Métodos Econométricos I

Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação – Ramo
Estatística Computacional
Mobile: +239 980 10 45 / 906 02 00 | Email: wadmiguel547@yahoo.com
MÉTODOS
ECONOMÉTRICOS

MODELAÇÃO ESTATÍSTICA:
Métodos Econométricos
Motivação
2
Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com
Na realidade actual das empresas de grande porte, a
competitividade gera uma necessidade por novas ferramentas
que optimizem o tempo de tomada de decisão e minimizem o
erro de produção.
Neste sentido entendemos que modelos estatísticos têm grande
potencial na empresa.
Assim, procuraremos estudar um conjunto de modelos que
seja aplicável ao mundo empresarial, tendo como base
modelos econométricos, em especial regressões sobre séries
temporais.

Definição
3
Econometria é um conjunto de ferramentas estatísticas com o
objectivo de entender a relação entre variáveis económicas através da
aplicação de um modelo matemático.
Os métodos utilizados se baseiam em ferramentas oferecidas pela
estatística e a matemática, como distribuições de probabilidade e
modelos de equações, que permitem a análise e quantificação dos
modelos estudados.
A econometria tem como metodologia, a obtenção de dados sobre a
economia que possibilitam a formulação de hipóteses ou teorias, a
serem estudados por métodos estatísticos e matemáticos.

Definição
4
O objectivo desta metodologia está em submeter os dados reais em
testes estatísticos, como ao analisar se o aumento de gastos de uma
população está relacionado com um aumento da renda, por exemplo.
Um dos métodos mais utilizados, e que partem muitos estudos em
econometria básica, é o da regressão linear.
Modelo refere-se a um conjunto de hipóteses estabelecidas a priori
sobre o comportamento de um fenómeno, com base numa teoria já
existente ou a partir de novas proposições teóricas, ou seja,
representação simplificada da realidade, estruturada de tal forma que
permita compreender o funcionamento total ou parcial dessa
realidade ou fenómeno.

Definição
5
A construção de um modelo econométrico envolve quatro
elementos básicos:
Variáveis: representam características observáveis de um fenómeno
económico.
Relações ou equações: descrevem o mecanismo que acciona os
elementos singulares de um fenómeno económico
Parâmetros: são magnitudes (grandezas) que permanecem constantes
no âmbito do fenómeno concreto.
Termo aleatório (erro ou resíduo): Expressam a influência de cada
variável independente em relação à variável dependente no estudo
realizado.

Estrutura do Modelo
6
Modelo Econométrico é uma representação simplificada da relação
entre duas ou mais variáveis que permite estimativas empíricas.
Um modelo econométrico tem a seguinte estrutura:
Variável endógena: Uma variável ou factor que é causado ou
explicado por outro conjunto de variáveis independentes (que são
determinadas por outros factores fora do modelo).
Variáveis exógenas: Variáveis que determinam ou explicam a
variável endógena e que são independentes umas das outras.
Erro: Capture o efeito de outros parâmetros desconhecidos.
𝒀𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝒊𝟐 + 𝜷𝟑𝑿𝒊𝟑 + ⋯ + 𝜷𝒌𝑿𝒊𝒌 + 𝜺𝒊

Pressupostos do Modelo
7
Pressupostos do Modelo de Regressão - Resíduos
i. Os Erros (Resíduos), 𝜺𝒊, segue uma Distribuição Normal;
ii. Média dos Resíduos é nula, 𝑬 𝜺𝒊 = 𝟎.
iii.Variância dos Resíduos é constante, 𝑬 𝜺𝒊
𝟐
= 𝝈𝟐
iv.Co-variância dos Resíduos é nula, 𝑬 𝜺𝒊𝜺𝒋 = 𝟎.
v. Cada uma das variáveis independentes é não-estocástica com
valores fixados em amostras repetidas.
vi. Inexistência de relação linear entre as variáveis independentes.
vii. Observações excede o número de coeficientes a ser estimado.

