teórica completa de matemática A do secundário

Generalidades acerca de Funções 1
Generalidades acerca de
Funções
Função Real de Variável Real
Na Matemática, uma função de um conjunto para um conjunto associa
a cada elemento de X um e apenas um elemento de
. Chama-se a X o
domínio da função (tipicamente representado por
), e a o seu conjunto
de chegada.
Uma função real de variável real é uma função em que tanto o domínio como o
conjunto de chegada são subconjuntos de
, que representa o conjunto dos
números reais.
Restrição de uma Função
Dados os conjuntos e
, que representam, respetivamente, o domínio e o
conjunto de chegada de uma função
, e um conjunto
, diz-se que
a restrição de a é a função:
Tal que
.
Operações com Funções
Dadas duas funções reais de variável real e
, e o número real
:

f X Y
Y
D
f Y
R
A B
f : A → B C
f C
f∣
:
c C ∩ A ⟶ B
f∣
(x) =
c f(x), x ∈ C
f g α
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
D =
f+g D ∩
f D
g
(αf)(x) = αf(x)
D =
αf D
f
(f × g)(x) = f(x) × g(x)


é o conjunto dos números reais para os quais está bem
definido.
Função Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva
Uma função diz-se injetiva se e só se:
Ou, de forma equivalente:
💡 Exemplo:
A função
é injetiva, já que resulta da soma de duas funções
injetivas: e
.
A função
não é injetiva, já que
, por
exemplo, e
.
Uma função diz-se sobrejetiva se e só se:
Por outras palavras, o contradomínio de f (tipicamente representado por
)
coincide com o seu conjunto de chegada (o contradomínio de uma função é o
conjunto dos pontos no conjunto de chegada que são a imagem de um
elemento do domínio).
D =
f×g D ∩
f D
g
( )(x) =
g
f

g(x)
f(x)
D =

g
f D ∩
f {x ∈ D :
g g(x) =
 0}
f (x) =
r
[f(x)] , r ∈
r
Q
D
fr x [f(x)]r
f : A → B
∀
:
x,y ∈ A f(x) = f(y) ⟹ x = y
∀ :
x,y ∈ A x =
 y ⟹ f(x) =
 f(y)
f(x) = x +
3
3x
f
(x) =
1 x3
f
(x) =
2 3x
g(x) = x2
∃ :
x,y∈D
f
x =
 y ∧ f(x) = f(y)
x = 1 y = −1
f : A → B
∀ ∃ :
y ∈ B x ∈ A y = f(x)
D
f
′

💡 Exemplo:
A função
é sobrejetiva, já que o conjunto de
chegada é igual ao seu contradomínio:
.
A função
não é sobrejetiva, já que o seu conjunto de
chegada (
) é diferente do seu contradomínio (
).
Uma função é bijetiva se for, ao mesmo tempo, sobrejetiva e
injetiva.
💡 Exemplo:
A função
é bijetiva, já que é injetiva e
sobrejetiva.
A função
não é bijetiva, pois embora seja injetiva,
não é sobrejetiva.
A função
não é bijetiva, pois
embora seja sobrejetiva, não é injetiva.
Composta de Duas Funções
Dadas duas funções, e
, a função composta de com
é a função tal que:
Esta função costuma chamar-se
após
. Duas funções dizem-se permutáveis
se
.
f : R ⟶ R : f(x) = x +
3
3x
R
g : R ⟶ R : g(x) = x2
R R
0
+
f : A → B
f : R ⟶ R : f(x) = x +
3
3x
g : R ⟶ R : g(x) = ex
h : R{
+
2
π
kπ,k ∈ Z} ⟶ R : h(x) = tan x
g : A → B f : B → C f g
f ∘ g : A ⟶ B
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
f g
(f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x)

💡 Exemplo:
Se
e
:

e não são permutáveis.
Função Inversa
Dada uma função bijetiva, a função inversa de f é a função
tal que:
Ou, de forma alternativa:
Se é uma função bijetiva, então tem uma única função inversa.
f(x) = x2
g(x) = 2 sin x
(f ∘ g)(x) = 4 sin x
2
(g ∘ f)(x) = 2 sin (x )
2
f g
f : A → B f :
−1
B ⟶ A
f (f(x)) =
−1
x
f(x) = y ⇔ x = f (y)
−1
f

