Fundamentos de Fenômenos de Transporte: Teoria Básica para Cursos de Engenharia

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Fenômenos de Transporte
Um Texto para Cursos Básicos
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r Fundamentos de
Fenômenos de Transporte
lím Tearío para Cursos Básicos
? CELSO POHLMANN LIVI
^ Departamento de Recursos Hídricos e Meio Ambiente
<p Escola Politécnica
p Universidade Federal do Rio de Janeiro
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EDITORA

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No interesse de difusão da cultura e do conhecimento, o autor e os editores envidaram o sm
máximo esforço paralocalizar os detentores dos direitos autorais de qualquer material
utilizado, dispondo-se apossíveis aceitos posteriores caso, inadvertidamente, aidentificação ^
de algumdeles tenha sido omitida. e»
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Capa: Projeto com baseem ilustração fornecida peloautor
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Copyright ©2004 by Celso Pohlmann Livi ^
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PREFACIO
Denomina-se Fenômenos deTransporteamatéria que com
preendeo estudo de mecânicados fluidos, de transmissão de
calor e de transferência de massa. Trata-se de uma matéria de
formação básica dos cursos de engenharia. Fenômenos de
Transporte consta doconteúdo programático do Exame Naci
onal deCursos (Provão) do Ministério da Educação.
Verifica-se que diferentes fenômenos difusivos da me
cânica dos fluidos, da transmissão de calor e da transferên
cia de massa podem ser descritospor um modelo matemá
tico comum, onde a diferença está nas grandezas físicas
envolvidas e seus respectivos coeficientes de difusão, de
forma que essesassuntos passaram a serestudadosconjun
tamente com o nome de Fenômenosde Transporte.
Este texto foi desenvolvido para atender às necessidades
de uma disciplina introdutória, com duração de um semes
tre e situada no final do ciclo básico dos cursos de enge
nharia, em que os alunos entram em contato pela primeira
vezcom o assunto. Neste livro, o conteúdo está organizado
de forma a considerar, primeiro, alguns conceitos e uma
formulação básica para fenômenos de transporte, com a
apresentação de um modelo matemático comum que evi
dencia a analogia existente entre os processos difusivos
unidimensionaisde transporte de momento (quantidade de
movimento) linear, de calor e de massa. Após, são desen
volvidos os tópicos de mecânicados fluidos, de transferên
cia de calor e de dilusão de massa.
Este Iívto não esgota o assunto, tratando somente da
conceituaçãobásicae do estudo dos tópicos fundamentais
que considero adequado para uma disciplina introdutória
sobre Fenômenos deTransporte,destinadaa estudantesde
um curso de graduação de engenharia. Espero que o livro
sejaútilparaestudantes e professores. Considero, também,
que osalunosde algumas habilitações dasescolasde enge
nharia, tais como dos cursos de engenharia mecânica, na
val e química, que necessitarão de conhecimento mais
aprofundado sobre o assunto, cursarão, no ciclo profissio
nal, outras disciplinas sobre mecânica dos fluidos, transfe
rência de calor e transporte de massa.
No Capítulo 1. apresento conceitose definições funda
mentais.
No Capítulo 2, apresento conceitos e uma formulação
básica para fenômenos de transporte. Analiso, a partir de
uma abordagem fenomenológica, processos difusivos uni
dimensionais onde ocorrem fluxos de momento linear, de
calor e de massa, apresentando um modelo matemático
comum e mostrando a analogia existente entre esses pro
cessos difusivos unidimensionais de transferência.
No Capítulo 3, trato dos fundamentos da estática dos
fluidos, abordando as noções básicas do estudo da pressão
e sua variação em um fluido e a determinaçãodas forças de
pressão sobre superfícies planas submersas.
No Capítulo 4, apresento uma descriçãoe a classifica
ção de escoamentos.
No Capítulo 5, conceituo volume de controle e desen
volvo uma análise de escoamentos na formulação de volu
me de controle com a aplicação de três leis físicas funda
mentais: princípio de conservação da massa, segunda leide
Newton para o movimento e princípio de conservação da
energia. Estudo, também, a equação de Bernoullie noções
básicas sobre a perda de carga em escoamentos de fluidos
reais em tubulações.
No Capítulo 6. apresento uma introdução à análise di
ferencial de escoamentos, em que deduzo equações dife
renciaisque permitem a determinação das distribuiçõesdas
grandezas intensivas em estudo. Tendo em vista que este
texto se destina a uma disciplina introdutória sobre o assun
to, trato mais da modelagem matemática (formulação) dos
problemas eapresentosoluções somenteparacasossimples.
NoCapítulo 7,conceituo transferênciade calore carac
terizo os mecanismos de condução, convecção e radiação,
apresentando as equações que fornecem as densidades de
fluxo de calor.
NoCapítulo8, estudoa determinação do fluxo de calor
e da distribuição de temperatura para casos de condução
unidimensional e em regime permanente, sem geração in
terna de calor e meio com condutividade térmica constan
te, em sistemas com geometriasimples onde são conheci
dasastemperaturas nocontorno. Estudo, também, proble
mas unidimensionais e em regime permanente de condu
ção de calor em paredes compostas com convecção no con
torno.
No Capítulo 9, apresento uma introdução à condução
de calorem regimetransiente, onde deduzoa equação di
ferencial da condução de calor. Estudo a formulação de

VIU Prefácio
problemas decondução decaloremregime não-permanente
e tratoda resolução da equação da difusãode caloratravés
dométodo de separação devariáveis paraproblemas unidi
mensionais.
NoCapítulo10,apresentoalgumas definições e concei
tosbásicos de transporte de massa e estudoos fundamen
tos da formulação de problemas simples da difusão mole
cularcausadapor gradientes de concentração de um com
ponente numamistura binaria, mostrando alguns aspectos
daanalogia existente coma transferência de calorporcon
dução.
No Apêndice, apresento um resumo de noções básicas
de termodinâmica e umaaplicação da análiseglobal dosis
tema para a transferência de calor.
Neste texto,adoto a terminologia de fluxo e de densida
dede fluxo, de acordo coma Regulamentação Metrológica
e Quadro Geralde Unidades de Medida, estabelecidos pelo
Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Quali
dade Industrial —CONMETRO, naResolução 01/82, que
estabelece as seguintes definições:
Fluxo demassa, com unidade quilograma por segundo
(kg/s), é ofluxo demassa deummaterial que, emregime per
manente através deuma superfície determinada, escoa amas
sade l quilograma domaterial em 1segundo;
Potência oufluxo deenergia, com unidade watt (W), é a
potência desenvolvida quandoserealiza, demaneira contínua
e uniforme, o trabalho de 1pule em l segundo; e
Densidade defluxo deenergia, com unidadewatt pormetro
quadrado (W/m2), é a densidade deumfluxodeenergia uni
forme de 1watt, através deuma superfície plana de l metro
quadrado de área, perpendicular à direção depropagação da
energia.
Agradeço aoSr.Oswaldo LuizWaltzJunqueirapelacon
fecção dos desenhos e aos professores Enise Valentini e
Gilberto Fialho pelassugestões e úteis discussões sobreo
assunto.
Riode Janeiro, julho de 2004
Celso P. Livi
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''-••^:- SUMÁRIO
IP
f 1 CONCEITOS E DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS, 1
r 1.1 Introdução, 1
ip 1.2 Meio Contínuo, 1
0^ 1.2.1 Limite de Validade do Modelo de Meio Contínuo, 1
1.3 Massa Específicaem um Ponto, 2
<P 1.4 Volume Específico. Peso Específico. Densidade Relativa, 2
0& 1.5 Forças de Corpo ede Superfície, 3
1.6 Tensão em um Ponto. Notação Indiciai para as Componentes daTensão, 3
** 1.7 Fluidos. Definição e Propriedades, 5
f 1.7.1 Definição de Fluido, 5
0b 1.7.2 Algumas Propriedades dos Fluidos, 6
1.7.3 Fluidos Newtonianos, 6
*':"' 1.7.4 Viscosidade, 6
p 1.8 Módulo de Elasticidade Volumétrica. Compressibilidade, 8
a 1.9 Equação de Estado para um Gás Perfeito, 9
1.10 Energia Interna. Capacidade Térmica e Calor Específico, 10
r 1.11 Tensão Superficial. Capilaridade, 10
0 1.12 Pressãode Vapor. Ebulição. Cavitação, 12
_ 1.13 Grandezas, Dimensões e Unidades, 12
* 1.14 Considerações sobre a Terminologia, 12
f* 1.15 Bibliografia, 13
ms 116 Problemas, 13
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0
2 CONCEITOS DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE E ANALOGIA ENTRE OS
PROCESSOS DIFUSIVOS UNIDIMENSIONAIS DE TRANSFERÊNCIA DE
MOMENTO LINEAR, DE CALOR E DE MASSA, 15
2.1 Introdução, 15
2.2 Grandezas Extensivas e Intensivas. Campos, 15
2.3 Desequilíbrio Local e Fluxos. Fenômenos de Transporte, 15
2.4 Transporte Difusivo de Momento Linear, 16
2.5 Transporte de Calor por Condução, 18
2.6 Transporte de Massa por Difusão Molecular, 19
2.7 Equações para as Densidades de Fluxos de Momento Linear, de Calor e de Massa, 22
2.8 Equações da Difusão, 24
. 2.9 Bibliografia, 29
2.10 Problemas, 29
3 FUNDAMENTOS DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS, 31
3.2 Pressão em um Ponto, 31

Sumário
3.3 Equação Básica daEstática dos Fluidos, 33 ^
3.4 Variação da Pressão em um Fluido em Repouso, 34 ^
3.5 Variação da Pressão em um Fluido com Movimento de Corpo Rígido, 36
3.6 Medidas de Pressão. Barômetro de Mercúrio e Manômetro de Tubo em U, 39 ^
3.7 Forças sobre Superfícies Planas Submersas, 41 ^
3.8 Empuxo e Flutuação, 46 ^
3.9 Bibliografia, 48
3.10 Problemas, 48 ^
4 DESCRIÇÃO ECLASSIFICAÇÃO DE ESCOAMENTOS, 52 ^
4.1 Introdução, 52 ^
4.2 Campo de Velocidade de Escoamento. Aceleração, 52 ^
4.3 Descrição e Classificação de Escoamentos, 53
4.4 Bibliografia, 60 ^
4.5 Problemas, 60 /%
5 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESCOAMENTOS NAFORMULAÇÃO DE '
VOLUME DE CONTROLE, 61 ^
5.2 Sistema e Volume de Controle, 61 J
5.3 Vazão e Fluxo deMassa, 62 ^
5.4 Equação Básica daFormulação deVolume de Controle, 64 ^
5.5 Princípiode Conservaçãoda Massa. Equaçãoda Continuidade, 66
5.6 Segunda Lei deNewton para o Movimento na Formulação de Volume deControle. Equação do ^
Momento Linear, 70 /m
5.7 Equação do Momento Angular, 75
5.8 Princípio de Conservação da Energia na Formulação de Volume de Controle. Equaçãoda Energia, 78 '
5.9 Equação de Bernoulli, 83 "^
5.9.1 Equaçãode Bernoulli sem Dissipação de Energia Mecânica, 83 a»
5.9.2 Pressões Estática, Dinâmicae de Estagnação (Total). Determinaçãoda Velocidade de Escoamento
com Tubos de Pitot, 86 /
5.9.3 Equação deBernoulli com Perda de Carga (com Dissipação de Energia Mecânica), 89 "^
5.10 Noções Básicas sobre Perda de Carga nos Escoamentos de Fluidos Reais em Tubulações, 93 ^
5.11 Equação de Bernoulli Modificada paraSituações com Bombas e Turbinas,98
5.12 Bibliografia, 101 ^
5.13 Problemas, 102 r%
6 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DE ESCOAMENTOS, 112
Equação da Continuidade na Forma Diferencial, 112
6.3 Equação Diferencial do Movimento de um Fluido. Equações de Navier-Stokes, 113 ^
6.4 Equação Diferencial deTransporte deCalor, 119 "^
6.5 Formulação (Modelagem Matemática) eSoluções para Alguns Problemas Simples, 122 ^
6.6 Bibliografia, 130 *
6.7 Problemas, 130 ^
7 INTRODUÇÃO ÀTRANSFERÊNCIA DE CALOR, 133 ^
7.1 Introdução, 133 ^
7.2 Condução, 133 /_
7.3 Convecção, 134
^^
6.2

