O documento fornece uma bibliografia sobre mecânica dos fluidos e transferência de calor, além de objetivos da disciplina de fenômenos de transporte. Aborda conceitos básicos de mecânica dos fluidos como classificação de fluidos, viscosidade, propriedades e equações relacionadas.

1. 1
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FENG - ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
DISCIPLINA - FENÔMENOS DE TRANSPORTE (ECA) – 2012-2
Bibliografia de mecânicas de fluidos
- Introdução à mecânica dos fluidos - Fox Robert W.
- Mecânica dos fluidos – Streeter, Victor L, Wylie, E. Benjamin.
- Elementos de mecânica dos fluidos - Garcez, Lucas Nogueira.
- Problemas de mecânica dos fluidos - Bastos, Francisco de Assis A.
- Mecânica dos fluidos e Hidráulica - Giles, Ronald V.
- Curso de Hidráulica - Neves, Eurico Trindade.
- Mecânica dos fluidos - Costa, Ennio Cruz.
Bibliografia de transferência de calor
- Princípio da transmissão de calor - Kreith, Frank.
- Transferência de calor -Holman, Jack Philip.
- Transferência de calor - Mc Donald, Alan T.
- Processo de transferência de calor - Kern, Donald.
OBJETIVOS DA DISCIPLINA
Mecânicas dos Fluídos
- Análise de sistemas – onde o fluido é o meio de trabalho, como aeronaves, máquinas,
navios, submarinos, bombas, ventiladores, turbinas, ar condicionado, circulação do
corpo humano.
- Análise de perdas de carga (energia).
- Análise de comportamento de fluídos forçados ou livres em meios abertos ou fechados.
- Estudos dos fluidos ideais e Reais.
Transferência de calor
- Análise da transferência de calor por condução, convenção e radiação.
- Transferência de calor através de sistemas fechados ou livres, como ocorre em
tubulações, placas, fios, equipamentos elétricos. Isolamento.
Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor.

2. 2
MECÂNICA DOS FLUIDOS
CAPITULO I - Introdução e Propriedades dos Fluidos.
Mecânica – é a parte da ciência que estuda o movimento e suas causas.
Mecânica dos fluidos – é o estudo dos fluidos em movimento e suas causas.
1.1 – Definição e Classificação de fluidos.
Fluidos são substâncias capazes de escoarem e tomarem a forma do recipiente que as
contém e que se deformam continuamente quando submetidas a uma tensão de
cisalhamento por menor que seja esta tensão.
S = área da superfície
Fc = Força de cisalhamento (comportamento tangencial )
= Tensão de cisalhamento - é a relação que existe entre a força de cisalhamento que age
sobre uma superfície e a área desta superfície.
S
Fc
Quando a força Fc movimenta a placa superior com uma velocidade (não nula)
constante, pode-se concluir que a substância entre as duas placas é um fluido.
Classificação dos fluidos.
- Líquidos e gases.
- Incompressíveis e compressíveis.
- Newtonianos e não newtonianos.
Líquidos e gases.
Líquidos:
- Tomam a forma do recipiente que os contém.
- Apresentam superfície livres (meniscos).
Gases:
- Ocupam todo o volume que os contém.
- Não apresentam superfície de separação (meniscos).
FN
Fc
Placa fixa
Fluido Fluido
F

3. 3
Incompressíveis e Compressíveis.
- Incompressíveis – São aqueles fluidos que não variam, consideravelmente, a sua massa
específica quando sujeitos a variação de pressão e/ou temperatura.
Ex: os líquidos.
- Compressíveis – São aqueles fluidos que variam a sua massa específica com variação de
pressão e/ou temperatura.
Ex: os gases
Incompressíveis Compressíveis
1.2 – Unidades e Dimensões
S.I S. Técnico S. Inglês Dimensões
Força N kgf lb F
Massa kg kg slug M
Comprimento m m pé L
Tempo s s s T
1kgf 1kg x 9,81m/s2
= 9,81kg.m/s2
= 9,81N
kg.m/s2
= N 1kgf = 9,81N
1.3 – Viscosidade Dinâmica ou absoluta
É a propriedade do fluido que oferece resistência ao cisalhamento.
Consideremos duas placas infinitas, muito próximas, contendo entre eles um fluido.
F
F
Fc
Placa fixa
Placa móvel
Fluido
Fluido
Fluido

4. 4
Suponhamos que a placa de área S esteja sendo tracionada e se desloque com uma
velocidade através uma força Fc.
Mediante a força Fc , observa-se experimentalmente que:
SF
F
F
y
1
, logo
y
SF
1
,, ou
S
Fc
y
Como
S
Fc
= , então,
y dy
d
, se é proporcional, então,
= .
dy
d
Equação e Newton da viscosidade
onde
dy
d
é chamado: Gradiente de velocidade
Gradiente de deformação
Gradiente de deformação angular
Velocidade de deformação angular.
Este termo pode ser entendido como sendo a variação da velocidade que uma
camada move-se em relação a outra adjacente.
: Coeficiente de viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido.
A lei de Newton da viscosidade estabelece que para uma dada velocidade de
deformação angular de um fluido, a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional a
viscosidade.
Ex.: mel e alcatrão são bastante viscosos.
Ar e água são pouco viscosos.
A resistência de um fluido depende da tensão de cisalhamento, e este depende da
coesão e da velocidade de transferência de quantidade de movimento molecular.
A viscosidade de um líquido diminui com o aumento de temperatura.
A viscosidade de um gás aumenta com o aumento da temperatura.
Unidades
SI 2
.
m
sN
= Pa.s

5. 5
CGS 2
.
cm
sdin
= P (Poise). É comum usar a unidade centipoise (cP)
1 cP = 0,01 P = 10-3
Pa.s - A viscosidade da água a 20 o
C é 1 cP
Viscosidade Cinemática ( )
É definida como sendo o coeficiente entre a viscosidade absoluta e a massa
específica.
= , = massa específica
Unidades
SI – m2
/s
CGS– cm2
/s 1 cm2
/s = St ( Stokes )
1.4 – Fluido newtoniano e não newtoniano.
Fluído newtoniano são os fluidos que possuem uma relação linear entre a tensão de
cisalhamento e a velocidade angular ou de deformação. Segue a lei de Newton
= .
dy
d
onde é o fator de proporcionalidade. Chamada de viscosidade do
fluido absoluta ou dinâmica do fluido.
dy
d
Para fins de análise é feita freqüentemente a hipótese de que um fluido é não
viscoso. Com a viscosidade zero, a tensão de cisalhamento é sempre zero, não importando
o movimento que o fluído possa ter. Se o fluido é também considerado incompressível ele é
então chamado fluído perfeito ou ideal.
Ex.: gases, ar e líquidos comuns, tendem a ser newtonianos.
Se considerarmos dois fluidos newtonianos diferentes como a glicerina e a água,
verifica-se que eles se deformam com taxas diferentes sob a ação do mesmo esforço
tangencial. A glicerina oferece resistência muito maior do que a água. Por isto dizemos que
é muito mais viscosa.

6. 6
Fluidos não newtonianos - São os fluidos em que não existe uma relação linear entre
a tensão de cisalhamento aplicada e a velocidade de deformação angular.
dy
d
= A + B
n
dy
d
, onde A = Tensão inicial , B = Viscosidade absoluta
- Plásticos tipos Binghan.
Não escoa com qualquer tensão de escoamento. Quando tencionada primeiro comporte-se
como sólido até uma tensão limite depois se comporta como fluído. (n = 1).
Ex.: Pasta de dentes, suspensão de argila, lamas de perfuração, chocolate, mostarda
quetchup, maionese, tintas asfalto e outros.
- Pseudoplásticos
A relação não é linear. A variação da tensão de cisalhamento tende a zero, enquanto a taxa
de deformação continua variando. (n < 1). Ex.: Soluções poliméricas, suspensões coloidais,
plasma sanguíneo, polietileno fundido, polpa de papel em água.
- Dilatante
Não apresenta relação linear. A tensão de cisalhamento continua variando enquanto a
variação de deformação angular tende a zero. (n >1). Ex.: Suspensões de amido e de areia
(areia movediça).
- Fluidos tixotrópicos
São fluidos não-newtonianos dependentes do tempo, os quais são complicados de analisar.
O gradiente de velocidade varia com o tempo. Ex: Alguns óleos de petróleo cru a baixa
temperatura, a tinta de impressão, o nylon, a massa de farinha e várias soluções
poliméricas.
- Fluidos ideais
São fluidos não reais. São aqueles que não têm viscosidade. Logo a tensão de cisalhamento
é zero. Trata-se de um conceito útil nas soluções teóricas para as posteriores soluções reais.
- Sólido real
São substâncias que sofrem um mínimo de deformação e dentro do limite de
proporcionalidade (Lei de Hooke). A curva é uma linha reta quase vertical passando pela
origem.
Dilatantes
Pseudoplásticos
Plástico Ideal (Plástico de bingham)
Fluidos ideais
Sólidos

7. 7
1.5 – Outras propriedades
a) Peso Específico ( ) - É definido como o peso por unidade de volume.
g
V
W
. W = peso ; Unidades: N/m3
, kgf/m3
, din/cm3
, ....
b) Massa Específica ( ) - É definida como a massa por unidade de volume.
=
V
m
, m = massa e V = volume Unidades -------- kg/m3
, g/cm3
, ...
c) Volume Específico - É definido como o volume por unidade de massa.
e =
1
=
m
V
Unidades -------- m3
/kg , cm3
/g, ...
d) Densidade (d) - É definida como a massa específica de um fluido pela massa específica
da água a 4 o
C. A massa específica da água a 4 o
C é 1000 kg/m3
.
d =
água
f
água
f
Exemplo 1.1 – A densidade de um determinado óleo é 0,8. Determine:
a) Massa específica no SI. R: 800 kg/m3
;
b) Volume específico no CGS. R: 1,25 cm3
/g;
c) O peso específico no SI. R: 7848 N/m3
.
Exemplo 1.2 – Uma placa plana infinita move-se a 0,3 m/s sobre outra igual e estacionária.
Entre ambas há uma camada líquida de espessura 3 mm. Admitindo que a distribuição das
velocidades sejam linear, a viscosidade 0,65cP e a densidade 0,88, calcular:
a) A viscosidade em Pa.s. R = 6,5.10-4
Pa.s;
b) b) A viscosidade cinemática em St. R = 7,4 .10-3
St;
c) c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa. R = 0,065 Pa.
Exercício 1.1– Sendo 1.030 kg/m3
a massa específica da cerveja, qual sua densidade e o
peso dela por garrafa? Sabe-se que o volume ocupado é 600 ml. R: 1,030; 6,06 N.
Exercício 1.2 – Num motor, um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha
engastada de 120 mm de raio interno. Qual é a viscosidade do fluido lubrificante se é
necessário um torque de 36 kgf.cm para manter uma velocidade angular de 180 rpm. Eixo e
bucha possuem ambos 430 mm de comprimento. R: 3,75.10-2
kgf.s/m2
.

