Estatística II

Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação – Ramo
Estatística Computacional
Mobile: +239 980 10 45 / 906 02 00 | Email: wadmiguel547@yahoo.com
ESTATÍSTICA II

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Teoria da Estimação
Motivação
2
Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com
O objectivo fundamental da Estatística é extrair informações
confiáveis a partir dos dados recolhidos para a tomada de decisão.
Informação
Decisão
Dados
Estatística
Conhecimento

Variável Aleatória
Motivação
3
Nas áreas económicas e de gestão do empresas, a Estatística
pode ser utilizada com três objectivas: (1) descrever e
compreender relações entre diferentes características de uma
população, (2) Tomar decisões mais correctas e (3) fazer face a
mudança.
A Estatística fornece aos gestores instrumentos para que
possam responder as preocupações e tomar decisões com
alguma confiança, mesmo quando a quantidade de informação
disponível é pequena e as situações futuras são de elevada
incerteza.

Definição
4
Uma variável aleatória (unidimensional), geralmente designada por 𝑋,
e uma função que a cada acontecimento w do espaço de resultados,
faz corresponder um valor real, 𝑥 = 𝑋(𝑤).
“Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo
valor é determinado por fatores de chance.”
Associa números aos eventos do espaço amostral.
𝑿 = Número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda.

Definição
5
Contínua
Os possíveis resultados
abrangem todo um intervalo de
números reais
Discreta
Os possíveis resultados estão
contidos em um conjunto finito
ou enumerável
0 1 2 3 4 ...
Número de defeitos em ...
Ex.
0
Ex.
Tempo de resposta de ...

V. A - Discreta
6
Exemplos
1. Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode
ser 0, 1, 2 ...10.
2. Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas, perguntam-se estes
compram um determinado produto. O número de pessoas que compram o produto
varia de 0 a 200.
3. Um pesquisador conta quantos, dos 500 chefes de família que entrevistou, eram
mulheres
4. Um médico conta quantos, dos 100 pacientes que tratou com uma nova droga ,
ficaram curados

Distribuição de Probabilidades
7
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que
relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua
probabilidade de ocorrência.
Há dois tipos de distribuição de probabilidade:
1. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida
é expressa em uma escala contínua, como no caso de uma
característica dimensional.
2. Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo medida
só pode assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros:
0, 1, 2, etc.

Distribuição de Probabilidades
8
No caso de distribuições discretas, a probabilidade de que a variável
X assuma um valor específico xo é dada por:
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑜) = 𝑃(𝑥𝑜)
No caso de distribuições contínuas, as probabilidades são
especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade associada
a um número específico é zero.
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Variável Aleatória - Discreta
Distribuição de Bernoulli
9
Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório.
Podemos ter sucesso ou fracasso nessa tentativa.
Seja 𝒑 a probabilidade de sucesso e 𝑞 a probabilidade de fracasso,
com 𝑝 + 𝑞 = 1.
Seja 𝑋 o número de sucessos em uma única tentativa do experimento.
𝑋 assume o valor 𝟎 que corresponde ao fracasso, com probabilidade
𝑞, ou o valor 1, que corresponde ao sucesso, com probabilidade 𝑝
Alguns exemplos:
• Lançar uma moeda e observar se ocorre cara ou coroa;
• Lançar um dado e observar se ocorre seis ou não;
• Verificar se um servidor de intranet está ativo ou não ativo.

Distribuição de Bernoulli
10
Notação: 𝑋~𝐵𝑒𝑟(𝑝)

Distribuição Binomial
11
Consideremos 𝑛 tentativas independentes de um mesmo
experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados:
fracasso com probabilidades 𝑞 e sucesso com probabilidade 𝑝.
As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada
tentativa.
Seja X número de sucessos em 𝑛 tentativas.

12
A distribuição binomial deve satisfazer os seguintes critérios:
• A experiência é repetida 𝑛 vezes, onde cada tentativa é independente das
demais;
• Há apenas dois resultados possíveis em cada tentativa: um de interesse,
associado à variável X, chamado de sucesso e o seu complementar que é o
fracasso;
• A probabilidade de sucesso será denotada por 𝑝 e é a mesma em cada
tentativa. Logo, a probabilidade de fracasso será denotada por 𝑞 = 1 – 𝑝.
• As repetições são independentes, ou seja, o resultado de uma repetição
não é influenciado por outros resultados.

13

Distribuição de Poisson
14
A distribuição de Poisson é adequada para descrever situações onde
existe uma probabilidade de ocorrência em um campo ou intervalo
contínuo, geralmente tempo ou área.
Por exemplo, o no de acidentes por mês, no de defeitos por metro
quadrado, no de clientes atendidos por hora.
Nota-se que a variável aleatória é discreta (número de ocorrência), no
entanto a unidade de medida é contínua (tempo, área).
Além disso, as falhas não são contáveis, pois não é possível contar o
número de acidentes que não ocorreram, nem tampouco o número de
defeitos que não ocorreram.
A probabilidade de o acontecimento ocorrer é a mesma para cada
intervalo;
O número de ocorrências em um intervalo é independente do número
de ocorrências em outro intervalo.

15
Exemplos:
• Chamadas telefónicas recebidas numa central telefónica num
certo intervalo de tempo;
• Chegadas de clientes a uma bilheteira durante um certo
período;
• Chegadas de sinistrados a um banco de um hospital durante
um certo período.
•A distribuição de Poisson possui um parâmetro 𝝀 (lê-se:
“Lambda”) que chamamos de taxa de ocorrência, que
corresponde à frequência média ou esperada de ocorrências
em um determinado intervalo.

16
•A probabilidade é calculada da seguinte forma:
𝑷 𝑿 = 𝒌 =
𝒆−𝝀. 𝝀𝒌
𝒌!
•Onde:
• 𝑘 𝜖 ℕ;
•𝜆 é a taxa de ocorrência (que é igual à média e a Variância da
distribuição).
Notação: 𝑋~𝒫(𝜆)
O número de defeitos de pintura segue uma distribuição de
Poisson com 𝜆 = 2. Qual a probabilidade que uma peça apresente
mais de 4 defeitos de pintura?
  %
5
,
5
055
,
0
945
,
0
1
!
4
2
1
4
1
4
0
4
2
=
=
−
=
−
=

− 
=
−
x
e
X
P

17

18

Aproxim. da Distr. Binomial
pela Distr. de Poisson
19
𝑋~ℬ 𝑛, 𝑝 ≈ 𝑋~𝒫(𝜆 = 𝑛𝑝)
lim
𝑛→∞
𝑛
𝑥
𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 =
𝑒−𝜆 𝜆𝑥
𝑥!

