Estatística - Notas de Aula sobre Conceitos Básicos, Apresentação de Dados e Distribuição de Frequências

Estatística – Notas de Aulas
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
ESTATÍSTICA
Notas de Aulas

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SUMÁRIO
1 CONCEITOS BÁSICOS 5
1.1 Estatística
1.2 Estatística Descritiva
1.3 Estatística Inferencial
1.4 População
1.5 Amostra
1.6 Variável
1.7 Séries Estatísticas
2 APRESENTAÇÃO DE DADOS 7
2.1 Apresentação Tabular
2.2 Apresentação Gráfica
3 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 11
3.1 Dados Brutos
3.2 Rol
3.3 Amplitude Total
3.4 Número de Classes
3.5 Amplitude de Classe
3.6 Intervalo de Classe
3.7 Freqüência Simples
3.8 Freqüência Acumulada
3.9 Freqüência Relativa
3.10 Ponto Médio de Classe
3.11 Representações Gráficas
4 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO 17
4.1 Média Aritmética
4.2 Mediana
4.3 Moda ...........................................................................................................................
4.4 Relação entre Média, Mediana e Moda
4.5 Percentil
4.6 Decil
4.7 Quartil
5 MEDIDAS DE DISPERSÃO 26
5.1 Amplitude
5.2 Desvio Médio
5.3 Variância
5.4 Desvio Padrão
5.5 Coeficiente de Variação
6 ASSIMETRIA E CURTOSE 32
6.1 Coeficiente de Assimetria
6.2 Coeficiente de Curtose
7 TEORIA DA PROBABILIDADE 36
7.1 Teoria dos Conjuntos
7.2 Técnicas de Contagem
7.3 Introdução à Probabilidade
8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 47
8.1 Tipos de Variáveis Aleatórias
8.2 Função de Probabilidade
8.3 Função Densidade de Probabilidade
8.4 Expectância
8.5 Variância

3
8.6 Distribuição Conjunta
8.7 Independência
8.8 Função Distribuição Acumulada
9 MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS DISCRETAS 56
9.1 Distribuição Uniforme
9.2 Distribuição de Bernoulli
9.3 Distribuição Binomial
9.4 Distribuição Geométrica
9.5 Distribuição de Pascal
9.6 Distribuição de Poisson
9.7 Distribuição Hipergeométrica
9.8 Distribuição Multinomial
10 MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS 61
10.1 Distribuição Uniforme
10.2 Distribuição Normal
10.3 Distribuição Gama
10.4 Distribuição Exponencial
10.5 Distribuição de Weibull
10.6 Distribuição Qui-Quadrado
10.7 Distribuição t, de Student
10.8 Distribuição F, de Fisher
10.9 Aproximação da Distribuição Binomial pela Normal
11 INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 67
11.1 Estimadores e Estatísticas
11.2 Estimadores Eficientes
11.3 Estatísticas Suficientes
11.4 Família Exponencial
11.5 Método da Máxima Verossimilhança
11.6 Distribuição Amostral da Média
12 INTERVALOS DE CONFIANÇA 74
12.1 Intervalo de Confiança para a Média
12.2 Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias
12.3 Intervalo de Confiança para a Proporção
12.4 Intervalo de Confiança para a Diferença de Proporções
12.5 Intervalo de Confiança para a Variância
12.6 Determinação do Tamanho de uma Amostra
13 CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO (CEP) 81
13.1 Conceitos
13.2 Diagrama de Pareto
13.3 Diagrama de Ishikawa
13.4 Gráfico de Controle para Média e Amplitude
13.5 Capabilidade
13.6 Gráficos de Controle para Amplitudes Móveis
13.7 Gráficos de Controle por Atributos
14 TEORIA DA DECISÃO ESTATÍSTICA 98
14.1 Teste de Hipótese
14.2 Teste de Hipótese para a Média
14.3 Teste de Hipótese para a Diferença de Médias
14.4 Teste de Hipótese para a Proporção
14.5 Teste de Hipótese para a Diferença de Proporções
15 ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA) 104
15.1 ANOVA para um Fator
15.2 ANOVA para dois Fatores

4
16 TESTE QUI-QUADRADO 110
16.1 Teste de Bondade de Ajustamento
16.2 Teste de Independência de Variáveis
17 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 113
17.1 Teste U, de Wilcoxon, Mann e Whitney
17.2 Teste H, de Kruskal – Wallis
18 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E DE REGRESSÃO 118
18.1 Coeficiente de Correlação
18.2 Análise de Regressão Linear
18.3 Método dos Mínimos Quadrados
18.4 Modelo Exponencial
18.5 Modelo Potência
18.6 Modelo Logarítmico
APÊNDICE I – INTEGRAIS EULERIANAS
APÊNDICE II – MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON

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1. CONCEITOS BÁSICOS
1.1 Estatística
A Estatística compreende os métodos científicos utilizados para coleta, organização, resumo,
apresentação e análise, ou descrição, de dados de observação. Também abrange métodos utilizados para
tomadas de decisões sob condições de incerteza.
1.2 Estatística Descritiva
Inclui as técnicas empregadas para coleta e descrição de dados. Também é empregada na análise
exploratória de dados.
1.3 Estatística Inferencial
É utilizada para tomar decisões a respeito de uma população, geralmente utilizando dados de
amostras. Uma vez que tais decisões são tomadas sob condições de incerteza, faz-se necessário o uso de
conceitos relativos à Teoria da Probabilidade.
1.4 População
Um dos conceitos fundamentais na Estatística, é empregado para designar um conjunto de
indivíduos que possuem pelo menos uma característica, ou atributo, em comum. Alguns autores
empregam o termo universo para referir-se a uma população.
1.5 Amostra
Refere-se a qualquer subconjunto de uma população. A amostragem é uma das etapas mais
importantes na aplicação de métodos estatísticos, envolvendo aspectos como determinação do tamanho da
amostra, metodologia de formação e representatividade da amostra com relação à população.
1.6 Variável
É usada para atribuição dos valores correspondentes aos dados observados. É importante
ressaltar que os dados em questão não são necessariamente numéricos, uma vez que podem dizer respeito
a atributos qualitativos observados na população. Por esta razão costuma-se classificar as variáveis nas
categorias definidas a seguir.
1.6.1 – Variável Numérica. Também chamada variável quantitativa, é utilizada para representação de
dados numéricos, ou quantitativos.
1.6.1.1 – Variável Numérica Discreta. Variável cujo domínio é um conjunto enumerável. Geralmente
corresponde a dados de contagem. Exemplo: Número de defeitos em um componente, total de unidades
defeituosas em uma amostra.
1.6.1.2 – Variável Numérica Contínua. Variável cujo domínio é um conjunto não enumerável. Refere-se a
dados de mensuração. Exemplo: Diâmetro de um eixo, peso de um recém-nascido.
1.6.2 – Variável Qualitativa. É utilizada para representação de atributos. Pode ser dicotômica, ou
binária, quando assume apenas dois possíveis valores, ou politômica, também referida como multinomial,
quando pode assumir mais de dois possíveis valores.
1.6.2.1 – Variável Qualitativa Categórica. É empregada para representar categorias, ou classes, às quais
pertencem as observações registradas. Exemplo: Cor dos olhos, sexo.
1.6.2.2 – Variável Qualitativa Ordinal. Utiliza-se este tipo de variável em situações nas quais presume-se
a necessidade de uma ordem, crescente ou decrescente, para os resultados. Exemplo: Grau de
escolaridade, categoria salarial.

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1.7 – Séries Estatísticas
Uma série estatística consiste basicamente de um conjunto de valores observados para diferentes
categorias de uma variável. As séries estatísticas são classificadas em três categorias, apresentadas a
seguir.
1.7.1 – Série Temporal. A variável de interesse refere-se a um período de tempo.
Exemplo 1.7.1 – A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da empresa fictícia ABC
durante o ano de 20XY.
Tabela 1.1 – Faturamento mensal (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY).
Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Total
Faturamento 0,95 1,03 1,12 1,24 1,02 0,92 0,84 0,78 0,72 0,65 0,68 0,82 10,77
Fonte: Dados fictícios.
1.7.2 – Série Geográfica. Aqui a variável estudada é o local.
Exemplo 1.7.2 – A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da empresa fictícia ABC
durante o ano de 20XY, nas respectivas regiões de atuação.
Tabela 1.2 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY), por região.
Região
Grande
Curitiba
Interior
do PR
Interior
de SC
Porto
Alegre
Interior
do RS
Campo
Grande
Cuiabá Total
Faturamento 2,75 2,58 1,82 1,42 0,80 0,75 0,70 10,77
1.7.3 – Série Específica.
Exemplo 1.7.3 - A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da empresa fictícia ABC
durante o ano de 20XY, especificado por produto.
Tabela 1.3 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY), por produto.
Produto Rolamento Mancal Óleo Junta Válvula Retentor Total
Faturamento 3,48 1,84 1,75 1,45 1,25 1,00 10,77
1.7.4 – Séries Combinadas. Na prática, é comum combinar séries estatísticas com o objetivo de
aumentar, ou detalhar, as informações disponíveis.
Exemplo 1.7.4 – O quadro a seguir mostra o faturamento da empresa ABC por produto e região, isto é,
uma combinação de uma série geográfica e uma série específica.
Quadro 1.1 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC, por produto e região.
Produto
Região
Rolamento Mancal Óleo Junta Válvula Retentor
Total
Grande Curitiba 0,89 0,46 0,45 0,37 0,32 0,26 2,75
Interior do PR 0,83 0,44 0,42 0,35 0,30 0,24 2,58
Interior de SC 0,59 0,31 0,30 0,25 0,21 0,16 1,82
Porto Alegre 0,45 0,24 0,23 0,19 0,16 0,15 1,42
Interior do RS 0,26 0,14 0,13 0,11 0,09 0,07 0,80
Campo Grande 0,24 0,13 0,12 0,10 0,09 0,07 0,75
Cuiabá 0,22 0,12 0,10 0,08 0,08 0,10 0,70
Total 3,48 1,84 1,75 1,45 1,25 1,00 10,77

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2. APRESENTAÇÃO DE DADOS
A apresentação de dados pode ser efetuada através de dois modos, tabular ou gráfico, não
mutuamente exclusivos. Para esta tarefa deve-se ter em mente o objetivo da apresentação, no que diz
respeito ao nível de detalhamento e ao tipo de informação que se deseja extrair dos dados em questão. A
apresentação tabular permite obter informações mais detalhadas, enquanto a apresentação gráfica permite
uma compreensão mais rápida a respeito do comportamento da variável observada.
2.1 – Apresentação Tabular
Em primeiro lugar, é importante frisar que os termos “tabela” e “quadro” são utilizados para
designar objetos distintos. O primeiro designa o arranjo de dados na forma de grade com laterais abertas,
enquanto o segundo termo é empregado para designar arranjos em grades com laterais fechadas,
conforme a Figura 2.1.
Figura 2.1 – Formatos de tabela e quadro.
Independente do formato escolhido, uma tabela deve conter três elementos:
1 – Cabeçalho. Deve conter o máximo de informações sobre os dados apresentados
2 – Corpo. De dimensões variáveis, é o espaço destinado à apresentação propriamente dita dos dados.
3 – Rodapé. Deve conter a fonte dos dados e outras informações necessárias à compreensão.
2.1.1 – Tabela Simples.
É o tipo mais comum de tabela, utilizado para representar os valores correspondentes a uma série
estatística. A disposição pode ser feita tanto por colunas como por linhas.
Exemplo 2.1 – Exemplo de tabela simples. Dados dispostos em linha.
Faturamento 0,95 1,03 1,12 1,24 1,02 0,92 0,84 0,78 0,72 0,65 0,68 0,82 10,77
Exemplo 2.2 - Exemplo de tabela simples. Dados dispostos em coluna.
Tabela 2.1 – Número de
beneficiários de planos privados
de saúde, em milhões, no período
2000 – 2006.
Ano Beneficiários (milhões)
2000 34,5
2001 34,3
2002 35,0
2003 36,2
2004 38,8
2005 41,6
2006 44,7
Fonte: Jornal Folha de São Paulo. 4/6/2007
Variável Valores
Total
Variável Valores
Total

8
2.1.2 – Tabela de Dupla Entrada. É utilizada para representar dados de duas séries combinadas.
Exemplo 2.3 – Exemplo de tabela de dupla entrada.
Tabela 2.2 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC, por produto e região.
Produto
Região
Rolamento Mancal Óleo Junta Válvula Retentor
Total
Grande Curitiba 0,89 0,46 0,45 0,37 0,32 0,26 2,75
Interior do PR 0,83 0,44 0,42 0,35 0,30 0,24 2,58
Interior de SC 0,59 0,31 0,30 0,25 0,21 0,16 1,82
Porto Alegre 0,45 0,24 0,23 0,19 0,16 0,15 1,42
Interior do RS 0,26 0,14 0,13 0,11 0,09 0,07 0,80
Campo Grande 0,24 0,13 0,12 0,10 0,09 0,07 0,75
Cuiabá 0,22 0,12 0,10 0,08 0,08 0,10 0,70
Total 3,48 1,84 1,75 1,45 1,25 1,00 10,77
2.1.3 – Tabela de Múltiplas Entradas. É utilizada na representação de dados correspondentes a mais de
duas séries.
Exemplo 2.4 – Exemplo de tabela de múltipla entrada.
Tabela 2.3 – Unidades vendidas por região e por semestre.
Produto
Rolamento MancalRegião
1o
Semestre 2o
semestre 1o
Semestre 2o
semestre
Total
Sul 38 24 18 14 94
Sudeste 26 20 14 12 72
Centro Oeste 16 18 8 17 59
Total 80 62 40 43 225
Dados Fictícios.
2.2 – Apresentação Gráfica
Para a apresentação gráfica deve-se levar em consideração o tipo de série estatística estudada e o,
também, o tipo de variável observada, quantitativa ou qualitativa. Também é possível combinar as duas
formas de apresentação, tabular e gráfica. Os principais tipos de gráficos são:
2.2.1 – Gráfico Linear. É utilizado principalmente para representar séries temporais.
Exemplo 2.5
Faturamento 0,95 1,03 1,12 1,24 1,02 0,92 0,84 0,78 0,72 0,65 0,68 0,82 10,77
Faturamento da Empresa ABC
0
0,5
1
1,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Meses
R$1000000,00