💡 Exemplo:
Se

,
. A inversa existe, já que
é bijetiva.
Se

, a inversa não existe já que não é
injetiva. Aplicando duas restrições diferentes a
, podemos encontrar
duas inversas diferentes:

Função Par e Ímpar
Uma função real de variável real diz-se par se e só se:
💡 Exemplo:
A função
é par, já que já que:

Uma função real de variável real f diz-se ímpar se e só se:
f : R ⟶ R :
+
f(x) = ex
f (x) =
−1
ln x f
g : R ⟶ R :
+
g(x) = x2
g
g
g
:
− R
⟶
0
−
R : g
(x) =
− x ⟹
2
g
(x) =
−
−1
−
x
g :
+ R ⟶
0
+
R : g
(x) =
+ x ⟹
2
g
(x) =
+
−1

x
f
∀ :
x ∈ D
f
−x ∈ D ∧
f f(−x) = f(x)
f(x) =
x + x + 1
4 2
f(−x) = =
(−x) + (−x) + 1
4 2 =
x + x + 1
4 2 f(x)
∀ :
x ∈ D
f
−x ∈ D ∧
f f(−x) = −f(x)

💡 Exemplo:
A função
é ímpar, já que já que

Função Limitada
Dada uma função real de variável real f, um número real M diz-se um:
majorante de f se
minorante de f se
Uma função diz-se majorada se tiver um majorante, minorada se tiver um
minorante, e limitada se tiver simultaneamente um majorante e um
minorante. Nota: uma função que tenha um majorante/minorante terá um
número infinito deles (Porquê?)
Extremos Absolutos
Dada uma função real de variável real f e um número real
, f(a) diz-se
um:
máximo absoluto de f se
mínimo absoluto de f se
💡 Exemplo:
A função
é limitada, já que já que é majorada por e
minorada por
. e são, respetivamente, o máximo e
mínimo absolutos da função
.
f(x) =
x +1
2
x
f(−x) = =
(−x) +1
2
−x
− =
x +1
2
x
−f(x)
∀ M ≥
x ∈ D
f
f(x)
∀ M ≤
x ∈ D
f
f(x)
a ∈ D
f
∀ f(a) ≥
x ∈ D
f
f(x)
∀ f(a) ≤
x ∈ D
f
f(x)
f(x) =
x +1
2
x
M =
2
1
m = −
2
1
M m
f

Extremos Relativos
Dado um número real e um número real positivo
, chama-se ao intervalo
aberto a vizinhança de raio de e representa-se por
(ou, muitas vezes,
).
Uma função real de variável real f tem:
máximo relativo em se
, e diz-se um
maximizante de f.
mínimo relativo em se
, e diz-se um
minimizante de f.
Intervalos de monotonia
Dada uma função real de variável real f e um conjunto
f é estritamente crescente em A se
f é crescente em sentido lato em A se
f é estritamente decrescente em A se
f é decrescente em sentido lato em A se

f é constante em A se
Se f satisfazer uma das condições acima no conjunto A, f diz-se monótona em
A. (Note-se que f não pode ser simultaneamente crescente, decrescente ou
constante em A).
x
0 r
(x − r, x + r)
0 0 r x
0
V
(x
)
r 0 B
(x
)
r 0
x
0 ∃ ∀ f(x
) ≥
r>0 x ∈ V
(x
)
f 0 0 f(x) x
0
x
0 ∃ ∀ f(x
) ≤
r>0 x ∈ V
(x
)
f 0 0 f(x) x
0
A ⊂ D
f
∀ :
x,y ∈ A x < y ⟹ f(x) < f(y)
∀ :
x,y ∈ A x < y ⟹ f(x) ≤ f(y)
∀ :
x,y ∈ A x < y ⟹ f(x) > f(y)
∀ :
x,y ∈ A x < y ⟹ f(x) ≥
f(y)
∀ :
x,y ∈ A f(x) = f(y)

💡 Exemplo:
A função
não tem máximo nem mínimo absolutos, já que não é
limitada. Tem um máximo relativo para e um mínimo relativo
para
.
é crescente em e em
; é decrescente em

