O documento discute análise dimensional e semelhança dinâmica em mecânica dos fluidos. A análise dimensional é útil para simplificar problemas físicos e reduzir o número de variáveis, enquanto a semelhança dinâmica permite que experimentos em escalas diferentes apresentem o mesmo comportamento se os grupos adimensionais forem iguais. Grupos adimensionais como o número de Reynolds, Froude e Weber são importantes para correlacionar dados experimentais.

1. Mecânica dos Fluidos
Análise Dimensional e
Semelhança Dinâmica

2. Análise Dimensional
 Os problemas em Fenômenos de Transporte
envolvem muitas variáveis com diferentes
sentidos físicos;
 As equações derivadas analiticamente são
corretas para qualquer sistema de unidades
(cada termo da equação deve ter a mesma
representação dimensional: homogeneidade)
 Cada uma dessas variáveis é expressa por
uma magnitude e uma unidade associada;

3. Análise Dimensional
 As unidades são expressas utilizando apenas
quatro grandezas básicas ou categorias
fundamentais:
- massa[M];
- comprimento[L];
- tempo[T] e
- temperatura[θ]
 As quatro grandezas básicas representam as
dimensões primárias que podem ser usadas
para representar qualquer outra grandeza ou
grupo de grandezas físicas;

4. Análise Dimensional
 Dimensões Primárias:

5. Análise Dimensional
É um meio para simplificação
de um problema físico
empregando a homogeneidade
dimensional para reduzir o
número das variáveis de
análise;

6. Análise Dimensional
A análise dimensional é particularmente útil
para:
 Apresentar e interpretar dados experimentais;
 Resolver problemas difíceis de estudar com
solução analítica;
 Estabelecer a importância relativa de um
determinado fenômeno;
 Modelagem física.

7.  Dimensões de grandezas derivadas:
Grandeza Símbolo Dimensão
Geometria Área A L2
Volume V L3
Cinemática Velocidade U LT-1
Velocidade Angular ω T-1
Vazão Q L3
T-1
Fluxo de massa m MT-1
Dinâmica Força F MLT-2
Torque T ML2
T-2
Energia E ML2
T-2
Potência P ML2
T-3
Pressão p ML-1
T-2
Propriedades
dos Fluidos
Densidade ρ ML-3
Viscosidade µ ML-1
T-1
Viscosidade Cinemática v L2
T-1
Tensão superficial σ MT-2
Condutividade Térmica k MLT-3
θ
Calor Específico C ,C L2
T-2
θ-1
 Dimensões de Grandezas Derivadas:

8. Análise Dimensional
 Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas
tem uma dimensão que é representada por
uma relação das grandezas primárias;
 Se esta relação é unitária, o grupo é
denominado adimensional, isto é, sem
dimensão;
 Um exemplo de grupo adimensional é o
número de Reynolds:
[ ][ ][ ]
[ ] 1
..
Re 11
13
=== −−
−−
TML
LLTMLVD
y
µ
ρ

9. Análise Dimensional
 Como o número de grupos adimensionais é
relativamente menor que o número de
variáveis físicas, há uma grande redução de
esforço experimental para estabelecer a
relação entre algumas variáveis;
 A relação entre dois números adimensionais
é dada por uma função entre eles com uma
única curva relacionando-os;
 Pode-se afirmar que os grupos adimensionais
produzem melhor aproximação do fenômeno
do que as próprias variáveis;

10. Análise Dimensional e
Semelhança Dinâmica
 Restringindo as condições dos experimentos
é possível obter dados de diferentes condições
geométricas mas que levam ao mesmo ponto
na curva;
 Isto é, experimentos de diferentes escalas
apresentam os mesmos valores para os grupos
adimensionais a eles pertinentes;
 Nessas condições os experimentos
apresentam semelhança dinâmica;

11. Semelhança
 Problemas em Engenharia (principalmente na
área de Térmica e Fluidos) dificilmente são
resolvidos aplicando-se exclusivamente análise
teórica;
Utilizam-se com freqüência estudos
experimentais;
Muito do trabalho experimental é feito com o
próprio equipamento ou com réplicas exatas;
Porém, a maior parte das aplicações em
Engenharia são realizadas utilizando-se modelos
em escala.

12. Semelhança
 Semelhança é, em sentido bem geral, uma
indicação de que dois fenômenos têm um mesmo
comportamento;
 Por exemplo: é possível afirmar que há
semelhança entre um edifício e sua maquete
(semelhança geométrica)
 Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança
indica a relação entre dois escoamentos de
diferentes dimensões, mas com semelhança
geométrica entre seus contornos;

13. Semelhança
 Geralmente o escoamento de maiores
dimensões é denominado escala natural ou
protótipo;
 O escoamento de menor escala é denominado
de modelo;
Estudo em modelo reduzido
da Barragem de Pedrógão - Portugal

14. Modelo reduzido em
escala geométrica da
tomada d’água e da
comporta vagão da Usina
Hidrelétrica de Paulo
Afonso IV (CHESF), no rio
São Francisco, projetadas
pela Ishikawajima do
Brasil Estaleiros S/A,
1978.
Modelo reduzido
do Brennand
Plaza, no Recife,
ensaiado no
túnel de vento.
Medidas de
pressões devidas
ao vento na
superfície externa
do edifício. Escala
do modelo: 1/285
Estudo em modelo
reduzido do
vale do rio Arade

15. Semelhança
 Utilização de Modelos em escala:
Vantagens econômicas (tempo e
dinheiro);
Podem ser utilizados fluidos diferentes
dos fluidos de trabalho;
Os resultados podem ser extrapolados;
Podem ser utilizados modelos reduzidos
ou expandidos (dependendo da
conveniência);

16. Semelhança
 Para ser possível esta comparação entre o
modelo e a realidade, é indispensável que os
conjuntos de condições sejam FISICAMENTE
SEMELHANTES;
O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral
que envolve uma variedade de tipos de
semelhança:
Semelhança Geométrica
Semelhança Cinemática
Semelhança Dinâmica

17. Semelhança
 Semelhança Geométrica
Semelhança de forma;
A propriedade característica dos
sistemas geometricamente
semelhantes é que a razão entre
qualquer comprimento no modelo e o
seu comprimento correspondente é
constante;
Esta razão é conhecida como FATOR DE
ESCALA.