9
2.2.2 – Gráfico Setorial. É utilizado para representar séries geográficas ou específicas.
Exemplo 2.6
Tabela 1.2 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY), por região.
Região
Grande
Curitiba
Interior
do PR
Interior
de SC
Porto
Alegre
Interior
do RS
Campo
Grande
Cuiabá Total
Faturamento 2,75 2,58 1,82 1,42 0,80 0,75 0,70 10,77
Faturamento por Região
Grande Curitiba;
2,75
Interior do PR; 2,58Interior de SC; 1,82
Porto Alegre; 1,42
Interior do RS; 0,8
Campo Grande;
0,75
Cuiabá; 0,7
Grande Curitiba
Interior do PR
Interior de SC
Porto Alegre
Interior do RS
Campo Grande
Cuiabá
2.2.3 – Gráfico de Colunas. Pode ser utilizado no lugar do gráfico setorial.
Exemplo 2.7 – Os dados da Tabela 1.2 poderiam ser representados através do gráfico a seguir.
Faturamento por Região
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Grande
Curitiba
Interior do
PR
Interior de
SC
Porto
Alegre
Interior do
RS
Campo
Grande
Cuiabá
2.2.4 – Gráfico de Colunas Superpostas. É utilizado para representar os dados de tabelas de dupla
entrada.
Exemplo 2.8 – Representação dos dados da Tabela 2.2.
Faturamento por Produto e por Região (%)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Grande
Curitiba
Interior do
PR
Interior de
SC
Porto
Alegre
Interior do
RS
Campo
Grande
Cuiabá
Retentor
Válvula
Junta
Óleo
Mancal
Rolamento

10
2.2.5 – Gráfico de Colunas Justapostas. È utilizado para representar dados de tabelas de dupla entrada.
Faturamento por Produto e por Região
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Grande
Curitiba
Interior do
PR
Interior de
SC
Porto
Alegre
Interior do
RS
Campo
Grande
Cuiabá
Rolamento
Mancal
Óleo
Junta
Válvula
Retentor

11
3. DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS
As distribuições de freqüências são usadas principalmente para a apresentação de grandes
conjuntos de dados.
3.1 – Dados Brutos
É a designação para um conjunto de dados não ordenados.
3.2 – Rol
É um conjunto de dados ordenados.
Exemplo 3.1 – Teores de ácido palmítico (%) observados em 120 amostras de óleos vegetais, utilizadas
em um estudo para comparar as características de óleos obtidos a partir de diferentes fontes.
3,8 5,2 6,1 6,4 8,3 10,1 10,9 11,5
3,9 5,4 6,1 6,4 8,3 10,2 10,9 11,5
4,1 5,4 6,1 6,5 9,3 10,4 11 11,5
4,5 5,5 6,2 6,6 9,4 10,4 11 11,5
4,6 5,6 6,2 6,7 9,6 10,5 11 11,6
4,8 5,7 6,2 6,7 9,7 10,5 11 11,6
4,8 5,9 6,2 6,8 9,7 10,5 11,1 11,9
4,8 5,9 6,2 7 9,7 10,5 11,1 11,9
4,9 5,9 6,2 7,2 9,8 10,5 11,1 12,2
5 6 6,2 7,5 9,8 10,5 11,1 12,2
5,1 6 6,2 7,6 9,8 10,7 11,2 12,2
5,1 6 6,2 7,7 9,9 10,8 11,2 13
5,1 6 6,2 8 10 10,8 11,3 13
5,1 6,1 6,3 8 10 10,9 11,4 13,1
5,1 6,1 6,4 8,2 10 10,9 11,4 13,1
Fonte: Brodnjak – Vončina et al. (2005)
3.3 – Amplitude Total (R)
É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo observados no conjunto de dados, isto é:
)1()( xxR n −= (3.1)
Exemplo 3.2 – Para o conjunto de dados do exemplo anterior a amplitude total é R = 13,1 – 3,8 = 9,3
3.4 – Número de Classes (k)
Pode ser determinado arbitrariamente ou de acordo com a expressão a seguir, denominada fórmula de
Sturges, onde n é o número de observações, ou tamanho da amostra.
nk log3,31+= (3.2)
Exemplo 3.3 – Uma distribuição de freqüências para os dados do Quadro 3.1, de acordo com a fórmula de
Sturges, terá
886,7)120log(3,31 ≅=+=k
3.5 – Amplitude de Classe (h)
Pode ser calculada por
k
R
h = (3.3)

12
Exemplo 3.4 – Para os dados dos exemplos anteriores, a amplitude de classe é 2,1
8
3,9
≅=h .
3.6 – Intervalo de Classe
Os limites de cada classe podem ser definidos de quatro modos distintos, mostrados a seguir.
1. Intervalo “exclusive – exclusive”:
2. Intervalo “inclusive – exclusive”:
3. Intervalo “inclusive – inclusive”:
4. Intervalo “exclusive – inclusive”:
Exemplo 3.5 – Para os dados utilizados como exemplo até agora, as classes e intervalos são:
Tabela 3.1 – Distribuição de freqüências para os teores
(%) de ácido palmítico observados em amostras de
óleos vegetais.
Classe Teores de Ácido Palmítico Observações
1 3,8 |-- 5,0 9
2 5,0 |-- 6,2 24
3 6,2 |-- 7,4 21
4 7,4 |-- 8,6 8
5 8,6 |-- 9,8 6
6 9,8 |-- 11,0 24
7 11,0 |-- 12,2 21
8 12,2 |-- 13,4 7
Total (N) 120
3.7 – Freqüência Simples (fi)
A freqüência simples da i–ésima classe é igual ao número do observações pertencentes à mesma.
Exemplo 3.6 – Na distribuição do exemplo anterior: f1 = 9 , f2 = 24 , ... , f8 = 4.
3.8 – Freqüência Acumulada
A freqüência acumulada crescente da i–ésima classe é dada por: ∑=
=
i
j
ji ffac
1
(3.4)
Exemplo 3.7 – A freqüência acumulada crescente da quarta classe, na distribuição mostrada na Tabela
3.1, é: fac4 = 9 + 24 + 21 + 8 = 62.
A freqüência acumulada decrescente da i–ésima classe é dada por: ∑=
=
k
ij
ji ffad (3.5)
Exemplo 3.8 – Para a quarta classe da distribuição anterior, a freqüência acumulada decrescente é dada
por: fad4 = 8 + 6 + 24 + 24 + 4 = 66.
3.9 – Freqüência Relativa (fri)
A freqüência relativa da i–ésima classe é dada por:
∑=
= k
j
j
i
i
f
f
fr
1
(3.6)

13
Exemplo 3.9 – As freqüências relativas para distribuição da Tabela 3.1 são
Tabela 3.2 – Distribuição de freqüências simples e relativas para os teores (%) de
ácido palmítico observados em amostras de óleos vegetais.
Classe Teores de Ácido Palmítico Observações Freqüências Relativas
1 3,8 |-- 5,0 9 0,0750
2 5,0 |-- 6,2 24 0,2000
3 6,2 |-- 7,4 21 0,1750
4 7,4 |-- 8,6 8 0,0667
5 8,6 |-- 9,8 6 0,0500
6 9,8 |-- 11,0 24 0,2000
7 11,0 |-- 12,4 21 0,1750
8 12,4 |-- 13,6 7 0,0583
Total (N) 120 1,0000
3.10 – Ponto Médio de Classe (Xi)
O ponto médio da i–ésima classe é dado por:
2
ii
i
LSLI
X
+
= (3.7)
onde LIi e LSi são os limites inferior e superior da classe, respectivamente.
Exemplo 3.10 – As classes da distribuição da Tabela 3.1 têm os seguintes pontos médios:
Tabela 3.3 – Distribuição de freqüências simples e
pontos médios de classe para os teores (%) de ácido
palmítico observados em amostras de óleos vegetais.
Classe Teores de Ácido Palmítico Observações Pontos Médios (Xi)
1 3,8 |-- 5,0 9 4,4
2 5,0 |-- 6,2 24
3 6,2 |-- 7,4 21
4 7,4 |-- 8,6 8
5 8,6 |-- 9,8 6
6 9,8 |-- 11,0 24
7 11,0 |-- 12,2 21
8 12,2 |-- 13,4 7 12,8
Total (n) 120
3.11 – Representações Gráficas
As distribuições de freqüências podem ser representadas através de três tipos de gráficos, não
mutuamente exclusivos.
3.11.1 – Histograma
É um gráfico de colunas justapostas, onde a largura da base de cada coluna representa o intervalo de
classe correspondente e a altura representa a freqüência simples da referida classe.
Exemplo 3.11 – A Figura 3.1 mostra o histograma da distribuição mostrada na Tabela 3.1.

14
0
5
10
15
20
25
30
3,8 - 5,0 5,0 - 6,2 6,2 - 7,4 7,4 - 8,6 8,6 - 9,8 9,8 - 11,0 11,0 - 12,2 12,2 - 13,4
Figura 3.1 – Histograma da distribuição de freqüências de teores de ácido palmítico.
3.11.2 – Polígono de Freqüências
É definido por uma linha poligonal cujos vértices são definidos pelos pontos médios e pelas freqüências
das classes representadas.
Exemplo 3.12 – O polígono de freqüências para a distribuição anterior é mostrado na Figura 3.2.
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6 7 8
Classes
Freqüências
Figura 3.2 – Polígono de freqüências da distribuição de teores de ácido palmítico.
3.11.3 – Curva de Freqüências
Exemplo 3.13 – A curva de freqüências para a distribuição dos exemplos anteriores é mostrada na Figura
3.3.
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 3.3 – Curva de freqüências para a distribuição de teores de ácido palmítico.

15
3.12 – Exercícios
O Quadro 3.1 mostra 150 valores correspondentes ao comprimento da sépala, observados em flores de
três espécies: íris virginica, íris setosa e íris versicolor, para um estudo cujo é a comparação das
diferenças entre as dimensões observadas para cada um dos três grupos.
Quadro 3.1 – Comprimentos (mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
43 46 44 46 50 54 50 49 56 58
44 47 44 48 56 55 51 57 61 59
46 48 45 49 56 55 55 58 61 60
46 50 48 50 56 55 56 60 62 62
47 50 49 51 58 56 57 64 63 63
48 51 49 52 59 57 57 64 63 63
48 51 50 53 59 58 57 65 64 64
49 51 50 55 60 60 58 65 64 65
49 51 50 57 61 60 58 67 67 67
50 52 51 63 61 60 61 68 69 67
50 52 51 64 61 63 62 72 72 67
51 54 52 65 62 66 63 73 72 68
54 54 54 66 63 67 63 76 74 69
54 57 55 69 64 67 65 77 77 69
58 57 55 70 67 68 71 77 79 77
Fonte: Fisher (1936).
1) Calcular a amplitude total.
2) Calcular o número de classes para construir uma distribuição de freqüências.
3) Calcular a amplitude de cada classe.
4) Determinar os intervalos e limites de classes.
5) Distribuir as freqüências.
6) Calcular as freqüências acumuladas.
7) Calcular os pontos médios.
8) Traçar o histograma.
Resposta:
Classe Comprimento (mm) Flores faci fadi fri Ponto médio
1 43 |-- 47 9 9 150 0,0600 45
2 47 |-- 51 23 32 141 0,1533 49
3 51 |-- 55 19 51 118 0,1267 53
4 55 |-- 59 28 79 99 0,1867 57
5 59 |-- 63 20
6 63 |-- 67 23
7 67 |-- 71 16
8 71 |-- 75 6
9 75 |-- 79 6 150 6
Total 150

16
0
5
10
15
20
25
30
Figura 3.4 – Histograma para os dados do Quadro 3.1.
Referências
Brodnjak – Vončina, D., Kodba, Z., Novič, M., Multivariate data analysis in classification of
vegetable oils characterized by the content of fatty acids. Chemometrics and Intelligent Laboratory
Systems 75, pp. 31-43, 2005.
Fisher, R. A., The use of multiple measurements in taxonomic problems. Annals of Eugenics 7, pp.
179-178, 1936.
Johnson, R. A., Wichern, D. W., Applied multivariate statistical analysis. 2nd. Ed. New Jersey: Prentice-
Hall International, Inc., 1988.