r
r
Sumário xi
ip 7.4 Radiação, 136
7.5 Mecanismos Combinados de Transferência de Calor, 137
* 7.6 Bibliografia, 138
e 8 INTRODUÇÃO ÀCONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM
f REGIME PERMANENTE, 139
P 8.1 Introdução, 139
^s 8.2 Condução Unidimensional de Calor através de Parede de uma Camada, 139
^ 8.2.1 Parede Plana de uma Camada, 139
x 8.2.2 Parede Cilíndrica de uma Camada com Condução na Direção Radial, 142
p 8.3 Condução Unidimensional de Calor, em Regime Permanente, através de Parede Composta com
gp Convecção no Contorno, 146
8.3.1 Parede PlanaComposta, 146
C 8.3.2 Parede Cilíndrica Composta com Condução na Direção Radial, 149
Ip» 8.4 Conceito de Resistência Térmica, 151
8.5 Raio Crítico de Isolamento, 153
^ 8.6 Bibliografia, 156
íP 8.7 Problemas, 156
p 9 INTRODUÇÃO ÀCONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE, 161
m 9.1 Introdução, 161
^ 9.2 Equação da Condução de Calor, 161
^ 9.3 Condições de Contorno eInicial para aDifusão de Calor, 164
p 9.3.1 Condição Inicial, 164
pv 9.3.2 Condições de Contorno, 164
9.4 Solução Analítica de um Problema Transientee Unidimensional de Difusão de Calor 171
r 9.5 Bibliografia, 175
^ 9.6 Problemas, 175
£ 10 INTRODUÇÃO ÀTRANSFERÊNCIA DE MASSA, 178
-^ 10.1 Introdução, 178
^ 10.2 Lei de Fick para aDifusão Molecular de um Componente numa Mistura Binaria, 178
P 10.3 Fluxos de Massa em Misturas Binárias, 180
gh 10.4 Equação Diferencial de Transporte de Massa de umSoluto numaMistura Binaria, 181
10.5 Equação da Difusão de Massa, 185
^ 1*0.6 Bibliografia, 188
f> 10.7 Problemas, 188
- APÊNDICE: NOÇÕES BÁSICAS DE TERMODINÂMICA
^ EUMA APLICAÇÃO DAANÁLISE GLOBAL DO
^ SISTEMA PARA ATRANSFERÊNCIA DE CALOR, 190
A.l Introdução, 190
« A.2 Sistema e Volume de Controle, 190
P A.3 Equilíbrio Térmico. Lei Zero daTermodinâmica, 190
A.4 Temperatura. Termômetros e Escalas, 190
A.5 Calor. Capacidade Térmica. Calor Específico, 191
A.6 Trabalho Realizado por um Sistema sobrea Vizinhança, 192
A.7 Primeira Lei da Termodinâmica para um Sistema, 193
A.8 Primeira Lei da Termodinâmica na Formulaçãode Volumede Controle, 194
A.9 Alguns Casos Particulares da Primeira Lei daTermodinâmica paraum Sistema, 197
M

xii Sumário o/
^§)
A.10 Teoria Cinética dos Gases, 197 ^
A.11 Segunda Lei da Termodinâmica, 201 ^
A.12 Uma Aplicação daAnálise Global do Sistema para aTransferência de Calor, 202
A.13 Bibliografia, 204 "3
ÍNDICE, 205 <3
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LISTADE SÍMBOLOS, GRANDEZAS FÍSICAS EIMUMãMES^m
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A área, m2
f a aceleração, rn/2
0*
Bi número de Biot
C capacidade térmica, j/C
0^
c calor específico, l( ^
concentração do componente Adefinidacomofração de massa
calor específico a pressão constante, V „
calor específico avolume constante, y( „
diâmetro, m
coeficiente de difusão molecular (difusividade de massa) do componente A na
mistura decomponentes Ae B, m/
densidade relativa
módulo de elasticidade volumétrica, Pa
energia interna, J
energia total do sistema, J
energia total específica (por unidade de massa), j/
rugosidade da superfície da parede de um duto, m
força, N
densidade de fluxo de uma grandezaextensiva genérica
fator de atrito
aceleração da gravidade na superfície da Terra, g=9,81 r^2
momento angular (quantidade demovimento angular), ° /
carga totalcorrespondente à energia mecânica disponível no escoamento, m
coeficiente de transferência de calor por convecção, /L.2 v
carga correspondente à energia mecânica queé transferida de umabomba paraum escoamento, m
perda de carga num escoamento, m
perda de carga distribuída, m
perda de cargalocalizada ou acidental,m
carga correspondente à energia mecânica que é transferida de ura escoamento para uma turbina, m
segundo momento de área (momentode inérciade área), m4
momento de inércia, kg-m2
corrente elétrica, A
/p CP
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xiv Lista de Símbolos, Grandezas Físicas e Unidades SI
t vetor unitário na direção x
JA densidade de fluxo de massa pordifusão molecular docomponente A,em relação a um plano que se move
ke/
com avelocidade mássica média da mistura, ys.mi
j vetor unitário na direção7
k condutividade térmica, ^yLrr
k constante de Boltzmann, k- 1,38XIO"23 j^
k vetor unitário na direção z
L calor de transformação de fase (calor latente), y(
Le número de Lewis
M massa, kg
M torque (momento de uma força), N-m
m massa, kg
th fluxo de massa, yi
N número de moléculas
1 / '*%
NA densidade defluxo de massa do componente Aem relação a um sistema decoordenadas fixo, y 2/S'm za
NA número de Avogadro, NA = 6.022X1023 mol"1
n número de mols 1
ri vetor unitário normal à superfície ^
P momento (quantidade de movimento) linear, k8,m/ "^
Pr número de Prandtl ^
p pressão, Pa •»
Q quantidade de calor, J ^
Q vazão, m% ^
Q fluxo (taxade transferência)de calor, W *&
q densidade defluxo decalor, W/ 2 ^%
R raio, m ^
fl resistência elétrica, íl
Re número de Reynolds
RT resistência térmica, %y
Ru constante universal dos gases, R =8,314 V , v «0 u /moI-K ^§
r, 0, r coordenadas cilíndricas
r^ raio crítico de isolamento, m
I> entropia, %r
S.C. superfíciede controle
Sc número de Schmidt '
T temperatura, K ^
t tempo, s /•%
" energia interna específica (por unidade de massa), j/ ^
V velocidade, ™/s ^
V volume, m3 ^
r%
rfõh
/<%

0^
ListadeSímbolos, GrandezasFísicas eUnidades SI xv
p V.C. volume decontrole
f^ v volume específico, mV
/p W peso, N
0s W trabalho, J
^ W trabalhode cisalhamento, I
x,>', z coordenadas retangulares
(P
(p Letras Gregas
difusividade térmica, m /
grandeza extensiva genérica
grandeza intensiva correspondente àgrandeza extensiva genérica B
peso específico, ^y }
quociente entreoscalores específicos molares a pressão e a volume constantes
eixo referencial, para a profundidade, contido em uma superfície plana submersa
viscosidade absoluta ou dinâmica, Pas
viscosidade cinemática, m /
ângulo, rad
massa específica, y 3
concentração do componente Adefinida como massa específica, y 3
tensão superficial, ^vl
constante de Stefan-Boltzmann, cr = 5,67X10"8 W/
componente de tensão normal, Pa
componentede tensão cisalhante(tangencial), Pa
velocidade angular, ra7ç
a
#* B
f> P
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Capítulo 1
CONCEITOS EBEPlNJÇÕESte&M$;i>f
FUNDAMENTAIS j
£ 1.1 INTRODUÇÃO
No estudo de Fenômenos de Transporte, utilizaremos conceitos edefinições já estudados na mecânica ena termodinâ
mica, mas necessitaremos de outros ainda não vistos. Afinalidade deste capítulo érever edesenvolver alguns conceitos
f^ e definições fundamentais.
r 1.2 MEIO CONTINUO
^ Amatéria tem uma estrutura molecular eexiste, normalmente, em três estados: sólido, líquido egasoso. Onúmero de
^ moléculas normalmente existentes em um volume macroscópico éenorme. Para termos uma idéia da ordem de grandeza
1, do número de partículas envolvidas, em condições normais de temperatura epressão existem cerca de IO19 moléculas em
um volume de 1cm3 de aratmosférico. Com esse número tão grande de partículas épraticamente impossível adescrição
(p do comportamento macroscópico da matéria, como, por exemplo, oestudo do escoamento de um fluido, apartir do
pn movimento individual desuas moléculas.
No que se refere aos problemas comuns de engenharia, geralmente estamos interessados no comportamento macros-
f^ cópico devido aos efeitos médios das moléculas existentes no sistema em estudo, e, sendo aabordagem microscópica
^ (descrição apartir dos movimentos individuais das moléculas) inconveniente, necessitaremos de um modelo mais ade-
quado.
" No estudo da naturezaena solução dos problemas encontrados na engenharia, em geral, estão presentes os princípios
|^ de idealização eaproximação, ou seja, de modelagem. Adescrição dos fenômenos físicos eaabordagem easolução dos
^ problemas podem ser esquematizadas da seguinte forma:
f FENÔMENO FÍSICO
ms (problema)
f FORMULAÇÃO EMODELAGEM
^p (idealização eaproximação)
^ SOLUÇÃO DO MODELO
p INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO RESULTADO
c Oconceito demeio contínuo é uma idealização damatéria, ou seja, é um modelo para oestudo deseu comportamento
0b macroscópico em que se considera uma distribuição contínuade massa.
/ift
1.2.1 Limite de Validade do Modelo de Meio Contínuo
Avalidadedo modelo de meiocontínuo depende das dimensões do sistema físicoem estudo e do número de molécu
las existentes novolume considerado. Para ilustrarmos oassunto, consideremos um recipiente fechado contendo um gás.
Apressão (força por unidade deárea) exercida pelo gás sobre aparede do recipiente, segundo ateoria cinética dos gases.
decorre da freqüência de choques de suas moléculas contra a parede. Evacuando-se progressivamente o gás. ou seja.
reduzindo-se progressivamente o número departículas dentro do recipiente, observa-se quea pressão decresce.

2 Capítulo Um
Enquanto onúmero de moléculas for grande osuficiente para manter uma média estatística definida, apropriedade ^
pressãosofreumavariaçãocontínua. Entretanto,existeumvolumeabaixodoqualadiminuiçãononúmero demoléculas
produz uma descontinuidade no valor da pressão. Isso acontece quando olivre percurso médio das moléculas, isto é, a
distância média percorrida pelas moléculas entre duas colisões sucessivas, for da mesma ordem de grandeza do menor ^
comprimentosignificativodosistema. Essevolume,emqueocorreessadescontinuidade novalorde umapropriedadedo ^
sistema, determina o limite de validade do modelo de meio contínuo.
Omodelo de meio contínuo tem validade somente para um volume macroscópico no qual exista um número muito "1
grandede partículas, ouseja, temcomolimitedevalidadeomenorvolume de matériaque contémumnúmerosuficiente ^
de moléculas para manter uma média estatística definida. Assim, as propriedades de um fluido, no modelo de meio con- _
tínuo, têm um valor definido em cada ponto do espaço, de forma que essas propriedades podem ser representadas por
funções contínuas da posição e do tempo. 1
1.3 MASSA ESPECÍFICA EM UM PONTO ^
Amassa específica p, definida como amassa por unidade de volume, éuma propriedade que ilustra bem oconceito de i
meio contínuo. Por definição, considerando omodelo de meio contínuo, amassa específica em um ponto édada por ^
P= üm % (131) 1K AV^ÍV AV ^
onde: - 1
Am é a massa contida no volume AV; e y
ÔVéomenorvolume, em torno do ponto, que contém um número suficiente de moléculas para que exista uma média ^
estatística definida, ou seja, é o limite de validade do modelo de meio contínuo.
^%
Como exemplo ilustrativo, consideremos a massa específica do arem condições normais de temperatura e pressão. _
Para umelemento devolume macroscópico, pode-se considerar que existe um número constante demoléculas. Fazendo 1
ovolume tender azero, como as partículas possuem movimento aleatório, para um elemento de volume infinitesimal, o ^
número demoléculas fica dependente dotempo, resultando emdescontinuidade novalor damassa específica para volu-
mes menores queÔV. AFigura 1.1 mostra um gráfico damassa específica emfunção dovolume do elemento devolume '
considerado, ilustrandoo limitede validade do modelo de meiocontínuo. ^
AlV^
>AV
<5V
Figura 1.1 Gráfico da massaespecífica emum ponto. ^
1.4 VOLUME ESPECIFICO. PESO ESPECIFICO. DENSIDADE RELATIVA
O volume específico vé, pordefinição, ovolume ocupado pelaunidade de massa de umasubstância, ou seja, é o inverso
da massa específica, sendo dado por
v = - (1-4.1)
P
<*r%
O peso específico'de uma substância é o seu peso por unidadede volume, com módulodado por
r = flg (1.4.2)
"^s