.
f(x) = x +
3
x2
x = −
2
3
x = 0
f ] − ∞;−
]
2
3
[0;+∞[ f
[− ;0]
2
3

Gráfico de uma Função 1
Gráfico de uma Função
Definição de Gráfico
Dada uma função real de variável real
, define-se o gráfico de como o
conjunto:
Em que e são, respetivamente, o domínio e contradomínio de
.
Translações do Gráfico
, e um vetor
, a define-se
:
Com
. O gráfico de é a imagem do gráfico de pela
translação segundo o vetor
.
💡 Exemplo:
Considerar a função
e o vetor A imagem do gráfico de
por translação segundo o vetor é o gráfico da função:

;
é então a translação de segundo o vetor
.
encontra-se abaixo representada a vermelho, e a azul.
f f
Gr ( f(x) ) = {y ∈ D :
f
′
y = f(x), x ∈ D
}
f
D
f D’
f f
f = (a, b)
u g
R ⟶ R
g(x) = f(x − a) + b
D
=
g {x + a, x ∈ D
}
f g f
u
f(x) = 2x +
3
3x2
=
u (1,1). f(x)
u
g(x) = f(x − 1) + 1 = 2(x − 1) +
3
3(x − 1) +
2
1 = 2(x −
3
3x +
2
3x − 1) + 3(x −
2
2x + 1) + 1 = 2x −
3
3x +
2
2
g(x) = 2x −
3
3x +
2
2 f u
f g

Dilatações e Contrações do Gráfico
, e uma constante tal que
,
define-se a função
:
com
. O gráfico de é a imagem de por uma:
dilatação vertical de coeficiente
;
contração vertical de coeficiente
.
Pode-se definir ainda a função
:
f a a > 0
v R ⟶ R
v(x) = af(x)
D
=
v D
f g f
a,a > 1
a,0 < a < 1
h R ⟶ R
( )

com
. O gráfico de é a imagem de por uma:
contração horizontal de coeficiente
;
dilatação horizontal de coeficiente
.
💡 Exemplo:
e a constante
O gráfico da função
é a contração horizontal do gráfico de
de coeficiente
.
é a dilatação vertical do gráfico de de
coeficiente
.
Abaixo encontram-se representadas
a vermelho, a azul e a violeta. Repara que e

.
h(x) = f
(
a
x
)
D
=
h {
, x ∈
a
x
D
}
f g f
a,0 < a < 1
a,a > 1
f(x) =
x +1
2
x
a = 2.
g(x) = f( ) =
2
x
=
( ) +1
2
x 2

2
x

x +4
2
2x
f 2
h(x) = 2f(x) =
x +1
2
2x
f
2
f g h h(1) = 2f(1)
g(2) = f(1)

Reflexões do Gráfico
, define-se
:
com
. O gráfico de é a imagem do gráfico de pela reflexão de
eixo
.
Pode-se definir ainda a função
com
. O gráfico de é a imagem de pela reflexão de
eixo
.
f g R ⟶ R
g(x) = −f(x)
D =
g D
f g f
Ox
h : R ⟶ R
h(x) = f(−x)
D =
h {−x, x ∈ D
}
f h f
Oy

💡 Exemplo:

.
é a imagem de pela reflexão de eixo

.
é a imagem de pela reflexão de
eixo
.
Abaixo encontram-se representadas
a vermelho, a azul e a verde.
f(x) = x +
2
4x + 5
g(x) = f(−x) = x −
2
4x + 5 f
Oy
h(x) = −f(x) = −x −
2
4x − 5 f
Ox
f g h

Exemplos Gerais de Funções 1
Exemplos Gerais de Funções
Polinómios
Uma função polinomial de grau n é uma função f que pode ser representada
da seguinte forma:
Nota: embora a notação com o somatório não seja muito utilizada em
Matemática A, é usada de forma proeminente em qualquer outro sítio.
💡 Alguns exemplos:

Casos Particulares de Polinómios
Uma função afim é um polinómio real de grau 1, isto é, uma função da
forma:
O gráfico de uma função afim é uma reta de declive a e ordenada na origem b.
f(x) = a +
0 a
x +
1 a
x +
2
2
... + a
x ≡
n
n
a
x , a ∈
k=1
∑
n
k
k
k R
∑
f(x) = x +
2
2x + 2
g(x) = 2x + 3
h(x) = x +
5
3x +
2
1
i(x) = 4
f(x) = ax + b (a,b ∈ R)