17
4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO
São medidas utilizadas principalmente para a descrição de dados. Neste caso o que se deseja
encontrar são os valores representativos do conjunto de dados, de modo a resumir ao máximo as
observações sobre os dados em questão. As principais medidas de posição são a média aritmética, a
mediana e a moda. As definições, e algumas propriedades, destas medidas são brevemente descritas a
seguir.
4.1 – Média Aritmética ( x )
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }. A média aritmética, ou simplesmente “média”, é
dada por
n
x
x
n
i
i∑=
= 1
(4.1)
Exemplo 4.1 – Seja o conjunto {2 , 4 , 3 , 5 , 6 , 2 , 5}. Então a média aritmética é:
8571,3
7
5265342
=
++++++
=x .
OBS: A notação x é empregada para representar a média de uma amostra de valores. A média da
população costuma ser representada pela letra grega µ (“mi” ou “mu”).
4.1.1 – Propriedades da Média Aritmética:
P1: Se uma constante k é somada a cada valor do conjunto, então a média será acrescida de k.
Exemplo 4.2 – Se todos os valores do conjunto do exemplo 3.1 forem aumentados em 5, a média será
8,8571.
P2: Se cada valor do conjunto é multiplicado por uma constante k, então a média também será
multiplicada pelo mesmo valor.
Exemplo 4.3 – Se todos os valores do conjunto do exemplo 3.1 forem multiplicados por 5, a média será
19,2855.
P3: Seja xxd ii −= o desvio do i – ésimo valor em relação à média aritmética. Então ∑=
=
n
i
id
1
0.
4.1.2 – Média Aritmética Ponderada
Para dados agrupados em distribuições de freqüências calcula-se a média ponderada, sendo que a
freqüência observada para cada valor é o peso do mesmo. Então, se um conjunto de n valores foi
agrupado em k classes, com pontos médios X1 , X2 , ... , Xk , e freqüências simples f1 , f2 , ... , fk ,
respectivamente, então a média aritmética é dada por:
∑
∑
=
=
= k
i
i
k
i
ii
f
fX
x
1
1 (4.2)

18
Exemplo 4.4 – O teor médio de ácido palmítico, para os dados da Tabela 3.1, é dado por:
Classe Teores de Ácido Palmítico (%) Observações (fi) Xi Xi fi
1 3,8 |-- 5,0 9 4,4 39,6
2 5,0 |-- 6,2 24
3 6,2 |-- 7,4 21
4 7,4 |-- 8,6 8
5 8,6 |-- 9,8 6
6 9,8 |-- 11,0 24
7 11,0 |-- 12,2 21
8 12,2 |-- 13,4 7 12,8 89,6
Total (n) 120
54,8
120
4,1024
≅=x
OBS: Se a média para os 120 valores fosse obtida diretamente do conjunto, através da fórmula (4.1), o
valor encontrado seria 8,40.
4.2 – Mediana ( x~ )
É o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados, quando organizados em ordem
crescente. Se a quantidade de valores é ímpar, a mediana, ou valor mediano, é simplesmente o valor
central. Se a quantidade de valores é par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
Exemplo 4.5 – Seja o conjunto {2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 , 7 , 9 , 9 , 10}. Neste caso a mediana é x~ = 6.
Exemplo 4.6 – Seja o conjunto {0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 7 , 8}. Aqui a mediana é dada pela média
dos dois valores centrais, isto é, x~ = (4 + 5)/2 = 4,5.
4.2.1 – Mediana para dados agrupados em distribuições de freqüências
Para dados agrupados em distribuições de freqüências pode-se utilizar para o cálculo da mediana
a expressão:
h
fme
fca
n
LIx x












−
+= 2~ ~
(4.3)
onde: LIx = limite inferior da classe que contém o valor mediano, isto é, da classe cuja freqüência
acumulada crescente é igual ou imediatamente superior a n / 2.
fca = freqüência acumulada crescente da classe anterior à classe que contém o valor mediano.
fme = freqüência simples da classe que contém o valor mediano.
h = amplitude da classe que contém o valor mediano.
Exemplo 4.7 – O teor mediano de ácido palmítico, para os dados da Tabela 3.1, é dado por:
Classe Teores de Ácido Palmítico (%) Observações (fi) faci
1 3,8 |-- 5,0 9 9
2 5,0 |-- 6,2 24 33
3 6,2 |-- 7,4 21 54
4 7,4 |-- 8,6 8 62
5 8,6 |-- 9,8 6
6 9,8 |-- 11,0 24
7 11,0 |-- 12,2 21
8 12,2 |-- 13,4 7
Total (n) 120

19
60
2
=
n (Então a mediana pertence à 4ª. classe).
LIx = 7,4
fca = 54
fme = 8
h = 8,6 – 7,4 = 1,2
Substituindo na expressão (4.3):
OBS: Se a mediana fosse obtida a partir da definição, diretamente do conjunto de dados, o valor
encontrado seria 8,25.
4.3 - Moda
A moda, ou valor modal, de um conjunto de dados é o valor com maior freqüência individual. É
importante ressaltar que o valor modal pode não existir, além disto, caso exista, pode não ser único. Neste
último caso, diz-se que o conjunto é bimodal, trimodal, etc.
Exemplo 4.8 – O valor modal para o conjunto de observação dos teores de ácido palmítico é 6,2, cuja
freqüência é 10.
3,8 5,2 6,1 6,4 8,3 10,1 10,9 11,5
3,9 5,4 6,1 6,4 8,3 10,2 10,9 11,5
4,1 5,4 6,1 6,5 9,3 10,4 11 11,5
4,5 5,5 6,2 6,6 9,4 10,4 11 11,5
4,6 5,6 6,2 6,7 9,6 10,5 11 11,6
4,8 5,7 6,2 6,7 9,7 10,5 11 11,6
4,8 5,9 6,2 6,8 9,7 10,5 11,1 11,9
4,8 5,9 6,2 7 9,7 10,5 11,1 11,9
4,9 5,9 6,2 7,2 9,8 10,5 11,1 12,2
5 6 6,2 7,5 9,8 10,5 11,1 12,2
5,1 6 6,2 7,6 9,8 10,7 11,2 12,2
5,1 6 6,2 7,7 9,9 10,8 11,2 13
5,1 6 6,2 8 10 10,8 11,3 13
5,1 6,1 6,3 8 10 10,9 11,4 13,1
5,1 6,1 6,4 8,2 10 10,9 11,4 13,1
Para dados agrupados em distribuições de freqüências, a moda pode ser calculada através da fórmula dada
por:
hLIMo 





∆+∆
∆
+=
21
1
mod
(4.4)
onde:
LImod = limite inferior da classe modal, isto é, a de maior freqüência simples.
∆1 = (freqüência simples da classe modal menos a freqüência simples da classe anterior).
∆2 = (freqüência simples da classe modal menos a freqüência simples da classe posterior).
h = amplitude da classe modal.
Exemplo 4.9 – Calcular a moda para a distribuição de freqüências dos teores de ácido palmítico.
A distribuição de freqüências é dada na tabela a seguir.
Classe Teores de Ácido Palmítico (%) Observações (fi)

20
1 3,8 |-- 5,0 9
2 5,0 |-- 6,2 24
3 6,2 |-- 7,4 21
4 7,4 |-- 8,6 8
5 8,6 |-- 9,8 6
6 9,8 |-- 11,0 24
7 11,0 |-- 12,2 21
8 12,2 |-- 13,4 7
Total (n) 120
Neste caso as classes 2 e 6 têm a mesma freqüência. Então a distribuição obtida é bimodal, conforme se
pode notar na Figura 3.3, com a curva de freqüências para este conjunto de dados. As respectivas modas
são:
Primeiro valor modal:
LImod = 5,0
∆1 = 24 – 9 = 15
∆2 = 24 – 21 = 3
h = 6,2 – 5,0 = 1,2
Substituindo na fórmula (4.4): =





+
+= ),(,Mo 21
315
051
.
Segundo valor modal:
LImod = 9,8
∆1 = 24 – 6 = 18
∆2 = 24 – 21 = 3
h = 11,0 – 9,8 = 1,2
Substituindo na fórmula (4.4): =





+
+= ),(,Mo 21
318
892
.
OBS: É importante chamar a atenção para o fato de que nenhum dos valores coincide com o real valor
modal, que é igual a 6,2.
Comentário
Nos exemplos anteriores é possível observar que as medidas calculadas para um conjunto de
dados podem apresentar discrepância quando calculadas através de abordagens distintas. Para a
distribuição de freqüências dos teores (%) de ácido palmítico observados em amostras de óleos vegetais,
por exemplo, a média aritmética foi calculada como 8,54, para os dados agrupados, e 8,40 para os dados
apenas ordenados. O mesmo ocorre com a mediana, que, por definição, é 8,25. Entretanto, para os
mesmos dados, quando agrupados, a mediana é igual a 8,30. Para o cálculo da moda a diferença é ainda
mais gritante, pois foram encontrados dois valores, 6,0 e 10,8, para a moda. Contudo, é fácil perceber que
o valor em questão é igual a 6,2.
Este tipo de ocorrência deve ser levado em consideração quando se opta pela apresentação, e
tratamento, de dados na forma de distribuições de freqüências. O fácil acesso a programas
computacionais e aplicativos pode tornar dispensável a construção de distribuições de freqüências,
especialmente quando o interesse do estudo restringe-se aos resultados obtidos para as diferentes medidas
aqui estudadas. Neste caso, a distribuição de freqüências pode ser usada apenas como meio de
apresentação dos dados.

21
4.4 – Relação entre Média, Mediana e Moda
A relação entre os valores encontrados para a média, para a mediana e para a moda indica o tipo
de assimetria da distribuição de freqüências. Aqui entende-se por assimetria o grau de desvio dos dados
em relação ao centro da distribuição.
Figura 4.1 – Assimetria positiva (Mo < x~ < x ).
Figura 4.2 – Assimetria negativa (Mo > x~ > x ).
22
Figura 4.3 – Distribuição simétrica (normal) (Mo = x~ = x ).
Na prática é comum obter distribuições de freqüências cujas medidas não apresentam nenhum dos
comportamentos descritos, e ilustrados, nas Figuras 4.1 a 4.3. Neste caso recomenda-se excluir a moda
nas relações mostradas acima, isto é, comparar apenas a média e a mediana.
4.5 - Percentil
O valor mediano é aquele que divide um conjunto de dados ordenados em duas partes iguais. Da
mesma forma, também pode ser útil discriminar valores correspondentes a uma determinada
percentagem. Este tipo de situação ocorre, por exemplo, quando se deseja determinar a renda familiar que
define os 10% mais ricos em uma sociedade.

22
Para determinar certo percentil em um conjunto de dados é suficiente ordenar estes mesmos
dados e localizar o elemento correspondente à fração desejada, de modo análogo ao usado para
determinar a mediana.
Exemplo 4.10 – Seja o conjunto de dados mostrado no Quadro 4.1. O 90o
percentil é o valor que separa
90% dos exemplares com menor largura dos 10% com a maior largura. Então, considerando que o
conjunto tem n = 150 observações, basta separar os 15 últimos elementos, que são justamente os
pertencentes à última coluna. Neste caso o 90o
percentil é igual a 37. Isto significa que 90% dos
exemplares apresentam largura inferior a 37 mm.
Quadro 4.1 – Larguras (em mm) das sépalas
20 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 29 30 30 31 33 34 37
22 25 28 29 30 30 31 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
24 26 28 29 30 31 32 34 35 38
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
25 27 28 29 30 31 32 34 36 40
25 27 28 30 30 31 32 34 36 41
25 27 28 30 30 31 32 34 36 42
25 27 28 30 30 31 32 34 36 44
Para dados agrupados em distribuições de freqüências pode-se utilizar a fórmula dada por:
h
fP
fca
pn
LIP Pp












−
+= 100
(4.5)
onde:
LIP = limite inferior da classe que contém o p–ésimo percentil, isto é, da classe cuja freqüência
acumulada crescente é igual ou imediatamente superior a pn / 100.
fca = freqüência acumulada crescente da classe anterior à classe que contém o p–ésimo percentil.
fP = freqüência simples da classe que contém o p–ésimo percentil.
h = amplitude da classe que contém o p–ésimo percentil.
Exemplo 4.11 – Calcular o 90o
percentil e o 10o
percentil para os dados da distribuição de freqüências dos
dados mostrados no Quadro 4.1.
Classes Largura (mm) Exemplares faci
1 20 |-- 23 4 4
2 23 |-- 26 15 19
3 26 |-- 29 28 47
4 29 |-- 32 47 94
5 32 |-- 35 31 125
6 35 |-- 38 13 138
7 38 |-- 41 9 147
8 41 |--| 44 3 150
Total 150

23
Neste caso: p = 90. Então 135
100
15090
=
× . O valor procurado pertence à 6ª. classe, que tem freqüência
acumulada crescente igual a 138.
LIP = 35
fca = 125
fP = 13
h = 38 – 35 = 3
Substituindo na fórmula 4.5: 3,37)3(
13
125135
3590 ≅




 −
+=P .
O cálculo do 10o
percentil é deixado como exercício.
4.6 - Decil
Esta medida é aplicada quando de deseja dividir um conjunto de dados ordenados em dez partes
iguais. Não é difícil perceber que:
D1 = P10
D2 = P20
D3 = P30
...
D9 = P90
Exemplo 4.12 – Para os dados do Quadro 4.1, o quarto decil corresponde ao valor que separa quatro
décimos, ou 40% dos valores. Para n = 150 observações, isto representa 60 valores, ou as quatro
primeiras colunas. Então D4 = 30.
4.7 - Quartil
Esta medida divide um conjunto de dados ordenados em quatro partes iguais. Também é fácil
perceber que:
Q1 = P25
Q2 = P50
Q3 = P75
Exemplo 4.13 – Para os dados do Quadro 4.1, o terceiro quartil é valor que separa o conjunto em duas
partes, uma correspondente a 75% dos valores e outra correspondente a 25% dos valores. Como o
conjunto possui 150 observações, e ¾ de 150 correspondem a 112,5, o elemento procurado é a média do
112o
e do 113o
valores. Então o Q3 = 33 (verifique no próprio quadro !)
4.8 - Exercícios
4.8.1) O Quadro 3.1 foi utilizado para construir uma distribuição de freqüências no Exercício 3.12.
Calcular, para a distribuição de freqüências obtida:
1) Média.
2) Mediana.
3) Moda.
4) Comparar os resultados obtidos com os reais valores.
5) Estudar a assimetria da distribuição.
6) Calcular o 10o
e o 90o
percentís.
7) Calcular o 1o
e o 4o
quartís.
Respostas: O quadro original é dado a seguir.

