A transformada de ondaletas extrai informação sobre o conteúdo espectral de séries temporais em função do tempo e do período de oscilação de forma localizada. Esta apresentação introduz alguns conceitos da análise de ondaletas e testes de significância aplicados a séries temporais. Também compartilhamos o código passo-a-passo das análises realizadas em https://github.com/nublia/data-science-playground/blob/master/nb/analise_espectral_series_temporais_ondaletas.ipynb.

1. An´alise espectral de s´eries temporais
atrav´es de ondaletas
Sebastian Krieger
sebastian@nublia.com
Grupy / SciPy–SP Meetup
29 de julho de 2017

2. Introduc¸ ˜ao
S´eries temporais
1952
1962
1972
1982
1992
2002
2012
Date
0
500
1000
1500
2000
2500
Close
• O que s˜ao s´eries temporais?
• Que s´erie temporal ´e essa?
• Que propriedades s´eries temporais possuem?
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 2 / 26

3. Introduc¸ ˜ao
O que vocˆes sentem?
f (t) =
1
2π
+∞
−∞
ˆf (ω) eiωt
dω
ˆf (ω) =
+∞
−∞
f (t) e−iωt
dt
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 3 / 26

4. Introduc¸ ˜ao
O que ´e ciˆencia de dados
Conjunto de habilidades de cientistas de dados, design por Natalia Bilenko. Fonte: The Berkeley Science Review.
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 4 / 26

5. Introduc¸ ˜ao
Contexto
big data
analytics
ciˆencia de dados
aprendizagem de m´aquina
inteligˆencia artificial
(Adaptado de Mason, H.)
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 5 / 26

6. Sum´ario
1 Introduc¸ ˜ao
2 M´odulo PyCWT
3 Exemplos
4 Conclus˜oes
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 6 / 26

7. S´eries temporais
Exemplo: S&P 500
1952
1962
1972
1982
1992
2002
2012
Date
0
500
1000
1500
2000
2500
Close
Fonte dos dados: Yahoo Finance https://finance.yahoo.com/quote/%5EGSPC/history
• ´Indice composto por quinhentos ativos (ac¸ ˜oes) cotados nas
bolsas de Nova York (NYSE ou NASDAQ)
• Reflete a valorizac¸ ˜ao de aproximadamente 80 % do mercado
de capitais norte-americano
• Esta s´erie ´e di´aria e abrange o per´ıodo entre 01 de marc¸o de
1950 e 26 de julho de 2017
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 7 / 26

8. S´eries temporais
Exemplo passo-a-passo
• Acompanhe os resultados no bloco de notas Jupyter
github.com/nublia/data-science-playground
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 8 / 26

9. S´eries temporais
Exemplo: S&P 500 transformada, sem tendˆencia, desvio padr˜ao, suavizada
1
9
5
2
1
9
6
2
1
9
7
2
1
9
8
2
1
9
9
2
2
0
0
2
2
0
1
2
Date
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
ln(Close)-Trend
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 9 / 26

10. Transformada de Fourier
(FOURIER, 1808)
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 10 / 26

11. Transformada de Fourier
• A an´alise de Fourier aproxima uma func¸ ˜ao peri´odica em uma
soma de func¸ ˜oes harmˆonicas com frequˆencias distintas.
f (t) =
1
2π
+∞
−∞
ˆf (ω) eiωt
dω (1)
• A integral de Fourier d´a a intensidade (amplitude) das
oscilac¸ ˜oes na func¸ ˜ao analisada.
ˆf (ω) =
+∞
−∞
f (t) e−iωt
dt (2)
• Importante ferramenta para o processamento de sinais.
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 11 / 26