8. 8
Exercício 1. 3 – A expressão da velocidade num determinado escoamento é dado por
(-3u/y)+y1/3
= 0, qual a tensão de cisalhamento a 8cm de parede sendo a viscosidade 0,02
Pa.s e y = 0,08 m. R: 3,8.10-3
Pa.
e) Compressibilidade
Pela compressibilidade de um fluido pode ser avaliada a variação de volume V que
experimenta uma substância que esteja sujeita a uma variação de pressão. Se representa
pelo módulo volumétrico de elasticidade ou Módulo de Elasticidade Ev.
Na maioria das aplicações, os líquidos podem ser considerados incompressíveis,
mas para variações bruscas ou elevadas na pressão, à compressibilidade se torna
importante. A compressibilidade de um líquido é expressa pelo módulo de elasticidade.
Seja um cilindro-pistão com uma pressão p e volume V, sofrendo uma compressão
V
dV
dp
vE
V
dV
dp
, para um volume de líquido V, temos:
dV
dp
VEv
Como Vm . se obtém
d
dp
Ev
Para gases e dependendo do processo Ev pode ser determinado pela equação de
estado.
Nos gases ideais, segundo relações da termodinâmica, teconsVp n
tan. . Diferenciando,
0.. 1
dpVdVVpn nn
V
p
n
dV
dp
Então,
pn
dV
dp
VEv . , (n é o coeficiente politrópico)
Isso significa que o módulo de elasticidade dos gases depende da transformação
termodinâmica e da pressão. Se a transformação for isotérmica, n = 1, tem-se Ev = p, ou
seja, dependerá apenas da pressão.
p
1
2

9. 9
Exemplo 1.3 – De quanto é reduzido um volume de 1m3
de água, quando nele é aplicada
uma pressão excedente de 1atm. vE 2,2 GPa R: 4,5.10-5
m3
.
Exercício 1.4 – Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro a pressão de 1
MPa e passa a ocupar um volume de 995 cm3
a 2 MN/m2
. Qual o módulo de elasticidade
volumétrica do líquido? R: 2.105
Pa.
1.6 – Gases Perfeitos
Def. substância que satisfaz a lei dos gases perfeitos
TRp e ..
Tem calores específicos constantes
p pressão absoluta
e = volume específico
R = constante do gás
T = temperatura absoluta
Como
1
ev , então:
TRp ..  Não há variação de calor específico
Unidade de R. ]
.
[
. Kkg
J
T
p
R
Se,
1
ev e
V
m
, então:
m
V
ve , Como RTvp e.
TRmVpTR
m
V
p .....
Se: m = n.M , onde
n = nº de moles
M = massa molecular [kg/kmol]
Vp. TRMn ...
MR constante =
Kkmol
J
R
.
312.8 então, para um mesmo número de móis (n),

10. 10
....
...
..
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
T
Vp
RMn
R = constante do gás
R = constante real dos gases
- Pela lei de Avogrado: Volumes iguais a mesma temperatura e pressão têm o mesmo nº de
moléculas.
- Lei de Charles (pressão constante) – sistema isobárico.
2
2
1
1
T
V
T
V
- Lei de Boyle (temperatura constante) – sistema isotérmico.
2211 .. VpVp
Exemplo 1.4 – Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0,9 MPa e a
temperatura de 20 o
C. Determinar sua massa específica. R: 16,26 kg/m3
.
Exercício 1.5 – Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol, qual o peso do ar por
m3
a uma pressão de 1atm e 20 o
C. R: 11,8 N/m3
.
Exercício 1.6 – Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2
kgf/cm2
e uma temperatura de 27 o
C. se a pressão barométrica for 1 kgf/cm2
, qual o peso
específico do ar. Constante do gás: 286,9 J/(kg.K) R: 33,48 N/m3
.
1.7 – Tipos de escoamento – Número de Reynolds
Existem dois tipos de escoamento. O escoamento laminar (lamelar ) e o escoamento
turbulento.
- Escoamento laminar
Escoamento ideal Escoamento real
No regime laminar, a estrutura do escoamento é caracterizada pelo suave
movimento do fluido em lâminas ou camadas. Isto é, uma camada escorregando sobre
adjacente, havendo somente troca de movimento molecular. Qualquer tendência para

11. 11
instabilidade e turbulência é amortecida pelas forças viscosas de cisalhamento que
dificultam o movimento relativo entre camadas adjacentes do fluido.
- Escoamento turbulento
No regime turbulento a estrutura do escoamento é caracterizada por movimento
aleatório, ou seja, as partículas passam de uma posição para outra qualquer. Elas têm
movimentos erráticos e irregulares. Existe grande troca de quantidade de movimento
transversal.
A natureza do escoamento de fluidos em tubos foi estudada por Osborn Reynolds.
Observou que a mudança de regime de escoamento ocorre a uma velocidade crítica
diretamente proporcional a viscosidade cinemática e inversamente proporcional ao
diâmetro.
Re =
.. HR
; RH = Raio hidráulico; Velocidade média do escoamento
P
S
RH
.4
; P = perímetro da seção transversal
No caso da seção cilíndrica o raio hidráulico é o diâmetro. Assim o Reynolds fica:
Re =
..D
,
Como,
= , então:
Re =
.D
, (Grandeza admensional)
A experiência de Reynolds é destinada a evidenciar os dois regimes (laminar e
turbulento)
Reynolds observou que a transferência de regime, ocorria quando o número de
Reynolds estava em torno 2000 (número crítico para tubulação)
Para efeitos de estudos na disciplina, vamos considerar:

12. 12
Re 2000 Escoamento laminar
2000 < Re 4000 Escoamento em transição ( fluído pode se comportar tanto
como laminar como turbulento )
Re > 4000 Escoamento turbulento
O número de Reynolds constitui a base do estudo do comportamento de sistemas
reais, pelo uso de modelos reduzidos. Um exemplo comum é o túnel do vento
(aerodinâmico) onde se medem as forças desta natureza em modelos de asa de avião.
Diz-se que dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o número de Reynolds
for o mesmo para ambos.
Exemplo 1.5 – Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de
3 cm de diâmetro a uma velocidade de 1m/s. Sabe-se que a viscosidade é de 10-6
m2
/s.
R: Re = 30. 000 (turbulento).
Exercício 1.7 – Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um
duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar. Sabe-se que a
viscosidade do fluído é 2.10-3
Pa.s e a massa específica é de 800 kg/m3
. R: 0,02 m/s

13. 13
CAPITULO 2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS
2.1 – Introdução
Um fluido será considerado estático se todas as partículas não estiverem em
movimento, ou tiver a mesma velocidade relativa a um referencial de inércia.
A ausência de movimento relativo implica na ausência de tensões de cisalhamento.
Então, os fluidos em repouso são capazes, somente de sofrer ação de tensão normal
(pressão).
2.2 – Pressão em um ponto em meio fluído.
A pressão em um ponto é definida como o limite da relação entre a força normal
dF exercida sobre uma área elementar dS quando fazemos a área tender a zero no entorno
do ponto.
dSpdF
dS
dF
S
F
p
S
.lim0
O somatório das forças exercidas sobre um volume de massa fluida em seu próprio
meio é igual a zero.
yzx ppp
Imaginemos um pequeno corpo em forma de uma cunha de comprimento unitário.
O peso do próprio fluído é equilibrado pelo próprio empuxe.
Demonstração:
0..sen...0 32 dsdzpdzdypFx , como
ds
dy
sen , então 32 pp
0..cos...0 31 dsdzpdzdxpFy , como
ds
dx
cos , então 31 pp
logo 231 ppp
x
y
z
P2
P1
P3
ds

14. 14
2.3 – Equação Básica da Estática do Fluído.
Para deduzir a equação geral da estática dos fluidos, vamos considerar um elemento
de fluido conforme figura.
Dedução:
0....0 dzdydx
x
p
pdzdypFx ,
logo: 0
x
p
Analogamente,
0zF 0.... dxdydz
z
p
pdydxp ,
logo: 0
z
p
0Fy 0........ dzdydxgdxdzdy
y
p
pdzdxp ,
logo, dygdp .. ,
Se a massa específica do fluido é constante, no caso de fluidos incompressíveis, temos:
2
1
p
p
dp
2
1
.
y
y
dyg , logo
)(. 1221 yygpp
Se o fluido for compressível
dygdp .. , como
RT
p
então
x
y
z
p
p
p

15. 15
dy
RT
p
gdp . , integrando
)(ln 12
1
2
yy
RT
g
p
p
)}(exp{ 12
1
2
yy
RT
g
p
p
2.4 – Pressão Manométrica e Pressão Absoluta.
Seja o sistema
dygdp .. ,
op
p
dp
oy
y
dyg. , logo
)(. yygpp oo , mas hyyo , logo
hgpp o .. , onde
p = Pressão absoluta
op = Pressão atmosférica
hg.. = Pressão efetiva ou manométrica
Empuxe é uma força vertical que impulsiona os corpos para cima quando submerso em
fluido. Corresponde o peso do volume deslocado de fluido.
VE .
2.5 – Medidores de Pressão e Unidades de Pressão.
Barômetro – são instrumentos que medem a pressão absoluta.
Pressão absoluta – é aquela que se expressa em relação ao vácuo absoluto.
y
x
Superfície livre
oy
y (p,y)
(po,yo)
h

16. 16
Manômetros: são instrumentos que medem a pressão efetiva (= manométrica )
Pressão efetiva ou manométrica: é aquela que se expressa em relação a pressão
atmosférica.
Manômetro de Bourdon : é um instrumento metálico que mede a pressão interna de um
fluido em uma tubulação. A pressão é indicada por um ponteiro. A pressão zero é
indicada no mostrador sempre que a pressão interna do fluido no tubo for igual a
pressão externa ( pressão atmosférica).
Manômetro em U – é um dispositivo que permite medir pressão através de
deslocamento em colunas de fluidos como Hg, H20, CCl4, etc.
Unidades de Pressão
A unidade SI de pressão obtém-se pelo cociente das unidades SI de força (N) e de área
(m2
). Tal unidade denomina-se Pascal, com símbolo Pa.
2
1
1
m
N
Pa
1bar = 105
Pa
Ao nível do mar: 1atm = 101.325 Pa = 760 mmHg
1 torr = 1 mmHg
76 cmHg
h

17. 17
1 Pa
cm
kgf
100.982
OBS: Para o desenvolvimento das aulas, sempre que se falar somente a palavra
pressão, esta se refere a pressão manométrica.
A pressão absoluta deve ser referida como pressão absoluta.
Exemplo 2.1 - Que profundidade de óleo de densidade 0,75 produzirá uma pressão de 2,8
kgf/cm2
. Qual a profundidade em água para esta mesma pressão? R: 37,3 mcó; 28 mca.
Exemplo 2.2 – O prédio Empire State Building de Nova York é uma das construções mais
alta do mundo com uma altura de 381 m. Determine a relação de pressão entre o topo e a
base do edifício. Considere uma temperatura uniforme e igual a 15 o
C. Compare este
resultado com o que é obtido considerando o ar como incompressível e com peso específico
igual a 12,01 N/m3
. Considere a pressão atmosférica padrão (101,325 kPa). R: 0,956;
0,955.
Exercício 2.1 - (fonte: prova perito Polícia Federal): Um navio de carga tem uma seção
reta longitudinal de área igual a 3000 m2
na linha d'água quando o calado é de 9 m.
Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3
, qual a massa de carga que pode ser
colocada no navio antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Calado de um navio é a
distância vertical entre a superfície da água e a parte inferior do casco. R: 612644 kg.
Exercício 2.2 - A pressão pA é a da atmosfera (= 0 relativo). Determinar as pressões
manométricas e absolutas em B e em C. R: 7,7 kPa; 27,67 kPa.
2.6 – Manometria
É uma técnica de medir pressões que consiste em determinar o deslocamento
produzido na coluna contendo um fluido.
Regra para cálculo de pressão em manômetros em U.