24
Quadro 3.1 – Comprimentos (mm) das sépalas
43 46 44 46 50 54 50 49 56 58
44 47 44 48 56 55 51 57 61 59
46 48 45 49 56 55 55 58 61 60
46 50 48 50 56 55 56 60 62 62
47 50 49 51 58 56 57 64 63 63
48 51 49 52 59 57 57 64 63 63
48 51 50 53 59 58 57 65 64 64
49 51 50 55 60 60 58 65 64 65
49 51 50 57 61 60 58 67 67 67
50 52 51 63 61 60 61 68 69 67
50 52 51 64 61 63 62 72 72 67
51 54 52 65 62 66 63 73 72 68
54 54 54 66 63 67 63 76 74 69
54 57 55 69 64 67 65 77 77 69
58 57 55 70 67 68 71 77 79 77
A distribuição de freqüências obtida é dada na tabela a seguir.
1 43 |-- 47 9 9 150 0,0600 45
2 47 |-- 51 23 32 141 0,1533 49
3 51 |-- 55 19 51 118 0,1267 53
4 55 |-- 59 28 79 99 0,1867 57
5 59 |-- 63 20 99 71 0,1333 61
6 63 |-- 67 23 122 51 0,1533 65
7 67 |-- 71 16 138 28 0,1067 69
8 71 |-- 75 6 144 12 0,0400 73
9 75 |-- 79 6 150 6 0,0400 77
Total 150
1) Média: x = 59,03 mm.
2) Mediana: x~ = 58,43 mm.
3) Moda: Mo = 57,12 mm.
4) x = 55,42 mm.
4.8.2) O Quadro 4.1 mostra os valores observados para as larguras (mm) das sépalas observadas nos 150
exemplares mencionados nos exemplos anteriores.
1) Construir uma distribuição de freqüências para os dados observados.
2) Calcular a largura média.
3) Calcular a largura mediana.
4) Calcular a largura modal.
5) Comparar os valores obtidos a partir da distribuição de freqüências com os valores obtidos
diretamente no conjunto de dados.
7) Calcular o 10o
e o 90o
percentís.

25
20 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 29 30 30 31 33 34 37
22 25 28 29 30 30 31 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
24 26 28 29 30 31 32 34 35 38
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
25 27 28 29 30 31 32 34 36 40
25 27 28 30 30 31 32 34 36 41
25 27 28 30 30 31 32 34 36 42
25 27 28 30 30 31 32 34 36 44
Respostas:
1) A distribuição de freqüências fica:
Classes Largura (mm) Exemplares
1 20 |-- 23 4
2 23 |-- 26 15
3 26 |-- 29 28
4 29 |-- 32 47
5 32 |-- 35 31
6 35 |-- 38 13
7 38 |-- 41 9
8 41 |--| 44 3
Total 150
2) A largura média é: x = 31,02 mm.
3) A largura mediana é: x~ = 30,78 mm.
4) A largura modal é: Mo = 30,63 mm.
0
10
20
30
40
50
20 - 23 23 - 26 26 - 29 29 - 32 32 - 35 35 - 38 38 - 41 41 - 44
Figura 4.4 – Histograma para os dados do Quadro 4.1.

26
5. MEDIDAS DE DISPERSÃO
A principal utilidade das medidas de tendência central, quando calculadas para determinado conjunto
de dados, é a determinação de valores característicos ou típicos deste conjunto. Entretanto, a informação
fornecida por tais medidas é incompleta, se não for acompanhada de alguma informação sobre a
variabilidade dos dados. Esta informação é obtida através do cálculo de medidas de dispersão, ou
variabilidade.
5.1 – Amplitude Total
Seja um conjunto de dados ordenados {x(1) , x(2) , ... , x(n) }, onde x(1) e x(n) representam o valor
mínimo e o valor máximo, respectivamente, do conjunto. A amplitude total é dada por:
)1()( xxR n −= (5.1)
Exemplo 5.1 – A amplitude total para o conjunto de dados do Quadro 4.1 é: R = 44 – 20 = 24 mm.
20 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 29 30 30 31 33 34 37
22 25 28 29 30 30 31 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
24 26 28 29 30 31 32 34 35 38
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
25 27 28 29 30 31 32 34 36 40
25 27 28 30 30 31 32 34 36 41
25 27 28 30 30 31 32 34 36 42
25 27 28 30 30 31 32 34 36 44
5.2 – Desvio Médio
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }, não necessariamente ordenados. Então o desvio
médio dos valores do conjunto em relação à sua média é dado por:
n
xx
D
n
i
i∑=
−
= 1 (5.2)
Exemplo 5.2 – O Quadro 5.1 mostra os teores (%) de vanádio encontrados em uma amostra de sete
estratos de óleo cru extraídas de solo do tipo “Wilhelm sandstone”.
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato 1 2 3 4 5 6 7
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9 2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
A média é 2286,3=x . O desvio médio é: 4612,0
7
2286,37,2...2286,39,3
=
−++−
=D .

27
Para uma distribuição de freqüências com k classes, com freqüências simples f1 , ... , fk , e pontos
médios X1 , ... , Xk , respectivamente, o desvio médio é dado por:
∑
∑
=
=
−
= k
i
i
k
i
ii
f
fxX
D
1
1 (5.3)
Exemplo 5.3 – O desvio médio para a distribuição de freqüências dos dados do Quadro 4.1 é calculado
como:
A média é x = 31,02 mm.
Classes Largura (mm) Exemplares Ponto Médio (Xi) | Xi – x | | Xi – x | fi
1 20 |-- 23 4 21,5 9,52 38,08
2 23 |-- 26 15 24,5 6,52 97,80
3 26 |-- 29 28 27,5 3,52 98,56
4 29 |-- 32 47 30,5 0,52 24,44
5 32 |-- 35 31 33,5 2,48 76,88
6 35 |-- 38 13 36,5 5,48 71,24
7 38 |-- 41 9 39,5 8,48 76,32
8 41 |--| 44 3 42,5 11,48 34,44
Total 150 517,76
Então 4517,3
150
76,517
=D .
5.3 – Variância
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }, não necessariamente ordenados. Assim como o
desvio médio, a variância é gerada a partir das diferenças dos valores do conjunto de dados em relação à
média do mesmo. Entretanto, é necessário ter em mente a natureza dos dados estudados, mais
especificamente, se os mesmos constituem uma população ou uma amostra. Para o primeiro caso, e
representando a média populacional por µ , a variância é dada por:
( )
n
x
n
i
i∑=
−
= 1
2
2
µ
σ . (5.4)
A fórmula acima pode ser facilmente transformada para uma expressão mais simples, dada por:
21
2
2
µσ −=
∑=
n
x
n
i
i
. (5.6)
Quando o conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn } representa uma amostra, calcula-se o estimador
corrigido para a variância amostral, dado por
( )
1
1
2
2
−
−
=
∑=
n
xx
s
n
i
i
. (5.7)
O estimador acima também costuma ser representado por
2
ˆσ , e a fórmula (5.7) pode ser transformada
para
11
2
1
2
2
−
−
−
=
∑=
n
xn
n
x
s
n
i
i
. (5.8)

28
Exemplo 5.4 – Calcular a variância para a amostra de teores de vanádio, mostrados no Quadro 5.1.
Estrato 1 2 3 4 5 6 7
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9 2,7
A média é 2286,3=x . Então, usando a fórmula (5.8):
2833,0
6
97,72
6
7,74
17
)2286,3)(7(
17
7,2...7,29,3 2222
2
=−=
−
−
−
+++
=s .
médios X1 , ... , Xk , respectivamente, a variância populacional é dada por:
2
1
1
2
2
µσ −=
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
ii
f
fX
. (5.9)
Para dados amostrais, o estimador corrigido é dado por
11
2
1
2
2
−
−
−
=
∑=
n
xn
n
fX
s
k
i
ii
. (5.10)
Exemplo 5.5 – Calcular a variância amostral para os dados da distribuição de freqüências dos dados do
Quadro 4.1.
Classes Largura (mm) Exemplares (fi) Ponto Médio (Xi) Xi
2
Xi
2
fi
1 20 |-- 23 4 21,5 462,25 1849
2 23 |-- 26 15 24,5 600,25 9003,75
3 26 |-- 29 28 27,5 756,25 21175
4 29 |-- 32 47 30,5 930,25 43721,75
5 32 |-- 35 31 33,5 1122,25 34789,75
6 35 |-- 38 13 36,5 1332,25 17319,25
7 38 |-- 41 9 39,5 1560,25 14042,25
8 41 |--| 44 3 42,5 1806,25 5418,75
Total 150 147319,5
A média é x = 31,02 mm. Então, usando a fórmula (5.10):
0231,20
149
06,144336
149
5,147319
1150
)02,31)(150(
1150
5,147319 2
2
=−=
−
−
−
=s .
Quando não tem à disposição uma planilha de cálculo, ou mesmo uma calculadora adequada,
pode-se reduzir o esforço para calcular a variância. Isto é possível através das fórmulas (5.12) e (5.13),
obtidas a partir das fórmulas (5.9) e (5.10), respectivamente. Para tanto basta efetuar a substituição de
variável dada por:
ii hdAX += . (5.11)
Efetuada a substituição nas fórmulas (5.9) e (5.10), após convenientes manipulações algébricas obtém-se
as fórmulas dadas por:

29


























−=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
2
1
1
1
1
2
22
k
i
i
k
i
ii
k
i
i
k
i
ii
f
fd
f
fd
hσ
(5.12)














−






−
−
=
∑∑ ==
)1(1
2
11
2
22
nn
fd
n
fd
hs
k
i
ii
k
i
ii (5.13)
Nas fórmulas acima:
A = ponto médio de uma classe de referência escolhida arbitrariamente (em geral escolhe-se a classe
modal, isto é, a que possui a maior freqüência simples).
h = amplitude de classe (deve ser igual para todas as classes).
di = desvio da i-ésima classe em relação à classe escolhida como classe de referência.
∑=
=
k
i
ifn
1
.
Exemplo 5.6 – Calcular a variância amostral para a distribuição de freqüências do exemplo anterior.
Escolhendo, arbitrariamente, a quarta classe como classe de referência:
Classes Largura (mm) Exemplares (fi) di difi di
2
fi
1 20 |-- 23 4 - 3 - 12 36
2 23 |-- 26 15 - 2 - 30 60
3 26 |-- 29 28 - 1 - 28 28
4 29 |-- 32 47 0 0 0
5 32 |-- 35 31 1 31 31
6 35 |-- 38 13 2 26 52
7 38 |-- 41 9 3 27 81
8 41 |--| 44 3 4 12 48
Total 150 26 336
Lembrando que h = 3 e n = 150:
[ ] 0232,200302,02550,29
)1150)(150(
26
1150
336
)3(
2
22
=−=





−
−
−
=s
5.3.1 – Método Breve para o Cálculo da Média Aritmética
A substituição (5.15) aplicada à fórmula da média, permite a seguinte transformação:
∑
∑
=
=
= k
i
i
k
i
ii
f
fX
x
1
1 ↔
∑
∑
=
=
+= k
i
i
k
i
ii
f
fd
hAx
1
1 (5.14)
A fórmula (5.14) também é conhecida como Método Breve para o cálculo da média.
5.4 – Desvio Padrão
È dado pela raiz quadrada da variância. Deste modo, para o cálculo do desvio padrão, deve-se
levar em consideração a natureza dos dados. È a medida de dispersão mais utilizada para a descrição de
dados, juntamente com a média aritmética.

30
Seja o conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }, não necessariamente ordenados. Se o conjunto
representa uma população, o desvio padrão é dado por:
21
2
µσ −=
∑=
n
x
n
i
i
. (5.15)
Se o conjunto representa uma amostra, o estimador corrigido é dado por:
11
2
1
2
−
−
−
=
∑=
n
xn
n
x
s
n
i
i
. (5.16)
Exemplo 5.7 – Calcular o desvio padrão para os dados do Quadro 5.1.
Estrato 1 2 3 4 5 6 7
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9 2,7
A média é 2286,3=x . Então, usando a fórmula (5.16):
5323,02833,0
17
)2286,3)(7(
17
7,2...9,3 222
==
−
−
−
++
=s .
5.4.1 – Desvio Padrão para Dados Agrupados em Distribuições de Freqüências
médios X1 , ... , Xk , respectivamente, o desvio padrão populacional é dado por:
2
1
1
2
µσ −=
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
ii
f
fX
. (5.17)
O estimador corrigido para o desvio padrão amostral é dado por:
11
2
1
2
−
−
−
=
∑=
n
xn
n
fX
s
k
i
ii
. (5.18)
Para o cálculo do desvio padrão através das fórmulas (5.17) e (5.18) também é possível efetuar a
mesma substituição de variável aplicada ao cálculo da variância. Neste caso as duas fórmulas são
transformadas para:
2
1
1
1
1
2












−=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
k
i
i
k
i
ii
k
i
i
k
i
ii
f
fd
f
fd
hσ
, (5.19)
e
)1(1
2
11
2
−






−
−
=
∑∑ ==
nn
fd
n
fd
hs
k
i
ii
k
i
ii
. (5.20)

31
5.5 – Coeficiente de Variação
É definido como a razão entre o desvio padrão e a média, isto é
x
s
CV = (5.21)
Exemplo 5.8 – Calcular o coeficiente de variação para os dados do Quadro 5.1.
1649,0
2286,3
5323,0
==CV .
5.6 – Exercícios
5.6.1) Seja a distribuição de freqüências dos dados do Quadro 3.1, ou seja:
1 43 |-- 47 9 9 150 0,0600 45
2 47 |-- 51 23 32 141 0,1533 49
3 51 |-- 55 19 51 118 0,1267 53
4 55 |-- 59 28 79 99 0,1867 57
5 59 |-- 63 20 99 71 0,1333 61
6 63 |-- 67 23 122 51 0,1533 65
7 67 |-- 71 16 138 28 0,1067 69
8 71 |-- 75 6 144 12 0,0400 73
9 75 |-- 79 6 150 6 0,0400 77
Total 150
Calcular:
1) O desvio padrão.
2) O coeficiente de variação.
5.6.2) Repetir o exercício anterior para os dados da distribuição de teores de ácido palmítico.
Classe Teores de Ácido Palmítico (%) Observações (fi)
1 3,8 |-- 5,0 9
2 5,0 |-- 6,2 24
3 6,2 |-- 7,4 21
4 7,4 |-- 8,6 8
5 8,6 |-- 9,8 6
6 9,8 |-- 11,0 24
7 11,0 |-- 12,2 21
8 12,2 |-- 13,4 7
Total (n) 120
Respostas: Desvio padrão: s = 2,6515 ; Coeficiente de variação: CV = 0,3123.
6. ASSIMETRIA E CURTOSE
Assimetria é o afastamento de uma distribuição em relação a um valor central. Curtose é o
achatamento de uma distribuição.
6.1 – Coeficiente de Assimetria
Já foi visto que uma distribuição de freqüências pode ser assimétrica positiva, negativa ou
simétrica, neste caso também chamada distribuição normal. Os três casos são ilustrados nas figuras a
seguir.