Estimação dos Parâmetros
8
ഥ
𝑿𝒊 =
𝟏
𝒏
෍
𝒊
𝑿𝒊𝒌 | 𝒎𝒀𝒀 = ෍
𝒊
𝒀𝒊 − ഥ
𝒀 𝟐
| 𝒎𝒀𝒌 = ෍
𝒊
𝒀𝒊 − ഥ
𝒀 𝑿𝒊𝒌 − ഥ
𝑿𝒌
𝒎𝒋𝒌 = ෍
𝒊
𝑿𝒊𝒋 − ഥ
𝑿𝒋 𝑿𝒊𝒌 − ഥ
𝑿𝒌 𝒋, 𝒌 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …
෡
𝜷𝟐 =
𝒎𝒀𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝒀𝟑𝒎𝟐𝟑
𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝟐𝟑
𝟐 | ෡
𝜷𝟑 =
𝒎𝒀𝟑𝒎𝟐𝟐 − 𝒎𝒀𝟐𝒎𝟐𝟑
𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝟐𝟑
𝟐
෡
𝜷𝟏 = ഥ
𝒀 − ෡
𝜷𝟐
ഥ
𝑿𝒊𝟐 + ෡
𝜷𝟑
ഥ
𝑿𝒊𝟑

Estimação dos Parâmetros
9
𝒔𝟐 = 𝝈𝟐 =
𝟏
𝒏 − 𝟑
𝒎𝒀𝒀 − ෡
𝜷𝟐𝒎𝒀𝟐 − ෡
𝜷𝟐𝒎𝒀𝟑
𝑽𝒂𝒓 ෡
𝜷𝟐 = 𝒔෡
𝜷𝟐
𝟐
=
𝝈𝟐𝒎𝟑𝟑
𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝟐𝟑
𝟐
𝑽𝒂𝒓 ෡
𝜷𝟑 = 𝒔෡
𝜷𝟑
𝟐
=
𝝈𝟐𝒎𝟐𝟐
𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝟐𝟑
𝟐
𝑽𝒂𝒓 ෡
𝜷𝟏 = 𝒔෡
𝜷𝟏
𝟐
= 𝝈𝟐
𝟏
𝒏
+
ഥ
𝑿𝟐
𝟐
𝒎𝟑𝟑 + ഥ
𝑿𝟑
𝟐
𝒎𝟐𝟐 − 𝟐ഥ
𝑿𝟐
ഥ
𝑿𝟑𝒎𝟐𝟑
𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝟐𝟑
𝟐

Intervalo de Confiança
10
Estatística do Teste – Coeficientes
෡
𝜷𝒌 − 𝜷𝒌
𝒔෡
𝜷𝒌
~𝒕𝒏−𝒌 𝒌 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …
Fórmula do Intervalos para os Parâmetros do Modelo
෡
𝜷𝟏 − 𝒕 𝒏−𝒌,𝟏−
𝜶
𝟐
𝒔෡
𝜷𝟏
≤ ෡
𝜷𝟏 ≤ ෡
𝜷𝟏 + 𝒕 𝒏−𝒌,𝟏−
𝜶
𝟐
𝒔෡
𝜷𝟏
෡
𝜷𝟐 − 𝒕 𝒏−𝒌,𝟏−
𝜶
𝟐
𝒔෡
𝜷𝟐
≤ ෡
𝜷𝟐 ≤ ෡
𝜷𝟐 + 𝒕 𝒏−𝒌,𝟏−
𝜶
𝟐
𝒔෡
𝜷𝟐
෡
𝜷𝟑 − 𝒕 𝒏−𝒌,𝟏−
𝜶
𝟐
𝒔෡
𝜷𝟑
≤ ෡
𝜷𝟑 ≤ ෡
𝜷𝟑 + 𝒕 𝒏−𝒌,𝟏−
𝜶
𝟐
𝒔෡
𝜷𝟑

Coefi. Determinação
11
Coeficiente de Determinação
𝑹𝟐 =
𝑺𝑸𝑹
𝑺𝑸𝑻
=
෡
𝜷𝟐
𝟐
𝒎𝟐𝟐 + ෡
𝜷𝟑
𝟐
𝒎𝟑𝟑 − 𝟐෡
𝜷𝟐
෡
𝜷𝟑𝒎𝟐𝟑
σ𝒊 𝒀𝒊 − ഥ
𝒀 𝟐
Coeficiente de Determinação Ajustado
ഥ
𝑹𝟐 = 𝑹𝟐 −
𝒌 − 𝟏
𝒏 − 𝒌
𝟏 − 𝑹𝟐
O objectivo de ഥ
𝑹𝟐 é facilitar comparações de “graus de ajustamento” de
várias equações de regressão que podem variar com relação ao número
de variáveis independentes e ao número de observações.