18. 18
a) Começar numa extremidade e escreve a pressão;
b) Agregar a mesma, a variação de pressão produzida no próximo menisco (com sinal
positivo se este menisco estiver num nível inferior; negativo se estiver num nível
superior);
c) Continuar, desta forma, a expressão até alcançar a outra extremidade do manômetro e,
igualar a mesma, a pressão neste ponto, seja a mesma conhecida ou não.
Considerar um tubo em U ligado em um tanque que contém um fluido conforme a
figura, cuja pressão “a” deve ser medida.
02211 .. phhp
112201 .. hhpp Pressão absoluta
11221 .. hhp Pressão manométrica ou efetiva
Outra regra (Pressão em A é igual a pressão em B)
22011 .. hphp
112201 .. hhpp
2.7 – Manômetros Diferenciais
O manômetro fornecerá a diferença de pressão entre duas regiões.
Este manômetro continua sendo tubo em U, portanto valem as regras do item
anterior.
1
2
h1
h2
A B

19. 19
CCCBBAAA phhhp ...
CCBBAACA hhhpp ...
Exemplo 2.3 - Qual a pressão efetiva e a absoluta no tanque, conforme figura? R: 1,57.105
Pa; 2,58.105
Pa.
Exemplo 2.4 - Calcular a pressão X para o manômetro da figura, densidade do óleo 0,85.
R: 114.000 Pa.
A
C
B
hA
hB
hC
2.280 mm
1.520 mm
0,00 mm

20. 20
Exercício 2.3 - Dado o desenho abaixo, calcular pA - pB. R: 96.000 Pa.
Exercício 2.4 - Determine PB – PA na figura. R: -35.280Pa.
Exercício 2.5 - A pressão pA é a da atmosfera (= 0 relativo). Determinar a pressão em C
usando a técnica de manometria. R: 27,67 kPa.
Exercício 2.6 – Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde
circula ar se o desnível do nível do mercúrio observado no manômetro de coluna é de 4

21. 21
mm? Considere: Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3
e pressão atmosférica como
sendo 1013,25 hPa. Desconsiderar o peso específico do ar. R: 533,6 Pa. R: 101858 Pa.

22. 22
CAPÍTULO III – FLUIDODINÂMICA
3.1 – Definições
a) Fluidodinâmica – é a ciência que estuda os fluidos em movimento.
b) Hidrodinâmica – é a ciência que estuda os líquidos em movimento.
c) Aerodinâmica – é a ciência que estuda o ar e os gases em movimento.
d) Linha de fluxo ou de corrente – é a trajetória imaginária que representa o lugar
geométrico dos pontos ocupados por partículas que se deslocam dentro de uma massa
de um fluido qualquer indicando em cada ponto a direção da velocidade de cada
partícula.
x
e) Tubo de fluxo ou de corrente – é um tubo imaginário envolvido por um conjunto de
linhas de corrente que delimitam um determinado escoamento.
f) Regime permanente ou estacionário – é quando a velocidade num ponto não varia com
o tempo. Numa seção S , a velocidade sempre será a mesma para qualquer instante. Ex.
um reservatório com bóia mantendo o nível da água. Em qualquer ponto da linha de
fluxo a velocidade permanece constante.
g) Regime não permanente – é quando a velocidade num ponto varia com o tempo. Ex: um
reservatório escoando sem manter o nível da água. Em qualquer ponto da linha a
velocidade vai sendo alterado em função do abaixamento de nível da superfície líquida.
Bóia
y
x
Y
x

23. 23
h) Regime uniforme – é quando em um determinado instante a velocidade de todas as
partículas em qualquer ponto do fluido, é constante em módulo, direção e sentido. A
velocidade pode variar ao longo do tempo ou não, mas não varia entre os pontos. A
velocidade é a mesma em qualquer ponto ao longo da linha de fluxo.
i) Regime não uniforme – é quando em um determinado instante, as velocidades das
partículas não são constantes em todos os pontos ao longo de uma mesma linha de fluxo.
3.2– Vazão de uma corrente.
Suponhamos uma corrente com água que passa através de uma seção S .
Recolhemos através de um recipiente um determinado volume durante certo intervalo de
tempo t .
Chama-se vazão volumétrica Q o cociente entre o volume e o tempo de
recolhimento.
t
V
Q
Se a velocidade média que se movem as partículas é , então estas são capazes de
percorrerem uma distância num tempo t .
.SQ - Unidades: m3
/s, litros/h, m3
/h, cm3
/s, ...
1
2
S1
S2

24. 24
Vazão mássica – é a vazão dada em massa por unidade de tempo.
t
m
m
QSm ... Unidades: kg/s ; kg/h ; g/s
Exemplo 3.1 - Uma estação de água deve recalcar 450 m3
/h para abastecimento de uma
cidade. Qual o diâmetro que deve ter a canalização para que a velocidade média seja 1,25
m/s. R: 36 cm.
Exercício 3.1 – Qual a vazão de água (em litros por segundo) circulando através de um
tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade da água como sendo 4 m/s?
R: 3,21 litros/s.
Exercício 3.2 – Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de
2 litros/s? R: 4,1 m/s
Exercício 3.3 – Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2
kgf/cm2
e uma temperatura de 27 o
C. se a pressão barométrica for 1 kgf/cm2
, e a velocidade
for de 3 m/s, quantos kg/s de ar escoando? R: 0,181 kg/s.
3.3. Equação da continuidade
Considera-se uma superfície fechada e fixa no seio de um fluido em movimento.
Baseado na lei da conservação da massa, segundo a qual nenhuma matéria pode ser
criada ou destruída, pode-se estabelecer a chamada equação da continuidade através do
balanço de massa.
me = ms ou
S1
S2
1
2
d1
d2
t
t

25. 25
2211 .. VV ou
222111 .... SdSd Como dtd . , então
222111 .... SS
Se o fluido for incompressível
212211 .. QQSS
Isto demonstra que a vazão Q é a mesma para todas as seções transversais do tubo
em dado instante, uma vez que o tubo esteja completamente cheio.
Exemplo 3.2 - (fonte: prova perito Polícia Federal): Uma tubulação cilíndrica tem um
trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A
redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na
parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 N/m3
a uma vazão de 3,06 m3
/s. Ao
fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de
velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico para 7,85
N/m3
. Determine:
a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,82 m3
/s.
b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 121,3 m/s.
c) A vazão mássica do ar no escoamento. R: 3,06 kg/s.
Exemplo 3.3 - Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de
diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um
elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na tubulação escoa água líquida com
massa específica de 1000 kg/m3
a uma vazão de 3,06 litros/s. Ao fluir para o trecho de
menor seção a água sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade. Viscosidade
10-6
m2
/s. Determine:
a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,06 litros/s
b) A velocidade da água no trecho de menor seção. R: 0,097 m/s
c) A vazão mássica no escoamento. R: Re= 19490 (turbulento)

26. 26
3.4. Balanço de energia (equação de Bernoulli)
Consideremos uma corrente de fluido submetido às forças nela atuantes:
Fazendo-se um balanço de energia em cada ponto em relação ao peso:
E1 = E2
1111 spc EEEE
2
.
2
.
2
1
2
1
1
g
W
mEc
11 ...1
ZWZgmEp
1
11111111 .....1
W
PVPdSPdFEs , assim
2
...
2
1
1
111
g
WW
PZWE , dividindo por W
g
P
ZE
.2
2
1
1
1
11
Fazendo-se uma relação análoga para E2, temos:
g
P
ZE
.2
2
2
2
2
22 , Como E1 = E2 e o fluido sendo incompressível
Logo:
g
p
Z
g
p
Z
.2.2
2
22
2
2
11
1
Exemplo 3.4 - Uma canalização lisa que conduz água a 15o
C com diâmetro de 150mm
apresenta num determinado trecho uma seção contraída de 75mm de diâmetro onde a
pressão interna é de uma atmosfera (ao nível do mar). 3m acima do ponto 2 (conforme
S1
S2
1
2
d1
d2
t
t

27. 27
figura) a pressão se eleva para 144.207Pa. Calcular a velocidade em cada um destes pontos
de escoamento e a vazão.
R: 3,1 m/s; 12,42 m/s; 55 litros
Exercício 3.4 – Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o
desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m?
Exercício 3.5 - Um conduto e constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25 e 0,20 m,
como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que a pressão no ponto A é de 1,5 kgf/cm2
e que a
velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no conduto e a
pressão no ponto B. (Supor movimento sem atrito). R: 244988 Pa
2
1

28. 28
3.5. Equação da quantidade de movimento.
Baseado na segunda lei de Newton, tem-se:
dSdQdm
dt
d
mdFdamdF )...(..... , assim:
12 111222 .... xxx SSF
12 111222 .... yyy SSF
Exemplo 3.5 - Determine a força horizontal sobre a superfície mostrada na figura. A
velocidade do jato mostrado na água é igual a 15 m/s. Considere que a lâmina do fluido
mantém a mesma espessura em toda a trajetória. Massa específica da água: 1000 kg/m3
.
R: -883 N.
Exercício 3.6 – Um jato de água de 2 cm de diâmetro a uma velocidade de 3,0 m/s incide
perpendicularmente sobre uma placa fica. Qual a força sobre a placa? Peso específico da
água: 9810 N/m3
. R: -2,82 N.
3.6 – Potência fluida
QhQp
dt
Vp
dt
dS
p
dt
dF
W
dt
dW
W ...
..
.
.
, onde h corresponde a altura de
coluna de fluido.
- Unidades ,...]/.;[ smkgf
s
J
W 1Hp = 75 kgf.m/s = 745 W
Equação da energia para fluido ideal com máquina no escoamento
Máquina é qualquer elemento, introduzido no escoamento, capaz de fornecer ou
retirar energia do fluido na forma de trabalho. Podemos ter dois casos:
- Bomba: Qualquer máquina que fornece energia ao fluido.
- Turbina: Qualquer máquina que retira energia do fluido.
600
100 mm
B T 21

29. 29
g
p
ZHH
g
p
Z RA
.2.2
2
22
2
2
11
1
AH : Energia adicionada ao fluido em metro (altura de carga manométrica), por exemplo,
uma bomba.
QHW AA ..
AW é a potência adicionada.
B
A
B
W
W
B : Rendimento ou eficiência da bomba
BW é a potência da bomba.
RH : Energia retirada do fluido em metro (altura de carga manométrica), por exemplo, uma
turbina.
QHW RR ..
RW é a potência fornecida à turbina.
R
T
T
W
W
T : Rendimento ou eficiência da turbina.
TW é a potência da turbina.
Exemplo 3.6 - Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0,6 m3
/s.
Considerando uma eficiência de 87%, qual será a altura de carga que atua na turbina?
R: 87,4 m.
Exemplo 3.7 – A bomba mostrada na figura abaixo recebe água, com vazão Q = 0,2 m³/s,
através do duto de sucção de diâmetro 20 cm e descarrega através do duto de descarga de
diâmetro 15 cm que está estalado com uma elevação y = 0,5 m em relação a tubulação de
sucção. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão relativa p1 = -30000
Pa, enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão relativa p2 =
300000 Pa. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito viscoso,
determine a potência fornecida pela bomba ao escoamento. R: 73,8 W.

30. 30
Exercício 3.7 – A água escoa através de uma turbina, conforme desenho, a razão de 0,21
m³/s e as pressões em A e B são respectivamente 150.000 Pa e -35.000 Pa. Determinar a
potência fornecida à turbina pela água. R: 41614 W
Exercício 3.8 – A figura mostra um esquema de escoamento de água, em regime
permanente, com vazão Q = 0,5 m³/ s, através de uma turbina. As pressões estáticas nas
seções (1) e (2) são, respectivamente, P1 = 180000 Pa e P2 = -20000 Pa. Desprezando a
dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando que não há troca de calor,
determine a potência fornecida pelo escoamento á turbina. R: 131,7 kW.
Exercício 3.9 - O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a
uma vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é
bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção
do tubo é 10 cm2
.