32
Figura 4.1 – Assimetria positiva (Mo < x~ < x ).
Figura 4.2 – Assimetria negativa (Mo > x~ > x ).
22
Figura 4.3 – Distribuição simétrica (normal) (Mo = x~ = x ).
O coeficiente de assimetria de Pearson mede o afastamento que caracteriza o tipo de assimetria.
Este coeficiente é dado por:
s
xx
ass
)~(3 −
= . (6.1)
Exemplo 5.1 – Calcular o coeficiente de assimetria para os dados do Quadro 5.1.
Depois de ordenados, os valores ficam:
Quadro 5.1 – Teores de vanádio (ordenados)
Estrato (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Teor (%) 2,7 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9 3,9
A média é x = 3,2286 e o desvio padrão é s = 0,5323. A mediana é x~ = 3,1. Então:

33
7248,0
5323,0
)1,32286,3(3
=
−
=ass .
6.2 – Coeficiente de Curtose
O coeficiente de curtose mede o achatamento de uma distribuição de freqüências, em
comparação com uma distribuição normal. Na prática só é calculado para distribuições simétricas, ou
muito aproximadamente simétricas. O coeficiente percentílico de curtose é dado por:
)(2 1090
2575
PP
PP
C
−
−
= . (6.2)
Para uma distribuição normal, o coeficiente de curtose é C = 0,263. Se o valor calculado para C é inferior
a 0,263, diz-se que a distribuição é leptocúrtica (alongada). Se o valor é superior a 0,263, diz-se que a
distribuição é platicúrtica (achatada). As três situações são ilustradas nas Figuras 6.1, 6.2 e 6.3.
0
10
20
30
40
50
60
70
Figura 3.1 – Distribuição leptocúrtica.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Figura 3.2 – Distribuição mesocúrtica.

34
0
5
10
15
20
25
30
Figura 3.3 – Distribuição platicúrtica.
A caracterização do tipo de curtose auxilia na avaliação da dispersão dos dados do conjunto.
Uma distribuição leptocúrtica possui dispersão baixa, enquanto uma distribuição platicúrtica possui
dispersão elevada, tomando como referência a dispersão verificada em uma distribuição normal.
6.3 – Exercícios
6.3.1) Seja a distribuição de freqüências para os dados do Quadro 4.1. Isto é,
Classes Largura (mm) Exemplares
1 20 |-- 23 4
2 23 |-- 26 15
3 26 |-- 29 28
4 29 |-- 32 47
5 32 |-- 35 31
6 35 |-- 38 13
7 38 |-- 41 9
8 41 |--| 44 3
Total 150
Calcular:
1) O coeficiente de assimetria de Pearson.
2) O coeficiente percentílico de curtose.

35
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
O Quadro 6.1 contém os teores de ácido oléico observados em 120 observações de óleos vegetais.
22,3 25,1 26,8 30,4 34,8 52,2
22,7 25,1 27 31 34,9 53,2
22,8 25,2 27,1 31,1 35 54,6
22,9 25,3 27,1 31,1 35 55,5
23,1 25,3 27,1 31,1 35 55,9
23,1 25,3 27,2 31,1 35,2 56,6
23,2 25,5 27,4 31,1 35,2 57,2
23,2 25,6 27,8 31,7 35,2 58
24 25,7 28,3 31,7 35,4 58,2
24,1 25,7 28,3 31,8 35,8 59
24,1 25,8 28,3 31,8 37,4 59,1
24,4 25,8 29,1 32,1 37,7 59,2
24,4 25,9 29,4 32,6 38,4 59,2
24,4 26 29,5 32,9 39,3 59,3
24,5 26 29,6 33,6 39,7 61,6
24,5 26,1 29,6 33,6 40,1 61,8
24,6 26,1 29,8 33,9 41,4 62,6
24,6 26,4 29,9 34 43 64,9
24,7 26,5 30,3 34,4 43,3 77,8
24,9 26,7 30,4 34,5 45,7 80,6
1) Construir uma distribuição de freqüências para os dados.
2) Traçar o histograma.
3) Calcular a média aritmética.
4) Calcular a mediana.
5) Calcular a moda.
6) Tanto a mediana como a moda podem ser obtidas diretamente no Quadro 6.1. Comparar os
valores encontrados pela observação direta com os valores obtidos pelas fórmulas, nos exercícios
4 e 5.
7) Calcular o desvio padrão.
9) O cálculo do coeficiente de curtose é justificado para este conjunto de dados ? Por quê ?
Algumas respostas:
1) Amplitude total: R = 58,3; Número de classes: k = 1 + 3,3log(120) = 8 ; Amplitude de classe
(R/n) : h = 7,3.

36
7. TEORIA DA PROBABILIDADE
As mais freqüentes aplicações da estatística envolvem processos de tomada de decisões sob
condições de incerteza. Este tipo de situação ocorre, por exemplo, em processos de inspeção de qualidade.
Aqui o tomador de decisões deve decidir, após inspecionar uma amostra, se um lote de certo produto está
conforme parâmetros de qualidade previamente definidos. Neste caso a incerteza decorre de fatores como
tamanho da amostra, representatividade da mesma e método de inspeção, entre outros. Esta incerteza é
tratada pela estatística com o auxílio da teoria da probabilidade. Na seqüência apresenta-se uma breve
revisão dos principais conceitos envolvidos no estudo desta teoria.
7.1 – Teoria dos Conjuntos
7.1.1 – Conjunto.
É o termo empregado para designar uma lista, ou coleção, bem definida de elementos. Um
conjunto é representado por letra maiúscula, enquanto seus elementos são representados por letras
minúsculas. Se um elemento x pertence a um conjunto C, escreve-se Cx ∈ . Caso contrário, Cx ∉ .
Diz–se que um conjunto A está contido em outro conjunto B, se todos os elementos de A
pertencem também ao conjunto B. Neste caso escreve-se BA ⊂ , ou AB ⊃ . A negação para a
primeira representação é BA ⊄ .
Há duas formas de se representar um conjunto. Pode-se listar os seus elementos ou utilizar uma
representação gráfica conhecida como Diagrama de Venn. Seja por exemplo o conjunto C, de todos os
resultados observáveis no lançamento de um dado. Então:
C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
1 2 3 4 5 6
Se um conjunto V não possui quaisquer elementos, diz-se que o mesmo é vazio. Neste caso pode-
se representar como V = { } ou V = Ø.
7.1.2 – Operações com Conjuntos
Sejam A, B e C três conjuntos arbitrários. São definidas as seguintes operações:
7.1.2.1 – União
A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou
a B.
}:{ BxAxxBA ∈∨∈=∪ .
Exemplo 7.1 – Seja os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e B = {7,8,9,10,11,12}. Então a união de A e B
resulta no conjunto }12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{=∪ BA .
7.1.2.2 – Intersecção
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a
A e a B.
}{ BxAxBA ∈∧∈=∩ .
Exemplo 7.2 – A intersecção dos conjuntos A e B do exemplo anterior resulta no conjunto
}9,8,7{=∩ BA .

37
7.1.2.3 – Diferença
A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto de elementos de que pertencem ao conjunto A, mas
não ao conjunto B.
}:{ BxAxxBA ∉∧∈= .
Se BA ⊂ , diz-se que B A é o complemento de A em relação a B.
B A
Exemplo 7.3 – A diferença dos conjuntos A e B dos exemplos anteriores resulta no conjunto
}6,5,4,3,2,1{ =BA .
Exemplo 7.4 – Sejam os conjuntos X = {2,3,4,5,6,7} e Y = {4,5,6}. Então o complemento de Y em relação
a X é X Y = {2,3,7}.
7.1.3 – Conjuntos Finitos e Enumeráveis
Diz-se que um conjunto A é finito quando é formado por n elementos, onde n é um número
inteiro positivo. Diz-se que um conjunto é enumerável quando é possível atribuir uma seqüência aos seus
elementos.
Exemplo 7.5 – Seja X o conjunto de todos os possíveis resultados observáveis no lançamento de um dado.
Neste caso, X = {1,2,3,4,5,6} é finito e enumerável.
Exemplo 7.6 – Seja I o conjunto de todos os números reais compreendidos entre 0 e 1. Então o conjunto
dado por I = {x : 0 < x < 1} não é finito e nem enumerável.
Exemplo 7.7 – Seja P o conjunto de todos os números inteiros positivos ímpares. Então o conjunto dado
por P = {1,3,5,...} é infinito e enumerável.
7.1.4 – Produto Cartesiano
Sejam dois conjuntos, A e B. O produto cartesiano de A e B, representado por A × B é o conjunto
de todos os pares ordenados (x , y) onde x pertence a A e y pertence a B.
}:),{( ByAxyxBA ∈∧∈=×
Exemplo 7.8 – Sejam os conjuntos A = {2,4,6} e B = {5,7}. Então o produto cartesiano é o conjunto dado
por A × B = {(2,5) , (2,7) , (4,5) , (4,7) , (6,5) , (6,7)}.
7.1.5 – Classes
Há situações nas quais os elementos de um conjunto também são conjuntos. Seja por exemplo o
conjunto dos números naturais, IN. O subconjunto de todos os múltiplos de 7 forma um conjunto. Seja um
conjunto A. Uma classe de A é um conjunto de subconjuntos de A.
Exemplo 7.9 – Seja o conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Algumas classes de A são dadas por:
[{1,3,5,7,9} , {2,4,6,8,10} , {1,2,3,4}] , [{1,3,5} , {7,9} , {2,4} , {6,8,10}] , [{1},{3},{5},{7},{9}].

38
7.1.5.1 – Classe Indexada
Em algumas situações utiliza-se a expressão classe indexada de conjuntos, cuja notação
geralmente é }:{ IiAi ∈ . Neste caso deseja-se esclarecer que a cada elemento i de I corresponde um
conjunto A i . O conjunto I é chamado conjunto dos índices, e os conjuntos A i são os conjuntos indexados
por I. Quando I é subconjunto do conjunto IN, dos números naturais, a classe indexada {A1 , A2 , ... } é
chamada seqüência de conjuntos.
O conjunto de elementos, cada um dos quais pertencente a pelo menos um conjunto A i , é
chamado união dos A i , e pode ser representado por iIi A∈U .
O conjunto de elementos, cada um dos quais pertencente a todos os conjuntos A i , é chamado
intersecção dos A i , e pode ser representado por iIi A∈I .
7.1.6 – Partição
Seja um conjunto A. Uma partição é uma classe de subconjuntos não vazios e disjuntos deste
conjunto.
Exemplo 7.10 – Seja o conjunto D = {2,3,4,5,7,8,9}. Uma partição de D é [{2,3,4} , {5,7} , {8,9}]. Por
outro lado, a classe [{2,3,4} , {4,5,7} , {8,9}] não é uma partição, pois o elemento “4” pertence a dois
subconjuntos.
7.1.7 – σ – Álgebra
Sejam um conjunto A e uma classe A não vazia de subconjuntos de iIi A∈U . Diz-se que A é
uma σ – álgebra se:
1. O complemento de qualquer conjunto de A pertence a A.
2. A união de um número finito, e enumerável, de conjuntos de A pertence a A.
7.2 – Técnicas de Contagem
De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um procedimento pode ser executado
de m modos possíveis, e um segundo procedimento pode ser executado de n modos possíveis, então o
número de modos pelos quais é possível executar os dois procedimentos é m.n .
Exemplo 7.11 – Seja um experimento que consiste em lançar um dado e, na seqüência, uma moeda. Então
o número de possíveis resultados é 6.2 = 12.
Exemplo 7.12 – Quantas placas com três letras seguidas de quatro algarismos podem ser confeccionadas,
sabendo que nenhuma placa possui quatro algarismos iguais a zero ?
Neste caso pode-se considerar que há 26 letras disponíveis (incluindo k, w e y) e 10 algarismos, 0 , ... , 9.
Como nenhuma placa pode ter quatro algarismos iguais a zero, para a última posição há nove algarismos
possíveis. Então o total de placas possíveis é: 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 9 = 158 184 000
7.2.1 – Fatorial
Seja n um número inteiro positivo. O fatorial de n é dado por:
1)...2)(1(! −−= nnnn . (7.1)
É possível demonstrar que 0 ! = 1.
Exemplo 7.13 – 5 ! = 5.4.3.2.1 = 120 ; 8 ! / 6 ! = (8.7.6 !) / 6 ! = 8.7 = 56.