Uma função quadrática é um polinómio real de grau 2, isto é, uma função
da forma:
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola que interseta o eixo Ox
nos pontos dados pela fórmula quadrática (se existirem) e com a abcissa do
ponto de viragem
. A função tem no máximo 2 zeros.
Uma função cúbica é um polinómio real de grau 3, isto é, uma função da
forma:
O gráfico de uma função cúbica interseta o eixo Ox em pelo menos 1 ponto, e
no máximo em 3 pontos distintos.
Um monómio de grau n com coeficiente a é um polinómio real de grau n
que toma a forma:
O gráfico de um monómio interseta o eixo Ox em exatamente um 1 ponto: a
origem do referencial.
Raízes
Dado um monómio de grau n com coeficiente 1,
:
Se n for ímpar, define-se a como a função inversa de (bem
definida já que é bijetiva).
Se n for par, define-se a como a função inversa de (bem
definida já que é bijetiva em
).
Em ambos os casos, denota-se a função como pela forma radical:
f(x) = ax +
2
bx + c (a,b,c ∈ R, a =
 0)
x =
0 −
2a
b
f(x) = ax +
3
bx +
2
cx + d (a,b,c,d ∈ R, a =
 0)
f(x) = ax , n >
n
0, a =
 0
m(x)
f : R ⟶ R m
m
f : R ⟶ R
0
+
0
+
m
m R
0
+
f(x) =
n
x

💡 Exemplo:
Seguem-se os gráficos das funções

, a vermelho, e
, a azul:
Funções Racionais
Uma função racional é uma função que, dados dois polinómios e
,
sendo diferente do polinómio nulo, se pode escrever como:
A função tem domínio
.
f(x) =
x g(x) =
3
x
p(x) q(x)
q(x)
f(x) =
q(x)
p(x)
D =
f {x ∈ R : q(x) =
 0}


Função Módulo
A função módulo é a função real de variável real definida por ramos da
seguinte forma:
A função módulo também pode ser definida como
, mas o mais
normal é vê-la denotada como
. O gráfico da função está abaixo:
f(x) =
x +1
2
x
g(x) =
x −3
3
1
h(x) =
x +4
2
x+3
i(x) =
x
4
f(x) =
{
−x,
x,
x ≤ 0
x > 0
f(x) =
x2
f(x) = ∣x∣

Introdução à Lógica Bivalente 1
Introdução à Lógica Bivalente
Proposição
Uma proposição é qualquer expressão que possa ser verdadeira ou falsa.
(Nunca os dois).
💡 Exemplo:
é uma proposição com valor verdadeiro;
é um número pequeno. Esta afirmação não é uma proposição
porque é subjetiva, 1 pode ser pequeno como pode ser grande (à
escala humana, 1 cm é pequeno, mas 1 km não).
Proposições equivalentes
Dadas duas proposições p e q, p é equivalente a q (
) se e apenas se p
e q tiverem o mesmo valor lógico.
7 > 5
1
p ⟺ q

💡 Exemplo:

q e s são proposições equivalentes
pois são ambas verdadeiras.
Operações lógicas no universo das
proposições
Negação
A negação de uma proposição p é uma nova proposição, ~p, que se obtém da
anterior antepondo-lhe as palavras “não é verdade que”. p e ~p têm valores
lógicos contrários.
Dupla negação
A dupla negação é equivalente à afirmação:
Conjunção
A conjunção de 2 proposições p e q, é uma nova proposição que é verdadeira
se e só se p e q forem simultaneamente verdadeiras.
Representa-se por e lê-se:
q : 5 < 7;
s : Os morangos s o vermelhos.
a
~
(q ⟺ s)
∼ (∼ p) ⟺ p
p ∧ q p e q

💡 Exemplo:
O João comeu arroz e batata.
A proposição só é verdadeira caso tenha de facto comido as 2 coisas.
Disjunção
A disjunção de 2 proposições p e q, é uma nova proposição que é falsa se e só
se p e q forem simultaneamente falsas.
Representa-se por e lê-se:
💡 Exemplo:
O João comeu arroz ou batata.
A proposição só é falsa caso não tenha comido nenhuma das 2
coisas.
p ∨ q p ou q

