Aula - Inferência Estatística (Estimação)

Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação – Ramo
Estatística Computacional
Mobile: +239 980 10 45 / 906 02 00 | Email: wadmiguel547@yahoo.com
AULA: ESTIMAÇÃO
L. BIOLOGIA

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Introdução
70
Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com

Introdução
71
O campo da Inferência Estatística consiste naqueles métodos usados
para tomar decisões ou tirar conclusões a cerca de uma população.
Esses métodos utilizam a informação contida em uma amostra da
população para tirar conclusões.
População Histograma
Média Populacional
Desvio Padrão
Populacional
Amostra
Média Amostral
Desvio Padrão
Amostral
Figura 1: Relação entre uma população e uma amostra

Definições
72
Parâmetro: é a medida usada para descrever uma característica
numérica populacional.
A média (𝝁),a variância (𝝈𝟐) e o coeficiente de correlação (𝝆) são
alguns exemplos de parâmetros populacionais.
Estimação: é o procedimento usado para obter informações sobre os
parâmetros desconhecidos de uma população com base nos dados da
amostra.
Estimador: também denominado estatística de um parâmetro
populacional: é uma característica numérica determinada na
amostra, uma função de seus elementos.
A média amostral (ഥ
𝒙),a variância amostral (𝒔𝟐) e o coeficiente de
correlação amostral (𝒓)são alguns exemplos de estimadores.
Estimativa: é o valor numérico determinado pelo estimador.

Parâmetros e Estatísticas
73
População
(x1, x2, x3,..., xN)
Parâmetros Estatísticas
Proporção 𝜌 =
𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ência
N
ො
𝜌 =
𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ência
n
Média 𝜇 =
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 ҧ
𝑥 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
Variância 𝜎2
=
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 − 𝜇 2 𝑠2 =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ǉ
𝑥 2
Amostra
(X1, X2, ..., Xn)

Distribuição Amostral
74
Proposição 1: A média das médias amostrais, ou 𝐸( ҧ
𝑥), é igual à
média 𝜇 populacional.
𝐸 ҧ
𝑥 = 𝐸
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
𝑛
𝐸 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝐸 𝑥𝑖 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝜇 =
1
𝑛
𝑛𝜇 = 𝜇
Proposição 2: A variância da média amostral é igual à variância
populacional dividida pelo tamanho da amostra.
VAR ҧ
𝑥 = VAR
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
𝑛2 VAR ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
𝑛2 ෍
𝑖=1
𝑛
VAR 𝑥𝑖 =
1
𝑛2 ෍
𝑖=1
𝑛
𝜎2
=
1
𝑛2 𝑛𝜎2
=
𝜎2
𝑛

Distribuição Amostral
75
Proposição 3: A para grandes amostras, a proporção amostral se
distribui com média igual à proporção populacional.
𝐸 Ƹ
𝑝 = 𝐸
𝑥
𝑛
=
1
𝑛
𝐸 𝑥 =
1
𝑛
𝑛𝑝 = 𝑝 = 𝜇 ො
𝑝
Proposição 4: A variância da proporção amostral é a variância da
população dividida pelo número de ele1nentos da amostra.
VAR Ƹ
𝑝 = VAR
𝑋
𝑛
=
1
𝑛2
VAR 𝑋 =
1
𝑛2
𝑛𝑝𝑞 =
𝑝𝑞
𝑛

Distribuição Amostral:
Qualidades de um bom Estimador
76
Eficiência: Um estimador ෠
𝜃 diz-se eficiente se dentro da classe dos
não enviesados ou centrados tiver variância mínima.
Se compararmos dois estimadores, pode-se dizer que:
i. VAR ෠
𝜃2 / VAR ෠
𝜃1 < 𝟏, então ෠
𝜃1 é menos eficiente que ෠
𝜃2
ii.VAR ෠
𝜃2 / VAR ෠
𝜃1 > 𝟏, então ෠
𝜃1 é mais eficiente que ෠
𝜃2
Suficiência: Um estimador ෠
𝜃 de 𝜃 é suficiente se conter o máximo
possível de informações em relação ao parâmetro por ele estimado, ou
seja, o estimador ෠
𝜃 de 𝜃 é suficiente para qualquer outro estimador
෠
𝜃𝑘, a distribuição de ෠
𝜃𝑘 for independente de ෠
𝜃.
Não Enviesamento / Ausência de Vício: Um estimador ෠
𝜃 diz-se não
enviesado ou centrado para 𝜃 se 𝐸 ෠
𝜃 = 0.

