O documento discute autocovariância e autocorrelação de séries temporais. Define autocovariância como a covariância entre observações em momentos de tempo diferentes. Apresenta propriedades da autocovariância, incluindo que a autocovariância em um lag zero é sempre positiva. Introduz a função de autocorrelação como a razão entre a autocovariância em um determinado lag e a autocovariância em lag zero.

1. concurseiro_estatistico@outlook.com

2. concurseiro_estatistico@outlook.com

3. Autocovariância e Autocorrelação
§
¦
¤
¥
Denição: Autocovariância
Sejam Z1, Z2, . . . uma sequência de variáveis aleatórias indexadas no tempo:
γ(k) = Cov{Zt, Zt+k}

4. Autocovariância e Autocorrelação
§
¦
¤
¥
Denição: Autocovariância
Sejam Z1, Z2, . . . uma sequência de variáveis aleatórias indexadas no tempo:
γ(k) = Cov{Zt, Zt+k}
Propriedades:
i. γ(0) 0;

5. Autocovariância e Autocorrelação
§
¦
¤
¥
Denição: Autocovariância
Sejam Z1, Z2, . . . uma sequência de variáveis aleatórias indexadas no tempo:
γ(k) = Cov{Zt, Zt+k}
Propriedades:
i. γ(0) 0;
ii. γ(k) = γ(−k), γ(k) é função par;

6. Autocovariância e Autocorrelação
§
¦
¤
¥
Denição: Autocovariância
Sejam Z1, Z2, . . . uma sequência de variáveis aleatórias indexadas no tempo:
γ(k) = Cov{Zt, Zt+k}
Propriedades:
i. γ(0) 0;
ii. γ(k) = γ(−k), γ(k) é função par;
iii. |γ(k)| ≤ γ(0);

7. Autocovariância e Autocorrelação
§
¦
¤
¥
Denição: Autocovariância
Sejam Z1, Z2, . . . uma sequência de variáveis aleatórias indexadas no tempo:
γ(k) = Cov{Zt, Zt+k}
Propriedades:
i. γ(0) 0;
ii. γ(k) = γ(−k), γ(k) é função par;
iii. |γ(k)| ≤ γ(0);
§
¦
¤
¥
Função de Autocorrelação
ρk =
γ(k)
γ(0)
, k ∈ Z

8. Enunciado Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Grande parte dos procedimentos de análise de séries temporais pressupõe
séries estacionárias. Um procedimento comum para converter uma série
temporal não estacionária em uma série estacionária reside na utilização de
diferenças sucessivas da série original até se obter uma série estacionária.

9. Enunciado Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Grande parte dos procedimentos de análise de séries temporais pressupõe
séries estacionárias. Um procedimento comum para converter uma série
temporal não estacionária em uma série estacionária reside na utilização de
diferenças sucessivas da série original até se obter uma série estacionária.
Seja a primeira diferença ∆yt = yt − yt−1.
A média de ∆yt é

10. Enunciado Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Grande parte dos procedimentos de análise de séries temporais pressupõe
séries estacionárias. Um procedimento comum para converter uma série
temporal não estacionária em uma série estacionária reside na utilização de
diferenças sucessivas da série original até se obter uma série estacionária.
Seja a primeira diferença ∆yt = yt − yt−1.
A média de ∆yt é
(A)
yt − y1
n
(B)
yt − y1
n − 1
(C)
yt + yt−1 + . . . + y1
n
(D)
yt + yt−1 + . . . + y1
n − 1
(E)
yt + 2yt−1 + . . . + 2y2 + y1
n − 1

11. Enunciado Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Grande parte dos procedimentos de análise de séries temporais pressupõe
séries estacionárias. Um procedimento comum para converter uma série
temporal não estacionária em uma série estacionária reside na utilização de
diferenças sucessivas da série original até se obter uma série estacionária.
Seja a primeira diferença ∆yt = yt − yt−1.
A média de ∆yt é
(A)
yt − y1
n
(B)
yt − y1
n − 1
(C)
yt + yt−1 + . . . + y1
n
(D)
yt + yt−1 + . . . + y1
n − 1
(E)
yt + 2yt−1 + . . . + 2y2 + y1
n − 1

12. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio

13. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Seja a primeira diferença ∆yt = yt − yt−1. A média de ∆yt é
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Seja a primeira diferença ∆yt = yt − yt−1. A média de ∆yt é
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veja que dada a série
y1, y2, . . . , yt

15. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Seja a primeira diferença ∆yt = yt − yt−1. A média de ∆yt é
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veja que dada a série
y1, y2, . . . , yt
após aplicarmos a primeira diferença, teremos:
∆yt = y2 − y1, y3 − y2, . . . , yt−2 − yt−1, yt − yt−1

16. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Seja a primeira diferença ∆yt = yt − yt−1. A média de ∆yt é
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veja que dada a série
y1, y2, . . . , yt
após aplicarmos a primeira diferença, teremos:
∆yt = y2 − y1, y3 − y2, . . . , yt−2 − yt−1, yt − yt−1
Somando-se cada uma das (t − 1) observações, teremos:
t−1
i=1
(yi+1 − yi) = (y2 − y1) + (y3 −y2) + (y4 −y3) + . . . + (yt −yt−1)

17. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Seja a primeira diferença ∆yt = yt − yt−1. A média de ∆yt é
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veja que dada a série
y1, y2, . . . , yt
após aplicarmos a primeira diferença, teremos:
∆yt = y2 − y1, y3 − y2, . . . , yt−2 − yt−1, yt − yt−1
Somando-se cada uma das (t − 1) observações, teremos:
t−1
i=1
(yi+1 − yi) = (y2 − y1) + (y3 −y2) + (y4 −y3) + . . . + (yt −yt−1)
1
t − 1
∆yt =
yt − y1
t − 1
⇔ ∆yt =
yt − y1
n − 1
se t = n (?) (erro da banca!)

18. Gabarito Petrobrás/2018 Cesgranrio

19. Gabarito Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Grande parte dos procedimentos de análise de séries temporais pressupõe
séries estacionárias. Um procedimento comum para converter uma série
temporal não estacionária em uma série estacionária reside na utilização de
diferenças sucessivas da série original até se obter uma série estacionária.
Seja a primeira diferença ∆yt = yt − yt−1.
A média de ∆yt é

20. Gabarito Petrobrás/2018 Cesgranrio
22. Grande parte dos procedimentos de análise de séries temporais pressupõe
séries estacionárias. Um procedimento comum para converter uma série
temporal não estacionária em uma série estacionária reside na utilização de
diferenças sucessivas da série original até se obter uma série estacionária.
Seja a primeira diferença ∆yt = yt − yt−1.
A média de ∆yt é
(A)
yt − y1
n
(B)
yt − y1
n − 1
(C)
yt + yt−1 + . . . + y1
n
(D)
yt + yt−1 + . . . + y1
n − 1
(E)
yt + 2yt−1 + . . . + 2y2 + y1
n − 1

21. Enunciado Petrobrás/2018 Cesgranrio

22. Enunciado Petrobrás/2018 Cesgranrio
61. Seja o modelo autorregressivo integrado médias móveis ARIMA(2, 1, 0)
representado pela equação

23. Enunciado Petrobrás/2018 Cesgranrio
61. Seja o modelo autorregressivo integrado médias móveis ARIMA(2, 1, 0)
representado pela equação
Xt = (1 + φ1)Xt−1 + (φ2 − φ1)Xt−2 − φ2Xt−3 + εt, onde εt ∼ RB(0, σ2
ε )
O valor da função de autocorrelação no lag 1 da forma estacionária de Xt é
dada por

