Aula 13 teste de hipóteses

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Aula 13 teste de hipóteses

  1. 1. Teste de hipóteses - unilateral Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
  2. 2. Inferência Inferir certas características da população amostra Distribuição estimar desconhecida X  ou estimar Intervalo Parâmetros S2 2 de desconhecidos confiança ^ estimar p p
  3. 3. Teste de hipóteses amostra X  107,56 Uma população com média =100 conhecida  = 100 poderia produzir uma amostra com média 107,56? O objetivo do teste de hipóteses é verificar se os dados amostrais trazem evidências que contrariam ou não uma hipótese estatística formulada.
  4. 4. Teste de hipóteses  Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de uma certa substância no sangue se comporta segundo um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a concentração média se alterada para 18 unidades/ml com mesmo desvio padrão. Sadios: N(14,36) Doentes: N(18,36)
  5. 5. Teste de hipóteses para a média Desejamos verificar se um determinado tratamento é eficaz a essa doença.  Uma amostra aleatória de 31 pessoas doentes que foram submetidas ao tratamento é selecionada. X1, X2, ... Xn Xi ~ N( , 36) O valor da média desta amostra vai indicar se o tratamento foi eficaz (=14) ou não foi eficaz (=18)
  6. 6. Teste de hipóteses para a média Pelo teorema do limite central, sabe-se que:  36  X ~ N  ,   31  Um critério que pode ser utilizado para decidir a qual população (=14 ou =18) pertence a amostra é determinar um valor crítico xc
  7. 7. Teste de hipóteses para a média Se X>xc concluímos que a amostra pertence à população doente (=18), ou seja o tratamento não é eficaz; Se X  xc concluímos que a amostra pertence à população sadia (=14) sendo o tratamento considerado eficiente.  = 14  = 18 xobs xc
  8. 8. Teste de hipóteses para a média Podemos formular duas hipóteses para esse problema: Hipótese nula H0: O tratamento NÃO é eficaz; Ha: O tratamento é eficaz. Hipótese alternativa Hipótese simples Hipótese composta H0:  = 18 H0:  = 18 H0:  = 18 Ha:  = 14 Ha:  < 18 Ha:   18 Teste unilateral Teste bilateral
  9. 9. Teste de hipóteses para a média TESTE UNILATERAL: No caso do tratamento ser eficaz é razoável assumirmos que ele foi capaz de fazer com que as pessoas ficassem curadas, ou seja, que mudassem para uma população que X<18 H0:  = 18 versus Ha:  < 18 TESTE BILATERAL Para verificar se o tratamento produziu algum efeito benéfico X<18 ou danoso X>18 H0:  = 18 versus Ha:   18
  10. 10. Teste de hipóteses para a média Como X é uma estimativa (é apenas 1 de infinitas amostras possíveis) pode-se correr o risco de concluir incorretamente que o tratamento é eficaz, ou decidir que o tratamento não é eficiente quando na verdade ele é. Devemos quantificar os possíveis erros associados a essa decisão.
  11. 11. Teste de hipóteses Erro tipo I Rejeitar a hipótese H0, quando tal hipótese é verdadeira Erro tipo II Não rejeitar a hipótese H0, quando ela deveria ser rejeitada Situação H0 verdadeira H0 falsa Rejeitar H0 Erro tipo I Sem erro Decisão Não rejeitar H0 Sem erro Erro tipo II
  12. 12. Teste de hipóteses  = P(erro tipo I) = P(Rejeitar H0| H0 é verdadeira)  = P(erro tipo II) = P(Não rejeitar H0| H0 é falsa) Nível de significância No exemplo:  = P(concluir que o tratamento é eficaz | na verdade ele não é)  = P(concluir que o tratamento não é eficaz | na verdade ele é) Qual é o erro mais importante de ser   evitado?    
  13. 13. Teste de hipóteses para a média Com determinar o valor crítico xc?   P(erro I )  P(rejeitar H 0 | H 0 verd.)  P( X  xc |   18)    X   xc  18   P     6   n 31   P( Z  zc ) Sendo que Z ~ N(0,1)
  14. 14. Teste de hipóteses para a média O valor de zc é obtido na tabela da distribuição normal, dado um valor para  e o valor crítico é calculado como: xc  18 zc  6 31 6 Intervalo de confiança xc  18  zc para  com n>30!!! 31 Para =0,05: 0,05  P( Z  zc ) zc  1,64
  15. 15. Teste de hipóteses para a média Logo 6 xc  18  1,64  16,23 31 Se Xobs < 16,23 rejeitamos H0 concluindo que o tratamento é eficaz. Região crítica: RC={x  : x<xc} RC={x  : x<16,23}