20

Variável Aleatória - Contínuas
Distribuição de Normal
21
Uma variável aleatória contínua 𝑋 tem distribuição normal de
probabilidade se a sua f. d. p. é dada por:
• Propriedades da
Distribuição
Normal 1. A curva normal é um tipo de curva simétrica;
2. Formato de “sino”;
3. A área sob a curva é igual a 1;
4. Unimodal, sendo seu ponto de frequência
máxima situado no meio da distribuição;
5. Média, mediana e moda coincidem.
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
e
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎

22

23

24

25
• O valor z (valor padronizado) é uma medida relativa. Mede o quanto x se afasta da média (),
em unidade de desvio padrão ().
σ
x - μ
z = x


x
Z - número de desvios padrões a partir da média
x - valor de interesse
 - média da distribuição normal de interesse
 - desvio padrão da distribuição normal
Através de uma transformação de variáveis é possível
converter os valores de qualquer distribuição Normal em
valores da distribuição Normal padrão e assim obter suas
probabilidades - calcular o número de desvios padrões, a contar
da média a que está um valor da variável

26
Teorema
• Sejam 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋𝑛 v.a. normais independentes, tais que 𝑋1~𝑁(𝜇1, 𝜎1),
𝑋2~𝑁(𝜇2, 𝜎2), ..., 𝑋𝑛~𝑁(𝜇𝑛, 𝜎𝑛).
• A v.a. 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 tem distribuição normal de parámetros (𝜇, 𝜎),
com:
• 𝜇 = 𝜇1 + 𝜇2 + ⋯ + 𝜇𝑛 e 𝜎 = 𝜎1
2 + 𝜎2
2 + ⋯ + 𝜎𝑛
2
Teorema Limite Central
Sejam 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋𝑛 variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com valor médio 𝜇 e variância 𝜎2 (finita).
A v.a. Sn = σ𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 verifica quando n é “grande”:
𝑆𝑛−𝑛𝜇
𝜎 𝑛
~𝑁(0,1)

27
Exemplo 1: A resistência à tração do papel usado em sacolas de super-
mercado é uma característica de qualidade importante.
Sabe-se que essa resistência segue um modelo Normal com média 40 psi
e desvio padrão 2 psi.
Se a especificação estabelece que a resistência deve ser maior que 35 psi,
qual a probabilidade que uma sacola produzida com este material
satisfaça a especificação?
𝑃 𝑋 ≥ 35 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 35 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤
35 − 40
2
= 1 − 𝑃 𝑍 ≤ −2,5
= 1 − 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 2,5 = 𝑃 𝑍 ≤ 2,5 = 0,9938 = 99,38%

28
Exemplo 2: O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a
distribuição Normal com média 25,08 in e desvio padrão 0,05 in.
Se as especificações para esse eixo estiver entre 24,85 e 25,15,
determine o percentual de unidades produzidas em conformidades
com as especificações.
𝑃 24,85 ≤ 𝑋 ≤ 25,15 = 𝑃 𝑋 ≤ 25,15 − 𝑃 𝑋 ≤ 24,85 = 𝑃 𝑍 ≤
25,15 − 25,08
0,05
− 𝑃 𝑍 ≤
24,85 − 25,08
0,05
= 𝑃 𝑍 ≤ 1,40 − 𝑃 𝑍 ≤ −4,60 = 0,9192 − 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 4,60 = 0,9192 − 1 + 0,999999 = 0,9192
= 91,92%
Exemplo 3: Suponha que 𝑋 → 𝑁 85; 9 . Encontre um valor limite 𝑥,
tal que 𝑃 𝑋 > 𝑥 = 0,05.
𝑃 𝑋 > 𝑥 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤
𝑥 − 85
9
= 0,05 ⇔ 𝑃 𝑍 ≤
𝑥 − 85
9
= 1 − 0,05
⇔ 𝑃 𝑍 ≤
𝑥 − 85
9
= 0,95 ⇔ 1,645 =
𝑥 − 85
9
⟺ 𝑥 = 99,805
Tabela 𝑍 = 1,645

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Motivação
30
Métodos Estatísticos
Estatística Descritiva Inferência Estatística
Estimação Teste de Hipóteses

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Motivação
31
POPULAÇÃO: todos os
possíveis consumidores
Amostragem
AMOSTRA: um subconjunto
dos consumidores
Inferência
A Lei do Retorno

Amostragem
Definições
32
População: é um conjunto formado por indivíduos ou objetos que
apresentam, pelo menos, uma característica/variável comum e
observável. Usa-se 𝑵 para designar esse número/tamanho.
Amostra: É qualquer subconjunto da população com as mesmas
características. Usa-se 𝒏 para designar esse número/tamanho.
Amostragem: é o processo de selecção de uma amostra, que
possibilita o estudo das características da população.
Erro amostral: é o erro que ocorre justamente pelo uso da amostra.
Ele representa a diferença entre o resultado amostral e o verdadeiro
resultado da população. O erro amostral ocorre devido às variações
amostrais.
De acordo com Fonseca e Martins (2011) na Teoria da Amostragem
são consideradas: i) Tamanho da amostra; ii) Composição da amostra.

Amostragem
Tamanho da Amostra
33
Procedimento:
1. Analise o questionário, ou roteiro da entrevista e escolha uma
variável que julgue mais importante para o estudo. Se possível,
escolha mais do que uma;
2. Verifique o nível de mensuração da variável: se nominal,
ordinal ou quantitativa;
3. Considere o tamanho da população: infinita ou finita.
Se a variável escolhida for quantitativa e a população considerada
infinita, pode-se determinar o tamanho da amostra pela fórmula:
𝒏 =
𝒁𝜶/𝟐. 𝝈
𝑬
𝟐

Amostragem
Tamanho da Amostra
34
Se a variável escolhida for quantitativa e a população considerada
finita, pode-se determinar o tamanho da amostra pela fórmula:
𝒏 =
𝒁𝜶/𝟐
𝟐
𝝈𝟐 𝑵
𝑬𝟐 𝑵 − 𝟏 + 𝒁𝜶/𝟐
𝟐
𝝈𝟐

Amostragem
Tamanho da Amostra
35
Se a variável escolhida for nominal ou ordinal e a população
considerada infinita, pode-se determinar o tamanho da amostra pela
fórmula:
𝒏 =
𝒁𝜶/𝟐
𝟐
ෝ
𝒑 ෝ
𝒒
𝑬𝟐

Amostragem
Tamanho da Amostra
36

Amostragem
Tamanho da Amostra
37
Se a variável escolhida for nominal ou ordinal e a população
considerada finita, pode-se determinar o tamanho da amostra pela
fórmula:
𝒏 =
𝒁𝜶/𝟐
𝟐
ෝ
𝒑 ෝ
𝒒 𝑵
𝑬𝟐 𝑵 − 𝟏 + 𝒁𝜶/𝟐
𝟐
ෝ
𝒑 ෝ
𝒒

Amostragem
Composição da Amostra
38
Fonseca e Martins (2011) apontam que existem dois métodos para
composição da amostra:
i. Métodos probabilísticos: são usados para garantir que a
selecção da amostra seja aleatória e representativa da
população, permitindo assim que as conclusões obtidas a partir
da análise da amostra possam ser generalizadas para a
população inteira.
ii. Métodos não probabilísticos: são técnicas que não utilizam a
aleatoriedade na seleção da amostra, dependendo em vez disso
de critérios específicos ou da escolha do pesquisador. Eles são
menos confiáveis do que os métodos probabilísticos, pois
podem levar a amostras enviesadas e não representativas da
população.