Teoria da Estimação - Pontual
Tipos de Estimação
77
Existem dois tipos fundamentais de estimação de um parâmetro
populacional: por ponto e por intervalo.
Estimação pontual
Quando utilizamos dados amostrais calcula-se um valor da estimativa
do parâmetro populacional e com isso tem-se uma estimativa por
ponto do parâmetro analisado.
Estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um
parâmetro populacional.
Assim, a estatística amostral 𝑥, média da amostra, pode ser usada
como um estimador do parâmetro 𝜇, média da população.
Exemplo: Amostra aleatória de 200 alunos de uma universidade de
20.000 estudantes revelou uma média amostral de 5,2.

Estimação de Intervalar
78
Quando, a partir da amostra procura-se construir um intervalo de
variação, de modo que esse intervalo tem uma probabilidade
conhecida de conter o verdadeiro parâmetro populacional.
Na estimação por intervalos, em vez de se indicar um valor concreto
para certo parâmetro da população, e, constrói-se um intervalo que,
com certo grau de certeza, previamente estipulado, o contenha.
Ao estimar um parâmetro populacional através de uma amostra,
evidentemente estamos cometendo um erro. Portanto, a deficiência da
estimação pontual reside no fato de que, neste procedimento,
desconhecemos a medida do possível erro cometido na estimação.
Desta limitação surge a idéia da estimação por intervalo.

Teoria da Estimação - Intervalar
Definições
79
Grau de Confiança: também conhecido como nível de confiança ou
coeficiente de confiança: É a probabilidade 1 − 𝛼 do intervalo de
confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
Grau de Significância: também conhecido como nível de
significância ou alpha: É um limite que determina se o resultado de
um estudo pode ser considerado estatisticamente significativo depois
de se realizarem os teste estatísticos planeados.

Média - 𝝈𝑪𝒐𝒏𝒉𝒆𝒄𝒊𝒅𝒐
80
𝑰𝑪 𝝁, 𝟏 − 𝜶 = 𝒙 − 𝒛𝜶
𝟐
×
𝝈
𝒏
; 𝒙 + 𝒛𝜶
𝟐
×
𝝈
𝒏
Exercício 1: Seja 𝑋 uma população com distribuição normal de média
𝜇 e desvio padrão igual a 2. Uma amostra aleatória de dimensão 𝑛 =
25 foi extraída desta população e revelou uma média 𝑥 = 78.3.
Calcule o intervalo de confiança para μ a 99%.
Sabendo que 𝜎 = 2; 𝑛 = 25; 𝑥 = 78,3; 1 − 𝛼 = 0,99 ⟹ 𝛼 = 0,01 ⟹
𝛼
2
= 0,005 ∧
𝑧𝛼
2
= 𝑧0,005 = 2,57
𝑰𝑪 = 𝒙 − 𝒛𝜶
𝟐
×
𝝈
𝒏
; 𝒙 + 𝒛𝜶
𝟐
×
𝝈
𝒏
= 𝟕𝟖, 𝟑 − 𝟐, 𝟓𝟕 ×
𝟐
𝟐𝟓
; 𝟕𝟖, 𝟑 + 𝟐, 𝟓𝟕 ×
𝟐
𝟐𝟓
𝑰𝑪 𝝁, 𝟗𝟗% = 𝟕𝟕, 𝟐𝟕𝟐; 𝟕𝟗, 𝟑𝟐𝟖

Média - 𝝈𝑪𝒐𝒏𝒉𝒆𝒄𝒊𝒅𝒐
81
Exercício 2: Considere uma v.a. normal de variância igual a 4.
Recolheu-se a seguinte amostra: 3, 7, 9, 10, 11, 12, 12, 14
Determine um intervalo de confiança a 90% para a média.
Sabendo que 𝜎2
= 4; 𝑛 = 8;
𝑥 =
3 + 7 + 9 + 10 + 11 + 12 + 12 + 14
8
= 9,75;
1 − 𝛼 = 0,90 ⟹ 𝛼 = 0,1 ⟹
𝛼
2
= 0,05 ∧ 𝑧𝛼
2
= 𝑧0,05 = 1,65
𝐼𝐶 = 𝑥 − 𝑧𝛼
2
×
𝜎
𝑛
; 𝑥 + 𝑧𝛼
2
×
𝜎
𝑛
= 9,75 − 1,65 ×
2
8
; 9,75 + 1,65 ×
2
8
𝑰𝑪 𝝁, 𝟗𝟎% = 𝟖, 𝟓𝟖𝟑; 𝟏𝟎, 𝟗𝟏𝟕