24. Enunciado Petrobrás/2018 Cesgranrio
61. Seja o modelo autorregressivo integrado médias móveis ARIMA(2, 1, 0)
representado pela equação
Xt = (1 + φ1)Xt−1 + (φ2 − φ1)Xt−2 − φ2Xt−3 + εt, onde εt ∼ RB(0, σ2
ε )
O valor da função de autocorrelação no lag 1 da forma estacionária de Xt é
dada por
(A) ρ1 = φ1
(B) ρ1 = φ2
(C) ρ1 =
φ1
1 − φ2
(D) ρ1 =
φ2
1 − φ2
(E) ρ1 = φ1φ2

25. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio

26. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
61. ARIMA(2, 1, 0)
Xt = (1 + φ1)Xt−1 + (φ2 − φ1)Xt−2 − φ2Xt−3 + εt, onde εt ∼ RB(0, σ2
ε )

27. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
61. ARIMA(2, 1, 0)
Xt = (1 + φ1)Xt−1 + (φ2 − φ1)Xt−2 − φ2Xt−3 + εt, onde εt ∼ RB(0, σ2
ε )
Primeiramente vamos reescrever o modelo:

28. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
61. ARIMA(2, 1, 0)
Xt = (1 + φ1)Xt−1 + (φ2 − φ1)Xt−2 − φ2Xt−3 + εt, onde εt ∼ RB(0, σ2
ε )
Primeiramente vamos reescrever o modelo:
Xt = Xt−1 + φ1Xt−1 + φ2Xt−2 − φ1Xt−2 − φ2Xt−3 + εt

29. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
61. ARIMA(2, 1, 0)
Xt = (1 + φ1)Xt−1 + (φ2 − φ1)Xt−2 − φ2Xt−3 + εt, onde εt ∼ RB(0, σ2
ε )
Primeiramente vamos reescrever o modelo:
Xt = Xt−1 + φ1Xt−1 + φ2Xt−2 − φ1Xt−2 − φ2Xt−3 + εt
Xt − Xt−1 = φ1Xt−1 − φ1Xt−2 + φ2Xt−2 − φ2Xt−3 + εt

30. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
61. ARIMA(2, 1, 0)
Xt = (1 + φ1)Xt−1 + (φ2 − φ1)Xt−2 − φ2Xt−3 + εt, onde εt ∼ RB(0, σ2
ε )
Primeiramente vamos reescrever o modelo:
Xt = Xt−1 + φ1Xt−1 + φ2Xt−2 − φ1Xt−2 − φ2Xt−3 + εt
Xt − Xt−1 = φ1Xt−1 − φ1Xt−2 + φ2Xt−2 − φ2Xt−3 + εt
Xt − Xt−1 = φ1(Xt−1 − Xt−2) + φ2(Xt−2 − Xt−3) + εt

31. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
61. ARIMA(2, 1, 0)
Xt = (1 + φ1)Xt−1 + (φ2 − φ1)Xt−2 − φ2Xt−3 + εt, onde εt ∼ RB(0, σ2
ε )
Primeiramente vamos reescrever o modelo:
Xt = Xt−1 + φ1Xt−1 + φ2Xt−2 − φ1Xt−2 − φ2Xt−3 + εt
Xt − Xt−1 = φ1Xt−1 − φ1Xt−2 + φ2Xt−2 − φ2Xt−3 + εt
Xt − Xt−1 = φ1(Xt−1 − Xt−2) + φ2(Xt−2 − Xt−3) + εt
Sejam



Xt − Xt−1 = Zt;
Xt−1 − Xt−2 = Zt−1; e
Xt−2 − Xt−3 = Zt−2.

32. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio

33. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−1 + εt

34. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−1 + εt
Trabalhemos etse modelo
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + εt

35. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−1 + εt
Trabalhemos etse modelo
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + εt
ZtZt−k = φ1Zt−1Zt−k + φ2Zt−2Zt−k + εtZt−k

36. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−1 + εt
Trabalhemos etse modelo
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + εt
ZtZt−k = φ1Zt−1Zt−k + φ2Zt−2Zt−k + εtZt−k
E(ZtZt−k) = E(φ1Zt−1Zt−k) + E(φ2Zt−2Zt−k) + E(εtZt−k)

37. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−1 + εt
Trabalhemos etse modelo
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + εt
ZtZt−k = φ1Zt−1Zt−k + φ2Zt−2Zt−k + εtZt−k
E(ZtZt−k) = E(φ1Zt−1Zt−k) + E(φ2Zt−2Zt−k) + E(εtZt−k)
E(ZtZt−k) = φ1E(Zt−1Zt−k) + φ2E(Zt−2Zt−k) + E(εtZt−k)

38. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−1 + εt
Trabalhemos etse modelo
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + εt
ZtZt−k = φ1Zt−1Zt−k + φ2Zt−2Zt−k + εtZt−k
E(ZtZt−k) = E(φ1Zt−1Zt−k) + E(φ2Zt−2Zt−k) + E(εtZt−k)
E(ZtZt−k) = φ1E(Zt−1Zt−k) + φ2E(Zt−2Zt−k) + E(εtZt−k)
γ(k) = φ1γ(k − 1) + φ2γ(k − 2)
Para k = 1:
γ(1) = φ1E(Zt−1Zt−1) + φ2E(Zt−2Zt−1)

39. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−1 + εt
Trabalhemos etse modelo
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + εt
ZtZt−k = φ1Zt−1Zt−k + φ2Zt−2Zt−k + εtZt−k
E(ZtZt−k) = E(φ1Zt−1Zt−k) + E(φ2Zt−2Zt−k) + E(εtZt−k)
E(ZtZt−k) = φ1E(Zt−1Zt−k) + φ2E(Zt−2Zt−k) + E(εtZt−k)
γ(k) = φ1γ(k − 1) + φ2γ(k − 2)
Para k = 1:
γ(1) = φ1E(Zt−1Zt−1) + φ2E(Zt−2Zt−1)
γ(1) = φ1γ(0) + φ2γ(1)

40. Resolução Petrobrás/2018 Cesgranrio
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−1 + εt
Trabalhemos etse modelo
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + εt
ZtZt−k = φ1Zt−1Zt−k + φ2Zt−2Zt−k + εtZt−k
E(ZtZt−k) = E(φ1Zt−1Zt−k) + E(φ2Zt−2Zt−k) + E(εtZt−k)
E(ZtZt−k) = φ1E(Zt−1Zt−k) + φ2E(Zt−2Zt−k) + E(εtZt−k)
γ(k) = φ1γ(k − 1) + φ2γ(k − 2)
Para k = 1:
γ(1) = φ1E(Zt−1Zt−1) + φ2E(Zt−2Zt−1)
γ(1) = φ1γ(0) + φ2γ(1)
ρ1 = φ1 + φ2ρ1 ⇒ ρ1 =
φ1
1 − φ2

41. Enunciado Petrobrás/2018 Cesgranrio
61. Seja o modelo autorregressivo integrado médias móveis ARIMA(2, 1, 0)
representado pela equação
Xt = (1 + φ1)Xt−1 + (φ2 − φ1)Xt−2 − φ2Xt−3 + εt, onde εt ∼ RB(0, σ2
ε )
O valor da função de autocorrelação no lag 1 da forma estacionária de Xt é
dada por
(A) ρ1 = φ1
(B) ρ1 = φ2
(C) ρ1 =
φ1
1 − φ2
(D) ρ1 =
φ2
1 − φ2
(E) ρ1 = φ1φ2

43. Série: 52 Questões de Estatística
Vol. 1 - 52 Questões de Séries Temporais
Vol. 18 - 52 Questões de Análise Espectral e Modelos ARIMA