Amostragem - Composição
Métodos Probabilísticos
39
Amostragem aleatória simples: Cada elemento da população tem a
mesma probabilidade de ser escolhido para a amostra, garantindo
assim que a amostra seja representativa da população.
Amostragem por clusters: a população é dividida em grupos e
alguns desses grupos são selecionados aleatoriamente para compor a
amostra, incluindo todos os indivíduos dentro dos clusters
selecionados.
É frequentemente usado quando a população é grande e dispersa
geograficamente.

Métodos Probabilísticos
40
Amostragem sistemática: os elementos da população são
selecionados em um padrão sistemático, a partir de um ponto de
partida aleatório.
Exemplo: Se quisermos selecionar uma amostra sistemática de 100
estudantes em uma escola com uma população de 1000 alunos,
poderíamos selecionar aleatoriamente um número entre 1 e 10 para
determinar o ponto de partida, e depois selecionar a cada 10 alunos
subsequentes para compor a amostra.
Esse método é útil quando se tem uma lista ordenada dos
elementos da população e quando se deseja garantir uma amostra
representativa, mas não é tão aleatório quanto a amostragem aleatória
simples.

Métodos Não Probabilísticos
41
Amostragem acidental: os elementos são selecionados de forma
casual e sem critério específico.
Por exemplo, selecionar os primeiros clientes que chegam a uma loja
para avaliar a satisfação do cliente com o atendimento e o serviço
prestado.
Amostragem intencional: os elementos são escolhidos de forma
proposital, com base em algum critério específico.
Esse método pode ser útil quando se deseja incluir apenas indivíduos
que possuem certas características ou quando se deseja obter
informações mais profundas sobre uma subpopulação específica.
Um exemplo seria selecionar um grupo de pacientes com uma
condição médica específica para avaliar a eficácia de um novo
tratamento.

Introdução
42

Introdução
43
O campo da Inferência Estatística consiste naqueles métodos usados
para tomar decisões ou tirar conclusões a cerca de uma população.
Esses métodos utilizam a informação contida em uma amostra da
população para tirar conclusões.
População Histograma
Média Populacional
Desvio Padrão
Populacional
Amostra
Média Amostral
Desvio Padrão
Amostral
Figura 1: Relação entre uma população e uma amostra

Definições
44
Parâmetro: é a medida usada para descrever uma característica
numérica populacional.
A média (𝝁),a variância (𝝈𝟐) e o coeficiente de correlação (𝝆) são
alguns exemplos de parâmetros populacionais.
Estimação: é o procedimento usado para obter informações sobre os
parâmetros desconhecidos de uma população com base nos dados da
amostra.
Estimador: também denominado estatística de um parâmetro
populacional: é uma característica numérica determinada na
amostra, uma função de seus elementos.
A média amostral (ഥ
𝒙),a variância amostral (𝒔𝟐
) e o coeficiente de
correlação amostral (𝒓)são alguns exemplos de estimadores.
Estimativa: é o valor numérico determinado pelo estimador.

Parâmetros e Estatísticas
45
População
(x1, x2, x3,..., xN)
Parâmetros Estatísticas
Proporção 𝜌 =
𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ência
N
ො
𝜌 =
𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ência
n
Média 𝜇 =
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 ҧ
𝑥 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
Variância 𝜎2
=
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 − 𝜇 2 𝑠2 =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ǉ
𝑥 2
Amostra
(X1, X2, ..., Xn)

Distribuição Amostral
46
Proposição 1: A média das médias amostrais, ou 𝐸( ҧ
𝑥), é igual à
média 𝜇 populacional.
𝐸 ҧ
𝑥 = 𝐸
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
𝑛
𝐸 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝐸 𝑥𝑖 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝜇 =
1
𝑛
𝑛𝜇 = 𝜇
Proposição 2: A variância da média amostral é igual à variância
populacional dividida pelo tamanho da amostra.
VAR ҧ
𝑥 = VAR
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
𝑛2 VAR ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
𝑛2 ෍
𝑖=1
𝑛
VAR 𝑥𝑖 =
1
𝑛2 ෍
𝑖=1
𝑛
𝜎2
=
1
𝑛2 𝑛𝜎2
=
𝜎2
𝑛

47
Proposição 3: A para grandes amostras, a proporção amostral se
distribui com média igual à proporção populacional.
𝐸 Ƹ
𝑝 = 𝐸
𝑥
𝑛
=
1
𝑛
𝐸 𝑥 =
1
𝑛
𝑛𝑝 = 𝑝 = 𝜇 ො
𝑝
Proposição 4: A variância da proporção amostral é a variância da
população dividida pelo número de ele1nentos da amostra.
VAR Ƹ
𝑝 = VAR
𝑋
𝑛
=
1
𝑛2
VAR 𝑋 =
1
𝑛2
𝑛𝑝𝑞 =
𝑝𝑞
𝑛

48
𝐃𝐞𝐟𝟏: Uma amostra aleatória de 𝑛 elementos de uma população é
representada pelas variáveis aleatórias 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, no qual cada 𝑋𝑖,
com 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 representa um elemento da amostra.
Se 𝑋𝑖 e 𝑋𝑗 são independentes e possuem a mesma função de
probabilidade (ou função densidade de probabilidade), para todo 𝑖 ≠ 𝑗,
dizemos que os elementos da amostra são independentes e igualmente
(identicamente) distribuídos (i.i.d).
𝐃𝐞𝐟𝟐: Seja 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 uma amostra aleatória i.i.d. de tamanho 𝑛 de
uma população e seja 𝑇 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 uma função real ou vectorial cujo
domínio inclui o espaço amostral de 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 . Neste caso,
dizemos que a variável ou vector 𝑌 = 𝑇 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 é chamado de
estatística. A distribuição de probabilidade da estatística 𝑌 é chamada de
distribuição amostral de 𝑌 . Uma estatística associada a algum
parâmetro populacional é também chamada de estimador.

49
𝐃𝐞𝐟𝟑 : A lei fraca dos grandes números estabelece que, para
quaisquer dois números suficientemente pequenos 𝜖 e 𝛿, com 𝜖 > 0 e
0 < 𝛿 < 1, existe um número inteiro 𝑛 tal que, se uma amostra
aleatória de tamanho 𝑛 ou maior que 𝑛 é obtida de 𝑓, a média
amostral está "próxima" de 𝜇 com probabilidade maior ou igual que
1 − 𝛿.
𝐃𝐞𝐟𝟒 : Teorema Limite Central sob a hipótese de amostragem
aleatória, quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição de
probabilidade da média amostral se aproxima de uma distribuição
normal com média 𝜇 e variância Τ
𝜎2
𝑛, ou seja, se o tamanho
amostral é suficientemente grande, podemos assumir que a média
amostral tem uma distribuição normal. Nada é dito a respeito da
função densidade, basta ter tenha variância finita.
.

