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1. Programa de Pós-Graduação em Tecnologia de
Processos Químicos e Bioquímicos
TRANSPORTE DE QUANTIDADE DE
MOVIMENTO
Fenômenos de Transporte – Viscosidade e os mecanismos de
quantidade de movimento
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha

2. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
MECÂNICA DOS FLUIDOS OU TRANSFERÊNCIA DE
FLUIDO (OU MOVIMENTO)
ciência que tem por
objetivo o estudo do
comportamento
físico dos fluidos e
das leis que regem
este comportamento.

3. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
FLUIDO: Toda substância que se deforma continuamente quando
submetida a esforços tangenciais, não importando o quão pequena
possa ser essa tensão. Todos os fluidos são amorfos, isto é, não têm
forma própria e sim a do recipiente que os contém (equilíbrio estático).

4. Gases são expansíveis (ocupam o volume total dentro de um recipiente).
Um certo volume de líquido nem um vaso de maior capacidade, ocupará
somente uma parte do vaso, igual ao seu próprio volume.
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
Os gases são facilmente compressíveis. Ao contrário dos líquidos.
Uma diferença muito importante entre líquido e gás é a miscibilidade. Os
líquidos nem sempre são miscíveis entre si. Os gases, ao contrário, sempre
se misturam homogeneamente entre si.

5. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
VISCOSIDADE: quantidade que descreve a resistência de um fluido ao
escoamento. Os fluidos resistem tanto aos objetos que se movem neles,
como também ao movimento de diferentes camadas do próprio fluido.
São específicas para cada fluido e depende da temperatura a que o
mesmo estiver exposto.
Propriedade física que caracteriza a resistência no fluxo do fluido

6. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
VISCOSIDADE DINÂMICA OU ABSOLUTA (µ): é aquela que é medida por um
sistema de geometria que não sofre influência da gravidade para a
obtenção desta medida. (unidade: M L-1 T-1 ou F L-2 T).
VISCOSIDADE CINEMÁTICA (ν): relaciona a viscosidade dinâmica () e a
massa específica (). Envolve somente o tempo e o comprimento, sendo
independente da força. (unidade: L-2 T-1).

7. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
OUTRAS FÓRMULAS
Massa específica:
 =
𝑚
𝑉
Peso específico:
 = 𝑔
Densidade relativa:
𝛿𝑟 =

á𝑔𝑢𝑎

8. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE (yx)
Fluido anterior ao movimento
Placa inferior colocada em movimento
Formação da velocidade em fluxo
estacionário
Distribuição da velocidade final em
fluxo estacionário

9. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE (yx)
“A relação entre a tensão de cisalhamento e o gradiente local de
velocidade é definida por meio de uma relação linear, sendo a constante
de proporcionalidade, a viscosidade do fluido.”
LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON
 
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑦𝑥 = −
𝑑𝑣𝑦𝑥
𝑑𝑦

10. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
EXEMPLO 1
Calcular a densidade de fluxo da quantidade de movimento em
estado estacionario, expresada en kgf m-2, quando a velocidade da
lâmina inferior, na direção positiva de x, é 0,3 m s-1, a distância
entre as Iâminas é de 0,0003 m e a viscosidade do fluido de
7,14x10-5 kgf s m-2.

11. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
FLUIDO IDEAL: a viscosidade é nula; escoa sem perdas por atrito com as
paredes do condutor (não há tensão de cisalhamento).
FLUIDO NEWTONIANO: comportamento linear e segue o modelo de
newton.
FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS: a tensão de cisalhamento não é
diretamente proporcional ao gradiente de velocidade. Se dividem em
independentes e dependentes do tempo.

12. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
FLUIDOS
Newtoniano
Não Newtoniano
Viscoelásticos
Dependentes do
Tempo
Reopéticos
Tixotrópicos
Independentes do
Tempo
Sem tensão de
cisalhamento inicial
Dilatantes
Pseudoplásticos
Com tensão de
cisalhamento inicial
Plásticos de
Binghan
Casson
Plástico

13. FLUIDOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
(Solução de açúcar e amido)
(Cimento e massa cerâmica)
(Sangue e Iogurte)
(Chocolate, manteiga e margarina)
(Ar, óleo e água)
(Pasta de dente)
𝒅𝒖
𝒅𝒚

14. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
FATORES QUE ALTERAM A VISCOSIDADE :
 Temperatura
 Pressão
 Taxa de cisalhamento
 Tempo
 Composição

15. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
FATORES QUE ALTERAM A VISCOSIDADE :
 Temperatura

16. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
FATORES QUE ALTERAM A VISCOSIDADE :
 Pressão

17. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
FATORES QUE ALTERAM A VISCOSIDADE :
 Composição

18. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
Dependente do Tempo
Tixotrópicos – viscosidade aparente diminui com o tempo de
aplicação da tensão ⇒ os fluidos tornam-se mais pseudo-plásticos.
Para uma dada tensão de corte, a velocidade aumentará com o tempo,
podendo provocar uma ruptura do material (progressiva).
EX.: tintas de pintar e escrever
Reopéxicos – viscosidade aparente aumenta com o tempo de
aplicação da tensão ⇒ os fluidos tornam-se mais dilatantes.
EX: suspensões de gesso em água

19. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
FATORES QUE ALTERAM A VISCOSIDADE :
 Taxa de cisalhamento
(): razão entre a o módulo da componente tangencial da força (Ft) é a área
da superfície (A) sobre a qual a força está sendo aplicada. (unidade: F L-2).

20. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
VISCOELÁSTICOS:
 Propriedades viscosas e elásticas

21. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
VISCOELÁSTICOS:

22. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE (yx) - FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS
“Conforme a reologia”
Reologia inclui mecânica dos fluidos newtonianos e a lei de elasticidade de
Hooke (deformação).
η = −𝐾
𝑑𝑣𝑦𝑥
𝑑𝑦
K : índice de consistência do fluido
n : inclinação da curva.
“modelo de Ostwald de Waele”
𝑦𝑥 = −η
𝑑𝑣𝑦𝑥
𝑑𝑦
n-1

23. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE (yx) - FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS
PSEUDOPLÁSTICO
São substâncias que, em repouso, apresentam
suas moléculas em um estado desordenado, e
quando submetidas a uma tensão de
cisalhamento, suas moléculas tendem a se
orientar na direção da força aplicada. E quanto
maior esta força, maior será a ordenação e,
consequentemente, menor será a viscosidade
aparente. Ex.: polpa de frutas, caldos de
fermentação, melaço de cana.
η diminui com o aumento do gradiente de
velocidade

24. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE (yx) - FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS
DILATANTE
São substâncias que apresentam um aumento de
viscosidade aparente com a tensão de
cisalhamento. No caso de suspensões, à medida
que se aumenta a tensão de cisalhamento, o
líquido intersticial que lubrifica a fricção entre as
partículas é incapaz de preencher os espaços
devido a um aumento de volume que
frequentemente acompanha o fenômeno.
Ocorre, então, o contato direto entre as
partículas sólidas e, consequentemente, um
aumento da viscosidade aparente. Ex.:
suspensões de amido, soluções de farinha de
milho e açúcar, silicato de potássio e areia.
η aumenta com o redução do gradiente de
velocidade

25. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
OUTROS MODELOS MATEMÁTICOS
- modelo de Ostwald de Waele: n = 1 : η = µ (fluido Newtoniano)
- modelo de Bingham:
𝑦𝑥 = −µ (
𝑑𝑣𝑦𝑥
𝑑𝑦
) ± 0 para 𝑦𝑥 0
O sinal positivo de 0 é utilizado quando 𝑦𝑥 é
positivo ou negativo, caso contrário.
Ex.: fluidos de perfuração de poços de
petróleo, algumas suspensões de sólidos
granulares.
(
𝑑𝑣𝑦𝑥
𝑑𝑦
) = 0 para 𝑦𝑥 0

26. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
OUTROS MODELOS MATEMÁTICOS
- modelo de Eyring:
Prediz o comportamento pseudoplástico para valores finitos de τyx, e
tende asintoticamente a lei da viscosidade de Newton cuando τyx tende a
zero, sendo neste caso µ= A/B.
- modelo de Ellis:
𝑦𝑥 = 𝐴 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( −
1
𝐵
𝑑𝑣𝑦𝑥
𝑑𝑦
)
−
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
= 𝜑0 + 𝜑1 𝜏𝑦𝑥
𝛼−1
𝜏𝑦𝑥

27. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
OUTROS MODELOS MATEMÁTICOS
- modelo de Reiner Philippoff
−
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
=
1
𝜇∞ +
𝜇0 − 𝜇∞
1 +
𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑠
2
𝜏𝑦𝑥

28. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
TABELAS DE VISCOSIDADE

29. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
VISCOSIDADE EM FUNÇÃO DA PRESSÃO E TEMPERATURA
A viscosidade de um gás com baixa densidade aumenta com a
temperatura, para um líquido essa viscosidade diminui.
Viscosidade crítica:
- Valores experimentais
- Valores aproximados pela pressão e temperatura reduzida
- Valores críticos P-V-T:
µ𝐶: micropoises, 𝑝𝑐: atm, 𝑇𝑐: K, ෨
𝑉
𝑐: cm3/mol, M: g/mol
µ𝐶 = 61,6 𝑀𝑇𝑐
ൗ
1
2 ෨
𝑉
𝑐
ൗ
−2
3 µ𝐶 = 7,70 𝑀 ൗ
1
2 𝑝𝑐
ൗ
2
3 𝑇𝑐
ൗ
−1
6

30. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
VISCOSIDADE EM FUNÇÃO DA PRESSÃO E TEMPERATURA

31. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
VISCOSIDADE EM FUNÇÃO DA PRESSÃO E TEMPERATURA
A viscosidade de uma mistura de n componentes.
𝑝′𝐶 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑝𝑐𝑖
𝑇′𝐶 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑇𝑐𝑖
𝜇′𝐶 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝜇𝑐𝑖

32. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
EXEMPLO 2
Estimar a viscosidade de N2 a 50 oC e 854 atm, sendo que M: 28
g/gmol, pc: 33,5 atm e Tc: 126,2 oC.
EXEMPLO 3
A viscosidade de CO2 é 1800x10-7 poise a 45,3 atm e 40,3 oC.
Determine a viscosidade a 114,6 atm e 40,3 oC.

33. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
VISCOSIDADE DE GASES COM BAIXA DENSIDADE
A viscosidade de um gás com baixa densidade aumenta com a
temperatura, para um líquido essa viscosidade diminui.

34. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
EXEMPLO 4
Quando não se conhece o
tipo de fluido????????

35. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
EXEMPLO 4
Dissertação do aluno Marcos Gazola – trabalhou na produção de 3
sucos: pitanga, amora e mirtilo. Realizou a análise reológica das
polpas e do suco com o melhor resultado (Viscosímetro)
Utilizou dois modelos : Ostwald-de-Waele e Herschel-Bulkley
Quem mais utilizou desta técnica: a Anna Paula, Aline Sasso e
Vaniele

36. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
EXEMPLO 4

37. CONCEITOS BÁSICOS
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
EXEMPLO 4
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
η = −𝐾
𝑑𝑣𝑦𝑥
𝑑𝑦
K : índice de consistência do fluido
n : inclinação da curva.
𝑦𝑥 = −η
𝑑𝑣𝑦𝑥
𝑑𝑦
n-1
K >0
FLUIDO
PSEUDOPLÁSTICO

38. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
TIPOS DE ESCOAMENTO
Escoamento de fluidos.
é a deformação contínua de um fluido que sofre a ação de uma
força tangencial, por menor que ela seja.
O escoamento de fluidos pode ser permanente (estável) ou não-
permanente (instável); uniforme ou não-uniforme (variado);
laminar ou turbulento; uni, di ou tridimensional; rotacional ou
irrotacional.

39. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
TIPOS DE ESCOAMENTO
Unidimensional: de um fluido incompressível ocorre quando a
direção e a intensidade da velocidade é a mesma para todos os
pontos.
Bidimensional: ocorre quando as partículas do fluido se movem
em planos ou em planos paralelos e, suas trajetórias são
idênticas em cada plano. As grandezas do escoamento variam em
2 dimensões.

40. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha

41. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
Escoamento laminar:
• As camadas de fluido deslizam umas sobre as outras (lâminas); não
há mistura macroscópica de fluido.
• A velocidade do escoamento em um determinado ponto não varia
com o tempo.
• Ocorre quando o fluido escoa em baixas velocidades em um tubo
com diâmetro pequeno.

42. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
Escoamento turbulento:
• Aparecimento de turbilhões no seio do fluido, provocando a mistura.
A velocidade num ponto oscila com o tempo ao redor de um valor
médio.

43. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha

44. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha

45. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha

46. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
Escoamento Permanente e Não permanente:
• Permanente: as propriedades do fluido e sua velocidade não variam
com o tempo para um determinado ponto de escoamento.
• Não Permanente: há variação de pelo menos uma das propriedades
do fluido ou de sua velocidade.

47. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha

48. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
Escoamento Uniforme e Variado:
• Uniforme: a velocidade é constante para todos os pontos de uma
dada trajetória, podendo variar de uma trajetória para outra.
• Variado: a velocidade varia em relação aos pontos da trajetória.

49. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha

50. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
Escoamento Rotacional e Irrotacional:
• Rotacional: cada linha de corrente possui uma energia total distinta
da outra.
• Irrotacional: todas as linhas de corrente possuem a mesma energia
total.

51. Profa Raquel Dalla Costa da Rocha
DIVISÃO DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
Estática
Estuda os esforços nos fluidos quando não existe movimento
relativo entre as porções de fluido.

52. DIVISÃO DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
Dinâmica (fluido ideal e não ideal)
Estuda o movimento e deformações nos fluidos, provocadas por
esforços de cisalhamento em função do tempo.
Profa Raquel Dalla Costa da Rocha