0
Conceitos e Definições Fundamentais
p Adensidade relativa dde uma substância Aexpressa oquociente entre amassa específica dessa substância Aea
massa específica de uma outra substância B, tomada como referência. Por definição, adensidade relativa édada por
f* j_Pa
|ps Geralmente, asubstância de referência para ocaso de líquidos éaágua e, para ocaso de gases, éoar. Adensidade
relativa independe do sistema de unidades, pois édada por um valor adimensional.
£ 1.5 FORÇAS DECORPO EDESUPERFÍCIE
^ De uma maneira geral, as forças podem ser classificadas em duas categorias:
ms • forças de corpo oude campo; e
• forças de superfície ou de contato.
As forças de corpo são aquelas que se manifestam através da interação com um campo eatuam sem anecessidade de
v umcontato entreas superfícies doscorpos. Exemplos:
v • peso, devido ao campogravitacional;
(p • força elétrica, devido a umcampo elétrico; e
j^ • força magnética, devido a um campo magnético.
m% Essas forças de corpo são proporcionais ao volume V* dos corpos. Por exemplo, opeso de um corpo de massa me
_ volume V, com massa específica p, no campo gravitacional terrestre com aceleração f, édado por
f> W=IJjgdm=IJjgpdV (1.5.I)
0$S m V
pv As forças de superfície são aquelas que atuam sobre um sistema através de contato com afronteira do mesmo. Exem-
0£
j* • forças de atrito;
* • forças devidas à pressão; e
^ • forças devidas às tensões cisalhantes nos escoamentos.
^ Essas forças de superfície são proporcionais àárea da superfície sobre aqual atuam.
e 1.6 TENSÃO EMUM PONTO. NOTAÇÃO INDICIAL PARA AS
<P COMPONENTES DA TENSÃO
* Oconceito de tensão envolve umaforça de contato e a área dasuperfície naqualatua. Um elemento deáreatemorien-
^ tação dada pelo vetor unitário normal à superfície. As grandezas vetoriais necessitam daespecificação demódulo (valor
jpy numérico), dedireção e desentido. Considerando um sistema referencial, uma grandeza vetorial pode serespecificada
por três componentes escalares, que são as projeçõesdesse vetor sobre os eixoscoordenados considerados.
X Consideremos umelemento deárea AA emtorno do ponto Psobre oqual atuaum elemento deforça AF, conforme
#n é mostrado na Figura 1.2. Aforça AF podeser decomposta em três componentes escalares em relação ao sistema de
coordenadas considerado. O elemento de área AA também é um vetor (tem módulo igual à área doelemento AA, dire-
* ção normal à superfície e sentido dedentro para fora do volume delimitado pela superfície), deforma que também pode
^ serdecomposto em trêscomponentes escalares segundo oseixos do sistema de referência.
0^ Aespecificação das componentes da tensão, que têm adimensão de força por unidade de área, necessita da indicação
da direção da componente daforça e,também, da indicação da orientação da superfície onde atua atensão. Uma notação
(r de duplo índice fornece uma descrição conveniente para as componentes da tensão, representadas por Tit em que opri-
jss meiro índice identifica a direção da normal aoplano noqual a força atua, e o segundo índice fornece a direção dacom-
'Adotamos osímbolo V para volume para evitar confusão com outras grandezas, tal como com avelocidade V.

Capítulo Um
*y
V*
Figura1.2 Elementodeárea AA de
umasuperfícieondeatua umelemen
to de força AF.
ponente da força ou da tensão, propriamente. Assim, as componentes da tensão com anotação indiciai podem ser defi
nidas por
T. = üm —L
'> Mj-o AAf
(1.6.1)
Considerando as componentes de forças que atuam em planos paralelos aos planos coordenados de um sistema de
coordenadas retangulares, ou seja, em elementos de área com normais nas direções x, yez, tem-se que aEq. (1.6.1)
fornece as nove equações escalares que definem as componentesda tensão, pois os índices iejpodem assumiros valores
x,yez. Se os índices forem iguais (i =j),tem-se uma componente de tensão normal representada por cr.., enquanto se os
índices forem diferentes (i =É j) tem-se uma componente de tensão cisalhante (tangencial), representada por r...
Para um elemento deárea AAX, com normal na direçãox, sobre oqual atuam ascomponentes deforça AFX, AFy eAF2
nas direções x, yez, respectivamente, resultam uma componente de tensão normal o^eduas componentes de tensão
cisalhante (tangencial) t^ e t„,que são definidas pelas equações
, AF,
tr« = hm ——•
AAx-0 AA,
AF
t„ = lim -
aa*-o AAr
t„ = lim
AF.
^*-o AA
(1.6.2a)
(1.6.2b)
(1.6.2c)
Da mesma maneira, considerando elementos deárea AAy e AA., com normais nas direções yez,respectivamente, são
definidas as componentes de tensão o~n, r^, t^, cra, ra et^. Atensão em um ponto éespecificada pelas nove componen
tes da matriz
T = (1.6.3)
conhecida como tensor tensão, cujo símbolo o~indica ascomponentes normais e Trepresenta ascomponentes cisalhantes
da tensão. Consideremos o elemento de volume mostrado na Figura 1.3 paravisualizarmos as componentes da tensão
com a notação indiciai, lembrando que essas nove componentes passam a atuar no mesmo ponto quando ovolume do
elemento de volume tende a zero.
AFigura 1.3 apresenta as componentes detensão com sinais positivos que atuam sobre os planos que têm vetores uni
tários normais àsuperfície no sentido positivo dos eixos coordenados considerados. Deve-se lembrar deque ovetor normal
àsuperfície tem sentido positivo de dentro para fora do volume delimitado pela superfície. Aconvenção adotada éaseguin
te: uma componente de tensão épositiva se ovetor normal àsuperfície sobre aqual aforça atua eacomponente da tensão
propriamente têm, ambos, sentidos na direção positiva ou negativa dos eixos do sistema dereferência; e uma componen
tedetensão é negativa seovetor normal à superfície e acomponente daforça que atua no plano têm sinais contrários.
Considerandoum elementode volume tetraédrico, comtrês faces orientadas ao longo dosplanoscoordenados de um
sistema decoordenadas retangulares, Cauchy demonstrou que com o conhecimento da matriz tensão, com as compo-
/%
/^
/%tb

#*
(flP^
0s
0!s
m
rt
*S Figura 1.3 Componentes da tensão
com a notação indiciai.
nentes relativas às direções dos eixos coordenados, pode-se calcularatensão, no mesmo ponto, relativa aqualqueroutra
direção. Considerando uma superfície cuja orientação édada por um vetor unitário normal ti expresso em termos de
seus co-senos diretores a, becem relação aos eixos de um sistema de coordenadas retangulares com vetores unitários
direcionais i, j e k, de forma que
n = ai +bj + ck
sendo
a= n • i; b = n •j c = n •k
e
a2 + b2 + c2 = l
resulta que, pela relação de Cauchy, a tensão na direção n é dada por
f (w) = fn
onde T é a matriz tensão da Eq. (1.6.3).
(1.6.4)
(1.6.5)
(1.6.6)
(1.6.7)
1.7 FLUIDOS. DEFINIÇÃO EPROPRIEDADES
1.7.1 Definição de Fluido
Fluido éasubstância que se deforma continuamente sob aação de uma tensão cisalhante (tangencial), por menor que
sejaa tensão de cisalhamentoaplicada.
Os sólidos eos fluidos apresentam comportamentos diferentes quando submetidos a uma tensão cisalhante. pois as
forças de coesão interna são relativamente grandes nos sólidos emuito pequenas nos fluidos. Um sólido, quando subme
tido a um esforço cisalhante, resiste à força externa sofrendo uma deformação definida de um ângulo 9, desde que não
seja excedido o limite de elasticidade do material.
Os fluidos, com aaplicação deuma tensão cisalhante, sedeformam contínua eindefinidamente enquanto existir essa
dfí
tensão tangencial, resultando uma taxa dedeformação —-, pois oângulo dedeformação é função do tempo, 0= d(t). no
lugar deum ângulo dedeformação característico que ocorre no caso dos sólidos. AFigura 1.4 ilustra adeformação sofrida
por um sólido e porum elemento devolume fluido causada pela aplicação de uma tensão cisalhante.
V^V VVVVVVV V
01
/TA
/ Sólido
/
vrrq—•
ei
i
i
i
777 //////////
Deformação 9 característica
IV^VVVVVVVl^VV
'0/'^ '2
T7
/ .' Elemento
/.' fluido
//////// 7T
Taxa de deformação^ Figura 1.4 Deformaçãode um sólidoe de urr.e.e
mento fluido submetidos a tensões cisaihanres

6 CAPfruLoUM ^
1.7.2 Algumas Propriedades dos Fluidos 2
a) Os fluidos submetidosaesforços normais sofremvariaçõesvolumétricasfinitas. Quandoessasvariaçõesvolumétricas _
são muito pequenas, considera-se os fluidos incompressíveis. Geralmente, os líquidos são incompressíveis (desde que 1
não estejam submetidos apressões muito elevadas), enquanto os gases são compressíveis. ^
b) Existindo tensão cisalhante, ocorre escoamento, ou seja, ofluido entra em movimento. , r. , *»
c) Os fluidos se moldam às formas dos recipientes que os contêm, sendo que os líquidos ocupam volumes definidos e f
apresentam superfícies livres, enquanto os gases se expandem até ocupar todo orecipiente. Essa moldagem nos líquidos ^
deve-se ao escoamento causadopelaexistênciade componentecisalhante do pesodos elementos devolume do fluido. ^
d) Para um fluido em repouso, atensãoéexclusivamente normal, sendo seuvalorchamadode pressãoestáticapque, '
emumponto, é igual emqualquer direção, ouseja, /
«F- ='. =Oi. =-V <17-21> "5
Essa Eq. (1.7.2.1) éuma formulação matemática do Princípio de Pascal, que será estudado no Capítulo 3, Funda- ^
mentosda Estáticados Fluidos. ^
1.7.3 Fluidos Newtonianos ^
De uma maneira geral, os fluidos são classificados como newtonianos enão-newtonianos. Essa classificação considera ^
arelação existente entre atensão cisalhante aplicada eataxa de deformação sofridaporum elemento fluido. Tem-se um
fluido newtoniano quando atensão cisalhante aplicada édiretamente proporcional àtaxa de deformação sofrida por um ?
elemento fluido. São classificados como fluidos não-newtonianos aqueles nos quais a tensão cisalhante aplicada não é ^
diretamente proporcional àtaxa de deformação sofrida por um elemento fluido. Aágua eoar, por exemplo, são fluidos ^
newtonianos. Estudaremos somente fluidos newtonianos.
1.7.4 Viscosidade ^
Aviscosidade éapropriedade associada àresistência que ofluido oferece àdeformação por cisalhamento. De outra
maneira, pode-se dizer que aviscosidade corresponde ao atrito interno nos fluidos devido, basicamente, às interações ^
intermoleculares, sendo, em geral, função da temperatura. /»
Consideremos um elemento fluido infinitesimal, situado entreduas placas planas paralelas de grandes dimensões,
quesofre uma deformação nointervalo de tempo dt, conforme é mostrado na Figura 1.5. l
Aplaca superiorestá em movimento com velocidade constantedVx, enquanto aplaca inferiorpermanece em repouso. ^
Osfluidos reais (viscosos) apresentam a propriedade deaderência àssuperfícies sólidas com asquais estão emcontato,
deforma que uma película deespessura infinitesimal defluido fica aderida nas placas. '
Está sendo aplicada uma força dFx constante sobre aplaca superior, que possui uma superfície de áreadA em contato ^
com ofluido com normal nadireção y, demaneira que a tensão cisalhante aplicada ao elemento fluido é dada por _
r =lim^V O-7-4-1) ^~- ^ AA-0 AA *%
e tem-se que ^
[taxa de deformação^ _ dd ,.-..« ^
do elemento fluido) dt a%
dL avx
I' •! -^-» dFx
Elemento fluido •
no instante t f
dd / de /^ Elemento fluido
no instante r + dt
~~J dy n^í
/
/////////
X
i
/
/
7F77r
/r^i
r^b
Figura 1.5 Deformação de umelemento fluido infinitesimal sob a açãode tensãocisalhante. /esh

0^
CoNCErros e Definições Fundamentais 7
Da definição de fluido newtoniano, tem-se que atensão de cisalhamento édiretamente proporcional àtaxa de defor
mação, ou seja,
dd
^^ (1.7.4.3)
Devido àpropriedade de aderência dos fluidos reais às superfícies sólidas com as quais estão em contato, tem-se que
^ avelocidade de escoamentojunto da placa superior édVx, enquanto ofluido junto da placa inferior está em repouso, de
f* forma que existe uma determinadadistribuição (perfil) de velocidade de escoamento do fluido entre as duas placas. Como
g^ émais conveniente trabalhar com gradiente de velocidade de escoamento do que com taxa de deformação de um ele
mento fluido, vamos mostrar, aseguir, que a taxa de deformação é igual ao gradiente de velocidade existente no escoa
is mento.
0s Consideremos a Figura 1.5. Adistância dL é dada por
^ dL =dVxdt (1.7.4.4)
#* Oângulo dedeformação sorrido no intervalo detempo dt éd$, deforma que também tem-se
f" dL = dyig(d6) (1.7.4.5)
(P mas como para pequenos ângulos pode-se considerar que a tangente do ângulo é praticamente igual ao ângulo, resulta
<P dL=dydd (1.7.4.6)
IP Assim, tem-se que
<P dVJt =dydd (1.7.4.7)
X de forma que
• de dvx
r i=^r <L7A8)
/Ps
ou seja, a taxa de deformação sofrida pelo elemento fluido é igual aogradiente de velocidade de escoamento.
v Assim, parafluidos newtonianos a tensão cisalhante aplicada é diretamente proporcional à taxa de deformação do
0 elemento fluido ouaogradiente develocidade deescoamento, e pode-se expressar que
^ r =»*> (1749)
(f^ que, em termos dogradiente de velocidade de escoamento, pode serescritacomo
f dV
e T-—""ít (17A10)
^ onde ocoeficiente deproporcionalidade /x éaviscosidade absoluta oudinâmica do fluido. Essa Eq. (1.7.4.10) éconhecida
(P* como aLei de Newton para a Viscosidade. Osinal negativo é devido aofato dequeotransporte demomento linear através
0^ do fluido, nadireção y, ocorre no sentido contrário ao gradiente de velocidade deescoamento edeque atensão cisalhan
te corresponde à densidadede fluxo de momentolinear, conforme será explicado maisdetalhadamente na seçãoTrans-
(P* porte Difusivo de Momento Linear, no Capítulo 2.
0 Os fluidos reais possuem viscosidade, em maior ou menorintensidade, de forma que, quando em escoamento com
gradientes de velocidade, apresentam fenômenos de atritoviscoso. Aviscosidade é causada fundamentalmentepelaco-
v esão intermolecular e pela transferência de momento linear através do fluido.
|P* Os líquidos semoldam aos recipientes que os contêm, devido ao escoamento causado pela existência decomponentes
-^ cisalhantes do peso deseus elementos devolume. Aviscosidade é a propriedade do fluido que determina a velocidade
" desse processo de moldagem. Verifica-se que a água se molda rapidamente a um recipiente, enquanto o processo de
^ moldagem daglicerina aum recipiente émuito mais lento, pois aviscosidade daglicerina émuito maior do que ada água,
0ib ou seja,a glicerina oferece uma resistência maiorà deformação porcisalhamento.
No escoamentolaminar, o fluido escoa em lâminas paralelas e o atrito viscoso causa tensões cisalhantesentre essas
C^ camadas do fluido em movimento. Deve-se observar que somente ocorre manifestação deatrito viscoso, num escoamen-
#s to,quando há deslocamentorelativo entre as partículasfluidas, ou seja,quando existegradiente de velocidadena direção
transversal ao movimento do fluido, que correspondea uma taxa de deformaçãodos elementos de volumedo fluido.

