Correcção do Teste de Métodos Quantitativos I - Contabilidade e Auditoria

1. LICENCIATURA EM CONTABILIDADE E AUDITORIA – 1º Ano
MÉTODOS QUANTITATIVOS I – 09/10/2023
1. 4Pts Determine a matriz 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗], sabendo que é o producto das matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]
3×4
e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]
4×3
, onde
𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 𝑗 e 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖 − 𝑗
A = [
2 ∙ 1 + 1 2 ∙ 1 + 2 2 ∙ 1 + 3 2 ∙ 1 + 4
2 ∙ 2 + 1 2 ∙ 2 + 2 2 ∙ 2 + 3 2 ∙ 2 + 4
2 ∙ 3 + 1 2 ∙ 3 + 2 2 ∙ 3 + 3 2 ∙ 3 + 4
]
3×4
= [
3 4 5 6
5 6 7 8
7 8 9 10
]
3×4
B = [
1 − 1 1 − 2 1 − 3
2 − 1 2 − 2 2 − 3
3 − 1
4 − 1
3 − 2
4 − 2
3 − 3
4 − 3
]
4×3
= [
0 −1 −2
1 0 −1
2
3
1
2
0
1
]
4×3
C = A × B = [
3 4 5 6
5 6 7 8
7 8 9 10
]
3×4
∙ [
0 −1 −2
1 0 −1
2
3
1
2
0
1
]
4×3
𝐂 = [
3 ∙ 0 + 4 ∙ 1 + 5 ∙ 2 + 6 ∙ 3 −3 ∙ 1 + 4 ∙ 0 + 5 ∙ 1 + 6 ∙ 2 −3 ∙ 2 − 4 ∙ 1 + 5 ∙ 0 + 6 ∙ 1
5 ∙ 0 + 6 ∙ 1 + 7 ∙ 2 + 8 ∙ 3 −5 ∙ 1 + 6 ∙ 0 + 7 ∙ 1 + 8 ∙ 2 −5 ∙ 2 − 6 ∙ 1 + 7 ∙ 0 + 8 ∙ 1
7 ∙ 0 + 8 ∙ 1 + 9 ∙ 2 + 10 ∙ 3 −7 ∙ 1 + 8 ∙ 0 + 9 ∙ 1 + 10 ∙ 2 −7 ∙ 2 − 8 ∙ 1 + 9 ∙ 0 + 10 ∙ 1
]
3×3
𝐂 = [
𝟑𝟐 𝟏𝟒 −𝟒
𝟒𝟒 𝟏𝟖 −𝟖
𝟓𝟔 𝟐𝟐 −𝟏𝟐
]
𝟑×𝟑
1.1. Determine o determinante da matriz 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗], obtida na questão anterior. 3,5Pts
|𝐂| = |
32 14 −4
44 18 −8
56 22 −12
| = |
32 14 −4 | 32 14
44 18 −8 | 44 18
56 22 −12 | 56 22
|
= [32 × 18 × (−12) + 14 × (−8) × 56 + (−4) × 44 × 22]
− [(−4) × 18 × 56 + 32 × (−8) × 22 + 14 × 44 × (−12)]
= (−6912 − 6272 − 3872) − (−4032 − 5632 − 7392)
|𝐂| = −𝟏𝟕𝟎𝟓𝟔 + 𝟏𝟕𝟎𝟓𝟔 = 𝟎
2. [Adaptado: Anton, H., & Rorres, C. (2012). Álgebra linear com aplicações. Bookman]
Duas oficinas de conserto de veículos, uma que trata da parte mecânica (M) e outra de
lataria (L), utilizam uma os serviços da outra. Para cada Eur. 1,00 de negócios que M
faz, M utiliza Eur. 50,00 de seus próprios serviços e Eur. 25,00 dos serviços de L e, para

