
A
A’
B
B’

Dimensionamento das Tubulações das Redes de Irrigação
Etapas de um projeto de irrigação ou de um sistema de bombeamento:
Dimensionamento da tubulação.
É possível se conhecer o regime de fluxo em uma tubulação por meio de um
parâmetro adimensional denominado numero de Reynolds (Re), que se obtém
mediante a relação:

VD

Re
Onde: V é velocidade média do fluxo, D é o diâmetro da tubulação e ν é a
viscosidade cinemática do liquido.
Com base em resultados experimentais
Re < 2000..................... Regime laminar;
Re > 4000..................... Regime turbulento;
2000 <= Re <= 4000.... Regime crítico.
Perda de carga continua (hf). Ocasionada pelo movimento da água na
tubulação.
Equações:
a) Darcy-Weisbach (Equação Universal)
L
j
Q
D
L
f
g
V
D
L
f
hf .
0826
,
0
2
2
5
2



Onde
hf = perda de carga (m);
f = fator de atrito (adimensional), depende em geral do número de
Reynolds (Re=V D υ-1
) e da rugosidade relativa (K D-1
);
V = velocidade média na seção (m s-1
);
D = diâmetro interno do tubo (m);
υ = viscosidade cinemática da água (1,14.10-6
m2
s-1
, para água a 15°C);
K = rugosidade absoluta do tubo (K=0,15 mm para aço galvanizado novo);
L = comprimento da tubulação (m);
g = aceleração da gravidade (9,81 m s-2
);
Q = vazão em (m3
s-1
).
Para regime laminar o fator de atrito pode ser calculado pela equação
Re
64

f (Hagen-Pouseuille) o qual depende exclusivamente das propriedades
do fluido, do diâmetro do tubo e da velocidade do escoamento.

Para regime turbulento usa-se a equação de White-Colebrook:











f
D
K
f Re
51
,
2
71
,
3
/
log
2
1
Ver diagrama de Moody no apêndice.
Onde K é rugosidade absoluta em função do tipo de material.
Material da tubulação Rugosidade absoluta (K, mm)
Polietileno 0,002
PVC 0,02
Aço 0,06-008
Cimento amianto 0,07-0,08
Concreto 0,3-0,5
Ferro fundido 0,25-0,6
Uma boa aproximação de f se consegue com a equação de Swamer e Jain
(1976):
2
9
,
0
Re
51
,
2
7
,
3
/
log
25
,
0














D
K
f
obs: Válida para 10-6
< K/D < 10-2
e 103
< Re < 108
, com erro relativo de
+-1%, apresentado erros inferiores a 0,5% para 10-5
< K/D < 10-3
e 104
< Re
< 107
.
Uma outra maneira para qualquer valor de Re e tipo de tubo pode-se obter
utilizando a equação desenvolvida por Churchill (1977):
 
12
1
5
,
1
12
1
Re
8
8









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