fàk
Capítulo Um
• Aviscosidade depende da temperatura, everificam-se efeitos opostos sobre aviscosidade de gases ede líquidos em ^
função davariação da temperatura. Em geral, nos gases acoesão intermolecularédesprezível, resultando no fato de que ^
atensão cisalhante entre duas camadas do fluido em escoamento édevida àtransferência de momento linear entre essas
camadas. No escoamento laminar, omovimento do fluido ocorre em lâminas paralelas. Devido ao movimento molecular >
caótico resulta transferência de moléculas na direção transversal ao escoamento entre camadas com velocidades dife- ^
rentes ou seja, ocorretransferênciade momentolinearentreascamadas, decorrente das colisões intermoleculares. Essa
atividade molecular aumenta com oacréscimo de temperatura, de forma que aviscosidade aumenta com atemperatura
nos gases. 1 , 1 -
Nos líquidos, as distâncias intermoleculares eaintensidade dos movimentos das moléculas sao muito menores que ^
nos gases, de forma que atransferência de momento linearentre as camadas, devidoaos movimentos moleculares, pode
ser desprezada. Assim, as tensões cisalhantes eaviscosidade dependem principalmente da intensidade das forças de 1
coesão intermolecularque diminuem comoacréscimo de temperatura, de maneira que aviscosidade dos líquidos dimi- ^
nui com o aumento da temperatura. /%
Emvárias equações da mecânicados fluidos, aparece oquociente entre aviscosidade absoluta ou dinâmicaeamassa >
específica do fluido, sendo convenientea definição de uma outra propriedade chamada de viscosidade cinemática vdo ^
fluido, dadapor ^
v = £ (1.7.4.11) *
p /^
As dimensões e unidades de viscosidade podem ser determinadas apartir da Eq. (1.7.4.10), resultando no Sistema ^
Internacional de Unidades (SI): . *%
T
_dV/dy_
=
' F/A '
dV/dy^
lf-l
[li]= —— = -^f- =MLr2L-2L-HL =ML-H
^
•%
^8h
, , , unidade de t _ N/m2 _ N-s _ D
unidade de p, = ——. ,..... . —r ; vz-s,
unidade de (dV/dy) m/s m2
H =
m
M
= ML-lrlM-lü = üf
pj ^
, . . unidade de p. Pa •s ,, /
unidade de v = —-—: = 1—— —m /s
unidade de p kg/m3 ^
1.8 MÓDULO DE ELASTICIDADE VOLUMÉTRICA. ^
COMPRESSIBILIDADE ^
Geralmente, quando se aplica pressão sobre um fluido ele sofre uma redução volumétrica, equando se retira apressão J>
aplicada ele se expande. Acompressibilidade de um fluido está relacionada àredução volumétrica decorrente para uma ^
dada variação de pressão. Na maioria das situações, um líquido pode ser considerado um fluido incompressível (que não
sofre variações de massa específica); entretanto, quando existem variações muito elevadas ou bruscas de pressão acom
pressibilidade torna-se significativa. /
Usualmente, acompressibilidadede um líquido édada pelo seu módulo de elasticidadevolumétrica£.Consideremos ^
um volume Vde um líquido; se apressão aplicada aumenta em dp, resulta uma diminuição de volume (-dV), de forma
queo módulo de elasticidade volumétrica é definido por '
£=_^L • (1.8.1) ^
Omódulo de elasticidade volumétrica £éexpresso em unidades de pressão, pois otermo (íiV)/V éadimensional. "*>
1-^

f
(p
Exemplo 1.1
Análise da compressibilidadeda águat considerando umasituação em que éaplicada umavariação de pressão de
uma atmosfera* ou.seja, dp = 101,3 kPà sobre umvolumedè um metro cúbico de água*
Para aágua na temperatura de 25°C, tem-se que E= 2,22 XIO9 Pa, de forma que avariação de volume édad£
dV = ——£ = -45,6XIO"6 m3 « —
por
E 22000
f* Assim, aaplicaçãode umavariação de pressão de uma atmosfera (101,3 kPa) sobre aágua causa uma redução em seu
a volume de apenas uma parte em 22000, de forma que aconsideração de um líquido como aágua ser incompressível é
uma aproximação bem razoável.
r 1.9 EQUAÇÃO DE ESTADO PARAUM GÁS PERFEITO
mb Na termodinâmica, as variáveis usualmente utilizadas para descrever um sistema são apressãop, ovolume Veatempe-
ratura T. Em muitas situações éconveniente trabalhar com ovolume específicov(ou com amassa específica p) no lugar
f^ do volume total V. Essas três variáveis de estado V(ou vou p), peTnão são independentes e, geralmente, umavariação
(p em uma das três altera as demais. Uma relação analítica entre essas variáveis échamada de equação de estado.
_ Um gás perfeito, em que não existem forças de interação intermolecular de origem eletromagnética, com interações
somente através de colisões entre as moléculas, pode ser definido como uma substância que satisfaz àlei dos gases per-
^ feitos ou ideais, que pode ser expressa através daequação deestado
pv = RT (1.9.1)
onde:
p é a pressão absoluta;
v é o volume específico;
fiéa constante do gás; e
T é a temperatura absoluta.
Como ovolume específico é definido como oinverso da massa específica, aequação de estado de um gás perfeito
pode ser escrita como
£ = RT (1.9.2)
P
onde p é a massaespecífica.
Não existe umgás perfeito; entretanto, osgases reais submetidos a pressões bastante abaixo da pressão crítica c a
temperaturas bem acima da temperatura crítica, ouseja, distantes da fase líquida, geralmente podem serconsiderados
gases perfeitos ou ideais.
A Eq. (1.9.2) também pode ser expressa da seguinte forma:
pV = mRT (1.9.3i
onde:
Vé o volume ocupadopelogás;e
mé a massa do gás.
Aunidade da constante do gás Rpode ser determinada da equação de estado, sendo que. no SI, tem-se a pressão cm
pascal, a massa específica em quilogramas por metro cúbico ea temperatura em kelvin, deforma que
N-m3 _ N •m _ J
unidade de R =
m2 •kg• K kg•K kg • K
Aequação de estado de um gás perfeito também pode serescrita em termos molares. Um mol éaquantidade de matéria
de um sistema contendo tantas entidades elementares quantos forem os átomos existentes em 0,012 quilograma de car-

10 Capítulo Um
bono 12. Se néonúmero de mols existentes no volume V, amassa do gás édada por m= nM, onde Méa massa ^
molecular dogás, deforma quea Eq. (1.9.3) pode serexpressa como ^
pV = nMRT (1.9.4) /^
Para os gases que se comportam como perfeitos, oproduto MR éuma constante, representada por Ra, chamada de ^
constante universal dos gases, de forma que Ru = MR, resultando ^
pV =nRuT (1-9.5) ^
Aconstante universal dos gases no SI édada por m^
R»= 8,314-f- 1moi * l> /*%
1.10 ENERGIA INTERNA. CAPACIDADE TÉRMICA E ^
CALOR ESPECÍFICO ^
Aenergia interna deum sistema éuma função do estado termodinâmico einclui aenergia deatividade térmica (cinética) "^
de suas moléculas e, também, a energia das interações intermoleculares. nosistema. Geralmente, a energia interna de
uma substância é função datemperatura e dapressão, sendo que, para um gás perfeito, pode-se considerar queelade
pende somente da temperatura. Em geral, trata-se com variações da energia interna entre dois estados térmicos. . ^
Denomina-se capacidade térmica Cde um corpo oquociente entre aquantidade de calor fornecida ao corpp eocor^ ^
respondente acréscimo de temperatura. NoSI,a unidade decapacidade térmica é joule porkelvin (J/K).
Calorespecífico cdeuma substância é aquantidade decalor que deve serfornecida para uma unidade demassa para 'j
aumentar a sua temperatura em um grau. No SI, a unidade de calor específico é joulepor quilograma e por kelvin /m
(J/kg •K). Para definir completamente calor específico, deve-se especificar ascondições segundo asquais ocalor é trans-
ferido para o sistema. '
Define-se calor específico avolume constante cv deuma substância como a quantidade decalor recebido porunidade ^
de massae por unidade de temperatura quando o volumedo sistema permanece constante, ou seja, —
1ÍS&] ^
=- ã?L <li0l) 2cv = —
m
Define-secalor específico a pressão constante c de uma substânciacomoa quantidade de calorrecebido por unidade
de massa e por unidade de temperatura quando a pressão do sistema permanece constante, ou seja,
mUTL
(1.10.2)
/r*^
*%
Nas Eqs. (1.10.1) e (1.10.2), a quantidade infinitesimal decalor foi simbolizada por ÔQ e não por dQ, para lembrar ^
que Qnão é funçaü Justado, ouseja, que ocalor Qdepende datrajetória, ouseja, do processo termodinâmico. ^
Nos gases,os efeitos de compressibilidade sãosignificativos, e é importante fazerdistinção entre o calor específicoa
volume constante cve ocalorespecífico a pressãoconstantec . Os líquidos, em geral,apresentamvariações desprezíveis /
devolume específico. Paraoslíquidos, geralmente pode-se considerar queo calorespecífico a volume constante é prati- *%
camente igualao calor específicoa pressãoconstante. _
1.11 TENSÃO SUPERFICIAL. CAPILARIDADE ^
Observa-se que asuperfície livre de um líquido assemelha-se auma película esticada, demaneira que existe tensão atu- ^
ando no planoda superfície. Issopode serevidenciado através das seguintesexperiências simples:enchendo, cuidadosa
mente, um copocomágua, pode-se tê-laacima da borda, observando que a película superficial da água, que se curva 1
acima daborda docopo, não adeixa derramar; colocando, cuidadosamente, um pequeno objeto metálico (uma pequena <^
agulha, porexemplo) na superfície da água emrepouso, pode-se verificar queele é sustentado pelapelícula superficial;
e observa-se, também, que alguns insetos podemandarsobre a água semafundar, poisa película superficial ossustenta. '
Pode-seexplicar a formação dessa películada seguinteforma. Asmoléculas da camada superficial encontram-seem ^
condições diferentes das outras localizadas no interior da massa líquida. No interior, as moléculas estão cercadas por ^