39
7.2.2 – Coeficiente Binomial
Sejam dois números inteiros positivos n e p, tais que p ≤ n. Então o coeficiente binomial de n
sobre p é dado por:
!)(!
!
pnp
n
p
n
−
=





. (7.2)
Exemplo 7.14 – 21
2
42
1.2
6.7
1.2!5
!5.6.7
!2!5
!7
)!57(!5
!7
5
7
=====
−
=





Propriedades:
P1: 1
0
=




n
.
P2: n
n
=





1
.
P3: 1=





n
n
.
P4: Se p + q = n , então 





=





q
n
p
n
.
7.2.3 – Permutação
A disposição dos elementos de um conjunto seguindo certa ordem é chamada permutação. O
total de permutações que pode efetuar com n elementos é dado por
!nPn = . (7.3)
Exemplo 7.15 – Seja o conjunto X = {2,4,6}. As possíveis permutações com os três elementos são:
246 , 426 , 462 , 264 , 624 , 642. Total: 3 ! = 3.2.1 = 6.
7.2.4 – Arranjo
Sejam n elementos. Uma permutação de p, p ≤ n, destes elementos, de acordo com determinada
ordem, é denominada arranjo. O número de arranjos de n elementos, tomados p a p, é dado por:
!)(
!
,
pn
n
A pn
−
= . (7.4)
Exemplo 7.16 – Sejam os algarismos 1 , 2 , ... , 8 , 9. Quantos números com três dígitos podem ser
formados a partir dos algarismos dados ?
5047.8.9
!6
!6.7.8.9
!6
!9
3,9 ====A .
OBS: Alguns autores não fazem distinção entre permutação e arranjo, preferindo utilizar apenas a
primeira expressão.

40
7.2.5 – Permutação com Repetição
Há situações nas quais alguns dos n elementos com os quais deseja-se efetuar um arranjo são
iguais. Então, se n1 , n2 , ... , nr são iguais, o número de permutações é dado por:
!...!!
!
21 rnnn
n
. (7.5)
Exemplo 7.17 – De quantos modos é possível arranjar as letras da palavra PARANÁ ?
120
!3
!3.4.5.6
!3
!6
==
7.2.6 – Combinação
Sejam n elementos. Uma disposição de p, p ≤ n, destes elementos, sem levar em consideração a
ordem, é denominada combinação. O número de combinações de n elementos, tomados p a p, é dado por:






=
p
n
C pn, . (7.6)
Exemplo 7.18: Sejam os algarismos 1 , 2 , ... , 8 , 9. Quantas combinações com três dígitos podem ser
formadas a partir dos algarismos dados ?
Neste caso considera-se que 567 e 675, por exemplo, são uma só combinação, já que a ordem é
irrelevante. Então o total de combinações é dado por:
84
!6.1.2.3
!6.7.8.9
!6!3
!9
3,9 ===C .
7.2.7 – Exercícios
7.2.7.1) Arme e efetue:
a) 6 !
b) 8 !
c) 





6
8
d) 





2
8
e)












2
7
5
7
7.2.7.2) Uma loteria consiste em 60 números, numerados de 1 a 60, entre os quais o apostador deve
escolher seis. De quantos modos é possível escolher os seis números ?
7.2.7.3) Quantos anagramas é possível formar com as letras da palavra ESTATÍSTICA ?
7.2.7.4) Um baralho completo possui 52 cartas, divididas em quatro grupos iguais (naipes). Deste baralho
são retiradas cinco cartas. Quantos resultados são possíveis ?

41
7.3 – Introdução à Probabilidade
As origens da teoria da probabilidade remontam a meados do século 17. Os conceitos
fundamentais, como probabilidade e esperança matemática, surgiram nas correspondências trocadas
entre Pascal e Fermat, e que geralmente tratavam de jogos de azar. De acordo com Gnedenko (1962), as
questões então levantadas não faziam parte do escopo da matemática da época. O desenvolvimento da
teoria da probabilidade, observado nos séculos subseqüentes, foi impulsionado em grande parte pelas
necessidades das ciências naturais. A abordagem matemática, caracterizada pelo rigor formal, teve início
em meados do século 19, prolongando-se até meados do século 20. As aplicações da teoria da
probabilidade podem ser observadas em praticamente qualquer área de pesquisa, seja através da
modelagem de experimentos aleatórios, ou através da aplicação de testes estatísticos fundamentados em
conceitos da mencionada teoria.
Embora não haja uma definição formal para o termo probabilidade, pode-se entender que o
mesmo designa o estudo de experimentos aleatórios, isto é, experimentos cujos resultados estão sujeitos
ao acaso. Alguns conceitos necessários ao referido estudo são apresentados a seguir.
7.3.1 – Espaço Amostral e Evento
Seja um experimento aleatório realizado sob condições fixas. Chama-se espaço amostral do
experimento o conjunto de todos os resultados observáveis para o experimento. Chama-se evento a
qualquer subconjunto E, de . Vale lembrar que um espaço amostral pode conter mais de um evento.
Neste caso é possível combinar eventos através de operações com conjuntos, isto é:
1. Evento união: BA∪ .
2. Evento intersecção: BA ∩ .
3. Evento complementar:
C
A (só ocorre quando A não ocorre).
Exemplo 7.19 – Um exemplo de experimento aleatório é o lançamento de um dado. Neste caso o espaço
amostral correspondente é o conjunto = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Um exemplo de evento é o subconjunto de
dado por E = {2 , 4 , 6}, que corresponde ao resultado “número par”.
Exemplo 7.20 – Imagine-se que um experimento aleatório consiste em registrar o tempo t, em horas, entre
falhas apresentadas por determinado equipamento. Então = {t ∈ IR ; 0 < t}. Não é difícil perceber que
este espaço amostral contém resultados claramente impossíveis. Entretanto, na definição de um espaço
amostral, deve-se ter a preocupação de definir um conjunto que contenha todos os possíveis resultados
para o experimento aleatório em questão. Neste sentido, a escolha do conjunto acima é bastante adequada.
7.3.1.1 – Eventos Mutuamente Exclusivos
Sejam A e B eventos de um espaço amostral . Diz-se que A e B são eventos mutuamente
exclusivos se, e somente se, A e B são disjuntos.
Exemplo 7.21 – O espaço amostral associado ao lançamento de um dado é = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Não é
difícil perceber que os eventos A = {número par} = {2 , 4 , 6} e B = {número ímpar} = {1 , 3 , 5} são
mutuamente exclusivos.
7.3.2 – Enfoques
Para a formalização do conceito de probabilidade pode-se adotar um de três enfoques:
7.3.2.1 – Enfoque Clássico
Também conhecido como definição clássica de probabilidade, estabelece que, se é um espaço
amostral finito, então a probabilidade de qualquer evento E, contido em , é dada por
)(#
)(#
)(
Ω
=
E
EP . (7.8)

42
7.3.2.2 – Enfoque Relativo
De acordo com este enfoque, a probabilidade de um evento E é dada pela razão entre o total de
ocorrências do evento e o total de observações. De outra forma, a probabilidade de ocorrência é igual à
proporção de “sucessos”. Neste caso o cálculo da probabilidade está baseado na coleta de observações,
razão pela qual este enfoque também é denominado enfoque empírico.
Exemplo 7.22 – Se, numa entrevista com 200 eleitores, observou-se que 120 pretendem votar em
determinado candidato, então a probabilidade encontrar um eleitor daquele candidato é p = 0,6.
7.3.2.3 – Enfoque Subjetivo
Também chamado personalístico, é baseado no “grau de crença” na ocorrência do evento em
questão. Atualmente, é muito aplicado à tomada de decisões em finanças e mercado de capitais, por
exemplo.
7.3.3 – Axiomas de Probabilidade
A1: Para qualquer evento E de um espaço amostral : 0 ≤ P(E) ≤ 1.
A2: P( ) = 1.
A3: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então )()()( BPAPBAP +=∪ .
7.3.4 – Teoremas de Probabilidade
T1: )(1)( APAP C
−= . T2: )()( BPAPBA ≤⇒⊂ .
T3: )()()( BAPAPBAP ∩−= . T4: )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ .
7.3.5 – Espaço de Probabilidade
Seja um espaço amostral finito, isto é, = {e1 , e2 , ... , en }. Um espaço de probabilidade é o
conjunto P = {p1 , p2 , ... , pn } , obtido ao associar-se a cada ei ∈ um valor pi ∈ IR, denominado
probabilidade de ei , e tal que:
1. 0 ≤ pi , i = 1 , ... , n.
2. 1
1
=∑=
n
i
ip .
Exemplo 7.23 – Uma moeda é lançada três vezes, com o objetivo de observar o número de “caras”,
representado por k.
Espaço amostral: = {0 , 1 , 2 , 3}
Probabilidades: P(k = 0) = ⅛ ; P(k = 1) = ⅜ ; P(k = 2) = ⅜ ; P(k = 3) = ⅛ .
Então o espaço de probabilidade é: P = { ⅛ , ⅜ , ⅜ , ⅛ }.
Exemplo 7.24 – Um dado é lançado até obter o número 6. O número de lançamentos é representado por x.
Espaço amostral: = {1 , 2 , 3 , ... , ∞}
Probabilidades: P(x = 1) = 1/6 ; P(x = 2) = (5/6)(1/6) ; P(x = 3) = (5/6)2
(1/6) ; ... ; P(x = n) = 5/6n
Espaço de probabilidade: P = {1/6 , 5/36 , 5/216 , ... , 0}.

43
7.3.6 – Eventos Independentes
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral , observados em seqüência. Diz-se que ambos
são independentes quando a ocorrência, ou não, do primeiro não afeta a probabilidade de ocorrência do
outro. Neste caso:
)().()( BPAPBAP =∩ . (7.9)
Exemplo 7.25 – Um dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de obter os resultados 4 e 5 ?
36
1
6
1
6
1
)54( ==∩P .
7.3.7 – Eventos Dependentes e Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral . Diz-se que ambos são dependentes quando a
ocorrência, ou não, do primeiro afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Neste caso:
)|().()( ABPAPBAP =∩ . (7.10)
OBS: P(B | A) significa “probabilidade de ocorrência de B após a ocorrência de A”.
Exemplo 7.26 – Uma urna contém seis bolas brancas e quatro bolas vermelhas. São retiradas duas bolas,
sem reposição. Sejam os eventos B1 , bola branca na primeira retirada, e V2 , bola vermelha na segunda
retirada. Neste caso, para calcular a probabilidade de V2 deve-se levar em consideração o resultado da
primeira retirada, isto é:
15
4
9
4
10
6
)|( 12 ==BVP ou
15
2
9
3
10
4
)|( 12 ==VVP
A probabilidade condicional de um evento B ocorrer após a ocorrência de um evento A é dada
por:
)(
)(
)|(
AP
BAP
ABP
∩
= . (7.11)
Exemplo 7.27 – Um dado é lançado duas vezes. Se a soma dos resultados é sete, qual a probabilidade de
que um dos resultados tenha sido quatro ?
= {(1,1) , (1,2) , ... , (1,6) , (2,1) , ... , (2,6) , (3,1) , ... , (3,6) , ... , (1,6) , ... , (6,6)} → #( ) = 36.
S = {a soma é sete} = {(1,6) , (2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2) , (6,1)} → #(S) = 6.
D = {um dos resultados é quatro} = {(1,4) , (4,1) , (2,4) , ... , (3,4) , (4,3) , ... , (4,6)} → #(D) = 12.
S ∩ D = {(3,4) , (4,3)} → #(S ∩ D) = 2.
3
1
36
6
36
2
)|( ==SDP
7.3.7.1 – Comentário
É importante ressaltar que eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes não são
necessariamente o mesmo tipo de evento. A primeira expressão é utilizada para situações nas quais
apenas um dos eventos pode ocorrer, excluindo qualquer possibilidade de ocorrência do outro. A segunda
expressão é utilizada quando a ocorrência de um dos eventos não tem qualquer efeito sobre a ocorrência
do outro.

44
7.3.8 – Teorema da Probabilidade Total
Seja um espaço amostral e sejam A1 , A2 , ... , An partições de , isto é, Ai ∩ Aj = Ø e a união
de todos os Ai é o próprio espaço . Seja B um evento qualquer de .
A1 A2 A3 A4 A5 ... An
B
Então a probabilidade de B é dada por:
∑=
=
n
i
ii ABPAPBP
1
)|()()( . (7.12)
Exemplo 7.28 – Uma indústria adquire certo componente de três fornecedores, A, B e C. O primeiro é
responsável por 40% da produção e o segundo é responsável por 25% da produção. A proporção de
defeituosos é de 2% para o fornecedor A, 5% para o fornecedor B e 4% para o fornecedor C. Qual a
probabilidade de uma unidade selecionada ao acaso ser defeituosa ?
P(A) = 0,40 , P(B) = 0,25 , P(C) = 0,35. P(D|A) = 0,02 , P(D|B) = 0,05 e P(D|C) = 0,04.
P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) = (0,40)(0,02) + (0,25)(0,05) + (0,35)(0,04) = 0,0345
7.3.9 – Teorema de Bayes
Seja um espaço amostral e sejam A1 , A2 , ... , An partições de , isto é, Ai ∩ Aj = Ø e a união
de todos os Ai é o próprio espaço . Seja B um evento qualquer de . Então, para qualquer i = 1 , ... , n:
∑=
= n
j
jj
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)|()(
)|()(
)|( . (7.13)
Exemplo 7.29 – Sejam os dados do exemplo anterior. Se uma peça é defeituosa, qual a probabilidade de
ter sido entregue pelo fornecedor C ?
)|()()|()()|()(
)|()(
)|(
CDPCPBDPBPADPAP
CDPCP
DCP
++
=
4058,0
0345,0
014,0
)04,0)(35,0()05,0)(25,0()02,0)(40,0(
)04,0)(35,0(
)|( ==
++
=DCP
7.4 – Exercícios
7.4.1) Um caixa contém 12 unidades de certo componente, sendo três defeituosas. São retiradas três
unidades ao acaso, e sem reposição. Seja X o número de unidades defeituosas obtidas neste experimento
aleatório. Determinar os espaços amostral e de probabilidades.
7.4.2) Dois dados são lançados. Calcular a probabilidade de:
a) Obter dois números diferentes.
b) O segundo resultado ser menor que o primeiro.
c) Pelo menos um dos resultados ser 2.