18. Semelhança
 Semelhança Geométrica
 Deve-se lembrar que não só a forma global
do modelo tem que ser semelhante como
também a rugosidade das superfícies deve ser
geometricamente semelhante;
 Muitas vezes, a rugosidade de um modelo
em escala reduzida não pode ser obtida de
acordo com o fator de escala – problema de
construção/de material/de acabamento das
superfícies do modelo.

19. Semelhança
 Semelhança Cinemática:
 Quando dois fluxos de diferentes escalas
geométricas tem o mesmo formato de linhas de
corrente;
 É a semelhança do movimento;
 Exemplo de semelhança cinemática: PlanetárioPlanetário.
O firmamento é reproduzido de acordo com um
certo fator de escala de comprimento e, ao copiar
os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão
fixa de intervalos de tempo e, portanto, de
velocidades e acelerações.

20. Semelhança
 Semelhança Dinâmica
 É a semelhança das forças;
 Dois sistemas são dinamicamente
semelhantes quando os valores
absolutos das forças, em pontos
equivalentes dos dois sistemas,
estão numa razão fixa;

21. Semelhança Dinâmica
 Origens das Forças que determinam o
comportamento dos Fluidos:
 Forças devido à diferenças de Pressão;
 Forças resultantes da ação da viscosidade;
 Forças devido à tensão superficial;
 Forças elásticas;
 Forças de inércia;
 Forças devido à atração gravitacional.

22. Semelhança Dinâmica
 Exemplos de estudos em modelos
 Ensaios em túneis aero e hidrodinâmicos;
 Escoamento em condutos;
 Estruturas hidráulicas livres;
 Resistência ao avanço de embarcações;
 Máquinas hidráulicas;

23. Semelhança Dinâmica
Grupo
Adimensional
Nome Razão das Forças
representadas
Símbolo
habitual
ULρ
µ
Número de
Reynolds
Força de Inércia
Força Viscosa
Re
_U_
(Lg)1/2
Número de
Froude
Força de Inércia
Força da gravidade
Fr
U Lρ 1/2
σ
Número de
Weber
Força de Inércia
Força de Tensão Superficial
We
U
C
Número de
Mach
Força de Inércia
Força Elástica
M

24. Grupos Adimensionais
São extremamente importantes na
correlação de dados experimentais;
Em razão das múltiplas aplicações dos
grupos adimensionais nos estudos de
modelos e aplicações de semelhança
dinâmica, vários grupos foram criados
nas diversas áreas que compõem os
Fenômenos de Transporte

25.  Alguns dos mais importantes:
Número de Reynolds;
Número de Froude;
Número de Euler;
Número de Mach;
Número de Weber;
Número de Nusselt;
Número de Prandtl;
Grupos Adimensionais

26. Grupos Adimensionais
Número de Reynolds:
 Relação entre Forças de Inércia e Forças
Viscosas;
 Um número de Reynolds “crítico” diferencia
os regimes de escoamento laminar e
turbulento em condutos na camada limite ou
ao redor de corpos submersos;
µ
ρVL
y =Re

27. Grupos Adimensionais
Número de Froude:
 Relação entre Forças de Inércia e
Peso (forças de gravidade);
 Aplica-se aos fenômenos que
envolvem a superfície livre do fluido;
 É útil nos cálculos de ressalto
hidráulico, no projeto de estruturas
hidráulicas e no projeto de navios;
gL
V
Fr =

28. Grupos Adimensionais
Número de Euler:
 Relação entre Forças de Pressão e as
Forças de Inércia;
 Tem extensa aplicação nos estudos
das máquinas hidráulicas e nos
estudos aerodinâmicos
2
V
p
Eu
ρ
=

29.  Número de Mach:
 Relação entre Forças de Inércia e Forças
Elásticas;
 É uma medida da relação entre a energia cinética
do escoamento e a energia interna do fluido;
 É o parâmetro mais importante quando as
velocidades são próximas ou superiores à do
som;
Grupos Adimensionais
C
V
Ma =

30. Número de Weber:
 Relação entre Forças de Inércia e Forças
de Tensão Superficial;
 É importante no estudo das interfaces
gás-líquido ou líquido-líquido e também
onde essas interfaces estão em contato
com um contorno sólido;
σ
ρL
VWe =
Grupos Adimensionais

31. Número de Nusselt:
 Relação entre fluxo de calor por convecção
e o fluxo de calor por condução no próprio
fluido;
 É um dos principais grupos adimensionais
nos estudos de transmissão de calor por
convecção
Grupos Adimensionais
K
hL
Nu =

32. Número de Prandtl:
 Relação entre a difusão de quantidade de
movimento e difusão de quantidade de
calor;
 É outro grupo adimensional importante
nos estudos de transmissão de calor por
convecção;
Grupos Adimensionais
a
V
=Pr