50
𝐃𝐞𝐟𝟓: Princípio da Suficiência estabelece que, uma estatística 𝑇 𝑋
é suficiente para o parâmetro 𝜃 se a distribuição condicional da
amostra 𝑋 dado o valor de 𝑇 𝑋 não depende de 𝜃.
T𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚𝟓 : Se 𝑝 𝑥|𝜃 é a função de probabilidade ou função
densidade de probabilidade de 𝑋 e 𝑞 𝑡|𝜃 é a função de probabilidade
ou função densidade de probabilidade de 𝑇 𝑋 então 𝑇 𝑋 é uma
estatística suficiente para 𝜃 se, para todo 𝑥 no espaço amostral,
Τ
𝑝 𝑥|𝜃 𝑞 𝑇 𝑋 |𝜃 é constante (não depende de 𝜃).
𝐃𝐞𝐟𝟔: O método de estimação por mínimos quadrados consiste em
minimizar o quadrado das diferenças entre os valores observados de
uma amostra e seus respectivos valores esperados.

51
𝐃𝐞𝐟𝟕: Seja 𝑓 𝑥|𝜃 a função de probabilidade ou função densidade de
probabilidade de uma amostra 𝑋 = 𝑋1, … , 𝑋𝑛 . Então, dado que 𝑋 =
𝑥 é observado, a função verosimilhança de 𝜃 definida por
𝐿 𝜃|𝑥 = 𝑓 𝑥|𝜃
𝐃𝐞𝐟𝟖: Princípio da verosimilhança: Suponha que 𝑥 e 𝑦 sejam dois
pontos amostrais tais que 𝐿 𝜃|𝑥 é proporcional a 𝐿 𝜃|𝑦 , ou seja,
existe uma constante 𝐶 𝑥, 𝑦 tal que
𝐿 𝜃|𝑥 = 𝐶 𝑥, 𝑦 𝐿 𝜃|𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝜃
então as conclusões obtidas a partir de 𝑥 e 𝑦 devem ser idênticas.

52
O Estimador de Máxima Verosimilhança pode ser encontrado
seguindo os seguintes passos:
i. Encontrar a função de verosimilhança;
ii. Aplicar a função ln ;
iii. Derivar em relação ao parâmetro 𝜃;
iv. Igualar o resultado a zero.
v. Verificar que este estimador é ponto de máximo

53
Seja 𝑋 uma variável aleatória com distribuição Binomial (𝑛; 𝑝). Tomemos uma
amostra aleatória 𝑋1, … , 𝑋𝑛 de 𝑋 . Qual é o estimador de máxima
verosimilhança para 𝑝?
Como 𝑋~Bernoulli(𝑝) , a função de probabilidade de 𝑋 é
𝑓𝑝 𝑥 = 𝑝𝑥
1 − 𝑝 1−𝑥
.
Desta forma, a função de verosimilhança é dada por
𝑳 𝒑; 𝒙𝟏, … , 𝒙𝒏 = 𝑓 𝑥1; 𝑝 × ⋯ × 𝑓 𝑥𝑛; 𝑝
= ෑ
𝒊=𝟏
𝒏
𝒑𝒙𝒊 𝟏 − 𝒑 𝟏−𝒙𝒊 = 𝑝σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 1 − 𝑝 σ𝑖=1
𝑛
1−𝑥𝑖

54
Para encontrar o estimador de máxima verosimilhança para 𝑝, devemos
encontrar o valor de 𝑝 para o qual a função de verosimilhança 𝐿 𝑝; 𝑥1, … , 𝑥𝑛 é
máxima. Aplicando a função logaritmo natural (𝑙𝑛) na função de
verosimilhança 𝐿 𝑝; 𝑥1, … , 𝑥𝑛 , temos que
ln 𝐿 𝑝; 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = ln 𝑝σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 1 − 𝑝 σ𝑖=1
𝑛
1−𝑥𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 ln 𝑝 + ෍
𝑖=1
𝑛
1 − 𝑥𝑖 ln 1 − 𝑝
e, derivando em relação a 𝑝, segue que
𝑑 ln 𝐿 𝑝; 𝑥1, … , 𝑥𝑛
𝑑𝑝
=
1 − 𝑝 σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑝 σ𝑖=1
𝑛
1 − 𝑥𝑖
𝑝 1 − 𝑝

55
Igualando o resultado a zero, obtemos que
1 − Ƹ
𝑝 σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − Ƹ
𝑝 σ𝑖=1
𝑛
1 − 𝑥𝑖
Ƹ
𝑝 1 − Ƹ
𝑝
=⟺ Ƹ
𝑝 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 = 𝑥.
É fácil verificar, utilizando o teste da segunda derivada que Ƹ
𝑝 =
1
𝑛
𝑋 é realmente
um estimador de máxima verosimilhança para 𝑝.

56
Seja 𝑋 uma variável aleatória com distribuição Normal com mádia 𝜇
e variância 𝜎2
. Tomemos uma amostra aleatória independente e
igualmente distribuída 𝑋1, … , 𝑋𝑛 de 𝑋. Qual o estimador de máxima
verosimilhança para 𝜃 = 𝜇, 𝜎2
?
Como 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 , a função densidade de 𝑋 é
𝑓𝜇,𝜎2 𝑥 =
1
2𝜋𝜎2
𝑒𝑥𝑝 −
1
2
𝑥 − 𝜇
𝜎
2
, −∞ < 𝑥 < ∞
Assim, a função de verosimilhança é dada por
𝐿 𝜇, 𝜎2
; 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = ෑ
𝑖=1
𝑛
1
2𝜋𝜎2
𝑒𝑥𝑝 −
1
2
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
2

57
Ou seja,
𝐿 𝜇, 𝜎2
; 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = 2𝜋 − Τ
𝑛 2
𝜎2 − Τ
𝑛 2
𝑒𝑥𝑝 −
1
2
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
2
Para encontrar o estimador de máxima verosimilhança para 𝜃 =
𝜇, 𝜎2
devemos encontrar os valores de 𝜇 e 𝜎2
para os quais a
função de verosimilhança, 𝐿 𝜇, 𝜎2
; 𝑥1, … , 𝑥𝑛 , é máxima.
Para isso primeiramente aplicaremos a função 𝑙𝑛,
ln 𝐿 𝜇, 𝜎2
; 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = ln 2𝜋 − Τ
𝑛 2
𝜎2 − Τ
𝑛 2
𝑒𝑥𝑝 −
1
2
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
2
= −
𝑛
2
ln 2𝜋 −
𝑛
2
ln 𝜎2 −
1
2
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
2

58
Agora vamos derivar em relação a 𝜇:
𝜕 ln 𝐿 𝜇, 𝜎2; 𝑥1, … , 𝑥𝑛
𝜕μ
= −
2
2𝜎2
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝜇 −1 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎2
Igualando o resultado a zero obtemos:
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ො
𝜇
𝜎2
= 0 ⟺
1
𝜎2
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ො
𝜇 = 0 ⟺ ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ො
𝜇 = 0
⟺ ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑛 ො
𝜇 = 0 ⟺ 𝑛 ො
𝜇 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 ⟺ ො
𝜇 = 𝑥
E então, o possível estimador de máxima verosimilhança da média
populacional 𝜇 é 𝑋.