Média - 𝝈𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒉𝒆𝒄𝒊𝒅𝒐
82
Caso 1: Tamanho da Amostra 𝒏 > 𝟑𝟎
𝑛 = 100 𝑍𝛼
2
= 1,96 ҧ
𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
= 28,35 𝑠𝑥 = 𝑣𝑎𝑟 𝑥 = 7,04
𝑰𝑪 𝝁, 𝟏 − 𝜶 : ഥ
𝒙 − 𝒁𝜶
𝟐
∗
𝒔𝒙
𝒏
≤ 𝝁 ≤ ഥ
𝒙 + 𝒁𝜶
𝟐
∗
𝒔𝒙
𝒏
𝐼𝐶 𝜇, 0,95 = 28,35 − 1,96 ∗
7,04
100
; 28,35 + 1,96 ∗
7,04
100
𝐼𝐶 𝜇, 0,95 = 26,97 ; 29,73
A média da idade dos utentes que frequentam a ASAG encontram-se, a um nível de confiança de
95%, entre 26,97 e 29,73 anos de idade.

83
Caso 2: Tamanho da Amostra 𝒏 ≤ 𝟑𝟎 – t-Studant
𝑰𝑪 𝝁, 𝟏 − 𝜶 = 𝒙 − 𝒕𝜶
𝟐
;𝒏−𝟏
×
𝒔𝒙
𝒏
; 𝒙 + 𝒕𝜶
𝟐
;𝒏−𝟏
×
𝒔𝒙
𝒏
Numa fábrica de automóveis existe uma secção destinada à produção
de determinado tipo de peças, cujo comprimento deverá ser
aproximadamente de 2.5 cm. A secção de controlo de qualidade da
referida fábrica afirma que as peças apresentam comprimentos
superiores aos exigidos.
Com o objectivo de avaliar a veracidade da afirmação proferida pela
secção de controlo de qualidade, seleccionou-se ao acaso uma
amostra de 26 peças na produção de um dia, tendo sido obtidos os
resultados seguintes: σ𝑖=1
26
𝑥𝑖 = 78; σ𝑖=1
26
𝑥𝑖 − 𝑥 2
= 13.

84
Caso 2: Tamanho da Amostra 𝒏 ≤ 𝟑𝟎 – t-Studant
Admitindo a normalidade da população subjacente aos dados:
Construa um intervalo de confiança a 95% para o comprimento médio
das peças.
𝑥 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
26
෍
𝑖=1
26
𝑥𝑖 =
78
26
= 3; 𝑠2 =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=1
26
𝑥𝑖 − 𝑥 2 =
13
25
= 0,52
𝐼𝐶 = 𝑥 − 𝑡𝛼
2;𝑛−1
×
𝑠𝑥
𝑛
; 𝑥 + 𝑡𝛼
2;𝑛−1
×
𝑠𝑥
𝑛
𝑰𝑪 𝝁, 𝟏 − 𝜶 = 3 − 2,060 ×
0,72111
26
; 3 + 2,060 ×
0,72111
26
= 𝟐, 𝟕𝟎𝟗; 𝟑, 𝟐𝟗

Média - 𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄í𝒄𝒊𝒐𝒔
85
1) Um fabricante produz resistores que segue uma distribuição normal
com desvio padrão de 8Ω. A resistência média de uma amostra
aleatória de 20 resistores foi medida como sendo de 80 Ω. Calcule o
intervalo de confiança, com um nível de confiança de 95,0%, para a
média da população de resistores produzidos.