45
7.4.3) São escolhidos ao acaso, em seqüência e sem reposição, dois números entre 0 e 9. Se a soma é par,
qual a probabilidade de que os dois números sejam ímpares ?
7.4.4) Uma caixa contém quatro bolas brancas e seis bolas pretas. Quatro bolas são retiradas, sem
reposição. Qual a probabilidade de que três sejam pretas ?
7.4.5) Um jogador tem na mão quatro cartas de paus. Se ele deve receber mais duas cartas, qual a
probabilidade de:
a) Ambas serem de paus ?
b) Pelo menos uma ser de paus ?
7.4.6) Em uma indústria de móveis, 7% das unidades apresentam risco na pintura, 5% apresentam
dobradiças soltas e 4% apresentam os dois defeitos. Uma unidade é escolhida aleatoriamente.
a) Se apresenta risco na pintura, qual a probabilidade de também apresentar dobradiças soltas ?
b) Se apresenta dobradiças soltas, qual a probabilidade de também apresentar risco na pintura ?
c) Qual a probabilidade de apresentar risco na pintura ou dobradiças soltas ?
7.4.7) Um lote de 20 unidades de um componente contém quatro unidades defeituosas. Escolhe-se
aleatoriamente uma amostra de cinco unidades do lote. Qual a probabilidade de que a amostra contenha
duas unidades defeituosas ?
7.4.8) Uma loja tem no estoque 12 furadeiras da marca X, das quais duas operam em 220 v, 15 furadeiras
da marca Y, das quais três operam em 220 v e oito furadeiras da marca Z, das quais apenas uma opera em
220 v. Uma furadeira é escolhida ao acaso.
a) Qual a probabilidade de ser da marca X e operar em 220 v ?
b) Se opera em 220 v, qual a probabilidade de ser da marca X ?
7.4.9) Em uma escola, 70% dos alunos são do sexo masculino. Sabe-se também que 20% dos rapazes
usam óculos, o mesmo ocorrendo com 30% das moças. Se um nome é escolhido ao acaso e verifica-se
que usa óculos. Qual a probabilidade de ser uma moça ?
7.4.10) Uma urna contém duas bolas vermelhas e três bolas amarelas. Retira-se uma bola da urna e, na
seqüência coloca-se uma bola da outra cor. Em seguida retira-se outra bola da urna. Qual a probabilidade
desta segunda bola ser branca ?
Respostas
1) = {0 , 1 , 2 , 3} P(X = 0) = (9/12)(8/11)(7/10) = 504/1320 = 0,3818
P(X = 1) = 0,4909 P(X = 2) = 0,1228 P(X = 3) = 0,0045 P = {0,3818 ; 0,4909 ; 0,1228 ; 0,0045}
3) Se a soma é par, os dois números ou são pares ou são ímpares.
= {(0,1) , ... , (0,9) , (1,0) , (1,2) , ... , (1,9) , (2,0) , (2,1) , (2,3) , ... , (2,9) , ... , (9,0) , ... , (9,8)}
Soma Par = {(0,2) , ... , (0,8) , (1,3) , ... , (1,9) , (2,4) , ... , (2,8) , (3,1) , ... , (3,9) , ... , (9,1) , .... , (9,7)}
Ímpares = {(1,3) , (1,5) , (1,7) , (1,9) , (3,1) , (3,5) , (3,7) , (3,9) , (5,1) , ... , (5,9) , ... , (9,1) , .... , (9,7)}
#( ) = 90 #( Soma Par ) = 40 #( Ímpares ) = 20 P( Ímpares | Soma Par ) = 20/40 = ½
5) a) Se o jogador tem quatro cartas de paus, há 48 cartas na mesa, sendo nove de paus. Então o total de
possíveis resultados é dado por 1128
2
48
=




 . Se há nove cartas de paus, então o total de resultados
com duas cartas de paus é dado por 36
2
9
=




 . Então p = 36 / 1128 = 0,0319.

46
7) Se a amostra contém cinco unidades, e duas devem ser defeituosas, então três devem ser perfeitas. O
número de possibilidades de encontrar duas defeituosas entre as quatro existentes é dado por 6
2
4
=




 .
As três unidades perfeitas podem ser escolhidas entre as 16 nestas condições. Então o total de
possibilidades é 560
3
16
=




 . Finalmente, o total de possíveis combinações é dado por
15504
5
20
=




 . Então p = (6)(560) / 15504 = 0,2167.
9) O diagrama de árvore fica
Usa óculos
0,20
Rapaz
0,70
0,80 Não usa óculos
Usa óculos
0,30 0,30
Moça
0,70 Não usa óculos
P( Moça | Usa óculos) = 0,09 / 0,23 = 0,3913.

47
8. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Sejam um espaço amostral e um espaço de probabilidade P, associados a um experimento
aleatório. Uma variável aleatória X no espaço de probabilidade é uma função real X(ω): → IR definida
em e tal que [X ≤ x] é um evento aleatório para qualquer x real.
Exemplo 8.1 – Um lote contém 20 unidades de um componente, sendo quatro defeituosas. São retiradas
quatro peças e X representa o número de unidades defeituosas entre as quatro retiradas. Neste caso a
variável X assume seus valores no conjunto = {0 , 1 , 2 , 3 , 4}. O espaço de probabilidade P é dado por
P = {0,3756 ; 0,4623 ; 0,1486 ; 0,0132 ; 0,0002}.
x 0 1 2 3 4 Total
P( X = x) 0,3756 0,4623 0,1486 0,0132 0,0002 1
As probabilidades acima são dadas por: 3756,0
116280
43680
17
13
18
14
19
15
20
16
)0( ====XP
4623,0
17
4
18
14
19
15
20
16
4)1( ===XP 1486,0
17
3
18
4
19
15
20
16
6)2( ===XP
0132,0
17
2
18
3
19
4
20
16
4)3( ===XP 0002,0
17
1
18
2
19
3
20
4
)4( ===XP
Propriedades
Sejam X e Y variáveis aleatórias em um espaço . Então:
P1: (X + Y )(ω) = X(ω) + Y(ω) P2: (kX )(ω) = kX (ω)
P3: (X + k )(ω) = X(ω) + k P4: (XY )(ω) = X (ω) Y (ω)
8.1 – Tipos de Variáveis Aleatórias
São considerados dois tipos de variáveis aleatórias, discreta e contínua, ambos definidos a
seguir.
8.1.1 – Variável Aleatória Discreta
Seja X uma variável aleatória definida no espaço amostral . Diz-se que X é uma variável
aleatória discreta (v.a.d.) se assume um número finito, ou enumerável, de valores. De outro modo, X é
discreta se existe um conjunto enumerável {x1 , x2 , ... , xn }, contido em IR, tal que X(ω) ∈ {x1 , ... , xn },
para qualquer ω ∈ .
Exemplo 8.2 – A variável aleatória X do exemplo anterior é discreta.
8.1.2 – Variável Aleatória Contínua
Seja X uma variável aleatória definida no espaço amostral . Diz-se que X é uma variável
aleatória contínua (v.a.c.) se assume seus valores em um intervalo de números reais.
Exemplo 8.3 – Seja t a variável aleatória que representa o tempo entre duas falhas consecutivas
apresentadas por um equipamento. Neste caso t é uma variável aleatória contínua, e = {t ∈ IR ; 0 ≤ t }.
8.2 – Função de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória discreta no espaço amostral , tal que X(ω) ∈ {x1 , x2 ,... , xn },
para qualquer ω ∈ . Diz-se que p (x) é uma função de probabilidade (f.p.) de X se:

48
1. p (xi ) = P( X = xi ).
2. p(xi ) ≥ 0 .
3. ∑=
=
n
i
ixp
1
1)(
Exemplo 8.4 – Seja X a v.a.d. que indica o total de resultados iguais a 6, obtidos em cinco lançamentos de
um dado. Então X ∈ {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}. As probabilidades são dadas por:
P(X = 0) = C5 , 0 (1/6)0
(5/6)5
= 0,4019 P(X = 1) = C5 , 1 (1/6)1
(5/6)4
= 0,4019 ...
Não é difícil verificar que: 1)
xx
xCxpxXP
−












===
5
,5
6
5
6
1
)()( . 2) 0)( ≥ixp .
3) 1
7776
7776
6
1
)1(
6
5
)5(
6
5
)10(
6
5
)10(
6
5
)5(
6
5
)1(
6
5
6
15
555
2
5
3
5
4
5
56
1
5
==+++++=

















∑=
−
i
xx
i
ii
x
.
8.3 – Função Densidade de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória contínua em um espaço amostral . Diz-se que f (x) é uma função
densidade de probabilidade (f.d.p.) se:
1. 0)( ≥ixf .
2. ∫=≤≤
2
1
)()( 21
x
x
dXXfxXxP
3. ∫
+∞
∞−
= 1)( dXXf
Exemplo 8.5 – Sejam uma v.a.c. X , 0 ≤ X e a função f ( X ) = e – X
. A função dada é uma f.d.p., pois:
1. 0)( ≥ixf
2. ∫
−−−
+−==≤≤
2
1
12
)( 21
x
x
xxX
eedXexXxP .
2. ∫
+∞
∞+−−
=−=
0
0
1XX
edXe
8.4 – Expectância
A expectância, também chamada esperança, valor esperado ou valor médio, de uma variável
aleatória X é dada por:
1. ∑=
==
n
i
iiX xpxXE
1
)()( µ , se X é uma variável aleatória discreta. (8.1)
2. ∫
+∞
∞−
== dXXXfXE X )()( µ , se X é uma variável aleatória contínua. (8.2)

49
Propriedades
Sejam X e Y variáveis aleatórias definidas em um mesmo espaço amostral , k um número real. Então:
P1: E(kX ) = kE(X ) P2: E(X + k) = E( X ) + k P3: E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) P4: E(XY) = E(X)E(Y)
Exemplo 8.6 – Seja X a variável aleatória do exemplo 8.1. Então a sua expectância é calculada como:
x 0 1 2 3 4 Total
P( X = x) 0,3756 0,4623 0,1486 0,0132 0,0002 1
xP(X = x) 0 0,4623 0,2972 0,0396 0,0008 0,7999
E (X ) = 0,7999
Exemplo 8.7 – Sejam a variável aleatória e a função densidade de probabilidade dadas no exemplo 8.5.
Então:
1)2()(
0
=Γ== ∫
∞
−
dxxeXE x .
8.5 – Variância
A variância de uma variável aleatória X é dada por:
1. ∑=
−==
n
i
ii xpXExXVar
1
22
)()]([][ σ , se X é uma variável aleatória discreta. (8.3)
2.
∫
+∞
∞−
−== dXXfXEXXVar )()]([][ 22
σ , se X é uma variável aleatória contínua. (8.4)
Propriedades
Sejam X e Y variáveis aleatórias definidas em um mesmo espaço amostral , k um número real. Então:
P1: Var(X + k) = Var(X) . P2: Var(kX) = k2
Var(X)
A variância também pode ser calculada através da fórmula:
22
)]([)(][ XEXEXVar −= . (8.5)
Na fórmula (8.5): ∑=
=
n
i
ii xpxXE
1
22
)()( , para v.a.d. e
∫
+∞
∞−
= dXXfXXE i )()( 22
, para v.a.c..
Exemplo 8.8 – Seja X a variável aleatória do exemplo 8.1. Então a sua variância é calculada como:
x 0 1 2 3 4 Total
P( X = x) 0,3756 0,4623 0,1486 0,0132 0,0002 1
x2
P(X = x) 0 0,4623 0,5944 0,1188 0,0032 1,1787
Então: Var[X] = 1,1787 – (0,7999)2
= 0,5389.
Então:
2!2)3()(
0
22
==Γ== ∫
∞
−
dxexXE x .
Logo, Var[X] = 2 – 12
= 1.

