O documento discute processos estocásticos não estacionários e passeios aleatórios. Apresenta as definições de média, variância e função de autocorrelação para passeios aleatórios. Explica que para um passeio aleatório baseado em ruídos brancos independentes, a média de Xt é proporcional a t, a variância é proporcional a t e a covariância entre Xt1 e Xt2 depende apenas da diferença entre t1 e t2. Por fim, resume uma questão sobre passeios aleató

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3. Agenda
Processos Não-Estacionários;
Passeio Aleatório;
Média , Variância e Função de Autocorrelação.
Simulação de um Passeio Aleatório (trajetórias);
Questão de Concurso SESC/IPAD2010.

4. Processos Não-Estacionários
Tipos de Estacionariedade
Estacionariedade Fraca;
Estacionariedade Forte.
Primeiro Momento, E(Xt) ∞;
Segundo Momento, E(X2
t ) ∞;
Função de Autocovariância, γ(t):
γ(t) = Cov(Xt, Xt+s)
Função de Autocorrelação, ρ(t):
ρ(t) =
γ(t)
γ(0)

5. Passeio Aleatório
Considere a sequência {εt, t ≥ 1}, de v.a i.i.d , com (µε, σ2
ε )
Cov(εt1 , εt2 ) = 0
A Sequência
Xt = ε1 + ε2 + . . . + εt
é chamada Passeio Aleatório. Segue-se:
E(Xt) = E (ε1 + ε2 + . . . + εt)
= E(ε1) + E(ε2) + . . . + E(εt)
= tµε
Var(Xt) = Var (ε1 + ε2 + . . . + εt)
= Var(ε1) + Var(ε2) + . . . + Var(εt)
= tσ2
ε

6. Passeio Aleatório FAC
Partindo da sequência Xt = ε1 + ε2 + . . . + εt e multiplicando por Xs
E(XtXs) = E [(ε1 + ε2 + . . . + εt) (ε1 + ε2 + . . . + εs)]
= E(ε2
1) + E(ε1ε2) + . . . + E(ε1ε3) + . . . + E(εtεs)
= E(ε2
1) + E(ε2
2) + . . . + E(ε2
min(t,s))
= σ2
ε + σ2
ε + . . . + σ2
ε
= σ2
ε min(t, s)
γ(t, s) = σ2
ε min(t, s)

7. SESC (IPAD2010)
34. Considere a sequência de ruídos brancos εt, (t ≥ 1), independentes e
identicamente distribuídos com média e µε e variância σ2
ε . Sobre a
sequência:
Xt = ε1 + ε2 + . . . + εt, (t ≥ 1)
é correto armar que
(A) o valor esperado de Xt é constante para qualquer t.
(B) a variância Xt cresce em função de t.
(C) a covariância de Xt1 e Xt2 só depende da diferença |t1 − t2|.
(D) o processo é estacionário.
(E) a variância Xt cresce em função de t2
· σ2
ε .

8. SESC (IPAD2010)
Considere
{εt, t ≥ 1}, de v.a i.i.d , com (µε, σ2
ε )
A Sequência Xt = ε1 + ε2 + . . . + εt é tal que
Primeiro Momento, E(Xt) = tµε;
Variância, Var(Xt) = tσ2
ε ;
Função de Autocovariância, γ(t, s) = σ2
ε min(t, s)

9. SESC (IPAD2010)
34. Considere a sequência de ruídos brancos εt, (t ≥ 1), independentes e
identicamente distribuídos com média e µε e variância σ2
ε . Sobre a
sequência:
Xt = ε1 + ε2 + . . . + εt, (t ≥ 1)
é correto armar que
(A) o valor esperado de Xt é constante para qualquer t.
(B) a variância Xt cresce em função de t.
(C) a covariância de Xt1 e Xt2 só depende da diferença |t1 − t2|.
(D) o processo é estacionário.
(E) a variância Xt cresce em função de t2
· σ2
ε .

10. SESC (IPAD2010)
34. Considere a sequência de ruídos brancos εt, (t ≥ 1), independentes e
identicamente distribuídos com média e µε e variância σ2
ε . Sobre a
sequência:
Xt = ε1 + ε2 + . . . + εt, (t ≥ 1)
é correto armar que
(A)
(B) a variância Xt cresce em função de t.
(C)
(D)
(E)

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