86
2) Para avaliar a qualidade dos rolamentos produzidos, um engenheiro
recolheu uma amostra aleatória de 12 esferas da produção diária.
Usando um paquímetro ele obteve as seguintes medições para as
esferas. Calcule o intervalo de confiança para a média das esferas
produzidas com 95% de confiança.
8,2 ; 8,3 ; 8,4 ; 8,2 ; 8,2 ; 8,4 ; 8,3 ; 8,2 ; 8,4 ; 8,4 ; 8,2 ; 8,4

87
3) Um fabricante produz resistores com desvio padrão 12Ω e
distribuição normal. A resistência média de uma amostra aleatória de
𝑛 = 25 foi 98,0Ω. Calcule o intervalo de confiança para a média da
população de resistores produzidos. Use o nível de confiança 95,0%.

Proporção
88
Agora, queremos construir um intervalo de confiança para a
proporção populacional 𝒑.
Lembrando que a estimativa pontual de 𝒑 é dada pela proporção de
sucessos numa amostra e é denotada por ො
𝑝 =
𝑁º 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠
𝑛
.
Antes de construir um intervalo para a proporção, devemos verificar
se a distribuição de amostragem de ො
𝑝 pode ser aproximada pela
distribuição Normal. Isso ocorrerá se forem satisfeitas as condições:
𝑖 𝒏ෝ
𝒑 ≥ 𝟓; 𝑖𝑖 𝒏ෝ
𝒒 ≥ 𝟓
Se essas duas condições ocorrerem, podemos construir o intervalo de
confiança para a proporção, que utilizará, para a determinação do
valor crítico, a tabela da Normal:

Proporção
89
Populações infinitas:
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑 − 𝒛𝒄
ෝ
𝒑 𝟏 − ෝ
𝒑
𝒏
; ෝ
𝒑 + 𝒛𝒄
ෝ
𝒑 𝟏 − ෝ
𝒑
𝒏
Populações finitas:
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑 − 𝒛𝒄
ෝ
𝒑 𝟏 − ෝ
𝒑
𝒏
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏
; ෝ
𝒑 + 𝒛𝒄
ෝ
𝒑 𝟏 − ෝ
𝒑
𝒏
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏
Uma população é considerada finita quando:
𝑛
𝑁
> 0,05

Proporção
90
Quando não possuímos uma estimativa prévia do valor de ෝ
𝒑,
utilizamos uma abordagem conservativa para o cálculo do intervalo
de confiança, baseada no facto de que a expressão 𝑝(1– 𝑝) possui
valor máximo igual a ¼ quando 0 ≤ 𝑝 ≤ 1.
Populações infinitas:
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑 − 𝒛𝒄
𝟏
𝟒𝒏
; ෝ
𝒑 + 𝒛𝒄
𝟏
𝟒𝒏
Populações finitas:
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑 − 𝒛𝒄
𝟏
𝟒𝒏
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏
; ෝ
𝒑 + 𝒛𝒄
𝟏
𝟒𝒏
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏

Proporção
91
Pretende-se estimar a proporção de cura, através do uso de um certo
medicamento em doentes contaminados com certa doença. Uma
experiência consistiu em aplicar o medicamento a 200 pacientes,
escolhidos ao acaso, e observar que 160 deles foram curados. O que
podemos dizer da proporção da população em geral para um nível de
confiança de 95%?
Inicialmente, vamos calcular a proporção amostral: ො
𝑝 =
160
200
= 0,8
𝐼𝐶 = ො
𝑝 ± 𝑧𝑐
ො
𝑝 1 − ො
𝑝
𝑛
= 0,8 ± 1,96
0,8 1 − 0,8
200
= 0,8 ± 0,055
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = 𝟎, 𝟕𝟒𝟓; 𝟎, 𝟖𝟓𝟓

Proporção
92
Numa amostra aleatória de tamanho 𝑛 = 700 foram encontrados 68
elementos defeituosos. Encontrar um intervalo de confiança de nível
95% para a proporção 𝑝 de elementos defeituosos.
Temos que ො
𝑝 =
68
700
= 0,0971. Para 𝛼 = 0,05, temos pela tabela da
distribuição normal que 𝑍0,025 = 1,96. Então o intervalo de confiança
é dado por
𝐼𝐶 𝑝, 1 − 𝛼 = Ƹ
𝑝 − 𝑍𝛼
2
Ƹ
𝑝 1 − Ƹ
𝑝
𝑛
, Ƹ
𝑝 − 𝑍𝛼
2
Ƹ
𝑝 1 − Ƹ
𝑝
𝑛
𝐼𝐶 𝑝, 0,95 = 0,0971 − 1,96
0,0971 1 − 0,0971
700
, 0,0971 + 1,96
0,0971 1 − 0,0971
700
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝟐; 𝟎, 𝟏𝟏𝟗 .

