O documento discute assimetria e curtose em distribuições estatísticas. Explica que assimetria mede o quão simétrica é uma distribuição e apresenta três tipos: simétrica, assimétrica à direita e assimétrica à esquerda. Curtose mede a concentração dos valores e apresenta três tipos: leptocúrtica, mesocúrtica e platicúrtica. Dois exemplos ilustram o cálculo destas medidas.

1. Assimetria
Curtose
ASSIMETRIA E CURTOSE
Lucas Santana da Cunha
lscunha@uel.br
http://www.uel.br/pessoal/lscunha/
Universidade Estadual de Londrina
15 de maio de 2017
Lucas Santana da Cunha ESTATÍSTICA ECONÔMICA - TURMA 1000

2. Assimetria
Curtose
Assimetria
Numa distribuição estatı́stica, a assimetria é o quanto sua
curva de frequência se desvia ou se afasta da posição simétrica;
Pode-se caracterizar uma distribuição de acordo com as relações
entre suas medidas de centralidade.
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3. Assimetria
Curtose
Assimetria nula ou simétrica
Uma distribuição é dita simétrica quando apresenta o mesmo
valor para a moda, a média e a mediana.
Figura 1: Gráfico de uma distribuição simétrica.
ȳ = Md = Mo
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4. Assimetria
Curtose
Assimétrica à direita ou positiva
Quando a cauda da curva da distribuição declina para direita,
tem-se uma distribuição com curva assimétrica positiva.
Figura 2: Gráfico de uma distribuição assimétrica à direita ou positiva.
ȳ > Md > Mo
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5. Assimetria
Curtose
Assimétrica à esquerda ou negativa
Analogamente, quando a cauda da curva da distribuição declina
para esquerda, tem-se uma distribuição com curva assimétrica
negativa.
Figura 3: Gráfico de uma distribuição assimétrica à esquerda ou negativa.
ȳ < Md < Mo
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6. Assimetria
Curtose
Coeficiente de assimetria
Existem diversos métodos para o cálculo da medida de assimetria,
entre eles está o 2o coeficiente de assimetria de Pearson, que é
dado por:
As =
3(ȳ − Md )
s
A interpretação do coeficiente de assimetria é:
−1 < As < 1, então a distribuição é simétrica;
As > 1 a distribuição é assimétrica positiva;
As < −1 a distribuição é assimétrica negativa.
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7. Assimetria
Curtose
Exemplo 1
As taxas de juros recebidas por uma amostra de 25 ações durante
certo perı́odo foram (medidas em porcentagem):
2,50 2,52 2,53 2,54 2,59 2,60 2,61 2,62 2,64
2,65 2,66 2,68 2,69 2,70 2,72 2,75 2,77 2,80
2,81 2,82 2,83 2,85 2,88 2,89 2,91
Determine a assimetria e classifique o tipo de distribuição.
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8. Assimetria
Curtose
Curtose
A curtose ou achatamento mede a concentração ou dispersão
dos valores de um conjunto de valores em relação às medidas de
tendência central em uma distribuição de frequências conhecida
(a distribuição Normal).
A distribuição dos dados pode ser classificada em três classes:
Leptocúrtica
Mesocúrtica
Platicúrtica
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9. Assimetria
Curtose
Distribuição Leptocúrtica
A distribuição apresenta uma curva de frequências mais fechada
que a da distribuição Normal.
Figura 4: Gráfico de uma distribuição leptocúrtica.
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10. Assimetria
Curtose
Distribuição Mesocúrtica
A distribuição apresenta uma curva de frequências idêntica a
da distribuição Normal.
Figura 5: Gráfico de uma distribuição mesocúrtica
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11. Assimetria
Curtose
Distribuição Platicúrtica
A distribuição apresenta uma curva de frequências mais aberta
que a da distribuição Normal.
Figura 6: Gráfico de uma distribuição platicúrtica.
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12. Assimetria
Curtose
Coeficiente de curtose
As medidas de curtose podem ser calculadas através da expressão:
C =
Q3 − Q1
2(D9 − D1)
Relativamente à curva da distribuição Normal, temos:
C < 0, 263, a curva ou distribuição é leptocúrtica (mais afi-
lada);
C = 0, 263, a curva ou distribuição é mesocúrtica;
C > 0, 263, a curva ou distribuição é platicúrtica (mais acha-
tada).
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13. Assimetria
Curtose
Exemplo 2
As taxas de juros recebidas por uma amostra de 25 ações durante
certo perı́odo foram (medidas em porcentagem):
2,50 2,52 2,53 2,54 2,59 2,60 2,61 2,62 2,64
2,65 2,66 2,68 2,69 2,70 2,72 2,75 2,77 2,80
2,81 2,82 2,83 2,85 2,88 2,89 2,91
Determine a curtose e classifique o tipo de distribuição.
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14. Assimetria
Curtose
Exercı́cio 1
Considere os dados da tabela de distribuição de frequências abaixo:
Tabela 1: Distribuição das alturas dos alunos do curso de estatı́stica
econômica - Turma 1000.
Altura (cm) ni fi
154,0 ` 160,2 5 0,10
160,2 ` 166,4 5 0,10
166,4 ` 172,6 9 0,19
172,6 ` 178,8 13 0,27
178,8 ` 185,0 4 0,08
185,0 ` 191,2 12 0,25
TOTAL 48 ≈ 1,000
Classifique a distribuição dos dados a respeito da assimetria e
curtose.
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15. Assimetria
Curtose
Exercı́cio 2
Para facilitar um projeto de ampliação de rede de esgoto de certa
região de Curitiba, as autoridades tomaram uma amostra de tama-
nho 30 dos 250 quarteirões que compõe a região, e foram encontra-
dos os seguintes números de casas por quarteirão (dados em rol):
10 12 13 13 14 15 15 16 18 18
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 36 40 40 42 42 57 60
Classifique a distribuição dos dados a respeito da assimetria e cur-
tose.
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