Resumo - Sucessão.pdf

Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação – Ramo
Estatística Computacional
Mobile: +239 980 10 45 / 906 02 00 | Email: wadmiguel547@yahoo.com
SUCESSÃO

L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
𝐒𝐮𝐜𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬, 𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬 𝐞 𝐒é𝐫𝐢𝐞
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Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com
Imaginemos que analisamos uma célula que, por mitose, se divide
a cada 120 minutos.
Supondo que no início da observação existia apenas uma célula,
como irá variar o número de células ao longo do tempo?
Vamos chamar ao instante em que começámos a observação, instante
t = 0. Para 𝑡 = 0 existia apenas uma célula.
para 𝑡 = 120. Duas horas depois cada uma das células se divide,
resultando em quatro células para 𝑡 = 240, e assim sucessivamente.
Obtemos deste modo uma sequência de valores da população de
células correspondendo a instantes igualmente intervalados,
1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

𝐒𝐮𝐜𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬
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Def.32: Chama-se sucessão de números reais a toda a aplicação de ℕ
em ℝ . Os elementos do contradomínio chamam-se termos da
sucessão.
𝒖 ∶ ℕ → ℝ
𝒏 ↦ 𝒖 𝒏
Def.33: Uma sucessão pode ser definida por uma expressão analítica
através da qual podemos encontrar cada elemento ou termo da
sucessão. Tal expressão é designada por termo geral da sucessão.
𝒖 𝒏 = 𝒖𝒏 = 𝒏𝟐
𝒖𝒏 =
𝟏 + −𝟏 𝒏+𝟏
𝒏
𝟐

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Def.34: Dizemos que a sucessão 𝒖𝒏 está definida por recorrência,
ou recursivamente, se conhecidos os termos 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, . . . , 𝒖𝒏 da
sucessão, o termo 𝒖𝒏+𝟏 é expresso em função daqueles.
𝒖𝟏 = 𝟏, 𝒖𝟐 = 𝟏, . . . , 𝒖𝒏 = 𝒖𝒏−𝟏 + 𝒖𝒏−𝟐
Def.35: Uma sucessão 𝒖𝒏 diz-se majorada, ou limitada
superiormente, se existir um número real 𝑳 tal que 𝒖𝒏 ≤ 𝑳 para todo
o 𝒏 ∈ ℕ. Dizemos que 𝑳 é um majorante da sucessão 𝒖𝒏.
Def.36: Analogamente, uma sucessão 𝒖𝒏é minorada, ou limitada
inferiormente, se existir um número real 𝓵 tal que 𝓵 ≤ 𝒖𝒏 para todo o
𝒏 ∈ ℕ. Dizemos que 𝓵 é um minorante da sucessão e que é 𝒖𝒏
minorada por 𝓵.

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Def.37: Se 𝒖𝒏 é majorada e minorada, então diremos simplesmente
que 𝒖𝒏 é limitada. Neste caso, existe um numero 𝑴 > 𝟎 tal que
𝒖𝒏 ≤ 𝑴 e, diremos que 𝒖𝒏 é limitada por 𝑴.
Def.38: Uma sucessão 𝒖𝒏 diz-se crescente se 𝒖𝒏 ≤ 𝒖𝒏+𝟏; diz-se
estritamente crescente se 𝒖𝒏 > 𝒖𝒏+𝟏; diz-se decrescente se 𝒖𝒏 ≥
𝒖𝒏+𝟏 ; diz-se estritamente decrescente se 𝒖𝒏 > 𝒖𝒏+𝟏 ; diz-se
monótona se for crescente ou decrescente.
Def.39: Sejam 𝒖𝒏 uma sucessão e 𝜶 ∈ ℝ. Diz-se que 𝒖𝒏 converge
para 𝜶 (ou tende para 𝜶 ou, ainda, que o limite da sucessão é 𝜶), e
representa-se 𝒖𝒏 ⟶ 𝜶, se
∀𝜺 > 𝟎 ∃𝒑 ∈ ℕ: 𝒏 > 𝒑 ⇒ 𝒖𝒏 − 𝜶 < 𝜺

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Teor.3: Toda a sucessão convergente é limitada.
Teor.4: Toda a sucessão monótona limitada é convergente.
Teor.5: Teorema das sucessões enquadradas: Se 𝒖𝒏 ⟶ 𝜶, 𝒗𝒏 ⟶ 𝜶
e a partir de certa ordem, 𝒖𝒏 ≤ 𝒘𝒏 ≤ 𝒗𝒏, então 𝒘𝒏 ⟶ 𝜶.
Def.41: Uma sucessão 𝒖𝒏 diz-se de Cauchy (ou fundamental) se
∀𝜺 > 𝟎 ∃𝒑 ∈ ℕ: 𝒎, 𝒏 > 𝒑 ⇒ 𝒖𝒏 − 𝒖𝒎 < 𝜺
Teor.6: Teorema das sucessões convergentes: Uma sucessão real é
convergente se, e só se, for de Cauchy.

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Def.42: Limite de Sucessão: Diz-se que o número real 𝒂 é limite da
sucessão 𝒖𝒏 de números reais, e escreve-se
lim
𝒏→∞
𝒖𝒏 = 𝒂
quando para qualquer número real positivo 𝜺, dado arbitrariamente,
for possível encontrar um número natural 𝒏𝟎 tal que para todos os
índices 𝒏 superiores a 𝒏𝟎, a distância do termo 𝒖𝒏 a 𝒂 é inferior a 𝜺,
isto é,
∀𝜺 > 𝟎 ∃𝒏𝟎 ∈ ℕ: 𝒏 > 𝒏𝟎 ⇒ 𝒖𝒏 − 𝒂 < 𝜺
Toda sucessão que possui limite diz-se convergente, escreve-se
𝒖𝒏 ⟶ 𝜶. Caso contrário, diz-se divergente.

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Indução Matemática
Para demonstrar que certas propriedades são válidas no conjunto dos
números naturais, ℕ, usa-se o Princípio de Indução Matemática que
passamos a enunciar:
Uma propriedade é válida para todos os números naturais se:
i. A propriedade é válida para 𝒏 = 𝟏;
ii. Para todo o 𝒏 ∈ ℕ, se a propriedade é válida para 𝒏, então ela é
válida para 𝒏 + 𝟏.

𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬
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