12. Transformada de Fourier
Exemplos de espectros de func¸ ˜oes distintas
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tempo [anos]
−2
−1
0
1
2
a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tempo [anos]
b)
0 80 160 240 320 400 480 560 640
Per´ıodo [dias]
10−5
10−3
10−1
101 c)
0 80 160 240 320 400 480 560 640
Per´ıodo [dias]
d)
Comparac¸ ˜ao entre o espectro de dois sinais peri´odicos com mesmas frequˆencias. O sinal em (a) ´e composto pela soma
de dois sinais harmˆonicos representando um fenˆomeno com um ciclo anual e um ciclo semi-anual, e em (b) pelos
mesmos sinais harmˆonicos mas com ocorrˆencia em intervalos distintos e o dobro da amplitude. Em (c) e (d) os
respectivos espectros de potˆencia normalizados. Adaptado de Kumar e Foufoula-Georgiou (1997).
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 12 / 26

13. Transformada de ondaletas
• A transformada de Fourier projeta determinado sinal no
espac¸o de func¸ ˜oes harmˆonicas;
f(t) ⇔ ˆf(ω)
• Existem outros tipos de func¸ ˜ao que podemos utilizar? Sim.
• Qualquer func¸ ˜ao ψ pode ser utilizada? N˜ao. Elas devem
satisfazer algumas caracter´ısticas:
• M´edia zero;
• Norma um;
• . . .zzzZZZ
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 13 / 26

14. Transformada de ondaletas
Exemplos de ondaletas
−3.0 −1.5 0.0 1.5 3.0
t/s
−0.8
0.0
0.8
ψ
a) Morlet, ψMo
−3.0 −1.5 0.0 1.5 3.0
t/s
b) Chap´eu mexicano, ψMe
−1.6 −0.8 0.0 0.8 1.6
sω/(2π)
0.0
0.3
0.6
ˆψ
c) ˆψMo
−1.6 −0.8 0.0 0.8 1.6
sω/(2π)
d) ˆψMe
(a) Parte real (linha cont´ınua) e imagin´aria (linha tracejada) da ondaleta de Morlet ψMo
com ω0 = 6, e (b) ondaleta
chap´eu mexicano ψMe
com σ = 1. Nos pain´eis (c) e (d) as respectivas transformadas de Fourier ˆψMo
e ˆψMe
.
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 14 / 26

15. Transformada de ondaletas
Vocˆes ainda est˜ao a´ı?
• A transformada de ondaletas projeta um sinal em uma
combinac¸ ˜ao linear de func¸ ˜oes localizadas e em diferentes
escalas.
• Transformada de ondaletas cont´ınua (continuous wavelet
transform) em func¸ ˜ao da escala s e do tempo u ´e
Wf (u, s) = f, ψu,s =
+∞
−∞
f (t) ψ∗
u,s (t) dt , (3)
• Vers˜oes transladadas e escalonadas da ondaleta-m˜ae
ψu,s (t) =
1
√
s
ψ
t − u
s
s > 0 . (4)
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 15 / 26

16. Transformada de ondaletas
Exemplos de ondaletas-m˜ae escalonadas
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
t
−0.5
0.0
0.5
ψMo(s,t)
−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
ω/(2π)
0.00
0.25
0.50
0.75
ˆψMo(s,ω)
s = 0.75
s = 1
s = 1.25
Parte real da ondaleta de Morlet (ω0 = 6) e sua transformada de Fourier em diferentes escalas: s < 1 (linha tracejada),
s = 1 (linha cont´ınua), s > 1 (linha trac¸o-ponto). Note o efeito da dilatac¸ ˜ao e contrac¸ ˜ao da ondaleta sob seu espectro
de Fourier e a relac¸ ˜ao entre frequˆencia e escala.
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 16 / 26

17. Transformada de ondaletas
Exemplos de espectro de ondaletas
200
400
600
Per´ıodo[dias]
a) b)
10−3.0
10−2.0
10−1.0
100.0
200
400
600
Per´ıodo[dias]
c) d)
−π
−π
2
0
+π
2
+π
0.0 2.5 5.0 7.5
Tempo [anos]
0.0 2.5 5.0 7.5
Tempo [anos]
−
Escalogramas normalizados 1
s
|W f (u, s)|2
dos sinais peri´odicos – (a) e (b) – adotando a ondaleta Morlet (ω0 = 6).
Em (a) as frequˆencias dominantes ocorrem durante todo o intervalo e em (b) as frequˆencias ocorrem em intervalos
distintos. Em (c) e (d) os respectivos diagramas de fase. Note em (d) como, na metade do intervalo observa-se um ponto
de descontinuidade – as fases convergem. Adaptado de Kumar e Foufoula-Georgiou (1997).
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 17 / 26