(P
(P
^
#N
0&S
0&b
Conceitos e Definições Fundamentais 11
todos os lados por outras partículas idênticas, sendo, assim, atraídas igualmente em todas as direções por suas vizinhas,
enquanto as moléculas que se encontram na superfície têm partículas vizinhas iguais aelas somente do lado de dentro dó
líquido. Dessa forma, resulta que, na superfície livre de um líquido, praticamente não existem forças que atraem as
moléculas para fora do líquido. Assim, as moléculas localizadas na superfície livre sofrem uma força de atração de fora
para dentro do líquido, resultando em uma película com efeito de tensão ao longo do plano da superfície.
Agrandeza física associada aesse efeito éatensãosuperficial, representada porcr. Considerando uma linha traçada na
superfície livre, atensão superficial pode serdefinidacomoaforça porunidade de comprimentoque atua perpendicular
mente aessa linha eno plano da superfície. No SI, aunidade de tensão superficial éN/m. Atensão superficial decorre
das forças de coesão intermolecular, de forma que ela diminui com oaumento da temperatura. Atensão superficial de
pende, também, do fluido que está sobre asuperfície livre, sendo, geralmente, tabelada para ocaso de ser oar ofluido
sobreo líquido.
Por causa da tensão superficial, asuperfície livre de um líquido tende sempre ase contrair, de maneira que sua área
seja amenor possível. Essa éarazão pela qual as gotas de um líquido são esféricas, pois esta éageometria que apresenta
menor área de superfície para igual volume. Outros efeitos da tensão superficial são oaumento da pressão dentro de
gotas edentro de jatos de líquidos com pequeno diâmetro, eaagregação de material granular úmido.
Capilaridade éonome dado ao fenômeno de um líquido se elevar num tubo capilar que está parcialmente imerso no
líquido. Aelevação capilardepende da tensão superficial eda relação entre aadesão líquido-sólido eacoesão do líquido.
Um líquido que molha osólido (ângulo de contato d< tt/2, conforme oesquema da Figura 1.6), tem uma adesão maior
que acoesão e,nesse caso, observa-se que em função da tensão superficial olíquido sobe dentro deum tubo capilar que
estáparcialmente imerso nolíquido. Aforça detensão superficial atua aolongo dacircunferência interna dotubo e tem
adireção dada pelo ângulo decontato dentre olíquido eosólido, conforme é mostrado naFigura 1.6.
e fe
•-t/C/C/Ot^C/CxCt/t/C
T
h
•> 1/C/C^t-ft/CytXC/tyOl
Figura 1.6 Efeito de capilaridade para o caso
de um líquido que molha o sólido.
Para líquidos que não molhamo sólido, como o mercúrio, a tensão superficial causa um rebaixamento do menisco
num tubo capilar. Pode-secalculara altura que o líquido sobenum tubo capilarparasituaçõesem que sãoconhecidos o
ângulode contato entre o líquidoe o sólidoe a tensão superficial.
Exemplo 1.2
Determinea alturahacimadoníveldoreservatório em que aáguase elevanum tubo capilardevidrocomdiâmetro
interno d = 2 mm, conforme é mostrado na Figura 1.6.
Considerando que, para o caso água-vidro, o ângulo de contato $ é praticamente nulo, o problema resulta em um
equilíbrio de forças, na direçãovertical,entre as forças de peso e de tensão superficial:
yh = cnrd
4
yd
Para a água na temperatura de 20°C, sendo a = 0,074 N/m e y = 9810 N/m3, resulta
h = 0,015 m = 1,5 cm

12 Capítulo Um "'
1.12 PRESSÃO DE VAPOR. EBULIÇÃO. CAVITAÇÃO ^
Os líquidos se vaporizam devido à atividade molecular interna quecausa a emissão de moléculas através da superfície
livre. Asmoléculas de vapor sobrea superfície livre exercem umapressão parcial, chamadadepressão devapor. A inten- /
sidadedo movimento das moléculas depende da temperatura,de forma que a pressãode vaporaumenta comoacréscimo ^%
de temperatura. Define-se como pressão de vapor saturado a pressão de vapor paraa qualocorre um equilíbrio na troca
de moléculas entre o líquido e o vapor. '
Aebulição consistena formação de bolhas de vapor no interior dolíquido. Essas bolhas de vapor, que possuemmassa ^
específica menorque ado líquido, sedeslocam para asuperfície livre produzindo aturbulência característicado processo ^
de ebulição. Aebuliçãode um líquidodepende da temperaturae tambémda pressãoà qualele está submetido.Observa-
se que um líquidoentra em ebuliçãoa uma temperaturamais baixa quando submetidoa uma pressãomenor. /
Nos escoamentos de líquidos,, em função dé-algúrha^doridições dinâmicas* podem ocorrer pressões menores que a ^
pressãode vapordo líquido, resultando na formação de bolhasde vapor. Cavitação é o nome dado a esse fenômeno de
formação de bolhas de vapor em certas regiões do escoamento de um líquido em função de algumas condições dinâmi- ^
cas. Essas bolhas devapor geralmente sedeslocam e acabam colapsando quando atingem regiões doescoamento ondea ^
pressão émaior que apressão de vapor.: •"•'V•'••'"-•.••-• •: •VC. t.':; c >H' >•• ;t ^
Aocorrência de cavitação prejudica o funcionamento dealgumas máquinas hidráulicas, taiscomo bombas e turbinas,
podendo afetar também odesempenho dos hélices de navios esubmarinos. Esse fenômeno de cavitação pode danificar ^
os componentes desses equipamentos, além deintroduzirvibrações indesejadas no sistema. Osdanos causados às super- <%
fícies sólidas que estão em contato com oescoamento, associados àcavitação, relacionam-se com oprocesso de implosão
das bolhas de vaporque provoca pulsos de pressão que, ao atingirem as paredes, retiram das mesmas pequenas partículas '
de material sólido. s%
1.13 GRANDEZAS, DIMENSÕES E UNIDADES *»
OSistema Internacional de Unidades (SI) foi adotado oficialmente no país, de forma que, neste texto, usaremos somente ^
oSI. Apresentaremos aseguir, resumidamente, oSistema Internacional de Unidades com as grandezas debase usuais na ^
área de Fenômenosde Transporte.
Cada grandeza física tem uma dimensão euma unidade SI. As grandezas físicas podem ser classificadas em dois gru-
pos: grandezas de base (fundamentais) egrandezas derivadas. As grandezas de base são aquelas para as quais se estabe- ^
lecem unidades de medida arbitrárias, enquantoas grandezas derivadas são aquelas cujas unidades sãoexpressas em função m
das unidades das grandezas de base. Sempre éimportante lembrar que qualquerequação que relaciona grandezas físicas
deve ser dimensionalmente homogênea, ou seja, cada termo na equação deve ter as mesmas dimensões. ^
Em Fenômenos de Transporte usualmente se trata com as seguintes grandezas edimensões fundamentais: massa M, ^)
comprimento L, tempo tetemperatura T. No SI, aunidade de massa éoquilograma (kg), aunidade de comprimento é ^
ometro (m), a unidade de tempo éosegundo (s) eaunidade de temperatura éokelvin (K). Aforça é uma grandeza *
derivada, sendo asua unidade onewton (N), definido através da segunda lei de Newton para omovimento como ^
lN =lfc 2s2 ^
Dasegunda lei de Newton para o movimento, quepode serescrita como ^
obtém-se que adimensão da grandeza força édada por ^
[F] =[ma] = MLr2 ^
F=
1.14 CONSIDERAÇÕES SOBRE ATERMINOLOGIA ""*
Verifica-se que os livros de texto na área de Fenômenos de Transporte apresentam uma terminologia não-uniforme e. em ~
alguns casos, em desacordo com a regulamentação metrológica brasileira.
Neste texto, utilizamos uma terminologia seguindo aregulamentação metrológica brasileira. Consideremos a transfe- "^)
rência de massa ede calor (energia). Segundo oQuadro Geral de Unidades de Medida, anexo àResolução do Conselho *t

f^
#*
IP*
0
CONCETTOS EDEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 13
Nacional de Metrologia, Normalização eQualidade Industrial - CONMETRO n.° 12, de 12 de outubro de 1988 têm-
se as seguintes definições:
Fluxo de massa, com aunidade quilograma por segundo (kg/s), éofluxo de massa de um material que, em regime per
manente através de uma superfície determinada, escoa amassa de 1quilograma do material em 1segundo;
Fluxo de energiaou potência, com aunidade watt (VV), éapotênciadesenvolvidaquandose realiza, demaneiracontínua
e uniforme, otrabalho de 1joide em l segundo;
Densidade de fluxo de energia, comaunidade watt por metro quadrado (W/m2), éadensidadede umfluxo deenergia
unifortne de lwatt, através de uma superfície plana de lmetro quadrado de área, perpendicularàdireção de propagaçãoda
energia.
Neste texto, trataremos com transferência de algumas grandezas físicas, tais como de massa, de quantidade de movi
mento (momento) linear ede calor, ou seja, trataremos com fluxos edensidades de fluxo dessas grandezas.,...
Assim, de acordo comaregulamentação metrológica brasileira, nos fenômenos de transferênciaque estudaremosneste>
texto, fluxo de uma grandeza éaquantidade dessa grandeza que étransferida por unidade de tempo através de uma su
perfície perpendicular àdireção de propagação da grandeza, enquanto adensidade de fluxo de uma grandeza éofluxo
dessagrandeza por unidade de área.
1.15 BIBLIOGRAFIA
BENNETT, C. O.&MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. McGraw-Hill doBrasil, São Paulo, 1978.
FOX, R. VV. &MCDONALD, A. T. Introdução àMecânica dos Fluidos. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1988.
INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAÇÃO EQUALIDADE INDUSTRIAL- INMETRO. Quadro Geral
de Unidades de Medida. 1989.
SHAMES, I. H.Mecânica dos Fluidos. Editora Edgard Blücher, São Paulo, 1973.
SISSOM, L. E.&PITTS, D.R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1979.
STREETER, V. L. &WYLIE, E. B.Mecânica dos Fluidos. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo. 1982.
TIMOSHENKO, S.P.History ofStrength ofMaterials. McGraw-Hill BookCompany, 1953.
VENNARD, J. K. &STREET, R. L. Elementos de Mecânica dos Fluidos. Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1978.
VVELTY, J. R.; VVICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John VViley, 1976.
1.16 PROBLEMAS
1.1 Os líquidos e os gases são fluidos, mas apresentam
características diferentes. Descreva aspropriedades quedi
ferenciam os gases dos líquidos.
1.2 Determine as dimensões das viscosidades absoluta (di
nâmica) e cinemática.
1.3 A FigurpJ 7 mostra o esquema de um escoamento de
águaentre duas placasplanashorizontais de grandesdimen
sões e separadas por uma distância d pequena. A placa in
ferior permanece em repouso, enquanto a placa superior
vx = 1 m/s
está em movimento com velocidade Vx constante, de forma
que resulta uma distribuição linear de velocidade de esco
amento da água. Sendo a viscosidade da água fjL = 0,001
Pa • s, determine:
a) o gradiente de velocidade de escoamento; e
b) a tensão de cisalhamento na placa superior.
Resp.: a) —i- =200 s"1
dy
b) t„ = -0,2 Pa
1.4 Considere a Figura 1.7 do problema anterior. Se. no
lugarda água, existe um óleo e se é necessária uma tensão
cisalhante de 40 Pa para que a velocidade da placa perma
neça constante, determine a viscosidade dinâmica desse
óleo.
Resp.: /xóleo = 0,2 Pa • s
1.5 A Figura 1.8 mostra um esquema da distribuição de
velocidade para um escoamento laminar de um fluido
newtoniano, totalmente desenvolvido, num duto de seção
circular de diâmetro constante, dada por
VÁr)=Vw
-(;)'

u Capítulo Um
onde:
Vmáx é avelocidade máxima doperfil (distribuição), que
ocorre no centro da seção, e
Réo raio interno do duto.
Sendo fi a viscosidade dinâmica do fluido, determine:
a) a distribuição de tensõesde cisalhamento Tn noesco
amento; e
b)a força porunidadedecomprimento queoescoamento
exercesobre a parede do duto.
Resp,a)T„=M
fi2
b).íi =4*p.V„
*>z
Figura 1.8
1.6 A Figura 1.9 mostra um esquema de um escoamento
laminar, totalmente desenvolvido e emregime permanen
te,deum fluido newtoniano, entre duas placas paralelas e
estacionárias, de grandes dimensões e separadas de uma
distância hpequena. Adistribuição develocidade de esco
amentoé dada por
vx(y) = vm
m
Determine a força cisalhante, porunidade de área, exerci
dapelo escoamento sobre a placa superior.
WWWW
Figura 1.9
1.7 Considerando que o módulo de elasticidade volumétri
ca da água é E = 2,22 X IO9 Pa, determine a variação de
pressão necessária parareduzir o volume da águaem 0,1 %.
Resp.:Ap = 2,22 X IO6 Pa
1.8 Mostreque o módulode elasticidade volumétrica E, ex
presso emfunção davariação damassa específica, é dado por
E=-4-
dp-
P
1.9 Considere oar,aonível domar, compressãop = 101,3
kPa e temperatura T = 20°C. Sendo R„ = 287- ' m
determine a massa específica do ar.
Resp.: ^ =1,2^-nv
kg-K'
1.10 Determine a pressão de 2 kgde arque estãoconfina
dos num recipiente fechado com volume igual a 160 litros,
N-m
à temperaturade 25°C, considerando R„ = 287
Resp.:p= 1069 kPa
kg-K
S$K
^Q
/%
J
<*%
^%
s®b
fv%b
/^
^b