59
Basta avaliar agora se realmente 𝑥 é ponto de máximo. Para isto,
𝜕2 ln 𝐿 𝜇, 𝜎2; 𝑥1, … , 𝑥𝑛
𝜕μ2
=
𝜕2
𝜕μ2
1
𝜎2
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝜇 = −
𝑛
𝜎2
< 0
Assim, concluímos que 𝑥 é realmente um ponto de máximo e,
portanto, o estimador de máxima verosimilhança para 𝜇 é ො
𝜇 = 𝑋.
𝐃𝐞𝐟𝟗: Um estimador 𝑇 = 𝑇 𝑋1, 𝑋2 … , 𝑋𝑛 é dito não viciado (não
enviesado) para algum parâmetro populacional 𝜃 se
𝐸 𝑇 = 𝜃
para todo 𝜃.
Sempre que um estimador torna-se cada vez mais próximo do
parâmetro, dizemos que o estimador é consistente.

Teoria da Estimação - Pontual
Tipos de Estimação
60
Existem dois tipos fundamentais de estimação de um parâmetro
populacional: por ponto e por intervalo.
Estimação pontual
Quando utilizamos dados amostrais calcula-se um valor da estimativa
do parâmetro populacional e com isso tem-se uma estimativa por
ponto do parâmetro analisado.
Estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um
parâmetro populacional.
Assim, a estatística amostral 𝑥, média da amostra, pode ser usada
como um estimador do parâmetro 𝜇, média da população.
Exemplo: Amostra aleatória de 200 alunos de uma universidade de
20.000 estudantes revelou uma média amostral de 5,2.

Estimação de Intervalar
61
Quando, a partir da amostra procura-se construir um intervalo de
variação, de modo que esse intervalo tem uma probabilidade
conhecida de conter o verdadeiro parâmetro populacional.
Na estimação por intervalos, em vez de se indicar um valor concreto
para certo parâmetro da população, e, constrói-se um intervalo que,
com certo grau de certeza, previamente estipulado, o contenha.
Ao estimar um parâmetro populacional através de uma amostra,
evidentemente estamos cometendo um erro. Portanto, a deficiência da
estimação pontual reside no fato de que, neste procedimento,
desconhecemos a medida do possível erro cometido na estimação.
Desta limitação surge a idéia da estimação por intervalo.

Estimação de Intervalar
62
Os intervalos de confiança são usados para indicar a fiabilidade de
uma estimativa.
Pode-se interpretar o intervalo de confiança como um intervalo que
contém os valores "plausíveis" que o parâmetro 𝜃 pode assumir.
Assim, a amplitude do intervalo está associada a incerteza que temos
a respeito do parâmetro.

Teoria da Estimação - Intervalar
Definições
63
Grau de Confiança: também conhecido como nível de confiança ou
coeficiente de confiança: É a probabilidade 1 − 𝛼 do intervalo de
confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
Grau de Significância: também conhecido como nível de
significância ou alpha: É um limite que determina se o resultado de
um estudo pode ser considerado estatisticamente significativo depois
de se realizarem os teste estatísticos planeados.

Média - 𝝈𝑪𝒐𝒏𝒉𝒆𝒄𝒊𝒅𝒐
64
𝑰𝑪 𝝁, 𝟏 − 𝜶 = 𝒙 − 𝒛𝜶
𝟐
×
𝝈
𝒏
; 𝒙 + 𝒛𝜶
𝟐
×
𝝈
𝒏
Exercício 1: Seja 𝑋 uma população com distribuição normal de média
𝜇 e desvio padrão igual a 2. Uma amostra aleatória de dimensão 𝑛 =
25 foi extraída desta população e revelou uma média 𝑥 = 78.3.
Calcule o intervalo de confiança para μ a 99%.
Sabendo que 𝜎 = 2; 𝑛 = 25; 𝑥 = 78,3; 1 − 𝛼 = 0,99 ⟹ 𝛼 =
0,01 ⟹
𝛼
2
= 0,005 ∧ 𝑧𝛼
2
= 𝑧0,005 = 2,57
𝑰𝑪 = 𝒙 − 𝒛𝜶
𝟐
×
𝝈
𝒏
; 𝒙 + 𝒛𝜶
𝟐
×
𝝈
𝒏
= 𝟕𝟖, 𝟑 − 𝟐, 𝟓𝟕 ×
𝟐
𝟐𝟓
; 𝟕𝟖, 𝟑 + 𝟐, 𝟓𝟕 ×
𝟐
𝟐𝟓
𝑰𝑪 𝝁, 𝟗𝟗% = 𝟕𝟕, 𝟐𝟕𝟐; 𝟕𝟗, 𝟑𝟐𝟖

Média - 𝝈𝑪𝒐𝒏𝒉𝒆𝒄𝒊𝒅𝒐
65
Exercício 2: Considere uma v.a. normal de variância igual a 4.
Recolheu-se a seguinte amostra: 3, 7, 9, 10, 11, 12, 12, 14
Determine um intervalo de confiança a 90% para a média.
Sabendo que 𝜎2
= 4; 𝑛 = 8;
𝑥 =
3 + 7 + 9 + 10 + 11 + 12 + 12 + 14
8
= 9,75;
1 − 𝛼 = 0,90 ⟹ 𝛼 = 0,1 ⟹
𝛼
2
= 0,05 ∧ 𝑧𝛼
2
= 𝑧0,05 = 1,65
𝐼𝐶 = 𝑥 − 𝑧𝛼
2
×
𝜎
𝑛
; 𝑥 + 𝑧𝛼
2
×
𝜎
𝑛
= 9,75 − 1,65 ×
2
8
; 9,75 + 1,65 ×
2
8
𝑰𝑪 𝝁, 𝟗𝟎% = 𝟖, 𝟓𝟖𝟑; 𝟏𝟎, 𝟗𝟏𝟕

Média - 𝝈𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒉𝒆𝒄𝒊𝒅𝒐
66
Caso 1: Tamanho da Amostra 𝒏 > 𝟑𝟎
𝑛 = 100 𝑍𝛼
2
= 1,96 ҧ
𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
= 28,35 𝑠𝑥 = 𝑣𝑎𝑟 𝑥 = 7,04
𝑰𝑪 𝝁, 𝟏 − 𝜶 : ഥ
𝒙 − 𝒁𝜶
𝟐
∗
𝒔𝒙
𝒏
≤ 𝝁 ≤ ഥ
𝒙 + 𝒁𝜶
𝟐
∗
𝒔𝒙
𝒏
𝐼𝐶 𝜇, 0,95 = 28,35 − 1,96 ∗
7,04
100
; 28,35 + 1,96 ∗
7,04
100
𝐼𝐶 𝜇, 0,95 = 26,97 ; 29,73
A média da idade dos utentes que frequentam a ASAG encontram-se, a
um nível de confiança de 95%, entre 26,97 e 29,73 anos de idade.

67
Caso 2: Tamanho da Amostra 𝒏 ≤ 𝟑𝟎 – t-Studant
𝑰𝑪 𝝁, 𝟏 − 𝜶 = 𝒙 − 𝒕𝜶
𝟐
;𝒏−𝟏
×
𝒔𝒙
𝒏
; 𝒙 + 𝒕𝜶
𝟐
;𝒏−𝟏
×
𝒔𝒙
𝒏
Numa fábrica de automóveis existe uma secção destinada à produção
de determinado tipo de peças, cujo comprimento deverá ser
aproximadamente de 2.5 cm. A secção de controlo de qualidade da
referida fábrica afirma que as peças apresentam comprimentos
superiores aos exigidos.
Com o objectivo de avaliar a veracidade da afirmação proferida pela
secção de controlo de qualidade, seleccionou-se ao acaso uma
amostra de 26 peças na produção de um dia, tendo sido obtidos os
resultados seguintes: σ𝑖=1
26
𝑥𝑖 = 78; σ𝑖=1
26
𝑥𝑖 − 𝑥 2
= 13.