Variância & Desvio Padrão
93
Para construirmos intervalos de confiança para a variância e desvio
padrão, devemos lembrar que a estimativa pontual para 𝜎2 é 𝑠2 e que
a estimativa pontual para 𝜎 é 𝑠.
Além disso, devemos trabalhar com uma outra distribuição que não a
Normal nem a t-Student: usamos a Qui-quadrado.
Intervalo de confiança para a Variância:
𝑰𝑪 𝝈𝟐
, 𝟏 − 𝜶 =
𝒏 − 𝟏 𝒔𝟐
𝝌𝒔𝒖𝒑
𝟐 ;
𝒏 − 𝟏 𝒔𝟐
𝝌𝒊𝒏𝒇
𝟐
Intervalo de confiança para o Desvio-padrão:
𝑰𝑪 𝝈, 𝟏 − 𝜶 =
𝒏 − 𝟏 𝒔𝟐
𝝌𝒔𝒖𝒑
𝟐
;
𝒏 − 𝟏 𝒔𝟐
𝝌𝒊𝒏𝒇
𝟐

94
Vamos encontrar os valores críticos 𝝌𝒊𝒏𝒇
𝟐
e 𝝌𝒔𝒖𝒑
𝟐 para um intervalo de
confiança de 90%, quando o tamanho da amostra for igual a 20.
Os graus de liberdade são: 𝒈. 𝒍. = 𝒏 – 𝟏 = 20 – 1 = 19.
Para um intervalo de 90%, teremos uma área de 5% à esquerda de
𝜒𝑖𝑛𝑓
2
e de 5% à direita de 𝜒𝑠𝑢𝑝
2 .
Mas, para utilizarmos a tabela,
devemos pensar em valores à direita
e, portanto, temos de 95% à
esquerda de 𝝌𝒔𝒖𝒑
𝟐 e 5% à esquerda
de 𝝌𝒊𝒏𝒇
𝟐
.
Ou seja, 𝝌𝒔𝒖𝒑
𝟐
= 𝝌𝟏−
𝜶
𝟐
𝟐
e 𝝌𝒊𝒏𝒇
𝟐
= 𝝌𝜶
𝟐
𝟐

95
Um farmacêutico selecciona aleatoriamente 30 amostras de um
antialérgico e as pesa. O desvio padrão da amostra é 1,20 miligramas.
Supondo que os pesos são normalmente distribuídos, construa um
intervalo de confiança de 99% para a variância e o desvio padrão da
população.
Para 𝑔. 𝑙. = 𝑛 − 1 = 30 − 1 = 29, os valores obtidos na tabela são:
𝜒𝑖𝑛𝑓
2
= 13,121; 𝜒𝑠𝑢𝑝
2
= 52,336
O intervalo de confiança para a variância é:
𝐼𝐶 =
𝑛 − 1 𝑠2
𝜒𝑠𝑢𝑝
2 ;
𝑛 − 1 𝑠2
𝜒𝑖𝑛𝑓
2 =
30 − 1 1,20 2
52,336
;
30 − 1 1,20 2
13,121
𝑰𝑪 𝝈𝟐, 𝟏 − 𝜶 = 𝟎, 𝟖𝟎; 𝟑, 𝟏𝟖

96
Um farmacêutico selecciona aleatoriamente 30 amostras de um
antialérgico e as pesa. O desvio padrão da amostra é 1,20 miligramas.
Supondo que os pesos são normalmente distribuídos, construa um
intervalo de confiança de 99% para a variância e o desvio padrão da
população.
Intervalo de confiança para o desvio−padrão:
𝑰𝑪 𝝈, 𝟏 − 𝜶 =
30 − 1 1,20 2
52,336
;
30 − 1 1,20 2
13,121
= 𝟎, 𝟖𝟗; 𝟏, 𝟕𝟖
Assim, podemos dizer: com 99% de confiança a variância
populacional está entre 0,80 e 3,18 miligramas2, enquanto que o
desvio padrão fica entre 0,89 e 1,78 miligramas.

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