<
r~——— v Capítulo 2 >
CONCEITOS DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE E
ANALOGIA ENTRE OS PROCESSOS DIFUSIVOS
UNIDIMENSIONAIS DE TRANSFERÊNCIA DE
MOMENTO LINEAR, DE CALOR E DE MASSA
2.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo, conceituaremos eapresentaremos uma formulação básica para Fenômenos de Transporte. Vamos con
ceituar e analisar, a partir de uma abordagem fenomenológica, processos unidimensionais em que ocorrem fluxos de
momento linear (escoamento laminar de um fluido), de energia (condução de calor) e de massa (difusão molecular),
apresentando ummodelo comum e mostrando aanalogia existente entreesses três fenômenos unidimensionais de trans
ferência difusiva.
2.2 GRANDEZAS EXTENSIVAS E INTENSIVAS. CAMPOS
, Na análise de uma situação física, geralmente centramos nossa atenção em uma determinada porção de matéria que
~; C denominamos sistema. Devemos escolher, adequadamente, grandezas observáveis, que são as propriedades adotadas para
• ,: a descriçãodo comportamento do sistema.
Grandezas extensivas são aquelas que dependem do volume ou da massa, ou seja, são propriedades do sistema como
. . um todo. Exemplos de grandezas extensivas: massa, momento (quantidade de movimento) linear e energia.
V^—t- Grandezas intensivas são aquelas definidas em um ponto e que não dependem do volume ou da massa do sistema.
Exemplos de grandezas intensivas: massa específica, concentração, velocidade etemperatura. Em muitas situações, elas
possuem valores diferentes empontos distintos do sistema, de forma que o conceito de campo é muito útil.
Campo é uma distribuição contínua de uma grandeza intensiva que pode ser descrita porfunções de coordenadas
espaciais e do tempo. Em outras palavras, campo é uma representação da região e do valor dapropriedade intensiva em
cada ponto da região. Se agrandeza intensiva é um escalar, tem-se um campo escalar. Exemplos: campo de temperatura
numa placa ecampo deconcentração de umsoluto numa solução. Seagrandeza intensiva é umvetor, tem-se umcampo
vetorial. Exemplos: campo de aceleraçãogravitacional e campo de velocidade de escoamento de um fluido.
O gradiente de uma grandeza intensiva fornece a taxa de variação máxima dessa grandeza em relação à distância.#
Considerando umcampode temperatura descrito porT = T(.x, y,z),tem-se que ogradiente de temperatura, representa
do por grãd T ou VT, é dado por
r
vT-fi +fj +fÉdx dy dz
que fornece a taxa de variação máxima da temperatura com a distância.
2.3 DESEQUILÍBRIO LOCAL EFLUXOS. FENÔMENOS DE
TRANSPORTE
Quando o gradienteé nulo na vizinhança de um ponto, existe equilíbrio local na distribuiçãoda grandeza intensiva, isto
é, o campo é uniforme em tornodo pontoconsiderado. Se, na vizinhança de um ponto, o gradiente é diferente de zero.
existe um desequilíbrio local na distribuição da grandeza intensiva, ou seja, o campo é não-uniforme.
Observa-se na natureza que,geralmente, aexistência dedesequilíbrio local nadistribuição de umagrandeza intensiva causa•
umfluxo dagrandeza extensiva correspondente. Esses fluxos consistem emtransferência degrandezas extensivas, cuja tendên
0
ciaé restabelecer oequilíbrio nas distribuições das grandezas intensivas correspondentes. Aáreadaciência queestuda osfenô
menos nos quais ocorrem fluxos que tendem a uniformizar oscampos é chamada de Fenômenos de Transporte.

16 Capítulo Dois
Neste texto que se destina acursos básicos, vamos estudar somente os fundamentos do transporte difusivo de mo
mento linear de calor ede massa. Nas próximas seções, vamos caracterizar esses fenômenos de transferência para pro
cessosunidimensionaiseapresentar,apartirde umaabordagemfenomenológica, ummodelocomumeasequaçõesbásicas
que descrevem esses fenômenos difusivos unidimensionais, apresentando aanalogia existente entreeles.
7WC* ~"/l <"'&&& ???& z<C. im?' r?.£
2.4 TRANSPORTE DIFUSIVO DE MOMENTO LINEAR
Os fluidos reais possuemviscosidade, emmaiorou menorgrau, de forma queaexistênciadegradientesdevelocidadede
escoamento cria tensões cisalhantes que causam fenômenos de transferência de momento linear nos escoamentos de
fluidos Consideremos um processo unidimensional que ocorre para um escoamento laminar (no qual omovimento do
fluido se passa como se ofluido fosse constituído de lâminas paralelas que deslizam umas em relação às outras) de um
fluido newtoniano localizado entre duas placas horizontais paralelas, de grandes dimensões, separadas por uma distancia
pequena d, conforme émostrado no esquema da Figura 2.1.
Fluido
Perfil de velocidade
nula
///;>;;;;/;;;;;;;
VQx
/;;//;/;//;;;;;;/>
Fluido
r
////////Jt////////
0 ////>//////////// ~* *
V0x
vox
////////J////////
(a) Inicialmente, as duas placas
estão estacionárias e o fluido
em repouso
(b) Instante de tempo í = 0,
placa superior colocada
em movimento com
velocidade VI
(c) Para t > 0, desenvolvimento
doperfil develocidade VJy, t)
em regime transiente
(d) Para t:» 0, distribuição de
velocidade estabelecida em
regime permanente
Figura 2.1 Desenvolvimento da distribuição de velocidade de escoamento para um fluido localizado entre duas placas planas de grandes
dimensões, separadas porumadistância dpequena, após a placa superior sercolocada emmovimento.
/Wfa
<fàb

^' CoNCErros deFenômenos deTransporteeAnalogiaentreos Processos DifusivosUnidimensionais 17
p Inicialmente, as placas eofluido estão em repouso. No instante de tempo t =0, aplaca superior écolocada em
movimento auma velocidade constante V0x, permanecendo aplaca inferior estacionaria. Devido àpropriedade de
aderência dos fluidos viscosos às superfícies sólidas com as quais estão em contato, verifica-se que as lâminas muito
f delgadas de fluido em contato direto com as placas adquirem as suas velocidades, de maneira que, no instante de
r tempo t- 0, alâmina superior do fluido se move com velocidade Vfc, enquanto oresto do fluido ainda permanece
em repouso.
If Para t>0, observa-se que orestante do fluido entra progressivamente em movimento, ou seja, adquire momento
^ linearnadireçãox. Ofluido adjacente àlâminasuperiorrecebe momento linearproveniente da placasuperiore, porsua
vez também transfere momento linearna direçãoxpara outra camadae, assim, sucessivamente, ocorre uma transferên-
f ciademomentolineardecamadaemcamada. Comoaplacainferiorealâminade fluido emcontatocomaplaca perma-
^ necem estacionárias, verifica-se que avelocidade de escoamento de cada camada éprogressivamente menor, de cima
^ para baixo, até sernula. Dessa forma, desenvolve-se, durante um certo intervalo de tempo, uma distribuição (perfil) de
velocidade de escoamento Vx(y, t) em regime transiente, ou seja, dependente do tempo.
f"• Após esse certo intervalo de tempo, para í55>0, observa-se oestabelecimento de um perfil de velocidade de escoa-
^ mento VJy) em regime permanente que, para esse caso com geometria plana, élinear.
Assim, observa-se um transporte de momento linear na direção x, que ocorre transversalmente ao escoamento, ou
seja, na direçãoy, de cima para baixo, causado pelas tensões cisalhantes t, existentes entre as camadas de fluido nesse
f* escoamento laminar. Nesse processo, há uma fase dependente do tempo na qual Vx = Vx (y, t), de forma que alei de
gpt Newton para aviscosidade (Eq. (1.7.4.10)) fica escrita como
r • dvx
^ T-=~flly~ (2A1)
^ Essa Eq. (2.4.1) relaciona a tensão cisalhante com ogradiente develocidade existente num escoamento laminar de
gpt um fluido newtoniano. Osinal negativo édevido ao fato de que ofluxo de momento linearocorre no sentidocontrário ao
gradiente de velocidade de escoamento.
#^ Atensãocisalhante t^ pode serinterpretadacomoadensidade de fluxo de momento linear. Dasegundalei de Newton
a para o movimento tem-se que
P ^ d(mVx)
e Fx=^r (2A2)
(p ou seja, aforça éigual àtaxa devariação demomento linearem relação ao tempo. Atensão decisalhamento r édefinida
como
t = hm —f- (2.4.3)
de forma que a tensão cisalhante t^fornece aquantidade de momento linear na direção xque cruza uma superfície, na
direção y, por unidade detempo e por unidade deárea, isto é,a tensão decisalhamento representa a densidade defluxo
de momentolinear,de maneiraque ambas têm as mesmas dimensões:
[temio]Jf2Si]=M!£L =ML-H->
Lárea J lr
momento linear MLt'1 , „ . ,
= ML~lr2
ps Lárea xtemP° J LH
m Assim, a existência de gradiente de velocidade de escoamento causa um transporte difusivo de momento linear atra-
vés do fluido, nadireção transversal aoescoamento. Consideremos a situação deregime permanente esquematizada na
^ . Figura 2.1, na qual ofluido está em movimento na direçãox, em escoamento laminar, com uma distribuição de velocida-
|p> de Vx(y). Além do movimento macroscópico na direção x, tem-se o movimento aleatório das moléculas, de forma que
0* resulta uma transferência de moléculas entre as camadas. Cada molécula transporta seu momento linear na direção
correspondente à camada de origem, de maneira que resulta umfluxo de momento linear nadireção x transversalmente
ao escoamento (na direçãoy) em função do gradientede velocidade —-*-. Esse processodecorrente do movimento mo-
(P1 dy
1 lecularaleatório échamado dedifusivo, enquanto omovimento macroscópico dofluido costuma serdenominadoconvectivo.
jbn

fjy
18 Capítulo Dois
C
rV
2.5 TRANSPORTE DE CALOR PORCONDUÇÃO
Calor pode ser definido como aforma de energia que étransferida em função de uma diferença de temperatura. Atrans
ferência de calor pode ocorrer por distintos mecanismos:jCimdiiç^âg2..cqQvecção e radiação. Acondução secaracteriza
quando otransporte de calor ocorre em um ráéio estacionário, sólido ou fluido, causadõpêla existência de gradiente de
temperatura.
Aconvecção acontece nos fluidos ese caracteriza pela transferência de calor pelo movimento de massa fluida. Aradi
ação se caracteriza por uma transferência de calor entre dois corpos pelas radiações térmicas emitidas por suas superfí
cies. Estudaremos somente a condução de calor.
Consideremos um processo unidimensional de condução de calor que ocorre através de uma placa plana de grandes
dimensões eespessura dpequena, constituída de um material sólido homogêneo, conforme émostrado no esquema da
Figura 2.2.
Placa
Placa
y
•
p
r~~ / Placa )
) ii
A
-)—•
(a) Inicialmente,a placapossui
temperatura uniforme TQ
(b) No instante de tempo t = 0,
a superfície superior adquire
temperatura T,, enquanto a
inferior é mantida com
temperatura TQ, ambas
constantes
(c) Para t > 0, desenvolvimento
de perfilde temperatura
em regime transiente
(d) Para t» 0, estabelecimento
de um perfilde temperatura
em regime permanente
Figura 2.2 Desenvolvimento do perfilde temperatura em uma placa plana de grandes dimensões e espessura d pequena, constituída de um
material sólidohomogêneo, colocada entre dois reservatóriostérmicos com temperaturas Tx e T0 constantes.
/9b
/^b
^b
<^%
/Cr£k

r CoNCErros deFenômenos deTransporte eAnalogia entre osProcessos Difusivos Unidimensionais 19
p
p Inicialmente, aplaca toda está com temperatura uniforme T0. No instante de tempo t=0, coloca-seaplacaentre dois
reservatórios térmicos (que mantêm temperaturas constantes, apesar de estarem recebendo ou cedendo calor), resultan
do queasuperfície superiorda placaadquire uma temperaturaT,, enquantoasuperfície inferiorémantidaàtémperatu-
<p ra T0. Verifica-se que oresto da placa ainda permanece com temperatura T0 no instante de tempo t= 0.
p Parat>0, durante um determinado intervale de tempo observa-se odesenvolvimento de uma distribuição de tempe-
* ratura T(y, t) em regime transiente, ou seja, dependente do tempo, que, para esse caso unidimensional, éfunção deyet
<P somente.
p Após esse determinado intervalo de tempo, para t» 0, verifica-se um regime permanente estabelecido, ou seja, in-
ps variante com otempo, resultando, para essa geometria plana, um perfil linear de temperatura T{y).
^_ Observa-se, experimentalmente, que adensidade de fluxo de calorporconduçãoédiretamente proporcionalaogradi-
T ente de temperatura, de forma que, para esse caso unidimensional, em que há uma fase dependente do tempo na qual
m* T = T(y,t), tem-se
p*
ps
JP»
onde:
dT
1, =~^ (2.5.1)
qyé a densidade defluxo decalor por condução nadireção y;
-r- é o gradiente de temperatura na direção y; e
ké o coeficiente de proporcionalidade conhecido como condutividade térmica do material.
Osinal negativo na Eq. (2.5.1) édevido ao fato de ofluxo de calor ser no sentido contrário ao gradiente de tempera
tura.
AEq. (2.5.1) é uma expressão unidimensional da equação de Fourierpara acondução de calor que, para um caso geral
tridimensional, pode ser escrita como
q = -kVT (2.5.2)
O mecanismo de condução de calorconsiste em umatransferência de energia térmica, através de ummeio material,
daregião demaior temperatura para a região demenor temperatura devido à existência degradiente detemperatura. A
temperatura podeser interpretada comoumamedida macroscópica da atividade térmicamolecular em umasubstância,
de forma quea condução de calor consiste em uma transferência de energia térmica entreas partículas, sendo queas
mais energéticas cedempartede suaenergia às moléculas vizinhas que possuem energia menor.
Assim, a existência de gradientede temperaturacausa um fluxo de calorporcondução,cuja tendênciaé restabelecer
o equilíbriono campo de temperatura.
2.6 TRANSPORTE DE MASSA POR DIFUSÃO MOLECULAR
Atransferêneja de massaocorrepelosmecanismos de convecção e difusão. O modode convecção se caracteriza porum
transporte de massa causado pelo movimentodo meio,comoacontece, por exemplo,na dissolução de um torrãode açú
car na água contida em um copo quando se cria um escoamento mexendocom uma colher. O mecanismo de difusão se
caracteriza pela transferênciade massapelomovimento molecular devido à existência de um gradientede concentração
de uma substância. Na situação em que se tem um torrãode açúcar num copo com água em repouso observa-sea disso
lução relativamente lenta do mesmo, enquanto existir gradiente de concentração de açúcar na água. Estudaremos so
mente os fundamentos do transporte de massapor difusão molecular.
Nesta seção, vamosapresentar a lei de Fick para a difusão em uma mistura (ou solução) binaria (de dois componen
tes), que descreve a transferência de massa de um componente denominado A através de uma mistura (ou solução) de
componentes A e B, devidoà existência de um gradiente de concentração da espécie A.
Agrandeza intensivaconcentração pode ser definidade várias maneiras. Consideremos uma mistura binariade com
ponentes Ae 6, sendoVo volume da mistura, mA a massa docomponente Ae mB a massa do componente B,de forma
que a massatotalda misturade volume fém = mA + mB. Umamaneira de expressar concentraçãoé através da definição
de massaespecífica, feita no itemMassa Específica emum Ponto, no Capítulo 1,como
P um TT7 (2.6.1)AV~5V A,/