68
Caso 2: Tamanho da Amostra 𝒏 ≤ 𝟑𝟎 – t-Studant
Admitindo a normalidade da população subjacente aos dados:
Construa um intervalo de confiança a 95% para o comprimento médio
das peças.
𝑥 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
1
26
෍
𝑖=1
26
𝑥𝑖 =
78
26
= 3; 𝑠2 =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=1
26
𝑥𝑖 − 𝑥 2 =
13
25
= 0,52
𝐼𝐶 = 𝑥 − 𝑡𝛼
2;𝑛−1
×
𝑠𝑥
𝑛
; 𝑥 + 𝑡𝛼
2;𝑛−1
×
𝑠𝑥
𝑛
𝑰𝑪 𝝁, 𝟏 − 𝜶 = 3 − 2,060 ×
0,72111
26
; 3 + 2,060 ×
0,72111
26
= 𝟐, 𝟕𝟎𝟗; 𝟑, 𝟐𝟗

Média - 𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄í𝒄𝒊𝒐𝒔
69
1) Um fabricante produz resistores que segue uma distribuição normal
com desvio padrão de 8Ω. A resistência média de uma amostra
aleatória de 20 resistores foi medida como sendo de 80 Ω. Calcule o
intervalo de confiança, com um nível de confiança de 95,0%, para a
média da população de resistores produzidos.

70
2) Para avaliar a qualidade dos rolamentos produzidos, um engenheiro
recolheu uma amostra aleatória de 12 esferas da produção diária.
Usando um paquímetro ele obteve as seguintes medições para as
esferas. Calcule o intervalo de confiança para a média das esferas
produzidas com 95% de confiança.
8,2 ; 8,3 ; 8,4 ; 8,2 ; 8,2 ; 8,4 ; 8,3 ; 8,2 ; 8,4 ; 8,4 ; 8,2 ; 8,4

71
3) Um fabricante produz resistores com desvio padrão 12Ω e
distribuição normal. A resistência média de uma amostra aleatória de
𝑛 = 25 foi 98,0Ω. Calcule o intervalo de confiança para a média da
população de resistores produzidos. Use o nível de confiança 95,0%.

Proporção
72
Agora, queremos construir um intervalo de confiança para a
proporção populacional 𝒑.
Lembrando que a estimativa pontual de 𝒑 é dada pela proporção de
sucessos numa amostra e é denotada por ො
𝑝 =
𝑁º 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠
𝑛
.
Antes de construir um intervalo para a proporção, devemos verificar
se a distribuição de amostragem de ො
𝑝 pode ser aproximada pela
distribuição Normal. Isso ocorrerá se forem satisfeitas as condições:
𝑖 𝒏ෝ
𝒑 ≥ 𝟓; 𝑖𝑖 𝒏ෝ
𝒒 ≥ 𝟓
Se essas duas condições ocorrerem, podemos construir o intervalo de
confiança para a proporção, que utilizará, para a determinação do
valor crítico, a tabela da Normal:

Proporção
73
Populações infinitas:
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑 − 𝒛𝒄
ෝ
𝒑 𝟏 − ෝ
𝒑
𝒏
; ෝ
𝒑 + 𝒛𝒄
ෝ
𝒑 𝟏 − ෝ
𝒑
𝒏
Populações finitas:
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑 − 𝒛𝒄
ෝ
𝒑 𝟏 − ෝ
𝒑
𝒏
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏
; ෝ
𝒑 + 𝒛𝒄
ෝ
𝒑 𝟏 − ෝ
𝒑
𝒏
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏
Uma população é considerada finita quando:
𝑛
𝑁
> 0,05

Proporção
74
Quando não possuímos uma estimativa prévia do valor de ෝ
𝒑,
utilizamos uma abordagem conservativa para o cálculo do intervalo
de confiança, baseada no facto de que a expressão 𝑝(1– 𝑝) possui
valor máximo igual a ¼ quando 0 ≤ 𝑝 ≤ 1.
Populações infinitas:
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑 − 𝒛𝒄
𝟏
𝟒𝒏
; ෝ
𝒑 + 𝒛𝒄
𝟏
𝟒𝒏
Populações finitas:
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑 − 𝒛𝒄
𝟏
𝟒𝒏
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏
; ෝ
𝒑 + 𝒛𝒄
𝟏
𝟒𝒏
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏

Proporção
75
Uma outra maneira de obtermos um intervalo de confiança para proporção é
através da aproximação normal com correcção de continuidade. Considerando o
processo anterior, a única diferença é que aqui não consideraremos
simplesmente a proporção amostral ෝ
𝒑, mas sim uma correcção dela, dada por:
ෝ
𝒑𝒄 =
ෝ
𝒑 +
1
2𝑛
𝑠𝑒 Ƹ
𝑝 < 0,5
ෝ
𝒑 −
1
2𝑛
𝑠𝑒 Ƹ
𝑝 > 0,5
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑𝒄 − 𝒛𝒄
ෝ
𝒑𝒄 𝟏 − ෝ
𝒑𝒄
𝒏
; ෝ
𝒑𝒄 + 𝒛𝒄
ෝ
𝒑𝒄 𝟏 − ෝ
𝒑𝒄
𝒏
O factor de continuidade é utilizado para melhorar a aproximação de uma
variável aleatória discreta Ƹ
𝑝 pela distribuição normal que é contínua.

Proporção
76
Pretende-se estimar a proporção de cura, através do uso de um certo
medicamento em doentes contaminados com certa doença. Uma
experiência consistiu em aplicar o medicamento a 200 pacientes,
escolhidos ao acaso, e observar que 160 deles foram curados. O que
podemos dizer da proporção da população em geral para um nível de
confiança de 95%?
Inicialmente, vamos calcular a proporção amostral: ො
𝑝 =
160
200
= 0,8
𝐼𝐶 = ො
𝑝 ± 𝑧𝑐
ො
𝑝 1 − ො
𝑝
𝑛
= 0,8 ± 1,96
0,8 1 − 0,8
200
= 0,8 ± 0,055
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = 𝟎, 𝟕𝟒𝟓; 𝟎, 𝟖𝟓𝟓

Proporção
77
Numa amostra aleatória de tamanho 𝑛 = 700 foram encontrados 68
elementos defeituosos. Encontrar um intervalo de confiança de nível
95% para a proporção 𝑝 de elementos defeituosos.
Temos que ො
𝑝 =
68
700
= 0,0971. Para 𝛼 = 0,05, temos pela tabela da
distribuição normal que 𝑍0,025 = 1,96. Então o intervalo de confiança
é dado por
𝐼𝐶 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = Ƹ
𝑝 − 𝑍𝛼
2
Ƹ
𝑝 1 − Ƹ
𝑝
𝑛
, Ƹ
𝑝 − 𝑍𝛼
2
Ƹ
𝑝 1 − Ƹ
𝑝
𝑛
𝐼𝐶 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = 0,0971 − 1,96
0,0971 1 − 0,0971
700
, 0,0971 + 1,96
0,0971 1 − 0,0971
700
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝟐; 𝟎, 𝟏𝟏𝟗 .