  16. 16. Teste de hipóteses para a média Se a amostra forneceu estimativa da média 16,04 então 16,04<16,23 e rejeitamos H0 ao nível de significância =0,05 ou =5%. Portanto o tratamento é eficaz.
  17. 17. Passos para construção do TH. Passo 1: Estabelecer as hipótese nula e alternativa; Passo 2: Definir a forma da região crítica, com base na hipótese alternativa; Passo 3: Identificar a distribuição do estimador e obter sua estimativa; Passo 4: Fixar  e obter a região crítica; Passo 5: Concluir o teste com base na estimativa e na região crítica.
  18. 18. Exercício Uma variável aleatória tem distribuição normal com desvio padrão igual a 12. Estamos testando se sua média é igual ou menor que 20 e coletamos uma amostra de 100 valores dessa variável, obtendo uma média amostral de 17,4. Formule as hipóteses. Obtenha a região crítica e dê a conclusão do teste para os seguintes níveis de significância: 1%, 4% e 8%.
  19. 19. Teste de hipóteses - bilateral Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
  20. 20. Teste de hipóteses  Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de uma certa substância no sangue se comporta segundo um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a concentração média se alterada para 18 unidades/ml com mesmo desvio padrão. Sadios: N(14,36) Doentes: N(18,36)
  21. 21. Teste de hipóteses - bilateral  NOVO OBJETIVO: Verificar se o tratamento produziu algum efeito benéfico X<18 ou danoso X>18 H0: O tratamento NÃO é eficaz Ha: O tratamento produz algum efeito (benéfico ou danoso) H0:  = 18 versus Ha:   18
  22. 22. Teste de hipóteses - bilateral A região crítica, ou região de rejeição para o teste de hipóteses bilateral será dada por: RC  {x   : x  xc1 ou x  xc 2 } A região de aceitação é o completar da região crítica: RA  {x   : xc1  x  xc 2 }
  23. 23. Teste de hipóteses - bilateral Para  fixo, encontramos os ponto críticos xc1 e xc2:   P(erro I )  P(rejeitar H 0 | H 0 verd.)  P( X  RC |   18)  P( X  xc1 ou X  xc 2 |   18)    X  18 xc1   X  18 xc 2  18   P  ou    6  6 6   31 n 31 31   P( Z  zc1 ou Z  zc 2 )    P( Z  zc1 )  e P ( Z  zc 2 )  2 2
  24. 24. Teste de hipóteses - bilateral Os valores de zc1 e zc2 são obtidos na tabela da distribuição normal, dado um valor para  e o valor crítico é calculado como: 6 Intervalo de confiança xci  18  zci para  com n > 30!!! 31 Para =0,05: 0,025  P( Z  zc1 ) 0,025  P( Z  zc 2 ) zc1  1,96 zc 2  1,96
  25. 25. Teste de hipóteses - bilateral Logo 6 xc1  18  1,96  15,89 31 6 xc 2  18  1,96  20,11 31 A região crítica para =0,05 é: RC  {x   : x  15,89 ou x  20,11}
  26. 26. Teste de hipóteses - bilateral Como Xobs não pertence a RC, aceitamos H0 a um nível de 5% de significância. Concluímos que o tratamento não é eficaz.
  27. 27. Teste de hipóteses - bilateral Também podemos calcular a probabilidade de acontecer o erro tipo II Para calcular , nós conhecemos o valor de :   P(erro I )  P(rejeitar H 0 | H 0 verd.)  P( X  RC |   18)
  28. 28. Teste de hipóteses - bilateral Mas para calcular a probabilidade de ocorrer o erro tipo II não sabemos quem é .   P(erro II )  P( Não rejeitar H 0 | H 0 falsa )  P( X  RC |   18) Quem é o verdadeiro valor de ?
  29. 29. Teste de hipóteses - bilateral Desta forma  será uma função dos valores de  definido na região da hipótese alternativa. Então a probabilidade do erro tipo II será denotada por (). Por exemplo, se  verdadeiro for =16  (16)  P(erro tipo II )  P( X  RC |   16)  P(15,89  X  20,11 |   16)
  30. 30. Teste de hipóteses - bilateral    15,89  16 X  16 20,11  16   (16)  P     36 36 36   31 31 31   P(0,10  Z  3,81)  0,0398  0,499  0,5397 Se o verdadeiro =16, estamos concluindo equivocadamente, com probabilidade de 0,5397, que H0 é verdadeiro.
  31. 31. Exercício Um relatório de uma companhia afirma que 40% de toda a água obtida, através de poços artesianos no nordeste, é salobra. Mas alguns dizem que a proporção é maior, outros que é menor. Para diminuir as dúvidas, sortearam 400 poços e observou-se, em 120 deles, água salobra. Qual seria a conclusão, ao nível de 3%?

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