20 Capítulo Dois
onde:
Am é a massa contida no elemento de volume AV; e t
ÔV é o menor volume, em torno de umponto, onde existe uma média estatística definida. «a
Assim, para a mistura binaria considerada, tem-se que ^
concentração do componente A: pA —lim A (2.6.2) ^
AV-*5V A V ^
concentração do componente B: p% = lim B (2.6.3) /%
AV—»5V A V
,r i . i. AwA 4- AtnB ,~ , „x /
massa específica da mistura: p = lim — l.bA)
r AV-.6V AV ^
resultando em ^
P=Pa +Pb (2-6-5) ^
As concentrações dos componentes AeB também podem ser definidas como uma fração demassa, daseguinte for- ^
= £*- (2.6.6) 1>cA =
P
cs =SL (2.6.7) ^
P "*%
Consideremos um processo unidimensional de transferência de água, pordifusão molecular, através de uma placa ^
plana de cerâmica, homogênea, de grandes dimensões eespessura dpequena, conforme é mostrado no esquema da Fi- ^
gura 2.3. '
Inicialmente, a placade cerâmica temsuassuperfícies emcontato comarseco, de maneira queexiste umadistribui- ^
ção nula de concentração deágua nacerâmica. ^
Noinstante de tempo í = 0 coloca-se água sobre a placa, deforma quea cerâmica juntoà superfície superior passa a
apresentarumaconcentração cAQ de água. O restantedacerâmica aindaapresentaconcentração nulade água,nesseins- /
tantede tempo t = 0, pois a superfície inferior da placa de cerâmica é mantida secacoma incidência de umjatode ar *%
seco.
Para í > 0, durante umdeterminado intervalo de tempo, observa-se o desenvolvimento de umadistribuição de con- '
centração deágua cA(y, t), emregime transiente, naplaca decerâmica. ^
Após esse determinado intervalo detempo, para t» 0 fica estabelecido um regime permanente, resultando um perfil ^
deconcentração de água cA(y) queé linear para essa geometria dosistema.
Verifica-se, experimentalmente, que adensidade de fluxo de massa por difusão molecular édiretamente proporcional '
ao gradiente de concentração. Assim, para um processo unidimensional, genérico, de difusão molecular do componente ^
Anuma mistura binaria de componentes AeB, que tem uma fase dependente do tempo na qual cA = cA{y, t), tem-se ^
j — r» "Pa ^
}A.y--L>M— (2.6.8) y
dy
ou
onde:
r _ n d(pcA) ^
h--~DAB~dy~ <2-6'9> ^
L.,éa densidade defluxo demassa por difusão molecular do componente Aatravés damistura nadireção y; "^
dpA d{pcA) , ^
-r— ou —-— é o gradiente de concentração do componente A na mistura; e '
°J dy ^
DÁB éocoeficiente dedifusão molecular oudifusividade demassa docomponente Anamistura decomponentes AeB. —
**%
/^

p
p
p
0^
(fpN
JP*
p
ms
0
jp^
Conceitos de Fenômenos deTransporte eAnalogia entreos Processos Difusivos Unidimensionais 21
As Eqs. (2.6.8) e(2 6.9) são expressões unidimensionais da lei de Fick para adifusão molecular do componente A
numa mistura binaria de componentes Aefi, que pode ser escrita numa forma vetorial como
ou
h = ~DAB VpA (2.6.10)
]A=-DABf(pcA) (2.6.11)
Osinal negativo nessas equações que expressam alei de Fick para adifusão édevido ao fato de ofluxo de massa
ocorrerno sentidocontrárioaogradiente de concentração, ou seja, adifusão molecularocorre da região de maiorconcen
tração paraaregião de menorconcentração. Omecanismo de transferência de massa pordifusão se origina no movimen
to moleculare, como no caso de gases, porexemplo, como aprobabilidade de uma molécula se dirigir em qualquer dire
ção éamesma, resulta um fluxo líquido do componente considerado da região de maior concentração para aregião de
menor concentração. Os fluxos de massa por difusão molecular são medidos em relação aum referencial que se move
com avelocidade mássica média da mistura que será definida no Capítulo 10.
Ar seco
Cerâmica
Perfil nulo de
concentração de água
Ar seco
°/*0
Água
Cerâmica
Ar seco *
Ar seco
Ar seco
(a) Inicialmente, a placade cerâmica
apresenta um perfil nulo
de concentração de água
(b) io instantede tempot = 0.
coloca-se água sobre a superfície
superiorda placade cerâmica
ic) Para t > 0. desenvolvimento
da distribuição de concentração de
água C{y. t) em regime transiente
•d) Para t >• 0.estabelecimento
de um perfilde concentração
de água cK{y) em regime
permanente
Figura 2.3 Desenvolvimento dadistribuição deconcentração deágua emuma placa plana decerâmica, degrandes dimensões eespess;
d pequena, após ser colocada entre água e ar seco.

22 Capítulo Dois
Assim, aexistência de um gradiente de concentração de um componente numa mistura (solução) causa um fluxo de ^
massa por difusão molecular desse componente através da mistura (solução). /^
2.7 EQUAÇÕES PARA AS DENSIDADES DE FLUXOS DE MOMENTO ^
LINEAR, DE CALOR EDE MASSA ^
Nas seções anteriores descrevemos processos unidimensionais de transferência difusiva de momento linear, de calorede ^
massa, tendo apresentado as seguintes equações: ^
a) Transferênciadifusiva de momentolinear
r —M^ <2--<> 2
A viscosidade cinemática foi definida como ?
„«ü (2.7.2)
P
de forma que podemosexpressar a Eq. (2.7.1) como
r ~,M (2.7.3)
dy
Atensão de cisalhamento T)rv pode ser interpretada como adensidade de fluxo de momento linear na direção y, sendo
a viscosidade cinemática va correspondente difusividade. ^
b) Transferência de calor por condução *%
r)T
q=-k^- (2.7.4) ^
Define-se a difusividade térmica a como
t^b
a = (2.7.5) ^
onde: ^
feéa condutividade térmica do material; 1
pé amassa específica domaterial; e ^
cp é o calor específico a pressão constante domaterial.
Com a difusividade térmica, a Eq. (2.7.4) pode ser escrita da seguinte forma
^,=-0!—-£— (2./.6)
<?y
O produto cpT representa a energia interna específica, de forma que a Eq. (2.7.6) pode serescritacomo ^
ondee é a energia internaespecífica, ou seja, a energia internaporunidadede massa. ;
c) Transferência de massa por difusão molecular ^
i - n ^ ^jA.y -~UAB~T~ (2.7.8» ^
<7}' ^%
Dadefinição de concentração,numamistura,pode-se expressar a concentraçãodocomponenteAcomopcx. result.in- 7
do que a Eq. (2.7.8) pode serescrita como ^
r _ n d(pcA)
Ja.>--L>ab d (2.7.S»i

0*
p
p
ps
ps
p
p*
•0^.
CoNCErros de Fenômenos deTransporte eAnalogiaentreos Processos Difusivos Unidimensionais 23
ondeDABéocoeficiente de difusão molecularouadifusividade de massa do componenteAna mistura de componentes
Nesses processos de transferência por difusão, observa-se que aexistência de desequilíbrio na distribuição de uma
grandeza intensiva, ou seja, aocorrênciade gradiente da grandeza intensiva, causa um fluxo da grandeza extensivacorres
pondente.
As densidades de fluxos de momento linear, de calorede massa são representadas matematicamenteporequações do
tipo
/x=-C
dip/3)
dy (2.7.10)
sendo que:
fy é adensidade de fluxo dagrandeza extensiva nadireção y;
— éogradiente da grandeza intensiva correspondente, que cria a"força motriz" causadora do processo difusivo; e
C é umaconstante de proporcionalidade chamada de coeficiente de difusão ou difusividade.
Tem-se que péamassa específica do meio eagrandeza intensiva /3 éagrandeza extensiva correspondente por unida
de de massa, deforma que oproduto p/3 é agrandeza extensiva por unidade de volume.
Oquadro a seguir apresenta as equações para as densidades de fluxos referentes aos processos unidimensionais de
transporte difusivode momento linear, de calor e de massa.
Grandeza
extensiva transferida
Equação para a densidade de
fluxo da grandeza extensiva
Características do
processo considerado
momento linear
^ _ dVx d(pVx)
T--^dy=-V dy escoamento laminar
incompressível
calor
_._jl«*T_ d(pcpT) _ d(pe)
dy dy dy
meio estacionário com
calor específico e massa
específica constantes
massa U, uAB ^ ü,b ^
mistura binariaem repouso,
de componentes A e fi,
com massa específica p
constante
Adensidade de fluxo da grandeza extensiva é proporcional ao gradiente da grandeza intensiva correspondente. Os
processos unidimensionais de transferência difusiva de momento linear, de calor e de massa são decorrentes dos movi
mentos moleculares e se caracterizam pelatendência ao equilíbrio das distribuições das grandezas intensivas. Têm-se
mecanismos semelhantes, nesses processos de transporte pordifusão molecular, em que os gradientes das grandezas
intensivas criam "forças motrizes" quecausam osfluxos dasgrandezas extensivas correspondentes. Esses trêsfenômenos
difusivos unidimensionais podem serdescritos por um modelo matemáticocomum. Éinteressante compararas Eqs. (2.7.3).
(2.7.7) e (2.7.9) com a Eq. (2.7.10). Observe que a diferença entreessas equações está somente nasgrandezas físicas
envolvidas e nos respectivos coeficientes de difusão.
As difusividades térmica, demassa edemomento linear (viscosidade cinemática) possuem a mesma dimensão dada por
[p) = [a) = [DAB) = L2r> (2.7.11)
e, no Sistema Internacional, têm a unidade metroquadrado porsegundo (m2/s).
Como essas difusividades possuem a mesma dimensão, resulta quequalquer quociente entreduas delas será um pa
râmetro adimensional que é conveniente na análise de situações em que os dois fenômenos de transferência ocorrem
simultaneamente.

24 Capítulo Dois
Quando, no sistemaem estudo, ocorrem transferências simultâneas de momento linearede calor, tem-se oparâmetro
adimensional chamado de número de Prandtl, representado porPr,definido por
a k
(2.7.12)
Onúmero dePrandtl indica aintensidade relativa entre os processos de transporte difusivo demomento linearedecalor.
Para os gases, onúmero de Prandtl épróximo da unidade. Para outros fluidos, ele varia muito, tendo, geralmente, valores
elevados para óleos viscosos e muito baixos para metais líquidos.
Quando ocorrem transferências simultâneas de momento linear ede massa, aparece oparâmetro adimensional cha
mado de número de Schmidt, representado porSc,definido por
Sc ^ -±-
Le =
a
D, pcpD,A6
n «n (27I3)F>ab PDab
O número de Schmidt indica a intensidade relativa entre osprocessos de transporte difusivo de momento linear e de
massa.
Quando, nosistema emestudo, ocorrem transferências simultâneas de calor e de massa, surge o parâmetro adimen
sional chamado de númerode Lewis, representado por Le,definido por
(2.7.14)
O número de Lewis indica a intensidade relativa entre os processos de transporte difusivo de calor e de massa.
Osprocessos simultâneos de transferência difusiva sãoditos similares quando o quociente entre suasdifusividades é
igual a um (unidade), de forma que as grandezas envolvidas sãotransportadas coma mesmaintensidaderelativa.
2.8 EQUAÇÕES DA DIFUSÃO
Nos itens Transporte Difusivo deMomento Linear, Transporte deCalor porCondução e Transporte de Massa porDifusão
Molecular, realizamos um breve estudo de fenômenos unidimensionais de transferência difusiva de momento line
ar, de calor e de massa. Na fase dependente do tempo desses processos ocorrem fluxos das grandezas extensivas na
direção y através de um elemento de volume, com uma taxa de variação da grandeza extensiva dentro do elemento.
Considerando os princípios de conservação, pode-se expressaro seguinte balanço para uma grandeza extensivage
nérica:
( fluxoda grandeza ^
extensiva que entra
no elemento de volume,
fluxo da grandeza
extensiva que sai
do elemento de volume>
''taxa de variação da>
grandeza extensiva
^dentro do elemento
(2.8.1)
Consideremos o elemento devolume mostrado na Figura 2.4,através doqualocorrem fluxos de umagrandeza exten
sivagenérica, na J:.. ,,V> y, sendo que:
fé a densidade de fluxo da grandeza extensiva genérica; e
G é a grandeza extensiva genérica por unidadede volume.
Estão ocorrendo as densidades de flaxos difusivosfy efy+Sy no sentido negativo do eixo y, através das faces situadas
nas coordenadas yey + Ay, respectivamente, causandoumataxa de variação da grandeza extensiva dentro do elemento,
de formaque o balanço expresso pela Eq. (2.8.1) fica sendo
dG
-(/U)AxAz =-(A)AxAz +^L A*AyAz
dt
(2.8.2)
Dividindo pelovolume AxAyAz, rearranjando ostermose fazendo olimitequandoo volume do elementotende a zero,
obtém-se
lim
jy+ly fy
Ay
dG
dt
(2.8.3)
íl%
/*%b
^1
/%
/A
&$b
*%
fi%b
/*%