31. 31
CAPÍTULO IV - Escoamento de fluidos reais
4.1 – Introdução
A natureza do escoamento do fluido real é muito complexa. As leis básicas que
descrevem o movimento de um fluido não são de fácil formulação nem de fácil manejo
matemático, de forma que são necessários recursos experimentais através de experiências
metódicas.
A diferença de pressão entre dois pontos pode variar com a velocidade ou com a
energia potencial.
Essa diferença de pressão é devido a fricção (atrito) das partículas dos fluidos
contra as paredes ou entre si e também devido as perdas chamadas de singulares como
bocais, tês, joelhos, válvulas, contrações, expansões, etc.
O manômetro em U também pode medir esta diferença de pressão entre pontos
diferentes de uma tubulação e ela pode ser calculada através da equação manométrica.
4.2 – Perdas de carga
O teorema de Bernoulli foi deduzido com a hipótese do fluido ser perfeito, não
sendo considerado, portanto, o atrito devido a viscosidade assim como outras causas que
determinam uma degradação da energia mecânica pela sua transformação em energia
calorífica. Estes fenômenos não podem ser desprezados no estudo de fluidos em
h
Q
Q
Fluido escoando
Fluido
manométrico
Altura piezométrica

32. 32
movimento e as equações antes deduzidas devem ser modificadas a fim de que os mesmos
sejam levados em conta.
O termo “perda de carga” representa a energia perdida (ou transformada em
energia calorífica) entre dois pontos considerados para vencer as resistências ao
movimento dos fluidos.
Assim:
21Ph 31Ph
ph = Perdas de carga
Energia perdida
A energia por unidade de peso fica:
21
21
Ph
P
E
P
E
; P = Peso
31
31
Ph
P
E
P
E
A perda de carga pode ser medida através de um manômetro em U em função da
diferença de pressão.
Pela equação manométrica
)(21 ABhpp (1)
A equação de Bernoulli com a perda de carga, fica
h
1 2
x
Q
1 2 3
A
B

33. 33
p
AA
h
g
p
Z
g
p
Z
.2.2
2
22
2
2
11
1
gg
pp
ZZh
AA
p
.2.2
2
2
2
121
21 (2), substituindo (1) em (2), fica
)
.2
()(
2
1
2
2
21
g
ZZhh
A
AB
p
Se a tubulação for paralela ao centro da terra:
)
.2
()(
2
1
2
2
g
hh
A
AB
p e se ainda tiver a seção constante:
)(
A
AB
p hh
Exemplo 4.1 - A água flui numa tubulação,
conforme figura. No ponto 1 desta tubulação o
diâmetro é de 175 mm, a velocidade é de 0,6 m/s
e a pressão é igual a 345 kPa. No ponto 2 o
diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300
kPa. Calcule a perda de carga entre os pontos
sabendo que o desnível entre eles é de 5 m.
R: 4,5 m.c.água
Exercício 4.1 – A figura mostra um esquema simplificado e fora de escala de uma bomba
que retira água, através de um duto de diâmetro interno D = 10 cm, de um reservatório de
grandes dimensões com a superfície livre (S.L.) mantida em nível constante. A água é
descarregada, com vazão constante Q = 0,02 m³/s, a uma altura H = 38 m acima da bomba,
através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm, em uma caixa d’água aberta para
atmosfera. Considerando que entra as seções (1) e (2) mostradas na figura existe uma perda
de carga ph = 2m, determine a potência que a bomba fornece ao escoamento. R: 7,4 kW.
Exercício 4.2 - Na instalação da figura a máquina é uma bomba e o fluido é água. A bomba
tem potência de 3600 W e seu rendimento é 80%. A água é descarregada na atmosfera a
1
2

34. 34
uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2
. Determinar a perda de
carga entre as seções (1) e (2). R: 62,5 m.
4.3 – Equação de Darcy-Weisbach
Esta equação possibilita calcular a perda de carga em função do fator de atrito
Seja a figura:
Ao longo de uma tubulação a perda de carga pode ser obtida:
gD
L
fh DL
.2
..
2
, onde pL hh , Lh é chamada de perda de carga principal que ocorre
através da tubulação sem levar em consideração a perda de carga secundária.
Onde: fD é o fator de resistência ao escoamento, fator de atrito de Darcy-Waisbach
O fator de atrito depende:
Depende da velocidade , do diâmetro D, da massa específica , da viscosidade , dos
espaçamentos entre as rugosidades '
, das projeções das rugosidades , do fator forma das
rugosidades m.
h
1 2
Q
D
D
Q

35. 35
4.4 – Fator de atrito em escoamento laminar
Sendo o escoamento laminar as partículas movem-se ordenadamente.
As partículas próximas a superfície deslocam-se lentamente e tem posições
definidas para escoar. Aquelas partículas que estão no fundo das projeções nem chegam a
se deslocar. Então no escoamento laminar o atrito depende praticamente das forças viscosas
e não das rugosidades pois se forma uma corrente fluida fora das rugosidades.
0' m
Assim o escoamento laminar depende somente da velocidade, do diâmetro, da massa
específica e da viscosidade. Isto é das variáveis que envolvem o número de Reynolds.
Re
64
Df
Fator de atrito de Fanny
Ou seja fD ff .4
4.5 – Fator de atrito em escoamento turbulento
Sendo o escoamento turbulento as partículas se movem em qualquer direção. Com
isto não as podemos desprezar quando existirem.
4. 5.1 – Tubos lisos
Quando o escoamento é turbulento e escoa em um tubo liso, isto é ( 0' m ),
então o fator de atrito depende unicamente do número de Reynolds. Blausius correlacionou
experiências com este tipo de tubo e chegou a seguinte fórmula para Reynolds menor que
100.000.
Re
16
ff

36. 36
25,0
Re
316,0
Bf , Para o escoamento nestas condições BD ff
O fator de atrito de Fanny
Ou seja fB ff .4
Exemplo 4.2 - Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de
1.800. A perda de carga é de 30 m em 100 m de tubulação. Calcular a vazão em litros/min.
R: 6,06 litros/min.
Exemplo 4.3 – Seja 100 m de tubo liso de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água
a uma velocidade de 2 m/s, conforme figura abaixo. Entre os pontos 1 e 2 determine:
a) A perda de carga (energia): R: 12,65 m.
b) A diferença de pressão em mmHg. R: 930 mmHg
Exercício 4.3 - Um óleo lubrificante médio de densidade 0,86 é bombeado através de 500
m de um tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a razão de 0,00125 m3
/s. Se a queda de
pressão é 2,1 kgf/cm2
, qual a viscosidade do óleo? R: 0,051 Pa.s.
4.5.2 – Escoamento turbulento em tubos rugosos.
Para o cálculo de perda de carga em tubos rugosos, Moody propôs um diagrama que
apresenta o fator de atrito como função do número de Reynolds e da rugosidade relativa.
Este diagrama permite determinar os coeficientes de atritos em tubos comerciais limpos.
- Rugosidade relativa ( /D) é obtido dividindo-se o diâmetro médio das rugosidades pelo
diâmetro da tubulação.
- O valor de ( ) encontra-se no canto inferior e a esquerda do diagrama de Moody.
- No diagrama de Moody nota-se que as curvas de rugosidade relativa menores ou igual a
( /D) = 0,001 aproxima-se da curva de tubos hidraulicamente lisos a medida que Reynolds
diminui. Isto ocorre porque a medida que Reynolds diminui a película laminar da parede do
tubo aumenta tornando o escoamento mais suave e o fluido tende a se comportar como em
tubos lisos.
- Para certos intervalos do número de Reynolds a película laminar cobre completamente as
pequenas projeções de rugosidade, e o tubo apresenta o mesmo coeficiente de atrito de tubo
liso.
25,0
Re
0791,0
ff

37. 37
- Na zona de completa turbulência essa película laminar se torna desprezível em relação as
alturas das projeções da rugosidade e cada projeção acarreta turbulência provocando um
aumento da perda de carga. A viscosidade deixa de existir evidenciando o fato de o
coeficiente de atrito não variar mais com o número de Reynolds. Nesta zona a perda de
carga varia diretamente com o quadrado da velocidade.
4.6 – Problemas simples de escoamento em tubos.
Estes problemas são entendidos como sendo aqueles que envolvem a perda de carga
somente em função do atrito e não para perdas que envolvam acessórios, expansões,
contrações bruscas e outras.
O fluido é considerado incompressível e envolve seis vaiáveis: Q, L, D, hL e .
Em geral L, e são conhecidos.
Três casos a serem estudados:
Casos Dados A encontrar
I ,,,, DLQ Lh
II LhDL ,,,, Q
III
,,,, LhLQ D
Se 10-6
/D 10-2
e 5000 Re 108
, pode calcular f através da
equação:
2
9,0
)]
Re
74,5
7,3
[ln(
325,1
D
f
4.6.1 – Caso I - Solução para obter hL (quando são dados: Q, L, D, e )
Passos:
a) Calcular Reynolds e rugosidade relativa ( /D);
b) Tirar f do diagrama de Moody, por interpolação, quando necessário;
c) Calcular hp na equação de Darcy-Weisbach.
Exemplo 4.4 - Calcular a perda de carga (energia) para o escoamento de 140 litros/s de um
óleo de viscosidade cinemática 10-5
m2
/s num tubo de ferro fundido de 40 m de
comprimento e 200 mm de diâmetro. R: 4,66 m.N/N
Exercício 4.4 – Seja 100 m de tubo liso de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa
água a uma velocidade de 2 m/s, conforme figura abaixo. Entre os pontos 1 e 2 determine
usando o diagrama de Moody:
a) A perda de carga (energia);
b) A diferença de pressão em mmHg.

38. 38
4.6.2 – Caso II - Solução para obter vazão Q (quando é dado hL, L, D, e )
Passos:
a) Com ( /D) estimar o fator de atrito;
b) Calcular a velocidade na equação de Darcy-Weisbach;
c) Calcular o número de Reynolds;
d) Com ( /D) e Reynolds, tirar o novo fator de atrito f no diagrama de Moody;
e) Repetir o procedimento até que o fator de atrito f ficar repetido em dois algarismos
significativos;
f) Calcula-se a vazão Q.
Exemplo 4.5 - A água circula a 15 o
C num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e
= 3 mm com ma perda de carga de 6 m.c.a num comprimento de 300 m de comprimento.
Calcular a vazão. R: 0,12 m3
/s.
4.6.3 – Caso III - Solução para obter diâmetro D (quando é dado hL, L, Q, e ).
Solução para obter D.
Dados: ,,,, vLQhL
Neste caso há três incógnitas na equação de Darcy-Weisbach.
gD
L
fhL
2
..
2
, Df ,,
Duas na equação da continuidade
2211 .. SSQ 2
2
2
1
2
1
.
4
.
.
4
. DD
,, D
e três na equação do número de Reynolds
v
DD ...
Re Re,,, D
A rugosidade relativa também é desconhecida.

