Aula - Distribuições Discretas

Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação – Ramo
Estatística Computacional
Mobile: +239 980 10 45 / 906 02 00 | Email: wadmiguel547@yahoo.com
AULA: DISTRIBUIÇÕES
DISCRETAS
L. BIOLOGIA

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Variável Aleatória
Distribuição de Probabilidades
28
Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que
relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua
probabilidade de ocorrência.
Há dois tipos de distribuição de probabilidade:
1. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida
é expressa em uma escala contínua, como no caso de uma
característica dimensional.
2. Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo medida
só pode assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros:
0, 1, 2, etc.

Variável Aleatória - Discreta
Distribuição de Bernoulli
29
Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório.
Podemos ter sucesso ou fracasso nessa tentativa.
Seja 𝒑 a probabilidade de sucesso e 𝑞 a probabilidade de fracasso,
com 𝑝 + 𝑞 = 1.
Seja 𝑋 o número de sucessos em uma única tentativa do experimento.
𝑋 assume o valor 𝟎 que corresponde ao fracasso, com probabilidade
𝑞, ou o valor 1, que corresponde ao sucesso, com probabilidade 𝑝
Alguns exemplos:
• Lançar uma moeda e observar se ocorre cara ou coroa;
• Lançar um dado e observar se ocorre seis ou não;
• Verificar se um servidor de intranet está ativo ou não ativo.

Distribuição de Bernoulli
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Notação: 𝑋~𝐵𝑒𝑟(𝑝)

Distribuição Binomial
31
Consideremos 𝑛 tentativas independentes de um mesmo
experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados:
fracasso com probabilidades 𝑞 e sucesso com probabilidade 𝑝.
As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada
tentativa.
Seja X número de sucessos em 𝑛 tentativas.

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A distribuição binomial deve satisfazer os seguintes critérios:
• A experiência é repetida 𝑛 vezes, onde cada tentativa é independente das
demais;
• Há apenas dois resultados possíveis em cada tentativa: um de interesse,
associado à variável X, chamado de sucesso e o seu complementar que é o
fracasso;
• A probabilidade de sucesso será denotada por 𝑝 e é a mesma em cada
tentativa. Logo, a probabilidade de fracasso será denotada por 𝑞 = 1 – 𝑝.
• As repetições são independentes, ou seja, o resultado de uma repetição
não é influenciado por outros resultados.

33

34

Distribuição de Poisson
35
A distribuição de Poisson é adequada para descrever situações onde
existe uma probabilidade de ocorrência em um campo ou intervalo
contínuo, geralmente tempo ou área.
Por exemplo, o no de acidentes por mês, no de defeitos por metro
quadrado, no de clientes atendidos por hora.
Nota-se que a variável aleatória é discreta (número de ocorrência), no
entanto a unidade de medida é contínua (tempo, área).
Além disso, as falhas não são contáveis, pois não é possível contar o
número de acidentes que não ocorreram, nem tampouco o número de
defeitos que não ocorreram.
A probabilidade de o acontecimento ocorrer é a mesma para cada
intervalo.

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Em intervalos muito pequenos, a probabilidade de um sucesso é
proporcional ao comprimento do intervalo
O número de ocorrências em um intervalo é independente do número
de ocorrências em outro intervalo.
A distribuição de Poisson possui um parâmetro 𝝀 (lê-se: “Lambda”)
que chamamos de taxa de ocorrência, que corresponde à frequência
média ou esperada de ocorrências em um determinado intervalo.
Exemplos:
• Chamadas telefónicas recebidas numa central telefónica num certo
intervalo de tempo;
• Chegadas de clientes a uma bilheteira durante um certo período;
• ……

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A probabilidade é calculada da seguinte forma:
𝑷 𝑿 = 𝒌 =
𝒆−𝝀
. 𝝀𝒌
𝒌!
Onde: 𝑘 𝜖 ℕ;
• 𝝀 é a taxa de ocorrência (que é igual à média e a Variância da
distribuição).
Notação: 𝑿~𝓟(𝝀)
O número de defeitos de pintura segue uma distribuição de
Poisson com 𝜆 = 2. Qual a probabilidade que uma peça apresente
mais de 4 defeitos de pintura?
  %
5
,
5
055
,
0
945
,
0
1
!
4
2
1
4
1
4
0
4
2
=
=
−
=
−
=

− 
=
−
x
e
X
P

38

39

Aproxim. da Distr. Binomial
pela Distr. de Poisson
40
𝑋~ℬ 𝑛, 𝑝 ≈ 𝑋~𝒫(𝜆 = 𝑛𝑝)
lim
𝑛→∞
𝑛
𝑥
𝑝𝑥
1 − 𝑝 𝑛−𝑥
=
𝑒−𝜆 𝜆𝑥
𝑥!

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