Testes de hipóteses
12
Estatística do Teste – Coeficientes
෡
𝜷𝒌 − 𝜷𝒌
𝒔෡
𝜷𝒌
~𝒕𝒏−𝒌 𝒌 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …
Ocasionalmente, poderá ser de suspeitar que uma variável
explicativa particular 𝑿𝒊𝒌 não é muito útil, isto é, que a sua influência
sobre a variável dependente não é significativa.
Para saber se é este o caso, testamos a hipótese nula de que o
coeficiente para esta variável é nulo.
Formulação das Hipóteses Estatísticas
𝑯𝟎: 𝜷𝒌 = 𝟎 𝑯𝑨: 𝜷𝒌 ≠ 𝟎

13
Se 𝑯𝟎 for rejeitada então temos evidência de que 𝜷𝒌 ≠ 𝟎, isto é, a
variável explicativa 𝑿𝒊𝒌 é útil na predição do valor da variável
dependente, ou seja, a variável 𝑿𝒊𝒌 contribui para a explicação
variável resposta 𝒀.
Se 𝑯𝟎 não for rejeitada então a variável explicativa 𝑿𝒊𝒌 é geralmente
retirada da equação de regressão pois não influência
significativamente a variável resposta 𝒀 .
Teste para os parâmetros individuais
𝒕𝒌 =
෡
𝜷𝒌
𝒔෡
𝜷𝒌
𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, …

14
Estatística do Teste – Regressão/Global
𝑺𝑸𝑹
𝒌 − 𝟏
𝑺𝑸𝑬
𝒏 − 𝒌
~𝑭𝒌−𝟏,𝒏−𝒌 𝒌 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …
Este teste serve para testar a hipótese, 𝑯𝟎, de que a regressão não é
significativa.
Ou seja, a equação de regressão não explica a variação na variável
resposta, ou ainda, não existe relação linear entre a variável
dependente e o conjunto de variáveis independentes utilizadas.
Formulação das Hipóteses Estatísticas
𝑯𝟎: 𝜷𝟐 = 𝜷𝟑 = ⋯ = 𝜷𝒌 = 𝟎 𝑯𝑨: pelo menos 𝜷𝒌 ≠ 𝟎

15
Se 𝑯𝟎 não for rejeitada não for rejeitada, então é o mesmo que dizer
que o conjunto de variáveis explicativas contribuem pouco para a
explicação da variação da variável dependente.
Teste para o Modelo
𝑭𝟐,𝒏−𝟑 =
𝑺𝑸𝑹
𝟐
𝑺𝑸𝑬
𝒏 − 𝟑
=
෡
𝜷𝟐
𝟐
𝒎𝟐𝟐 + ෡
𝜷𝟑
𝟐
𝒎𝟑𝟑 − 𝟐෡
𝜷𝟐
෡
𝟐𝒔𝟐
A razão é o facto de que as contribuições separadas das 𝑿𝒊𝒌 para a
explicação da variação de são fracas, enquanto que a contribuição
conjunta, não pode ser decomposta, é muito forte.

Exercícios
16
Com o objectivo de ilustrar a RLM, será apresentado um exemplo prático, no
qual a regressão será realizada por meio do Excel.
No exemplo apresentado na Tabela 1, observa-se um conjunto de dados de uma
amostra formada por 36 filmes exibidos nos cinemas.
As variáveis: Facturamentos com o filme em milhões, Gasto com o filme em
milhões e Duração do filme em minutos.
Neste exemplo, busca-se identificar a relação existente entre as variáveis
independentes (gasto e duração) e a variável dependente (facturamento).