Proporção
78
Numa amostra aleatória de tamanho 𝑛 = 700 foram encontrados 68
elementos defeituosos. Encontrar um intervalo de confiança de nível
95% para a proporção 𝑝 de elementos defeituosos.
Temos que Ƹ
𝑝 =
68
700
= 0,0971. Assim, Ƹ
𝑝 < 0,5. Entãoෝ
𝒑𝒄 = 0,0971 +
1
2×700
= 0,0978. Para 𝛼 = 0,05, temos pela tabela da distribuição
normal que 𝑍0,025 = 1,96. Então o intervalo de confiança é dado por
𝐼𝐶 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑𝒄 − 𝒛𝒄
ෝ
𝒑𝒄 𝟏 − ෝ
𝒑𝒄
𝒏
; ෝ
𝒑𝒄 + 𝒛𝒄
ෝ
𝒑𝒄 𝟏 − ෝ
𝒑𝒄
𝒏
𝐼𝐶 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = 0,0978 − 1,96
0,0978 1 − 0,0978
700
, 0,0978 − 𝑍𝛼
2
0,0978 1 − 0,0978
700
𝑰𝑪 𝝆, 𝟏 − 𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝟕𝟗; 𝟎, 𝟏𝟏𝟗𝟖

Taxa
79
Consideremos uma amostra aleatória 𝑋1, … , 𝑋𝑛 de uma população com
distribuição de Poisson com parâmetro 𝜆, isto é,
𝑋1, … , 𝑋𝑛~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆 .
Sabemos que መ
𝜆 =
1
𝑛
σ𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 é um estimador da máxima verosimilhança
para 𝜆. Utilizando o teorema limite central, temos
መ
𝜆 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 ~𝑁 𝜆,
𝜆
𝑛
⟹ 𝑍 =
መ
𝜆 − 𝜆
መ
𝜆
𝑛
~𝑁0, 1.
Analogamente aos casos anteriores obtemos um intervalo com de
confiança para a taxa:
𝑰𝑪 𝝀, 𝟏 − 𝜶 = ෠
𝝀 − 𝒁𝜶
𝟐
෠
𝝀
𝒏
; ෠
𝝀 + 𝒁𝜶
𝟐
෠
𝝀
𝒏
.

Taxa
80
Num processo de uma fábrica, 72 peças foram escolhidas de forma aleatória
e o número de defeitos encontrado em cada peça se encontra na tabela
abaixo. Construa um intervalo de confiança, com 𝛼 = 0,05, para a taxa de
defeitos nas peças.
Temos que መ
𝜆 =
1
72
σ𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 = 0,64. Para 𝛼 = 0,05, temos pela tabela da
distribuição normal que 𝑍0
,
025
= 1,96. Então, o intervalo de confiança é dado
por
𝐼𝐶 𝜆, 1 − 𝛼 = 0,64 − 1,96
0,64
72
; 0,64 − 1,96
0,64
72
= 0,455; 0,825 .
0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 3 1 0 2 0 1 2 1
1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 5 1
0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 2
0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1
0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1

Variância & Desvio Padrão
81
Para construirmos intervalos de confiança para a variância e desvio
padrão, devemos lembrar que a estimativa pontual para 𝜎2 é 𝑠2 e que
a estimativa pontual para 𝜎 é 𝑠.
Além disso, devemos trabalhar com uma outra distribuição que não a
Normal nem a t-Student: usamos a Qui-quadrado.
Intervalo de confiança para a Variância:
𝑰𝑪 𝝈𝟐, 𝟏 − 𝜶 =
𝒏 − 𝟏 𝒔𝟐
𝝌𝒔𝒖𝒑
𝟐
;
𝒏 − 𝟏 𝒔𝟐
𝝌𝒊𝒏𝒇
𝟐
Intervalo de confiança para o Desvio-padrão:
𝑰𝑪 𝝈, 𝟏 − 𝜶 =
𝒏 − 𝟏 𝒔𝟐
𝝌𝒔𝒖𝒑
𝟐
;
𝒏 − 𝟏 𝒔𝟐
𝝌𝒊𝒏𝒇
𝟐

82
Vamos encontrar os valores críticos 𝝌𝒊𝒏𝒇
𝟐
e 𝝌𝒔𝒖𝒑
𝟐 para um intervalo de
confiança de 90%, quando o tamanho da amostra for igual a 20.
Os graus de liberdade são: 𝒈. 𝒍. = 𝒏 – 𝟏 = 20 – 1 = 19.
Para um intervalo de 90%, teremos uma área de 5% à esquerda de
𝜒𝑖𝑛𝑓
2
e de 5% à direita de 𝜒𝑠𝑢𝑝
2 .
Mas, para utilizarmos a tabela,
devemos pensar em valores à direita
e, portanto, temos de 95% à
esquerda de 𝝌𝒔𝒖𝒑
𝟐
e 5% à esquerda
de 𝝌𝒊𝒏𝒇
𝟐
.
Ou seja, 𝝌𝒔𝒖𝒑
𝟐
= 𝝌𝟏−
𝜶
𝟐
𝟐
e 𝝌𝒊𝒏𝒇
𝟐
= 𝝌𝜶
𝟐
𝟐

83
Um farmacêutico selecciona aleatoriamente 30 amostras de um
antialérgico e as pesa. O desvio padrão da amostra é 1,20 miligramas.
Supondo que os pesos são normalmente distribuídos, construa um
intervalo de confiança de 99% para a variância e o desvio padrão da
população.
Para 𝑔. 𝑙. = 𝑛 − 1 = 30 − 1 = 29, os valores obtidos na tabela são:
𝜒𝑖𝑛𝑓
2
= 13,121; 𝜒𝑠𝑢𝑝
2
= 52,336
O intervalo de confiança para a variância é:
𝐼𝐶 =
𝑛 − 1 𝑠2
𝜒𝑠𝑢𝑝
2 ;
𝑛 − 1 𝑠2
𝜒𝑖𝑛𝑓
2 =
30 − 1 1,20 2
52,336
;
30 − 1 1,20 2
13,121
𝑰𝑪 𝝈𝟐, 𝟏 − 𝜶 = 𝟎, 𝟖𝟎; 𝟑, 𝟏𝟖

84
Um farmacêutico selecciona aleatoriamente 30 amostras de um
antialérgico e as pesa. O desvio padrão da amostra é 1,20 miligramas.
Supondo que os pesos são normalmente distribuídos, construa um
intervalo de confiança de 99% para a variância e o desvio padrão da
população.
Intervalo de confiança para o desvio−padrão:
𝑰𝑪 𝝈, 𝟏 − 𝜶 =
30 − 1 1,20 2
52,336
;
30 − 1 1,20 2
13,121
= 𝟎, 𝟖𝟗; 𝟏, 𝟕𝟖
Assim, podemos dizer: com 99% de confiança a variância
populacional está entre 0,80 e 3,18 miligramas2, enquanto que o
desvio padrão fica entre 0,89 e 1,78 miligramas.