50
8.6 – Distribuição Conjunta
Sejam duas variáveis aleatórias, X e Y, definidas em um espaço amostral , e com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }. Seja também o produto cartesiano dado por:
)},(),...,,{()()( 11 mn yxyxYX =× ωω .
Chama-se distribuição conjunta, ou função de probabilidade conjunta de X e Y a função definida por:
);(),( jiji yYxXPyxH === . (8.6)
Se X e Y são variáveis aleatórias discretas:
1. 0),( ≥ji yxH .
2. ∑∑= =
=
n
i
m
j
ji yxH
1 1
1),( .
3. ),();( jiji yxHyYxXP === .
Se X e Y são variáveis aleatórias contínuas:
1. 0),( ≥YXH .
2. ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
= 1),( dXdYYXH .
3. ∫ ∫=≤≤≤≤
2
1
2
1
),();( 2121
x
x
y
y
dYdXYXHyYyxXxP
Para a função (8.6) há um espaço de probabilidades. Tais probabilidades podem ser apresentadas
em tabelas, ou quadros, de dupla entrada.
Tabela 8.1 – Distribuição de Probabilidade Conjunta.
Y
X
y1 y2 ... ym
Total
x1 H(x1 , y1) H(x1 , y2) ... H(x1 , ym) f(x1)
x2 H(x2 , y1) H(x2 , y2) ... H(x2 , ym) f(x2)
... ... ... ... ... ...
xn H(xn , y1) H(xn , y2) ... H(xn , ym) f(xn )
Total g(y1) g(y2) ... g(ym) 1
Na Tabela 8.1 as funções f e g são chamadas distribuições marginais, e são definidas por:
1. ∑ ∑= =
==
m
j
n
i
jijjii yxHygyxHxf
1 1
),()(),()( , para X e Y discretas.
2. ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
== dxyxHygdyyxHxf ),()(),()( , para X e Y contínuas.
8.7 – Independência de Variáveis
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral , com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com distribuição conjunta H(xi , yj). Diz-se
que X e Y são variáveis aleatórias independentes se, e somente se:

51
)()(),( jiji ygxfyxH = .
Exemplo 8.10 – Um experimento aleatório consiste em lançar uma moeda e retirar uma carta de um
baralho. Sejam as variáveis aleatórias X , resultado observado na moeda(0 = cara e 1 = coroa), e Y , naipe
da carta retirada (1 = paus, 2 = ouro, 3 = copas, 4 = espada). Então o espaço de probabilidades é:
Y
X
1 2 3 4
Total
0 ⅛ ⅛ ⅛ ⅛ ½
1 ⅛ ⅛ ⅛ ⅛ ½
Total ¼ ¼ ¼ ¼ 1
Neste caso as variáveis são independentes, pois H(xi , yj) = f(xi )g(yj ).
8.7.1 – Expectância
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral , com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com distribuição conjunta H(xi , yj). A
expectância do produto de X e Y é dada por:
1. ∑=
==
n
i
jijiXY yxHyxXYE
1
),()( µ , se X e Y são variáveis aleatórias discretas. (8.7)
2. ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
== dXdYYXXYHXYE XY ),()( µ , se X e Y são variáveis aleatórias contínuas. (8.8)
8.7.2 – Covariância
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral , e com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com expectâncias µX e µY , respectivamente.
Além disto, considere-se que a distribuição conjunta das duas variáveis é H(xi , yj). Então a covariância
de X e Y é dada por:
∑∑= =
−−=
n
i
m
j
jiYjXi yxHyxYXCov
1 1
),(]][[),( µµ , para X e Y discretas. (8.9)
∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
−−= dXdYYXHYXYXCov YX ),())((),( µµ , para X e Y contínuas. (8.10)
A covariância também pode ser calculada por:
)()()(),( YEXEXYEYXCov −= . (8.11)
8.7.3 – Correlação
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral , e com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com variâncias σ2
X e σ2
Y, respectivamente.
O coeficiente de correlação de X e Y é a medida da relação linear entre as duas variáveis, e é dado por:
22
),(
),(
YX
YXCov
YX
σσ
ρ = . (8.12)
O coeficiente de correlação ρ pertence ao intervalo real [– 1 ; 1] . Se ρ = 1 ou ρ = – 1, a relação é perfeita,
e neste caso Y = aX + b , onde a e b são números reais. Quanto maior a independência entre as variáveis
X e Y, mais próximo de zero é o valor de ρ.

52
Exemplo 8.11 – Um experimento aleatório consiste em lançar uma moeda três vezes e anotar os
resultados. Sejam as variáveis aleatórias X = número de caras e Y é definida como: Y = 1, se o primeiro
resultado é cara, ou Y = 0, se o primeiro resultado é coroa.
Espaço amostral Probabilidade X Y
{1,1,1} 0,125 3 1
{1,1,0} 0,125 2 1
{1,0,1} 0,125 2 1
{0,1,1} 0,125 2 0
{0,0,1} 0,125 1 0
{0,1,0} 0,125 1 0
{1,0,0} 0,125 1 1
{0,0,0} 0,125 0 0
A distribuição conjunta é dada por:
X
Y
0 1 2 3
Total
0 0,125 0,25 0,125 0 0,5
1 0 0,125 0,25 0,125 0,5
Total 0,125 0,375 0,375 0,125 1
É possível notar que as variáveis não são independentes. Por exemplo: P(X = 0;Y = 0) ≠ P(X = 0)P(Y = 0).
As expectâncias são: 5,1
8
12
8
1
3
8
3
2
8
3
1
8
1
0 ==+++=Xµ e 5,0
8
4
8
4
1
8
4
0 ==+=Yµ .
A expectância do produto é: 1)125,0)(1)(3(...)25,0)(0)(1()125,0)(0)(0()( =+++=XYE
Nota-se que E(XY) ≠ E(X)E(Y) .
As variâncias são: 75,0
4
9
4
122
=−=Xσ e 25,0
4
1
2
12
=−=Yσ .
A covariância é: 25,0)5,0)(5,1(1),( =−=YXCov .
O coeficiente de correlação é: 2887,0
5,05,1
25,0
==ρ .
8.8 – Função Distribuição Acumulada
Seja uma variável aleatória X, discreta ou contínua, definida no espaço amostral , e tal que
X(ω) ∈ {x1 ,... , xn }, para qualquer ω ∈ . Chama-se função de distribuição acumulada a função dada
por:
1. ∑=
=
i
j
ii xfxF
1
)()( . Se X é uma variável aleatória discreta.
2. ∫∞−
=
x
dttfxF )()( . Se X é uma variável aleatória contínua.
Em qualquer dos casos:
P1: se a ≤ b, então F(a) ≤ F(b).

53
P2: 0)(lim =
−∞→
xF
x
e 1)(lim =
+∞→
xF
x
.
Exemplo 8.12 – Seja X a variável aleatória do exemplo 8.1.
x 0 1 2 3 4 Total
P( X = x) 0,3756 0,4623 0,1486 0,0132 0,0002 1
x2
P(X = x) 0 0,4623 0,5944 0,1188 0,0032 1,1787
F(3) = P(X ≤ 3) = 0,3756+ 0,4623 + 0,0132 = 0,9997.
Então:
9502,0|)3( 033
0
3
0
=+−=−== −−−
∫ eeedxeF xx .
8.9 – Exercícios,
8.9.1) Seja x uma variável aleatória contínua, e seja a função dada por:




≤≤
=
.,0
30,
1
)(
casooutro
xx
kxf
a) Se f é uma função densidade de probabilidade, qual o valor de k ?
b) Qual a expectância ?
c) Qual a variância ?
d) Calcular P(1 ≤ x ≤ 2).
e) Calcular a função de distribuição acumulada.
8.9.2) Seja X uma variável aleatória discreta, com a distribuição de probabilidade mostrada no quadro a
seguir.
X 0 1 2 3 4 5
P(X) 0,12 0,24 0,28 0,18 0,10 0,08
a) Qual a expectância ?
b) Qual a variância ?
c) Calcular P(0 ≤ x ≤ 3).
8.9.3) Um experimento aleatório consiste em lançar um dado e observar o resultado. Há duas variáveis
aleatórias associadas a este experimento: X, que é igual ao dobro do resultado, e Y, que vale 1 (um)
quando o resultado é um número primo e 0 (zero) quando não é primo.
a) Definir o espaço amostral.
b) Definir os espaços X(ω) e Y(ω).
c) Definir o espaço de probabilidade conjunta.
d) Verificar se as duas variáveis são independentes.
e) Calcular a expectância e a variância para X.
f) Idem para Y.
g) Calcular o coeficiente de correlação para X e Y.
8.9.4) Seja o experimento aleatório do exercício anterior e seja Z a variável aleatória que é igual ao
número de divisores de X, incluindo 1 e excluindo X.
a) Definir o espaço Z(ω).
b) Definir o espaço de probabilidade conjunta.
c) Verificar se X e Z são independentes.

54
d) Calcular a expectância e a variância para Z.
e) Calcular o coeficiente de correlação para X e Z.
8.9.5) Um jogo consiste em lançar uma moeda duas vezes. Se der uma “cara”, o jogador ganha R$ 1,00.
Se der duas “caras”, o jogador recebe R$ 2,00. Se não der “cara”, o jogador perde R$ 4,00. Este jogo
pode ser considerado como favorável ao jogador ?
8.9.6) Um automóvel custa R$ 45000,00. Sabe-se que em anos anteriores a taxa de roubo deste mesmo
automóvel foi de 2%. Neste caso, qual o valor “justo” do prêmio de um seguro contra roubo ?
8.9.7) Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores {– 1 , 0 , 1} com as probabilidades dadas
no quadro a seguir. Seja Y = X 2
.
X – 1 0 1
P(X) ¼ ¼ ½
a) Obter a distribuição de probabilidades para a variável Y.
b) Obter a distribuição conjunta de probabilidades.
c) Calcular a expectância e a variância para X.
d) Idem para Y.
8.9.8) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:


 ≤≤
=
.,0
.,
)(
casooutro
bxak
xf
a) Qual o valor de k ?
b) Quanto vale a expectância ?
c) Quanto vale a variância ?
8.9.9) Seja X uma variável aleatória discreta. Verificar que Var[X] = E[X 2
] – {E[X]}2
.
8.9.10) Uma caixa contém 10 unidades de um componente, das quais três são defeituosas. Deve-se testar
as unidades até encontrar duas defeituosas. Seja X o número de testes necessários.
a) Obter a distribuição de probabilidades para X.
b) Calcular a expectância e a variância para X.
Respostas
8.9.3) a) = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} b) X(ω) = {2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12} Y(ω) = {0 , 1}
c)
X
Y
2 4 6 8 10 12
Total
0 0 0 0 1/6 0 1/6 2/6
1 1/6 1/6 1/6 0 1/6 0 4/6
Total 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
d) X e Y não são independentes. e) E[X] = 7 Var[X] = 11,6667 f) E[Y] = 0,6667 Var[Y] = 0,2222
8.9.4) a) Z(ω) = {1 , 2 , 3 , 3 , 3 , 5}
c) As variáveis não são independentes.
d) E[Z] = 2,8333 Var[Z] = 1,4722
b) A distribuição conjunta é dada no quadro a seguir.

55
X
Z
2 4 6 8 10 12
Total
1 1/6 0 0 0 0 0 1/6
2 0 1/6 0 0 0 0 1/6
3 0 0 1/6 1/6 1/6 0 3/6
5 0 0 0 0 0 1/6 1/6
Total 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
8.9.6) Neste caso, o “jogo” é honesto se P(ser roubado).Valor = P(não ser roubado).Prêmio
Então: (0,02)(45000) = (0,98)(Prêmio) → Prêmio = 918,37
8.9.8) a) ∫ −
=⇒=−==
b
a
b
a
ab
kabkkxkdx
1
1)(
b)
∫
+
=
−
−
=





−
=
−
=
b
a
b
a
baab
ab
x
ab
dx
ab
x
xE
22
1
2
1
][
222
c)
33
1
3
1
][
223332
2 aabbab
ab
x
ab
dx
ab
x
xE
b
a
b
a
++
=
−
−
=





−
=
−
= ∫
12
)(
4
2
3
][
22222
abbabbaabb
xVar
−
=
++
−
++
=
8.9.10) a) = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}
X 2 3 4 5 6 7 8 9
P(X) 0,0667 0,1167 0,0150 0,1667 0,1667 0,1500 0,1167 0,2015
Referência:
Gnedenko, B.V., Theory of Probability. Chelsea Publishing Company. 1962.

56
9. MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS DISCRETAS
Certos problemas práticos são bastante adequados à utilização de variáveis aleatórias discretas.
Em tais situações, a compreensão da natureza destas variáveis é requisito fundamental para a formulação
de modelos probabilísticos associados a este tipo de variável. Os principais modelos probabilísticos para
variáveis aleatórias discretas, também chamados distribuições, são apresentados na seqüência.
9.1 – Distribuição Uniforme Discreta
Seja uma variável aleatória discreta X, que assume os valores x1 , x2 , ... , xk . Diz-se que X tem
distribuição uniforme discreta se, e somente se, para todo i = 1 , 2 , ... , k:
k
xXP i
1
)( == . (9.1)
A expectância e a variância são dadas por:
k
x
XE
k
i
i∑=
= 1
)( (9.2) e






−= ∑ ∑= =
k
i
k
i
ii x
k
x
k
XVar
1
2
1
2
)(
11
)( (9.3)
A função de distribuição acumulada é dada por
k
xn
xF
)(
)( = . (9.4)
Na fórmula (9.4), n(x) é número de elementos xi ≤ x.
Exemplo 9.1 – Seja X a variável aleatória que representa o resultado observado no lançamento de um
dado. Neste caso:
X 1 2 3 4 5 6
P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
6
1
)( == ixXP
9.2 – Distribuição de Bernoulli
Para definir este modelo é conveniente apresentar um experimento aleatório conhecido como
experimento de Bernoulli. Este experimento consiste na observação de sucessivos eventos, que
apresentam as seguintes propriedades:
1. Apenas dois resultados são admitidos: sucesso ou insucesso.
2. A probabilidade p, de sucesso, é constante ao longo do experimento.
3. Cada evento é independente.
Seja X uma variável aleatória discreta que assume os valores 0 (zero) ou 1 (um), conforme o
resultado de um evento em um experimento de Bernoulli seja insucesso ou sucesso, sendo p a
probabilidade de sucesso. Nestas condições, diz-se que X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p.
O modelo de probabilidade correspondente é dado por:
xx
ppxXP −
−== 1
)1()( . (9.5)
Também se utiliza a notação X ~ Ber(p). A expectância e a variância são dadas, respectivamente, por:
pXE =)( (9.6) )1()( ppXVar −= (9.7)

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