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨𝐬𝑷𝒂𝒓â𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
17
ഥ
𝑿𝒊𝟐 = 𝟓𝟖, 𝟔𝟓 ഥ
𝒀𝒊 = 𝟏𝟑𝟖, 𝟎𝟓𝟓 𝒎𝒀𝒀 = 𝟒𝟔𝟕𝟔𝟗𝟔, 𝟎𝟕𝟑𝟑
𝒎𝒀𝟐 = 𝟗𝟎𝟖𝟕𝟔, 𝟑𝟕𝟑𝟓 𝒎𝒀𝟑 = 𝟓𝟎𝟖𝟕𝟒, 𝟏𝟕𝟑𝟐
𝒎𝟐𝟐 = 𝟖𝟗𝟑𝟒𝟔, 𝟗𝟗 𝒎𝟐𝟑 = 𝒎𝟑𝟐 = 𝟔𝟔𝟒𝟎, 𝟓 𝒎𝟑𝟑 = 𝟑𝟏𝟏𝟒𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟔
෡
𝜷𝟐 =
𝒎𝒀𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝒀𝟑𝒎𝟐𝟑
𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝟐𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟗𝟏𝟎𝟏𝟐
෡
𝜷𝟑 =
𝒎𝒀𝟑𝒎𝟐𝟐 − 𝒎𝒀𝟐𝒎𝟐𝟑
𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝟐𝟑
𝟐
= 𝟏, 𝟒𝟑𝟗𝟓𝟕
෡
𝜷𝟏 = ഥ
𝒀 − ෡
𝜷𝟐
ഥ
𝑿𝒊𝟐 + ෡
𝜷𝟑
ഥ
𝑿𝒊𝟑 = −𝟏𝟎𝟓, 𝟓𝟎𝟕

18
𝒔𝟐 = 𝝈𝟐 =
𝟏
𝒏 − 𝟑
𝒎𝒀𝒀 − ෡
𝜷𝟐𝒎𝒀𝟐 − ෡
𝜷𝟐𝒎𝒀𝟑 = 𝟗𝟒𝟒𝟔, 𝟗𝟕𝟕
𝑽𝒂𝒓 ෡
𝜷𝟐 = 𝒔෡
𝜷𝟐
𝟐
=
𝝈𝟐𝒎𝟑𝟑
𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝟐𝟑
𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟕𝟒𝟑𝟔
𝑽𝒂𝒓 ෡
𝜷𝟑 = 𝒔෡
𝜷𝟑
𝟐
=
𝝈𝟐𝒎𝟐𝟐
𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝟐𝟑
𝟐
= 𝟎, 𝟑𝟎𝟖𝟐𝟒
𝑽𝒂𝒓 ෡
𝜷𝟏 = 𝒔෡
𝜷𝟏
𝟐
= 𝝈𝟐
𝟏
𝒏
+
ഥ
𝑿𝟐
𝟐
𝒎𝟑𝟑 + ഥ
𝑿𝟑
𝟐
𝒎𝟐𝟐 − 𝟐ഥ
𝑿𝟐
ഥ
𝑿𝟑𝒎𝟐𝟑
𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 − 𝒎𝟐𝟑
𝟐
= 𝟓𝟔𝟓𝟔, 𝟕𝟗𝟖𝟖

19
Intervalos para os Parâmetros do Modelo
−105,507 − 2,042 × 75,212 ≤ መ
𝛽1 ≤ −105,507 + 2,042 × 75,212
−𝟐𝟓𝟖, 𝟓𝟐𝟕 ≤ ෡
𝜷𝟏 ≤ 𝟒𝟖, 𝟓𝟏𝟐
0,91 − 2,042 × 0,3278 ≤ መ
𝛽2 ≤ 0,91 + 2,042 × 0,3278
𝟎, 𝟐𝟒𝟑 ≤ ෡
𝜷𝟐 ≤ 𝟏, 𝟓𝟕𝟕
1,43957 − 2,042 × 0,555 ≤ መ
𝛽3 ≤ 1,43957 + 2,042 × 0,555
𝟎, 𝟑𝟏 ≤ ෡
𝜷𝟑 ≤ 𝟐, 𝟓𝟔𝟗