39. 39
Sabemos que:
gD
L
fhL
2
..
2
16
, 42
2
2
2
2
D
Q
S
Q
gD
Q
D
L
fhL
2.
.16
.. 42
2
f
Dg
QL
hL .
..
..8
52
2
, isolando 5
D
f
gh
QL
D
L
.
.
..8
2
.
2
5 2,0
11
5
).(. fCDfCD onde 1C
gh
QL
L .
..8
2
.
2
(1)
4
.
..
2
D
SQ
D
Q
D
.
.4
.
vD
Q
v
D
..
.4.
Re
Dv
Q 1
.
.
.4
Re
D
C2
Re onde 2C
v
Q
.
.4
(2)
A solução é obtida através do seguinte procedimento:
a) Admite-se um valor f;
b) Resolve-se a equação 1 para o cálculo de D em função de f;
f
gh
QL
D
L
.
.
..8
2
.
2
5
fC .1
c) Resolve-se a equação 2 para o cálculo de Re em função de D;
D
C2
Re
d) Calcula-se a rugosidade relativa
D
;
e) Com Re e
D
, acha-se um novo f no diagrama de Moody. Se f for o mesmo anterior,
então o diâmetro está correto;
f) Se não repetir f, usa-se o novo f e repete-se o procedimento voltando ao item b;
g) Quando o valor de f não mais variar, todas as equações são obedecidas e o problema está
resolvido.
Exemplo 4.6: Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar
252 litros/s de óleo, smv /10 25
a distância de 3.048 m com uma perda de carga de 22,86
kgf.m/kgf. R: 424 mm.

40. 40
4.7 – Perdas singulares.
São chamadas de perdas singulares (ou localizadas) aquelas que são provocadas por
acessórios, contrações bruscas, expansões bruscas, etc.
4.7.1 – Perdas de cargas devidos a acessórios (ha)
São perdas de cargas (energias) que ocorre em condutos devidos a acessórios tais
como: cotovelos, curvas, juntas, válvulas (registros), tês, etc. Nestes casos as perdas de
cargas são determinadas experimentalmente e são expressas em comprimentos equivalentes
(Le) de tubos que tem a mesma característica.
g
K
gD
L
fh e
Da
.2
.
.2
..
22
, onde
f
DK
Le
.
Esse K é tabelado
- Unidades usuais para perdas de cargas: [m de coluna de fluido, N.m/m, kgf.m/m,]
Alguns coeficientes:
Conexões ou acessórios K
Válvula globo (totalmente aberta) 10
Válvula angular (totalmente aberta) 5
Válvula de retenção (totalmente aberta) 2,5
Válvula de gaveta (totalmente aberta) 0,19
Curva de raio curto 2,2
Tê comum 1,8
Cotovelo comum 0,9
Cotovelo de raio médio 0,75
= +
L1 Le L1 Le

41. 41
Cotovelo de raio longo 0,6
g
Kh T
a
.2
.
2
; T : Velocidade do escoamento no tubo
4.7.2 Perda de carga devida a expansões buscas (he)
g
Khe
.2
.
2
1
, onde a velocidade considerada é a de menor seção.
22
2
1
])(1[
D
D
K
Se a expansão se dá para um reservatório (D1/D2) 0, implica K = 1 e a perda de
carga fica:
4.7.3 – Perda de carga devida a contração brusca (hc)
g
Khc
.2
.
2
2
, onde a velocidade considerada é a de menor seção.
2
)1
1
(
CC
K
- Coeficiente de contração para a água determinado por Darcy-Weisbach.
S2/S1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Cc 0,624 0,632 0,643 0,659 0,681 0,712 0,755 0,813 0,892 1,0
QS1
S2
S1
S2
Q

42. 42
4.7.4 – Perda de carga na entrada de um tubo ligado a um reservatório (hr)
g
Kh T
R
.2
.
2
, onde a velocidade considerada é no tubo.
Canto vivo Canto reentrante Canto arredondado
5,0K 0,18,0 K 05,001,0 K
Exemplo 4.7 – Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente
aberta conectada em uma tubulação de ferro galvanizado de 2,5 cm de diâmetro. Sabe-se
que a velocidade do escoamento é 3,0 m/s provocando um Reynolds de 1000. Determine
em relação a válvula:
a) O comprimento equivalente; R: 3,9 m
b) A perda de carga provocada. R: 4,6 m.c.f.
Exemplo 4.8 - Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido, de 150 mm de diâmetro,
da figura. Viscosidade cinemática = 10-6
m2
/s. R: 46 litros/s.
Exercício 4.5 – Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm2
de seção transversal por onde circula um escoamento de
água a 15 o
C e velocidade de 2 m/s. A seção sofre uma
redução brusca para a metade da área. Supondo uma
tubulação lisa, determine em relação ao escoamento:
a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de água. R:
0,18 mH2O.
b) A variação de pressão provocada pela redução. R: 1765 Pa.

43. 43
c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio. R: 0,013 mHg.
Exercício 4.6 – Seja a instalação esquematizada a seguir, considerando-se que a vazão de
água transportada é de 10 m3
/h e a temperatura 20 o
C, Calcular:
a) A perda de carga na sucção; R: 4,15 m.
b) A perda de carga no recalque; R: 4,88 m
c) O total das perdas de cargas; R: 9,03 m
d) A energia adicionada pela bomba; 25,82 m
e) A potência líquida adicionada pela bomba; R: 709 W
f) A potência que deve ter a bomba considerando que seu rendimento seja 85%. R:
834 W.
Exercício 4.7 - Qual a perda de carga no tubo? R: 1484 kPa
Considere: tubo liso PVC
υágua = 1,006 x 10-6
m2
/s
Vágua = 5 m/s
ρágua = 1000 kg/m3
As conecções são curvas.
COMPRIMENTOS EQUIVALENTES
- VP = 18,3 m
- RG = 0,4 m
- VR = 6,4 m
- ST = 1,5 m
- Curva PVC = 1,2 m
- Curva ferro fundido = 0,9
ST

44. 44
Exercício 4.8 – Seja o sistema abaixo com tubulação lisa, calcular:
a) A vazão volumétrica; R: 0,002 m3
/s
b) A velocidade do escoamento; R: 1,02 m/s
c) O número de Reynolds; R: 51000
d) Total de perdas localizadas; R: 0,98 m
e) Total de perdas nas tubulações; R: 0,94 m
f) O total de perdas de carga; R: 1,92 m
g) A energia adicionada pela bomba; R: 17,97 m
h) A potência fluida; R: 352,6 W
i) A potência da bomba considerando um rendimento 0,8. R: 441 W
Exercício 4.9 - A água a 10°C escoa de um reservatório grande para um menor através
sistema de tubos de ferro fundido de 5 com de diâmetro, como mostra a figura 8-48.
Determine a elevação para uma vazão de 6 L/s. R: 31,1 m.
Saída
Comprimentos equivalentes

45. 45
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
CAPITULO V - CALOR
5.1-Generalidades
A teoria molecular da matéria baseia-se em
certos princípios que permitem explicar o calor.
a) Todos os corpos são formados por pequeníssimas
partículas, ou moléculas.
b) As moléculas não ocupam todo o volume do
corpo que o forma, entre elas há espaços vazios
chamados intermoleculares, cujas dimensões variam
com o estado do corpo.
c) Entre molécula e molécula exercem-se forças chamadas de coesão.
d) As moléculas estão em movimento em torno de um ponto.
5.2- Calor
É uma forma de energia em transição provocada pela diferença de temperatura entre
dois corpos, função das diferentes energias moleculares destes corpos.
A maior ou menor temperatura de um corpo deve-se a maior ou menor velocidade de
vibrações de suas moléculas.
Dar calor a um corpo significa aumentar a energia mecânica das moléculas, isto é,
aumentar as vibrações moleculares.
O gelo apresenta uma estrutura cristalina onde as moléculas vibram em posições
definidas mercê das forças coesas. Ao passar para o estado líquido estas moléculas
abandonam suas posições de equilíbrio. No estado gasoso eles possuem movimentos
quaisquer. Perdem totalmente as forças de coesão.
5.3- Calor e trabalho mecânico
O calor pode se transformar em trabalho mecânico. É o caso da máquina a vapor. As
moléculas superaquecidas vibram com tamanha intensidade produzindo altas pressões e
conseqüentemente, trabalho. Na realidade o choque de uma molécula contra a parede de um
recipiente pouco representa. Mas, o total de choques das moléculas produz grandes
pressões.
O trabalho mecânico também pode ser transformado em calor, isto é, as moléculas
liberam energia. É o caso, por exemplo, de quando se dobra sucessivamente um arame. O
arame aquece-se em função do trabalho realizado
5.4- Experiência de Joule
Joule empregou dois pesos somando 61 kgf e deixou cair 7 m produzindo
movimentos das palhetas móveis dentro de um calorímetro contendo água. Repetiu a queda
dos pesos 10 vezes e observou que a temperatura que era de 20 o
C passou para 25 o
C numa

46. 46
massa de água de 2000 g. Joule calculou o trabalho realizado e verificou que para produzir
uma caloria era necessário realizar um trabalho de 4,18 J.
Assim: 1cal = 4,18 J
1J = 0,24 cal
Caloria – é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 14,5 o
C a
15,5 o
C de uma grama de água.
Suponhamos um aquecedor elétrico, onde todo o trabalho realizado pela energia
elétrica é transformado em calor.
t
W
W , onde
-Potência
W - Trabalho
t - Tempo
Como IUW . , onde U (em volt) é a tensão e I (em ampere) é a corrente, então
tIUW .. Resultado na unidade de J
Como:
RIU . , onde R é a resistência em Ohm.
tRItIUW .... 2
em [J], ou
tRItIUQ ..24,0..24,0 2
em [cal]
Então: O calor desenvolvido por uma corrente elétrica ao passar por um condutor é
diretamente proporcional a resistência e ao quadrado da intensidade de corrente.
Exemplo 5.1 - Por uma resistência elétrica passa uma corrente de 15 A. Está conectada a
uma tensão de 220 V. Que quantidade de calor se produz em meia hora? Qual a potência?
R: 1.425,6 kcal; 3,3 kW.
Exercício 5.1 - Com um aquecedor elétrico de 500 W deseja-se ferver 10 litros de água que
estão a uma temperatura de 20 °C. Quanto tempo deverá permanecer o aquecedor na água
se todo o calor produzido passa diretamente a água. R: 6.688 seg.
Exercício 5.2 – Um martelo de 2 kg movendo-se a 50 m/s golpeia uma bola de chumbo de
100 g em uma bigorna. Se a metade da energia do martelo vai aquecer o chumbo, de quanto
subirá sua temperatura? Calor específico do chumbo: 0,031 cal/(g.o
C). R: 96,5 o
C.
W

47. 47
CAPÍTULO VI - MECANISMO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
6.1- Generalidades
Sempre que houver diferença de temperatura entre duas regiões do espaço, esta tende
a desaparecer espontaneamente pela passagem de energia de uma região para outra.
Ao processo ao qual a energia é transportada, chama-se transmissão do calor. A
energia transportada neste processo chama-se calor.
Termodinâmica é a ciência que estuda a relação entre calor e outras formas de
energia.
1o
Princípio da Termodinâmica - estabelece que a energia não pode ser criada ou
destruída, mas sim transformada de uma forma para outra.
2o
Princípio da Termodinâmica - estabelece que o fluxo de calor sempre ocorre de
uma região de alta temperatura para outra de baixa temperatura.
Existem três formas distintas de transmissão de calor:
- Condução – transferência de calor sem deslocamento de massa;
- Convecção – transferência de calor pelo deslocamento de massa;
- Radiação - transmissão de calor sem necessidade de deslocamento de massa;
Condução
Canvecção
Radiação
- Refletividade
- Absorvidade
- Transmissividade
6.2. Condução de Calor
Condução é um processo molecular de transferência de calor através de camadas
adjacentes de qualquer meio natural por impacto elástico e também por difusão de elétrons
de movimento rápido de alta energia cinética das regiões aquecidas para regiões
sucessivamente frias. Isto ocorre devido a vibrações moleculares sem que se verifique
deslocamento de matéria. Os movimentos existentes são as vibrações das próprias
T
TS
Q
E

