O documento apresenta uma aula sobre integração de funções trigonométricas. Apresenta identidades trigonométricas importantes e fórmulas para integrar potências de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Explica dois casos de integração: potências ímpares de tangente/cotangente e potências ímpares de secante/cosecante.

1. Aula 4 - Integra¸˜o de fun¸oes trigonom´tricas
ca c˜ e
Willian Vieira de Paula
20 de mar¸o de 2012
c
Willian Vieira de Paula Aula 4 - Integra¸˜o de fun¸˜es trigonom´tricas
ca co e

2. Potˆncias de seno e cosseno
e
Identidades trigonom´tricas:
e
1 + cos(2x)
cos 2 (x) =
2
1 − cos(2x)
sen2 (x) =
2
1 1
sen(ax)cos(bx) = sen[(a − b)x] + sen[(a + b)x]
2 2
1
sen(x)cos(x) = sen(x)cos(x)
2
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ca co e

3. Integra¸˜o de potˆncias de tangente, cotangente,
ca e
secante e cosecante
Mais f´rmulas importantes
o
tg (x)dx = ln |sec(x)| + C
sec(x)dx = ln |sec(x) + tg (x)| + C
sec 2 (x)dx = tg (x) + C
sec(x)tg (x)dx = sec(x) + C
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ca co e

4. Integra¸˜o de potˆncias de tangente, cotangente,
ca e
secante e cosecante
cotg (x)dx = ln |sen(x)| + C
cosecx(x)dx = ln |cosec(x) − cotg (x)| + C
cosec 2 (x)dx = −cotg (x) + C
cosec(x)cotg (x)dx = −cosec(x) + C
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ca co e

5. Identidades trigonom´tricas
e
1 + tg 2 (x) = sec 2 (x)
1 + cotg 2 (x) = cosec 2 (x)
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ca co e

6. Caso 1
tg n (x)dx ou cotg n (x)dx
“Separe” tg 2 (x) ou cotg 2 (x)
ou seja
tg n (x) = tg n−2 (x)tg 2 (x)
Exemplo
Calcule tg 3 (x)dx
Exemplo
Calcule cotg 4 (x)dx
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7. Caso 2
sec n (x)dx ou cosec n (x)dx, onde n ´ um inteiro ´
e ımpar
positivo.
Use integra¸˜o por partes
ca
Exemplo
sec 3 (x)dx
Fa¸a u = sec(x) e dv = sec 2 (x)dx
c
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ca co e