Príncipio do terceiro excluído
Uma proposição ou é verdadeira ou falsa, logo a proposição é
sempre verdadeira.
Implicação
A implicação entre p e q dá origem a uma nova proposição que só é falsa se p
for verdadeira e q for falsa. p diz-se o antecedente (ou condição suficiente) e
q o consequente (ou condição necessária).
Representa-se por e lê-se “p implica q”.
💡 Exemplo:
Se entrar na universidade, não vou repetir o exame.
Esta
proposição só é falsa se eu entrar na universidade e repetir o
exame.
Se o antecedente for falso a afirmação é sempre verdadeira.
Convenções
Para evitar o uso de parênteses convencionou-se:
a primeira operação a efetuar é a negação;
Em seguida é a conjunção e disjunção;
Por último a implicação e a equivalência.
(p ∨ ∼ p)
p ⇒ q

Propriedades da conjunção e disjunção
São comutativas e associativas:
São distributivas:
Leis de De Morgan
Negar que 2 proposições são simultaneamente verdadeiras equivale a
afirmar que pelo menos uma é falsa:
Negar que pelo menos uma de 2 proposições é verdadeira equivale a
afirmar que as 2 são simultaneamente falsas.
Relação da implicação com a disjunção
💡 Exemplo:
Se comer sopa, como arroz:
Ou não como sopa ou como arroz.
Propriedades da Implicação
Implicação contra-recíproca:
p ∧ q ⟺ q ∧ p e p ∨ q ⟺ q ∨ p
(p ∧ q) ∧ r ⟺ p ∧ (q ∧ r) e (p ∨ q) ∨ r ⟺ p ∨ (q ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ⟺ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⟺ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
∼ (p ∧ q) ⟺∼ p ∨ ∼ q
∼ (p ∨ q) ⟺∼ p ∧ ∼ q
(p ⇒ q) ⟺∼ p ∨ q

💡 Considere o exemplo de cima a partir de agora:
Se não comer arroz, não como sopa.
Propriedade transitiva da implicação:
Negação da implicação:
💡 Como sopa e não arroz.
Dupla implicação:
(p ⇒ q) ⟺ (∼ q ⇒∼ p)
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)
∼ (p ⇒ q) ⟺ p∧ ∼ q
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⟺ (p ⟺ q)

Condições e Conjuntos 1
Condições e Conjuntos
Condição
Uma condição é uma proposição p(x) dependente de uma variável x. Se x=a
ficamos com a proposição p(a).
💡 Exemplo:
é uma condição cujo valor lógico dependerá do valor de x.
Quantificador universal
Dada uma condição é uma proposição verdadeira quando
se obtém sempre um valor lógico verdadeiro qualquer que seja o valor
arbitrário de x.
💡 Exemplo:
é uma condição verdadeira para qualquer valor de x, logo é
uma proposição verdadeira.
Dado um conjunto U, a proposição é uma proposição
verdadeira quando se obtém sempre um valor lógico verdadeiro qualquer
que seja o valor de x pertencente a
.
💡 Exemplo:
é uma proposição verdadeira quando
, sendo

.
Quantificador existencial
x > 5
p(x),∀x,p(x)
x ≥
2
0
∀x ∈ U,p(x)
U
x > 4 x ∈ U U =
(4,+∞)

Dada uma condição é uma proposição verdadeira se pelo
para pelo menos um valor é verdadeira.
💡 Exemplo:
Existe pelo menos um número real maior que 1000.
Esta condição é uma proposição verdadeira.
Dado um conjunto U, a proposição é uma proposição
verdadeira se pelo para pelo menos um valor é verdadeira.
💡 Exemplo:
Existe pelo menos um número primo par.
Esta condição é uma proposição verdadeira.(2)
Classificação de condições
Condição Universal
Uma condição é universal se a proposição for verdadeira.
Uma condição é universal num conjunto se a proposição
for verdadeira.
Condição possível e impossível
Uma condição é possível se a proposição for verdadeira.
Uma condição é possível num conjunto se a proposição
for verdadeira.
Uma condição que não é possível é uma condição impossível.
Propriedades da disjunção de condições
p(x),∃x : p(x)
a, p(a)
∃x ∈ U : p(x)
a ∈ U, p(a)
p(x) ∀x,p(x)
p(x) U ∀x ∈
U,p(x)
p(x) ∃x : p(x)
p(x) U ∃x ∈ U :
p(x)