48. 48
Figura 2.1
moléculas em torno de uma posição. Estas vibrações serão tanto maiores quanto for a
temperatura e são transmitidas ao longo do corpo através de choques entre moléculas,
fazendo com que a energia flua de uma temperatura mais alta para temperatura mais baixa.
Lei de Fourier da Condução de calor
Supor uma placa com diferentes temperaturas entre uma face e outra.
T
L
SK
Q
.
, onde T é ( 21 TT )
Q = Fluxo de calor através do material (direção de x);
S = Superfície através da qual se dá a passagem de calor;
T = Diferença de temperatura entre as faces externas da parede (potencial térmico);
L = Espessura da parede;
K = Coeficiente de proporcionalidade da condução do calor.
= Coeficiente de condutividade térmica do material.
= Condutibilidade térmica do material.
Ou,
dx
dT
SKQ ..
dx
dT
= Gradiente de temperatura
Q = Fluxo de calor por condução
Q
Q
Q = Quantidade de calor
= Tempo
dT = Potencial térmico
Sendo:
T1 T2
xL
S
y
Q

49. 49
C
L
SK.
C = Condutância térmica
R
KS
L
R = Resistência térmica
Logo:
R
T
Q ou,
Q
T
R
Unidades:
Q [cal , kcal , J , kJ, ...]
Q [cal/s , cal/h , W , kcal/s , kcal/h , kW, ...
...];
..
;
....
[
Km
W
Cm
W
Kmh
kcal
Cmh
kcal
K oo
Exemplo 6.1 - Uma face de 1m2
de uma placa de cobre de 3 cm de espessura é mantida a
300 o
C e a outra face é mantida a 100 o
C. Condutividade térmica do cobre para estas
temperaturas é de 321,5 W/(m.o
C).
a) Qual a condutância térmica da placa? R: 10717 W/o
C)
b) Qual a resistência térmica da placa? R: 9,3.10-5 o
C/(W)
c) Qual o fluxo de calor através da placa? R: 2143,4 kW)
6.3 - CONVECÇÃO
Convecção é um processo de transferência de calor que de dá através do movimento
de massas uma vez que exista diferença de temperaturas entre duas regiões.
Esse movimento do fluido pode ser produzido por dois processos.
6.3.1 - Convecção natural (ou livre)
É aquele em que o fluido pode ser colocado em movimento pela diferença entre as
densidades das partículas. Ex. O ciclo da água quando aquecida no fogão, etc.
T
TS
Q

50. 50
TShQ .. , onde TTT s
6.3.2 - Convecção forçada
É aquele onde o movimento do fluido é causado por um agente externo como
ventilação, bombeamento, etc.
TShQ .. , onde TTT s
h = Coeficiente de convectividade
= Coeficiente de convecção de calor
= Coeficiente convectivo
= Coeficiente convectivo médio
Unidade ...];
.
;
..
;
..
[ 222
Cm
W
Kmh
kcal
Cmh
kcal
h oo
CSh.. C = Condutância térmica
R
Sh.
1
R = Resistência térmica
Exemplo 6.2 - O ar a 20 o
C escoa sobre uma placa aquecida de 50 cm x 75 cm, mantida a
250 o
C. O coeficiente de transferência de calor por convecção é 25 W/(o
C.m2
). Calcule a
resistência térmica do ar e a transferência de calor transmitida pela placa. R: 0,11 o
C/W;
2156 W
6.4 - RADIAÇÃO
Processo de transferência de calor que ocorre através de ondas eletromagnéticas.
Não necessita de massa para se propagar. Acredita-se que estas ondas sejam produzidas
pelos próprios movimentos das moléculas quando reduzem suas vibrações.
T
TS
Q
E

51. 51
S
Q
E + = 1 (100%) Materiais opacos
+ + = 1 (100%) Materiais translúcidos
Lei de Stefan-Boltzmann
Esta lei determina o fluxo de calor emitido pelos corpos.
4
... TSQ
T = Temperatura absoluta (Kelvin); = Emissividade;
- Corpo negro: 1 Corpo cinzento: 1
= Constante de Stefan-Boltzmann
...;
..
10.96,4;
.
10.76,5;
.
10.76,5 42
8
402
8
42
8
Kmh
kcal
Cm
W
Km
W
Exemplo 6.3 - Qual a quantidade de calor irradiada por um corpo de emissividade 0,5 com
0,3 m2
de superfície que está na temperatura de 90 o
C. R: 129 kcal/h.
Exercício 6.1 - O ar a 20 o
C escoa sobre uma superfície a 250 o
C de uma placa de aço
carbono (0,5%) de 50 cm x 75 cm de 2 cm de espessura. A superfície da placa perde 300 W
por radiação, calcule a temperatura na parte inferior da placa sabendo que o coeficiente de
calor por convecção é 25 W/(o
C.m2
). Coeficiente de condutividade do aço é de 43
W/(o
C.m). R: 253 o
C.
Exercício 6.2 - Através de um fio de 1 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento passa
uma corrente elétrica devido a uma tensão de 220 V. O fio está imerso em água líquida a
pressão atmosférica e a corrente é aumentada até a água entrar em ebulição. Para esta
situação o coeficiente convectivo da água é de 5.000 W/(o
C.m2
). Determine a potência
elétrica a ser fornecida ao fio para que sua superfície seja mantida a 114 o
C. R: 22 W.
Exercício 6.3 - Uma fita de aquecimento é fixada a uma face de uma grande placa de liga de
alumínio 2024-T6, com 3 cm de espessura. A outra face da placa é exposta ao meio
circunvizinho, que está a uma temperatura de 20 o
C, conforme desenho. O lado de fora da fita
de aquecimento está completamente isolado.
- Coeficiente de transferência de calor entre a
superfície da placa e o ar é de 5 W/(m2
.o
C);
- Coeficiente de transferência de calor da liga de
alumínio é 181,8 W/(m.o
C).
Desprezando o fluxo por radiações, determinar:
a) O fluxo de calor, por unidade de área, que
precisa ser fornecido para manter a
superfície da placa que está exposta ao ar a
uma temperatura de 80 o
C. R: 300 W/m2
b) A temperatura (T) da superfície na qual a fita
de aquecimento está fixada. R: 80,05 o
C.
Elemento de
aquecimento
Isolamento
térmico
Alumí-
nio Ar: 20o
C
T = 80 o
C
T
Fita
3 cm

52. 52
Figura 3.1
CAPÍTULO VII – CONDUÇÃO DE CALOR
(Unidimensional e em regime permanente)
7.1 – Parede plana simples.
Seja uma placa simples com diferentes temperaturas entre uma face e outra.
T
L
SK
Q
.
, onde T é ( 21 TT )
R
T
Q ou,
Q
T
R
7.2- Parede plana composta
Seja uma placa composta por três placas simples de mesma área.
T
K
R1 R2 R3
T1 T2
xL
S
y
Q
T1
T2
xx1 x2 x3
T T
K1 K2 K3

53. 53
Assim, como na eletricidade, a resistência do conjunto nos será dada pela soma das
resistências parciais, de modo que podemos escrever:
;
2
2
2
SK
x
Q
TT
R
SK
x
Q
TT
R
3
32
3
Assim,
SK
x
SK
x
SK
x
RRRRt
3
3
2
2
1
1
321 =
Q
TT
Q
TT
Q
TT 21
, onde Q é constante
em função do regime ser permanente
Logo:
tR
Q
TT

21
n
i i
i
K
x
S 1
1
Onde n representa o número de camadas, de materiais, constituintes da parede
composta.
As expressões acima nos permitem calcular não só o fluxo térmico através uma
parede composta, como as temperaturas intermediárias das diversas camadas.
Exemplo 7.1 – Seja uma parede de alvenaria rebocada nos dois lados de 1m2
construída
de:
- 2 cm de reboco: K = 0,046 kcal/(m.h.o
C);
- 25 cm de tijolo: K = 0,84 kcal/(m.h.o
C);
a) Qual a resistência térmica da parede? R: 1,17 o
C/(kcal/h)
b) Qual o fluxo de calor através da parede sabendo que a temperatura externa e interna
são 40 o
C e 20 o
C, respectivamente. R: 17,1 kcal/h
c) Qual a energia transmitida em 3h supondo que as temperaturas permaneçam
constantes? R: 51,4 kcal
Exercício 7.1 - Uma câmara frigorífica deve funcionar a –25 o
C em zona onde a
temperatura ambiente atinge a +35 o
C tem seu isolante (isopor) caracterizado pela perda
térmica máxima de 10 kcal/(h.m2
). Considerando-se apenas o isolamento e que as
temperaturas indicadas sejam das superfícies do isolamento, calcular a espessura do isopor
[K = 0,027kcal/(m.h.o
C)] a adotar para o mesmo. R: 16,2 cm.
Exercício 7.2 – Um instrumento está contido num invólucro cilíndrico de alumínio com
diâmetro de 250 mm. O instrumento tem uma capacidade de dissipar calor para o ambiente
numa taxa de 50 W desde que a temperatura da superfície superior do alumínio não seja
maior que 35°C. O invólucro está montado sobre uma base cilíndrica de aço carbono AISI
1010 cuja superfície inferior está a 100°C. Pretende-se colocar um disco de teflon entre a
base e o invólucro de forma a garantir o critério térmico exposto acima. Determine a
espessura do teflon. R: 22 mm.
-Considerar a área lateral do conjunto de cilindros hermeticamente fechada.
;
1
11
1
SK
x
Q
TT
R

54. 54
Condutividade térmica do alumínio: 65 W/(m.K);
Condutividade térmica do teflon: 0,35 W/(m.K);
Condutividade térmica do aço AISI: 58,7 W/(m.K).
7.3 – Condução de calor por cilindros simples.
A transmissão de calor ocorre radialmente através de tubos.
Consideremos um cilindro vazado de material homogênio, suficientemente longo
para que os efeitos das extremidades sejam desconsiderados. Exemplo: Passagem de vapor
através de um cilindro.

eT - Temperatura da superfície externa;
iT - Temperatura da superfície interna;
er - Raio externo;
ir - Raio interno.
Como
dx
dT
SKQ ..
E fazendo drdx e
re
ri
Te
Ti

55. 55
..2 rS
Substituindo na equação, temos
)(
ln
..2
ei
i
e
TT
r
r
K
Q

C
r
r
K
i
e
ln
..2 
(Condutância térmica)
R
K
r
r
i
e
..2
ln
(Resistência térmica)
Assim
R
TT
Q ei )(
Exemplo 7.2 - Seja um tubo de 3 m de comprimento e 80 mm de diâmetro externo, coberto
com 40 mm de um material isolante de condutividade térmica 0,06 kcal/(h.m.o
C). Supor
que a temperatura da superfície interna e externa do isolante sejam de 200 o
C e 20 o
C,
respectivamente. Determine:
a) A resistência térmica do isolante. R: 0,61 o
C/(kcal/h)
b) A perda de calor através do tubo. R: 293,5 kcal/h.
7.4– Condução de calor em cilindros concêntricos.
Sejam três cilindros concêntricos e de mesmo comprimento  que conduz vapor.
ri
r1
r2
re
Te
T1
T2
Ti
K1 K2
K3

56. 56
- Temperatura da superfície externa;
iT - Temperatura da superfície interna;
1T - Temperatura na junção entre o cilindro externo e o interno adjacente;
2T - Temperatura na junção entre o cilindro intermediário e o interno.
R
TT
Q ei
321 RRRRt ou
7.5 – Condução de calor através de uma configuração esférica.
Seja uma esfera contendo um fluido a alta temperatura
Fluxo de calor em esfera simples:
).(
11
.4
ei
ei
TT
rr
K
Q
Resistência térmica
Rt =
K
rr ei
..4
11
Fluxo de calor em esferas concêntricas:
R
TT
Q ei
321 RRRRt
Exemplo 7.3 - Calcular a quantidade de calor perdida por metro de uma tubulação de aço
de diâmetro interno 14 cm e externo de 16 cm que conduz vapor. A temperatura da
superfície interna do tubo é 194 o
C (Kaço = 26 kcal/(h.m.o
C), quando coberto por uma
re
ri
Te
Ti
 ..2
ln
..2
ln
..2
ln
3
2
2
1
2
1
1
K
r
r
K
r
r
K
r
r
R
e
i
t