2. cada Eur. 1,00 de negócios que L faz, L utiliza Eur. 10,00 de seus próprios serviços e
Eur. 25,00 dos serviços de M.
Contactaram um estudante da Sala C4, da FCT/USTP, para encontrar um vector dos
valores de M e L (escalonada e reduzida por linhas) que devem ser prestados para essa
economia gerar negócios de Eur. 700000,00 de serviços mecânicos e Eur. 14000,00 de
serviços de lataria? 4,5Pts
Para ilustrar matricialmente o problema, temos:
Insumo requerido para prestar
Eur.1,00
Mecânica 𝑀 Lataria 𝐿
{
50𝑀 + 25𝐿 = 700000
25𝑀 + 10𝐿 = 14000
Mecânica 50 25 700000
Lataria 25 10 14000
[
50 25 |700000
25 10 |14000
]
𝐿1 ←
1
50
𝐿1
𝐿2 ← 𝐿2 − 25𝐿1
[
1
1
2
| 14000
0 −
5
2
|10500]
𝐿2 ← −
2
5
𝐿2
𝐿1 ← 𝐿1 −
1
2
𝐿2
[
1 0 |11900
0 1 | 4200
]
Portanto o sistema dado é equivalente ao
sistema
{
𝑀 = 11900
𝐿 = 4200
O vector de produção (escalonada e
reduzida por linhas) é dado por:
𝐗 = [
𝑴
𝑳
] = [
𝟏𝟏𝟗𝟎𝟎
𝟒𝟐𝟎𝟎
]
A economia consegue atender exactamente a demanda do sector aberto, produzindo
um valor total de Eur. 11900,00 de serviços Mecânicos e Eur. 4200,00 de serviços de
Lataria.
3. [Adaptado: Gran Cursos Online] O Lago Bolonha é o principal reservatório de
abastecimento de água da Região Metropolitana de Belém, e o controle da quantidade
de algas e bactérias que nele habitam é importante. Sabe-se que, em condições
favoráveis, o número de bactérias em uma colónia cresce segundo uma progressão
geométrica. Se uma certa colónia, inicialmente com cerca de 1024 bactérias,
quadruplica seu número de bactérias a cada 24 horas. A partir de qual dia, o número de
bactérias ultrapassará 16777216? 4,5Pts
Produção

3. O número de bactérias segue uma progressão geométrica. Seja 𝑢𝑛 a população de
bactérias no começo do dia, ela será uma PG cujo primeiro (𝑢1) termo é igual a 1024 e
a razão é 𝑟 = 4. Portanto, temos:
𝑢𝑛 = 𝑢1 ∙ 𝑟𝑛−1
⟹ 1024 × 4𝑛−1
> 16777216 ⇔ 4𝑛−1
> 16384
⇔ 𝑛 − 1 > log4 16384 ⇔ 𝑛 − 1 > log4 47
⇔ 𝑛 − 1 > 7 ⇔ 𝑛 > 8
A partir de 𝒏 = 𝟗 dias.
4. 3,5Pts [Adaptado: Texto de Apoio 11ª Classe] Use a definição de limite, para mostrar
que:
lim
𝑛
2𝑛 − 1
𝑛
= 2
Da Definição temos: ∀𝜺 > 𝟎 ∃𝒑 ∈ ℕ: 𝒏 > 𝒑 ⇒ |𝒖𝒏 − 𝜶| < 𝜺, logo
|𝒖𝒏 − 𝜶| < 𝜺 ⇔ |
2𝑛 − 1
𝑛
− 𝟐| < 𝜺 ⇔ |
2𝑛 − 1
𝑛
−
2𝑛
𝑛
| < 𝜺 ⇔ |
2𝑛 − 1 − 2𝑛
𝑛
| < 𝜺
⇔ |−
1
𝑛
| < 𝜺 ⇔
𝟏
𝒏
< 𝜺 ⇔ 𝒏 >
𝟏
𝜺
Concluímos, então, que, para qualquer 𝜀 > 0, se considerarmos um número 3-36 3
natural 𝑝, superior a
𝟏
𝜺
, se tem |
2𝑛−1
𝑛
− 𝟐| < 𝜺, desde que 𝒏 ≥ 𝒑.
FIM
Obs: Não apresentar os resultados na forma decimal. Use sempre que aplicável, fracções
irredutíveis.