Razão entre duas Variâncias
85
Se retiramos uma amostra aleatória 𝑋1, 𝑋2 … , 𝑋𝑛1
da população 1, com
distribuição 𝑁 𝜇1, 𝜎1
2
, e uma amostra 𝑌1, 𝑌2 … , 𝑌𝑛2
da população 2,
com distribuição 𝑁 𝜇2, 𝜎2
2
, para construir um intervalo de confiança
para a razão entre duas variâncias de populações normais
independentes, recorre-se a expressão 𝐹 definida por
𝐹 =
𝑠1
2
𝜎2
2
𝑠2
2
𝜎1
2
tem distribuição 𝐹 de Snedecor com 𝑛1 − 1 graus de liberdade no
numerador e 𝑛2 − 1 graus de liberdade no denominador e denotamos
por 𝐹 𝑛1−1; 𝑛2−1 .
𝑰𝑪
𝝈𝟏
𝟐
𝝈𝟐
𝟐
, 𝟏 − 𝜶 = 𝑭 𝜶
𝟐
𝒔𝟏
𝟐
𝒔𝟐
𝟐
; 𝑭𝟏−
𝜶
𝟐
𝒔𝟏
𝟐
𝒔𝟐
𝟐
.

Razão entre duas Variâncias
86
Observe que 𝑭 𝟏−
𝜶
𝟐
; 𝒏𝟏−𝟏; 𝒏𝟐−𝟏
e 𝑭 𝜶
𝟐
; 𝒏𝟏−𝟏; 𝒏𝟐−𝟏
=
𝟏
𝑭
𝟏−
𝜶
𝟐
; 𝒏𝟐−𝟏; 𝒏𝟏−𝟏
𝑭 𝟏−
𝜶
𝟐
; 𝒏𝟏−𝟏; 𝒏𝟐−𝟏
= 𝑭 𝟎,𝟗𝟓;𝟖;𝟏𝟎 = 𝟑, 𝟎𝟕 𝑭 𝜶
𝟐
; 𝒏𝟏−𝟏; 𝒏𝟐−𝟏
=
𝟏
𝑭 𝟎,𝟗𝟓;𝟏𝟎;𝟖
=
𝟏
𝟑, 𝟑𝟓
= 𝟎, 𝟐𝟗𝟖𝟓
𝑰𝑪
𝝈𝟏
𝟐
𝝈𝟐
𝟐 , 𝟏 − 𝜶 = 𝟎, 𝟐𝟗𝟖𝟓 ∗
𝟕, 𝟏𝟒
𝟑, 𝟐𝟏
; 𝟑, 𝟎𝟕 ∗
𝟕, 𝟏𝟒
𝟑, 𝟐𝟏
= 𝟎, 𝟔𝟔𝟒; 𝟔, 𝟖𝟐𝟗

Diferença de Médias
87
Caso 1: 𝝈𝑪𝒐𝒏𝒉𝒆𝒄𝒊𝒅𝒐
𝑰𝑪 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐, 𝟏 − 𝜶 = 𝑿 − 𝒀 − 𝒁𝜶
𝟐
𝝈𝟏
𝟐
𝒏𝟏
+
𝝈𝟐
𝟐
𝒏𝟐
; 𝑿 − 𝒀 + 𝒁𝜶
𝟐
𝝈𝟏
𝟐
𝒏𝟏
+
𝝈𝟐
𝟐
𝒏𝟐
Caso 2: 𝝈𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒉𝒆𝒄𝒊𝒅𝒐 + 𝐈𝐠𝐮𝐚𝐢𝐬
𝑰𝑪 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐, 𝟏 − 𝜶 = 𝑿 − 𝒀 − 𝒕 Τ
𝜶 𝟐 𝒔𝒑
𝟏
𝒏𝟏
+
𝟏
𝒏𝟐
; 𝑿 − 𝒀 + 𝒕 Τ
𝜶 𝟐 𝒔𝒑
𝟏
𝒏𝟏
+
𝟏
𝒏𝟐
𝑇 =
𝑋 − 𝑌 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑠𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
~𝑡𝑛1+𝑛2−2 𝑠𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑠1
2
+ 𝑛2 − 1 𝑠2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2

88
Caso 3: 𝝈𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒉𝒆𝒄𝒊𝒅𝒐 + 𝐃𝐢𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬
𝑰𝑪 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐, 𝟏 − 𝜶 = 𝑿 − 𝒀 − 𝒕 𝒗, Τ
𝜶 𝟐
𝒔𝟏
𝟐
𝒏𝟏
+
𝒔𝟐
𝟐
𝒏𝟐
; 𝑿 − 𝒀 + 𝒕 𝒗, Τ
𝜶 𝟐
𝒔𝟏
𝟐
𝒏𝟏
+
𝒔𝟐
𝟐
𝒏𝟐
𝑇 =
𝑋 − 𝑌 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
~𝑡𝑛1+𝑛2−2 𝜈 =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑠1
2
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1

89
Os dados a seguir correspondem a teores de um elemento indicador da
qualidade de um certo produto. Foram recolhidas 2 amostras referente a
2 métodos de produção. Construa um intervalo de confiança para a
diferença das médias dos dois métodos.
A média referente ao método 1 é 𝑥1 = 3,63 e do método 2 é 𝑥2 = 3,96.
Calculando as variâncias amostrais, obtemos
𝑠1
2
= ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥1𝑖 − 𝑥1
2
9
= 8,29 𝑠2
2
= ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥2𝑖 − 𝑥2
2
9
= 2,53
em que 𝑥1𝑖 são os teores referentes ao método 1 e 𝑥2𝑖 ao método 2, 𝑖 =
1, 2, … , 10. Os graus de liberdade são dados por
Método 1 0,9 2,5 9,2 3,2 3,7 1,3 1,2 2,4 3,6 8,3
Método 2 5,3 6,3 5,5 3,6 4,1 2,7 2 1,5 5,1 3,5

90
𝜈 =
8,29
10
+
2,53
10
2
8,29
10
2
9
+
2,53
10
2
9
= 14,028
Assim, da Tabela da distribuição 𝑡 de Student obtemos que 𝑡14,;0,025 =
2,145 e então temos que
𝐼𝐶 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐, 𝟏 − 𝜶
= 3,63 − 3,96 − 2,145
8,29
10
+
2,53
10
; 3,63 − 3,96 + 2,145
8,29
10
+
2,53
10
𝑰𝑪 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐, 𝟏 − 𝜶 = 𝟐, 𝟓𝟔; 𝟏, 𝟗𝟎

Diferença de Proporções
91
𝑰𝑪 𝝆𝟏 − 𝝆𝟐, 𝟏 − 𝜶 = ෝ
𝒑𝟏 − ෝ
𝒑𝟐 ± 𝒛𝒄
ෝ
𝒑𝟏 𝟏 − ෝ
𝒑𝟏
𝒏𝟏
+
ෝ
𝒑𝟐 𝟏 − ෝ
𝒑𝟐
𝒏𝟐

Diferença de Proporções
92

OBRIGADO

Estatística II

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