18. Transformada de ondaletas
Exemplos do espectro de ondaletas
−
200
400
600
Per´ıodo[dias]
e) f)
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
0.0 2.5 5.0 7.5
Tempo [anos]
200
400
600
Per´ıodo[dias]
g)
0.0 2.5 5.0 7.5
Tempo [anos]
h)
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
Em (e) e (f) a parte real ℜ (W f (u, s)) e em (g) e (h) a parte imagin´aria ℑ (W f (u, s)) das transformadas de
ondaleta dos sinais. Adaptado de Kumar e Foufoula-Georgiou (1997).
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 18 / 26

19. Transformada de ondaletas
Testes de significˆancia
A Practical Guide to
Wavelet Analysis
Christopher Torrence and Gilbert P. Compo
Program in Atmospheric and Oceanic Sciences, University of Colorado, Boulder, Colorado
ABSTRACT
A practical step-by-step guide to wavelet analysis is given, with examples taken from time series of the El Niño–
Southern Oscillation (ENSO). The guide includes a comparison to the windowed Fourier transform, the choice of an
appropriate wavelet basis function, edge effects due to finite-length time series, and the relationship between wavelet
scale and Fourier frequency. New statistical significance tests for wavelet power spectra are developed by deriving theo-
retical wavelet spectra for white and red noise processes and using these to establish significance levels and confidence
(TORRENCE; COMPO, 1998)
• O espectro de ondaletas ´e mais que apenas uma figura
hipnotizante
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 19 / 26

20. M´odulo PyCWT
• Existe uma biblioteca Python que implementa as sugest˜oes de
Torrence e Compo (1998).
• Instale
$ pip install pycwt
• Contribua com o c´odigo fonte
github.com/regeirk/pycwt
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 20 / 26

21. An´alise de ondaletas
Exemplo passo-a-passo
Espectros de ondaleta e de Fourier da s´erie temporal S&P 500 transformada e detradada.
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 21 / 26

22. An´alise de ondaletas
Outro exemplo
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 22 / 26

23. Conclus˜oes
• A transformada de ondaletas projeta um sinal no espac¸o
quase-ortogonal de func¸ ˜oes localizadas e em diferentes
escalas:
f(t) ⇔ Wf (u, s)
• Permite identificar eventos peri´odicos ao longo do tempo;
• Pode ser utilizado em an´alises multi-dimensionais;
• Possui aplicac¸ ˜oes em processamento de sinais, tratamento de
imagens, compress˜ao de dados;
• Complementa a an´alise de Fourier;
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 23 / 26

24. Sugest˜ao de leitura
(MALLAT, 2008)
An´alise espectral de s´eries temporais atrav´es de ondaletas 24 / 26

25. Referˆencias
FOURIER, J.-B.-J. Sur la propagation de la chaleur dans les
corps solides. Nouveau Boulletin des Sciences, v. 1, n. 6, p.
112–116, 1808.
KUMAR, P.; FOUFOULA-GEORGIOU, E. Wavelet analysis for
geophysical applications. Reviews of Geophysics, v. 35, n. 4, p.
385–412, 1997.
MALLAT, S. A wavelet tour of signal processing: The sparse
way. 3. ed. Burlington, MA: Academic Press, 2008. 805 p. ISBN
978-0-12-374370-1.
TORRENCE, C.; COMPO, G. P. A practical guide to wavelet
analysis. Bulletin of the American Meteorological Society, v. 79,
n. 1, p. 61–78, 1998.
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26. Vocˆe tem algum problema de neg´ocio que quer
solucionar com ciˆencia de dados?
Vamos conversar.
Sebastian Krieger
sebastian@nublia.com