57. 57
camada de isolante (Kisol. = 0,02 kcal/(h.m.o
C) de espessura 2,5 cm. Temperatura externa do
isolante é 20 o
C. R: 80,3 kcal/h.
Exercício 7.3 – Um tanque de aço (K = 40 kcal/(h.m.o
C), de formato esférico e raio interno
0,5 m e espessura 5 mm, é isolado com 3,81 cm de lã de rocha (K = 0,04 kcal/(h.m.o
C). A
temperatura da face interna do tanque é 220 o
C e da face externa do isolante é 30 o
C. Após
alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de 3,81
cm de espessura, tendo sido notado então um aumento de 10% no calor perdido para o
ambiente (mantiveram-se as demais condições). Determinar:
a) O fluxo de calor pelo tanque isolado com lã de rocha; R: 688,4 kcal/h;
b) O coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; R : 0,044 kcal/(h.m.o
C)
c) Qual deveria ser a espessura do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de
calor que era trocado com a lã de rocha. R: 4,22 cm.
Exercício 7.4 – Deduza a equação do fluxo de calor através de uma esfera.
7.6 - Coeficiente global de transferência de calor.
Quando dois fluidos, com temperaturas diversas, são separados por paredes simples
ou composta, o calor transmite-se do fluido cuja temperatura é mais elevada por convecção
até a parede, para, a seguir, atravessar a parede por condutividade e finalmente passar
novamente da parede ao segundo fluido por convecção
Tal transmissão complexa de calor pode ser calculada introduzindo-se o conceito de
coeficiente global de transmissão de calor admitindo-se para isto que o calor que passa de
um fluído a outro através de paredes simples, compostas ou cilíndricas, seja dado pela
expressão geral:
TSUQ ..
onde,
U = é o coeficiente global de transmissão de calor é dado em kcal/(m2
.h.ºC) ou
W/(m2
.o
C)
O coeficiente global de transmissão de calor, naturalmente, se compõe dos
coeficientes convecção entre cada fluido e a respectiva parede e do coeficiente de
condutividade da parede.
7.6.1 – Em paredes planas
Considerando na figura abaixo, o caso geral, é empregado o conceito de resistência
térmica em paredes planas, podemos escrever em se tratando de um fluxo permanente:

58. 58
1h = Coeficiente convectivo do fluido 1.
2h = Coeficiente convectivo do fluido 2.
ShQ
TT
R
1
1
1
1

SK
x
Q
TT
R
.
2 
ShQ
TT
R
.
1
2
2
3  , como
321 RRRRt , então
Q
TT
Q
TT
Q
TT
Rt 
21
, cortando os termos semelhantes
De modo que a resistência térmica do conjunto terá por expressão,
ShK
x
hShKS
x
Sh
RRR
Q
TT
Rt
11111
2121
321
21

Assim o fluxo de calor fica:
Q 21
21
21
21
21
21
11
1
111
11
TTS
hK
x
h
TT
ShK
x
h
TT
RR
TT
Tt
, onde
U
hK
x
h 21
11
1
, então:
T1
T’ T”
T2
Fluido 1 Fluido 2
1h 2hK
1R
1R
R2 R3
x
Q

59. 59
Q 21 TTUS
E a Resistência térmica fica
tR
SU.
1
a) Em paredes simples.
21
11
1
hK
x
h
U
b) Em paredes planas composta
211
1
)(
1
1
hK
x
h
U n
i i
i
7.6.2 – Em cilindros
Seja um tubo conforme figura de comprimento  envolvido por um fluido
internamente e externamente. A temperatura ambiente externa ao tubo é AT e a temperatura
interna do fluido interno BT . Sendo a temperatura interna maior que a temperatura externa.
eeii
AB
ShK
rire
Sh
TT
Q
.
1
..2
)/ln(
.
1

O coeficiente global pode ser tirado em relação a qualquer um dos raios.
Em relação a superfície externa:
)(. ABe TTSUQ onde U, fica
re
ri
Te
Ti
TA
TB

60. 60
e
e
ii
e
hK
rirer
rh
r
U
1)/ln(.
.
1
Se o calor for transferido para dentro do tubo:
)(. BAi TTSUQ onde U, fica
ee
ii
i rh
r
K
rirer
h
U
.
)/ln(1
1
Exemplo 7.4 – Uma parede de forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de tijolo
refratário (K = 1,2 kcal/(h.m.o
C)) e 0,13 m de tijolo isolante (K = 0,15 kcal/(h.m.o
C)). A
temperatura dentro do forno é 1.700 o
C e o coeficiente de transmissão de calor na parede
interna é 58 kcal(m2
.h.o
C). A temperatura ambiente é 27 o
C e o coeficiente de transmissão
de calor na parede externa é 10 kcal(m2
.h.o
C). Desprezando a resistência térmica das juntas
de argamassa, determine:
a) O calor perdido por unidade de tempo e por m2
de parede. R: 1.453,5 kcal/(h.m2
)
b) A temperatura na superfície interna. R: 1.675,3 o
C
c) A temperatura na superfície externa. R: 172,5 o
C.
Exercício 7.5 – Calcular a perda de calor, por metro linear de um tubo com diâmetro
externo 88,9 mm; diâmetro interno 77,9 mm; K = 37 kcal/(h.m.o
C), coberto com isolação
de amianto de 13 mm de espessura K = 0,16 kcal/(h.m.o
C). O tubo transporta um fluido a
150 o
C com coeficiente de transmissão de calor interno de 195 kcal/(h.m2
.o
C), e está
exposto a um meio ambiente a 27 o
C, com coeficiente de transmissão de calor médio, no
lado externo, de 20 kcal/(h.m2
.o
C). R: 296,22 kcal/(h.m).
Exercício 7.6 - A parede de um edifício tem 30,5 cm de
espessura e foi construída de um material de
condutividade térmica 1,31 W/(m.K). Em dia de inverno
as seguintes temperaturas foram medida:
- Temperatura do ar interior T1 = 21,1o
C;
- Temperatura do ar exterior T2 = -9,4o
C;
- Temperatura da superfície interior da parede: 13,3o
C;
- Temperatura da superfície externa da parede: -6,9o
C.
Calcular: O coeficiente de transferência de calor do ar
externo. R: 29, 9 kcal/(h.o
C.m2
).
T1 T2

61. 61
CAPÍTULO VIII – CONVECÇÃO FORÇADA
8.1 – Introdução (fundamentos da convecção)
Vimos que a convecção é um processo de transferência de calor que está associada
com a troca de energia entre uma superfície e um fluido adjacente.
).(.
.
TTShQ sc
Se o escoamento da camada fluida for laminar então toda a energia transferida entre
a superfície e o fluido em contato ou entre camadas adjacentes se dá por difusão molecular;
se o escoamento for turbulento então o fluido será completamente misturado e a taxa de
transferência de calor é aumentada. Assim na convecção será importante distinguir o tipo
de escoamento (laminar ou turbulento).
8.2 – Fundamentos da camada limite.
O Reynolds crítico para escoamento externo é: 5
10.5Rec .
Borda
de
ataque
T
TS
Q
xc x

62. 62
xx
x
...
Re Assim:
c
c
x..
Re
xRe = Reynolds do escoamento na distância x.
Velocidade média da corrente.
x = distância da borda de tanque.
cRe Reynolds crítico (onde o escoamento deixa de ser laminar).
cx Distância crítica da borda de tanque.
.
.Rec
cx
Camada limite é aquela que separa o escoamento laminar do turbulento.
5
10.5Re x Escoamento laminar
5
10.5Re x Escoamento turbulento
A altura da camada limite ( ) máxima laminar é onde a velocidade alcançada
pela camada correspondente a 99% de velocidade do meio (escoamento).
x
x
Re
.5
Altura da camada limite.
Altura da camada limite térmica ( t ) é aquela camada que ainda recebe calor
que corresponde a 99% da temperatura do meio.
3/1
r
t
P
rP (Número de Prandtl) é o parâmetro admensional que relaciona a camada limite do
escoamento com a camada limite térmica.
v
Pr , onde
pc
K
.
, então

63. 63
K
c
c
K
v
P
p
p
r
.
.
K= Coeficiente de condutividade do meio.
pc = Calor específico a pressão constante
Difusão de calor no fluido.
v Viscosidade cinemática: informa a taxa de quantidade de movimento que pode se
difundir através do fluido como conseqüência do movimento molecular.
Na camada limite temos um coeficiente convectivo chamado de local ou de película ( Lh )
3/12/1
.Re..332,0 rxL P
x
K
h
Lhh .2
Exemplo 8.1 - O ar a 20 °C e uma pressão 1atm, escoa sobre uma placa a velocidade de 3
m/s. Calcular as seguintes quantidades na distância crítica sabendo que a placa tem 0,5 m
de largura e está a 60 °C:
a) A espessura da camada limite no Reynold crítica. R: 2,05 cm
b) A espessura de camada térmica. R: 2,3 cm;
c) Coeficiente local de T.C. por convecção. R: 1,69 kcal/(h.o
C.m2
);
d) Coeficiente médio de T.C. por convecção. R: 3,38 kcal/(h.o
C.m2
)
e) Calor transmitido por unidade de tempo para o meio. R: 196 kcal/h.
8.3 - Convecção forçada em placas planas desprezando a camada limite (considerando
que toda a camada seja turbulenta.
Para o cálculo de h temos que estabelecer o número de Nusselt (Nu)
Nu – é a relação existente entre o gradiente de temperatura no fluido imediatamente em
contato com a superfície e o gradiente de temperatura de referência. Muito próximo a placa
o fluxo de calor no meio se dá por condução e depois por convecção. O processo antes de
acontecer por convecção ocorre por condução. Assim:
y T
x
T
Ts
Borda
de
ataque
Placa

64. 64
)(
)(
TT
TT
N
s
s
u
conduçãoQ )(
.
TT
L
SK
s
)(. TTShQ sconvecção
)(.)(
.
TTShTT
L
SK
ss
K
Lh
TT
TT
s
s .
)(
)(
Assim:
K
Lh
Nu
.
8,03/1
Re.Pr036,0
.
K
Lh
Nu
Onde L é a distância a partir de x = 0
Exemplo 8.2 - O cárter de um automóvel tem aproximadamente 0,80 m de comprimento,
0,30 m de largura e 10 cm de altura. Admitindo-se que a temperatura superficial do cárter
seja 70 °C, estimar o calor transmitido por unidade de tempo do cárter para o ar atmosférico
q se acha a 10 °C para uma velocidade de 100 km/h. Admitindo que a vibração do motor e
do chassis induza a transição do escoamento laminar a turbulento num ponto tão perto da
borda que para objetivos práticos a camada limite pode ser considerada turbulenta sobre
toda a superfície. Desprezar a radiação e usar para a superfície dianteira e traseira o mesmo
coeficiente médio de transmissão de calor por convecção das superfícies inferior e lateral.
Calcular o fluxo de calor. R: 1968 kcal/h.
Exercício 8.1 - Em uma instalação industrial, ar quente a 300o
C flui sobre uma placa fina
metálica plana, com velocidade de 26 km/h. Como a placa contém alguns sensores, a
mesma deve ser mantida a uma temperatura de 27o
C. Para isto, utiliza-se um sistema de
refrigeração composto por tubos sob a placa, por onde circula água de refrigeração.
Considerando que a placa é quadrada, com 1,5 m de lado, determine o fluxo de calor a ser
extraído pelo sistema de refrigeração para manter a placa na temperatura de 27o
C.
Dados e informações adicionais:
- Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiação e da condução.
- Para o fluxo laminar a correlação mais apropriada é:
5,05,0
Pr.Re.664,0Nu
- Para o fluxo turbulento a correlação mais apropriada é:
333,08,0
Pr.Re.0296,0Nu
- Comprimento característico: lado da placa.