p
P*
0^
ps
0s
pK
0S
ps
ps
0&S
0ê>
p
ps
0b
r
Conceitos deFenômenos deTransporte eAnalogia entreos Processos Difusivos Unidimensionais 25
Considerando a definição de derivada, tem-se
Figura 2.4 Esquema das densidades de fluxos de uma
grandeza extensiva genérica através de um elemento de
volume.
d£=dG
dy dt (2.8.4)
Substituindo/pelas densidades de fluxos dadas pelas Eqs. (2.7.3), (2.7.6) e (2.7.9) e G pela respectiva grandeza ex
tensiva por unidade de volume, resulta:
a) Para momento linear:
ou
d
dy
d(pVx)
r By dt
d
dy
' d(pVt)' _ d(pVx)
dt
ílta
dlVx _ 1 dV,
Para os casos onde v e p são constantes, resulta
dy2 v dt
(2.8.5)
(2.8.6)
(2.8.7)
Asolução da Eq. (2.8.7),submetidaàs condições de contornoe inicial do problema, fornecea distribuição de veloci
dade Vx(y, í) para o escoamento considerado.
Parao processo unidimensional de transferência difusiva de momento linearesquematizado na Figura 2.1, tem-sea
seguinte formulaçãomatemática:
Equação diferencial:
com as condições de contorno
e a condição inicial
d2Vx 1 dVx ÍOSySd
——- = —— para <
dy2 v dt [f > 0
Vx (0, í) = 0 para
Vx(d,t) = VQx para
V, (y, 0) = 0 para
>=0
r >0
y = d
í >0
0 < y < d
t = 0
(2.8.8)
(2.8.l».i»
(2.S»bi
<2.S l()>

26 Capítulo Dois
b) Para condução de calor:
ou
d_
dy
d_
dy
—a
d(pcpT)
dy
a
d(pcpT)
dy
d(pcpT)
dt
d(pcpT)
dt
Para casos onde a, pec são constantes, resulta
d2T _ I dT
dy2 a dt
(2.8.11)
(2.8.12)
(2.8.13)
Asolução daEq.(2.8.13), queéchamada deequaçãoda difusão de calor, submetida àscondições decontorno e inicial
doproblema, fornece a distribuição de temperatura T(y, t)para o problema de condução de calor considerado.
Para o processo unidimensional de transferência difusiva de calor esquematizado na Figura 2.2, tem-se a seguinte
formulação matemática:
Equação diferencial:
d2T _ 1 dT
dyz a dt
para
7(0, t) = T0 para
T(d,t) —T, para
T{y, 0) = T0 para
=Sy<íiJO=Sy
[íâO
Jy =0
[í>0
y = d
t>0
0 < y < d
t = 0
c) Para a difusão de massa numa mistura binaria:
ou
Sendo DAB e p constantes, resulta
d_
dy
d_
dy
-DÀ
d(pcA)
dy
_ d(pcA)
dt
D,
d(pcA) _ d(pcA)
dtdy
dy1 DAR dt
{2.8.14)
(2.8.15a)
(2.8.15b)
(2.8.16)
(2.8.17)
(2.8.18)
(2.8.19)
Asolução daEq. (2.8.19), que é chamada deequação da difusão de massa, submetida àscondições decontorno e ini
cial do problema, fornece a distribuição deconcentração cA(y, t) do componente Anamistura considerada.
Para o processo unidimensional de transferência difusiva deágua naplaca decerâmica esquematizado naFigura 2.3.
tem-se a seguinte formulação matemática:
fl%
/»k
fWOb
/%
/%
-****
*^!K

CoNCErros deFenômenos deTransporteeAnalogia entre os ProcessosDifusivos Unidimensionais 27
p
p Equação diferencial:
p
p
p
ó2cA _ 1
df DAC
ps
[0< y < d
Lo (2-8-20)
[y = 0
cA (0,í) = 0 para < (2.8.21a)
y = d
cA{d,t) =cÁ0 para j (2.8.21b)
[0 < y < íi
cA (y, 0) = 0 paia _; (2.8.22)
-^ Comparando as Eqs. (2.8.8), (2.8.14) e (2.8.20) e suas correspondentes condições inicial e de contorno, verifica-se
^ que as formulações matemáticas para esses processos unidimensionais de transferência difusiva de momento linear, de
(P calor e de massa são análogas. As diferenças entreessas equações estão nasvariáveis dependentes envolvidas e nos res-
j^ pectivos coeficientes dedifusão para os fenômenos considerados.
^ Essa analogia fica mais evidente com a utilização de variáveis adimensionais.
r Considerando as variáveis adimensionais
ps
e r=t a8-23)
p*
ps y* =^ (2-8.24)
t* =^r (2.8.25)d1
resulta, para oprocesso unidimensional de transferência difusiva de momento linear esquematizado na Figura 2.1, ase
guinte formulação matemática:
Equação diferencial
*V* áV* para Í°.S >**' (2.8.26)dy*2 dt* [t*^0
0s [v* = 0
r V*(0, t*) =0 para (2.8.27a)
0s [t > 0
V*(l,r*)=l para (2.8.27b)r*>0
Í0 < v* < 1
VV,0)a0 para J (2.8.28)

28 Capítulo Dois
Considerando as variáveis adimensionais y
y* =X (2.8.30)
d
t* = — (2.8.31)
d2
resulta, para oprocesso unidimensional de transferência difusiva de calor esquematizado na Figura 2.2, aseguinte for
mulação matemática:
Equaçãodiferencial:
<rr=?Il para J"-' -• (2.8.32)
dy*2 dt* P V*- "
J0 2= y* <1
[t*>0
T*(0,t*) =0 para j^ ° (2.8.33a)í*>0
T*(l,t*)=l para {' * (2.8.33b)|t*> 0
|0<y*
jt* =0T*(y*, 0) = 0 para f, „ (2.8.34)
Considerando as variáveis adimensionais
cX =-^ (2.8.35)
y* =^ (2.8.36)
d
t* =%^ (2.8.37)
•^tl
<^%
'3%
resulta, para oprocesso unidimensional de transferência difusiva de água na placa de cerâmica esquematizado na Figura ^
2.3, a seguinte formulação matemática:
Equaçãodiferencial: ^
<?2cX _ de* |0<y*<l
dy*2 dt* lt*>0
para { x ' (2.8.38)
<""S5
c*(0,t*) =0 para ° (2.8.39a) ^t > 0 /<%
c*(l,t*)=l para i^ =1 (2.8.39b) ^t*>0

P"
p
Mb
0S
0$S
CONCETTOS DE FENÔMENOS DETRANSPORTE EANALOGIA ENTRE OS PROCESSOS DffUSIVOS UNIDIMENSIONAIS 29
c*(y*, 0) = 0 para
0 < y* < 1
t* = 0
(2.8.40)
Assim, considerando sistemas que possuem amesma geometria esituações físicas tais que as condições iniciais ede
contorno dos problemas sejam similares, verifica-se que as formulações matemáticas para os processos unidimensionais
de transferência difusiva de momento linear, de calor ede massa são diferentes somente nas variáveis dependentes en
volvidas e nos respectivos coeficientes de difusão.
Com a utilização de variáveis adimensionais, verifica-se que a única diferença entre asformulações matemáticas
adimensionalizadas que descrevem esses fenômenos está nas variáveis dependentes envolvidas, de forma qve as soluções
das equações diferenciais (2.8.26), (2.8.32) e (2.8.38) são equivalentes e,assim, conclui-se que os processos difusivos
unidimensionais de transferência de momento linear, decalor e de massa são análogos.
Oestudo dessa analogia éinteressante para ilustrar como esses diferentes fenômenos físicos podem ser descritos por
ummesmo modelo matemático. Asequaçõesde difusão serãoestudadas detalhadamente maisadiante, neste curso.
2.9 BIBLIOGRAFIA
BENNETT, C. O. & MYERS, J. E. Fenômenos deTransporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1978.
BIRD, R. B.;STEWART, VV. & LIGHTFOOT, E. N. Transport Phenomena, John Wiley, 1960.
INCROPERA, F. P. &DEVVITT, D. P. Fundamentos deTransferência deCaloredeMassa. Guanabara Koogan, Rio deJaneiro, 1992.
SISSOM, L. E. & PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Riode Janeiro, 1979.
WELTY, J. R.;VVICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat andMass Transfer. John Wiley, 1976.
2.10 PROBLEMAS
2.1 Conceitue grandezas físicas extensivas e intensivas.
2.2 De uma maneira geral,pode-se associar uma grandeza
extensiva a uma grandeza intensivacorrespondente. Clas
sifique e indiqueos pares correspondentes da seguintelis
ta de grandezasextensivase intensivas:energia, momento
linear, energia específica, massa, massa de um soluto, a
unidade (1), velocidade e concentração.
2.3 Conceitue campoe gradiente de umagrandeza intensiva.
2.4 A Figura 2.5 mostra um esquema de um escoamento
laminar de água em regime permanente, localizado entre
duasplacashorizontais de grandes dimensões e separadas
por uma distância y = 0,03 m. A placa superior está em
repouso, enquantoa inferiorestá em movimento comvelo
cidade Vx = 0,5 m/s, resultando um perfil linear de veloci-
/ / / / tj / / / / / / / / / /
vxM
K w >*
Figura 2.5
dade Vx{y) para o escoamento. Sendo a viscosidadeda água
p. = 0,001 Pa • s (para T = 20°C), calcule a densidade de
fluxo de momento linear que ocorre nesse escoamento.
Resp.:r^ = 0,017 N/m2
2.5 A Figura2.6 mostra um esquema de uma parede plana
comespessuraL,constituída de um materialcom conduti-
vidade térmica K. Se está ocorrendo um fluxo de calor por
condução através da parede, em regime permanente, de
forma que a distribuição de temperaturaé linear,conforme
mostrado na Figura2.6, determine:
a) a distribuição de temperatura T(x) na parede;
b) a densidade de fluxo de calor que atravessaa parede.
Resp.:a)7X*) =T0-(To , Tl)x b) qx =£(T0 -T, )
Figura 2.6

3Q Capítulo Dois
2.6 Asegunda lei da termodinâmica trata do sentido dos
processos naturais. AEq. (2.7.10)é a equaçãomatemática
correspondente ao modelo comumparaas densidades de
fluxos paraosprocessos de transportedifusivo unidimensi
onal de momento linear, de calor e de massa. Discuta a
relação dessemodelo detransferência difusiva coma segun
da lei da termodinâmica.
2.7 Considere o processo unidimensional de transporte
difusivo de momento linearem um fluido, esquematizado
na Figura2.1. Na fase em regime permanente, têm-se as
condições invariantes com o tempo, dè forma que a placa
superiorestá comvelocidadeconstante.Vx = V^, enquanto
a placa inferior permanece em repouso. Determine; atra
vés da Eq. (2.8.8), a distribuição de velocidade Vx(y) em
regime permanente.
Resp.: Vx =
Vn
2.8 Considere o processo unidimensional de transferência
difusiva de calorem uma placa, esquematizado na Figura
2.2. Na faseem regime permanente, têm-se as condições
invariantes como tempo, de forma quea superfície superi
orda placa tem temperatura T, constante, enquanto a su-
perfícieinferiorda placa permanece com temperatura T0.
Determine, através da Eq. (2.8.14), a distribuição de tem1
peratura T{y) em regime permanente.
Resp, T(y)=TQ+^-j^y
2.9 Considere o processo unidimensional de difusão de
águaatravés de uma placade cerâmica,esquematizado na
Figura 2.3. Na faseem regime permanente, têm-seas con
diçõesinvariantes com o tempo, sendo que a cerâmicajun
to à superfície superiorda placatem uma concentraçãocA0
deágua, enquantoa cerâmicajunto à superfície inferior per
manececom concentraçãonula de água. Determine, atra
vésda Eq.(2.8.20),a distribuição de concentraçãode água
na cerâmicacA(y) em regimepermanente.
Resp, cA(y) =-^y
2.10 Considereo Problema 2.8. Determine a distribuição
detemperatura T(y) paraa situação emquea superfície in
ferior da placa é mantida comtemperatura T0 igual a zero.
Compare o resultado comasrespostas dosProblemas 2.7e
2.9.
jjp^
/%
*%
i*^b
^
A^
-8%

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