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨𝐬𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐
20
A Formulação do Modelo de Regressão
𝒀𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝒊𝟐 + 𝜷𝟑𝑿𝒊𝟑 + ⋯ + 𝜷𝒌𝑿𝒊𝒌 + 𝜺𝒊
𝑭𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒊 = −𝟏𝟎𝟓, 𝟓𝟎𝟕 + 𝟎, 𝟗𝟏𝟎𝟏𝟐 ∙ 𝑮𝒂𝒔𝒕𝒐 + 𝟏, 𝟒𝟑𝟗𝟓𝟕 ∙ 𝑫𝒖𝒓𝒂çã𝒐
Testes para os Parâmetros do Modelo
𝒕𝟏 =
෡
𝜷𝟏
𝒔෡
𝜷𝟏
=
−𝟏𝟎𝟓, 𝟓𝟎𝟕
𝟕𝟓, 𝟐𝟏𝟐
= −𝟏, 𝟒𝟎𝟖 | 𝒕𝟐 =
෡
𝜷𝟐
𝒔෡
𝜷𝟐
=
𝟎, 𝟗𝟏𝟎𝟏𝟐
𝟎, 𝟑𝟐𝟕𝟖
= 𝟐, 𝟕𝟕𝟕
𝒕𝟑 =
෡
𝜷𝟑
𝒔෡
𝜷𝟑
=
𝟏, 𝟒𝟑𝟗𝟓𝟕
𝟎, 𝟓𝟓𝟓
= 𝟐, 𝟓𝟗𝟑

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨𝐬𝑻𝒆𝒔𝒕𝒆𝒔
21
Testes para os Parâmetros do Modelo
𝒕 𝒏−𝒌,𝜶 = 𝑡 36−3,1−0,05 = 𝑡 33; 0,95 = 𝟐, 𝟎𝟒𝟐
𝒕𝟏 = −1,408 > −𝒕 𝟑𝟑; 𝟎,𝟗𝟕𝟓 = −2,042
Não Rejeita a 𝐇𝟎, para ෡
𝜷𝟏.
𝒕𝟐 = 2,777 > 𝒕 𝟑𝟑; 𝟎,𝟗𝟕𝟓 = 2,042
Rejeita-se a 𝐇𝟎, para ෡
𝜷𝟐. Variável mantém no modelo, ou seja, é útil.
𝒕𝟑 = 2,593 > 𝒕 𝟑𝟑; 𝟎,𝟗𝟕𝟓 = 2,042
Rejeita-se a 𝐇𝟎, para ෡
𝜷𝟑. Variável mantém no modelo, ou seja, é útil.

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨𝐬𝑻𝒆𝒔𝒕𝒆𝒔
22
Testes para Modelo/Global
𝑭 𝒌−𝟏,𝒏−𝒌,𝟏−𝜶 = 𝐹 3−1,36−33,1−0,05 = 𝐹 2; 33; 0,95 = 𝟑, 𝟐𝟖𝟓
𝑭 𝟐; 𝟑𝟑 =
𝑺𝑸𝑹
𝟐
𝑺𝑸𝑬
𝒏 − 𝟑
=
෡
𝜷𝟐
𝟐
𝒎𝟐𝟐 + ෡
𝜷𝟑
𝟐
𝒎𝟑𝟑 − 𝟐෡
𝜷𝟐
෡
𝟐𝒔𝟐
= 𝟖, 𝟐𝟓𝟑𝟕
𝟑, 𝟐𝟖𝟓 = 𝑭 𝟐; 𝟑𝟑; 𝟎,𝟗𝟓 < 𝑭 𝟐; 𝟑𝟑 = 𝟖, 𝟐𝟓𝟑𝟕
Rejeita-se a 𝐇𝟎, ෡
𝜷𝟐 = ෡
𝜷𝟑 = 𝟎.
O modelo proposto é útil para explicar a variável dependente, ou seja,
busca identificar se pelo menos uma das variáveis independentes está
relacionada à variável dependente.

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨𝐬𝑨𝒋𝒖𝒔𝒕𝒆𝒔
23
𝑹𝟐 =
𝑺𝑸𝑹
𝑺𝑸𝑻
=
෡
𝜷𝟐
𝟐
𝒎𝟐𝟐 + ෡
𝜷𝟑
𝟐
𝒎𝟑𝟑 − 𝟐෡
𝜷𝟐
෡
σ𝒊 𝒀𝒊 − ഥ
𝒀 𝟐
= 𝟎, 𝟑𝟑𝟑
Coeficiente de Determinação Ajustado
ഥ
𝑹𝟐 = 𝑹𝟐 −
𝒌 − 𝟏
𝒏 − 𝒌
𝟏 − 𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟗𝟑
Observa-se que ao relacionar as variáveis independentes com a variável
dependente no modelo proposto, a relação entre elas pode ser
considerada fraca, uma vez que o resultado do ഥ
𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟗𝟑.

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