65. 65
Propriedades:
- Condutividade térmica do ar:
0,0364W/(m.K);
- Viscosidade cinemática do ar: 3,13.10-5
m2
/s;
- Número de Prandt: 0,687
R: 4825 W
8.4 - Convecção forçada em dutos.
8.4.1- Escoamento interno .
n
Nu Pr.Re023,0 8,0
T
n = 0,4 Fluido interno sendo aquecido: iT <T
n = 0,3 Fluido interno sendo resfriado: iT >T
O comprimento característico é o diâmetro
8.4.2 – Escoamento Externo
Comprimento característico é o diâmetro.
n
CNuAr Re.1
Ti
Ar quente

66. 66
Outros fluidos n
CNu Re.Pr. 3/1
2
Reynolds C1 C2 n
0,4 - 4 0,891 0,989 0,33
4 - 40 0,821 0,911 0,385
40 - 4000 0,615 0,683 0,466
4000 - 40.000 0,174 0,193 0,618
40.000 0,0239 0,0266 0,805
Exemplo 8.3 - Admitir que um ser humano possa ser considerado como um cilindro de 0,3
m de diâmetro e 1,8 m de altura com temperatura superficial de 25 °C. Calcule o calor que
esta pessoa irá perder ficando exposta ao vento de 50 km/h com temperatura de 0 °C.
smvar /²10.4,1 5
e )../(0215,0 CmhkcalKar R: 1.962,8 kcal/h.
Exercício 8.1 – Um dispositivo mecânico faz benzeno a 33.8 o
C fluir perpendicularmente,
com velocidade de 0,1 m/s, sobre um cilindro longo de 2 cm de diâmetro mantido a 120 o
C.
Determine o fluxo de calor transferido por metro de comprimento. R: 2302 W/m
Dados referente ao benzeno:
- Número de Prandt: 4,31;
- Viscosidade cinemática: 4,46.10-7
m2
/s;
- Condutividade térmica: 0,15 W/(m.K).

67. 67
CAPÍTULO IX – CONVECÇÃO NATURAL (OU LIVRE)
9.1 – Introdução
A transferência de calor por convecção natural ocorre sempre que um corpo é
colocado num fluido a uma temperatura maior ou menor do que o corpo. Em conseqüência
da diferença de temperatura o calor flui entre o fluido e o corpo e causa uma variação de
densidade nas camadas fluidas nas vizinhanças da superfície. A diferença da densidade
induz um escoamento descendente do fluido mais pesado e um escoamento ascendente do
fluido mais leve.
No campo da engenharia elétrica, as linhas de transmissão, os transformadores, os
retificadores e os fios aquecidos eletricamente, tal como o filamento de uma lâmpada
incandescente ou os elementos de aquecimento de uma fornalha elétrica são, resfriados por
convecção natural.
A relação entre as forças viscosas atuante entre as partículas fluidas e as forças de
empuxo atuante entre as mesma é possível se estabelecer através de um número
admensional chamado de Número de Grasshof.
2
32
.... TLg
Gr , como 2
2
2
, então a equação também pode ser expressa por
2
3
... TLg
Gr
Gr = Número de Grashoff – representa a relação entre as forças viscosas e as forças de
empuxo;
= Coeficiente de expansão térmica do fluido – unidade [1/o
C; 1/K];
L = Comprimento característico.
A equação a ser usada para o cálculo de transferência de calor por convecção natural
é a mesma.
).(.
.
TTShQ sc
T
TS
Q

68. 68
L
KNu
h
.
Onde: a
GrcNu Pr).( , onde
Pr.GrRa
Ra= Número de Rayleight
K
Cp.
Pr
Cp = Calor específico a pressão constante;
“c” e “a” – coeficientes que dependem da forma de transmissão do escoamento;
9.2 – Placas horizontais
Seja uma placa plana disposta horizontalmente com temperaturas diferentes acima e abaixo
da mesma
Gr.Pr c a
(tx ty)
laminar
105
- 107
0,54 0.25
(tx ty)
turbulento
107
- 1010
0,14 0,333
(tx ty)
laminar
105
- 1010
0,25 0,25
OBS.: Se a placa for:
a) Quadrada - L = lado do quadrado;
b) Retangular - L = média dos lados;
c) Disco - L = 0,9D (D = diâmetro).
Tx
Ty

69. 69
9.3 – Placas verticais e cilindros verticais de grande diâmetro.
Comprimento característico é a altura da superfície.
Escoamento Gr.Pr c a
Laminar 104
- 109
0,59 0,25
Turbulento 109
- 1012
0,13 0,33
9.4 – Cilindros horizontais longos
L = Diâmetro
Escoamento Gr.Pr c a
Laminar 104
- 109
0,53 0,25
Turbulento 109
- 1012
0,13 0,33
Exemplo 9.1 - Uma sala aberta está a 20 o
C, quando então é ligada a calefação. Esta
disposta horizontalmente, está exposta e atravessa a sala de 5m de largura. A temperatura
externa da superfície do tubo é 60 o
C. Qual o fluxo de calor transmitido pela tubulação de
2,5 cm de diâmetro. Sabe-se que o número de Grashoff vale 80000. R: 130,32 kcal/h.
Exercício 9.1 - Uma placa quadrada de 50 cm de lado disposta verticalmente está imersa em
água num grande reservatório térmico que se mantém a 10 o
C. A placa é então aquecida até
que a sua temperatura externa se mantenha constante em 110 o
C. Determine o coeficiente de
transferência de calor por convecção a partir deste momento. R: 1392 kcal/(h.o
C.m2
).

70. 70
CAPÍTULO X – RADIAÇÃO
10.1 – Generalidades
Radiação térmica é apenas um dos muitos tipos de radiações eletromagnéticas. Ela
se propaga com a mesma velocidade da luz no vácuo a uma velocidade de 300.000km/s.
fc .
Onde:
c Velocidade da luz
Comprimento de onda da radiação térmica
f Freqüência da onda
0,1 m 100 m
Unidades [cm, m, m, A
o
= 10-8
cm]
fhE .
E – Energia de um quantum (fóton)
h - Constante de Planck = 6,625.10-34
J.s
E = m.c 2
= h. f
m = Massa do quantum
q = m.c =
c
fh.
10.2 – Propriedades da radiação
Processo de transferência de calor que ocorre através de ondas eletromagnéticas.
Não necessita de massa para se propagar. Acredita-se que estas ondas sejam produzidas
pelos próprios movimentos das moléculas quando reduzem suas vibrações.
Quando uma energia radiante atinge uma superfície de um material, parte da
radiação é refletida, parte é absorvida e parte é transmitida.
+ = 1 Materiais opacos
E

71. 71
+ + = 1 Materiais translúcidos
Lei de Stefan-Boltzmann
Esta lei determina o fluxo de calor emitido pelos corpos.
4
... TSQ
T Temperatura absoluta (Kelvin)
Emissividade
Constante de Stefan-Boltzmann
...;
..
10.96,4;
.
10.76,5;
.
10.76,5 42
8
402
8
42
8
Kmh
kcal
Cm
W
Km
W
- Poder Emissivo
O poder emissivo (EC) de um corpo é definido como a energia emitida pelo corpo
por unidade de área e por unidade de tempo a um dado comprimento de onda.
S
Q
Ec
n
c
E
E
Lei de Kirchoff
Corpo negro (irradiador ideal) é aquele corpo que absorve e emite, a qualquer
temperatura, a máxima quantidade possível de radiação em qualquer comprimento de onda.
O corpo negro é um corpo ideal.
= 1
Corpo cinzento – é aquele que não absorve toda a energia nele incidente.
1
10.3 – Troca de energia entre dois corpos paralelos e infinitos.
Quando são considerados dois planos paralelos e infinitos, toda a radiação que deixa
um plano atinge o outro.

72. 72
)(. 4
2
4
1 TTF
S
Q
E , onde F (fator forma) é dado por:
1
11
1
21
F
10.4 – Troca de energia entre dois corpos sendo que um esteja totalmente envolvido
por outro.
Troca de energia entre dois corpos sendo que um esteja totalmente envolvido pelo
outro e assim toda energia irradiada por um dos corpos é absorvida pelo outro.
)(. 4
2
4
1
1
TTF
S
Q
E ,
1S é a área do menor corpo e o F (fator forma) é dado para as seguintes condições:
- Se 121 , FSS
- Se
)1
1
).((
1
1
,
22
1
1
21
S
S
FSS

73. 73
Exemplo 10.1 - Determinar a perda de radiação de um tubo de ferro oxidado com diâmetro
externo de 70 mm, comprimento 16 m e temperatura de 280 o
C, nas seguintes situações:
a) No interior de uma sala com paredes de tijolos a 23 o
C. 10979 kcal/h
b) No interior de uma canaleta de tijolos de 0,2 m x 0,2 m a 27 o
C. R: 10439 kcal/h
Dados – Emissividade do tubo: 73,6%;
Emissividade do tijolo: 80%
Exercício 10.1 - Deseja-se armazenar oxigênio liquefeito na temperatura de ebulição de
-183 o
C num recipiente esférico de 30 cm de diâmetro. A temperatura do recipiente é
considerada a mesma do oxigênio. O sistema é isolado por um espaço em vácuo, entre o
recipiente e outra esfera externa concêntrica. A temperatura da esfera externa, considerada
como um corpo negro, é mantida a -1o
C. A esfera interna tem emissividade 0,8. Calcule a
quantidade de calor transmitida por unidade de tempo para o oxigênio.
R: -60,6 kcal/h. (A resposta é negativa porque o calor é transferido para o oxigênio –
observar a variação da temperatura).
Exercício 10.2 - Deseja-se armazenar oxigênio liquefeito na temperatura de ebulição de
-183 o
C num recipiente esférico de 30 cm de diâmetro. O sistema é isolado por um espaço
em vácuo, entre a esfera interior e uma outra esfera concêntrica, de 45 cm de diâmetro
interno. Ambas as esferas são de alumínio de emissividade 0,03, e a temperatura da esfera
externa é -1o
C. Estime a quantidade de calor transmitida por meio de radiação, por unidade
de tempo, para o oxigênio no recipiente.
R: -1,6 kcal/h. (A resposta é negativa porque a perda de calor de A1 é negativa, o calor é,
na verdade, transferido para o oxigênio, como era de se esperar.
Exercício 10.3 - Um reator em uma indústria trabalha a 600o
C em um local onde a
temperatura ambiente é 27o
C e o coeficiente de transferência de calor é 40 kcal/(m2
.h.o
C).
O reator foi construído de aço inox (emissividade 0,06) com 2 m de diâmetro e 3 m de
altura. Calcular:
a) O fluxo de calor por convecção. R: 575750 kcal/h
b) O fluxo de calor por radiação. R: 43317 kcal/h
c) O fluxo de calor total. R: 619068 kcal/h.

74. 74
Tabela 1

75. 75
Tabela 2

76. 76
Tabela 3

77. 77
Tabela 4

78. 78