A disjunção de uma condição qualquer com uma condição possível é uma
condição possível.
A disjunção de uma condição qualquer com uma condição universal é
uma condição universal.
A disjunção de uma condição qualquer com uma condição impossível é
equivalente à primeira condição.
Propriedades da conjunção de condições
A conjunção de uma condição qualquer com uma condição universal é
equivalente à primeira condição.
A conjunção de uma condição qualquer com uma condição impossível é
uma condição impossível.
Segundas leis de Morgan
Dada uma condição p(x):
a negação da proposição é a proposição
💡 Exemplo:
Todos os alunos praticam futebol.
Existe pelo menos um aluno que não pratica futebol.
a negação da proposição é a proposição
💡 Exemplo:
Pelo menos um rapaz faz natação.
Nenhum rapaz faz natação.
∀x,p(x) ∃x : ∼ p(x)
∃x : p(x) ∀x, ∼ p(x)

A negação de uma condição universal é uma condição
impossível e vice-versa.
Dada uma condição p(x) e um conjunto U:
Conjuntos e condições
Igualdade de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, A=B se e somente se:
Condições equivalentes
Duas condições são equivalentes num conjunto se e somente se definem o
mesmo conjunto em
Interseção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A com B (
) ao
conjunto:
Reunião de Conjuntos
∼ [∀x ∈ U,p(x)] ⇔ ∃x ∈ U :∼ p(x)
∼ [∃x ∈ U : p(x)] ⇔ ∀x ∈ U, ∼ p(x)
∀x,x ∈ A ⇔ x ∈ B
U
U.
A ∩ B
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A com B (
) ao
conjunto:
Inclusão de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B (
) quando:
Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B (AB):
A ∪ B
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ⊂ B
∀x,x ∈ A ⇒ x ∈ B
{x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}

Dados dois conjuntos A e B, A=B se e somente se e

Implicação entre Condições
Dupla Implicação
Contrarrecíproca
A ⊂ B
B ⊂ A
[∀x,p(x) ⇔ q(x)] ⇔ ∀x,(p(x) ⇒ q(x)) ∧ (q(x) ⇒ p(x))
∀x,(p(x) ⇒ q(x)) ⇔ ∀x,(∼ q(x) ⇒∼ p(x))

Radicais 1
Radicais
Potências de expoente n(natural)
n ímpar:
n par:
💡 Exemplo:
Raiz índice n de a
Dado real e n ímpar chama-se a raiz de indíce n de a ao número b:
Dado real e n par chama-se a raiz de indíce n de a ao número positivo b:
💡 Exemplo:
a < b ⟹ a <
n
bn
0 ≤ a < b ⟹ 0 ≤ a <
n
bn
e
a < b ≤ 0 ⟹ a >
n
b ≥
n
0
−3 < −2 ⟹ (−3) <
3
(−2) ⟹
3
−27 < −8
−3 < −2 ⟹ (−3) >
2
(−2) ⟹
2
9 > 4
a
b =
n
a ⟹ b =
n
a
a
b =
n
(−b) =
n
a ⟹ b =
n
a
b > 0

Radicais 2
O que está dentro da raiz tem de ser sempre positivo assim como o seu
resultado.
Propriedade:
💡 Exemplo:
Operações com Radicais
Multiplicação de radicais
Potência de um Radical
-p pode ser positivo ou
negativo(mas é inteiro)
Divisão de Radicais
5 =
3
125 ⟹
=
3
125 5
2 =
4
(−2) =
4
16 ⟹
=
4
16 2
=
n
ap
;n,p,k ∈
nk
apk n > 1 e a ≥ 0
=
4
=
2
22
=
2x2
22x2
4
16
x =
n
a
n
b ,n >
n
a x b 1
(
) =
n
a p
, n >
n
ap 1
=

n
b

n
a
, n >
n

b
a
1

Radicais 3
💡 Exemplo:
Escrever na forma de um único radical

Radical de um radical
💡 Exemplo:
Racionalização de denominadores
Dada uma fração com uma raiz de índice n no denominador podemos
racionalizá-la :
Caso o denominador seja um pouco mais complexo:
x
3
5 5
2

x
=
3
5
5
2 x =
3x5
55 5x3
23 =
15
5 x 2
5 3
15
25000
=
n

p
a
np
a

=
2

6
2
1 =
2
4
6 =
4
1 2
=

n
bp
a
==
x
n
bp n
bn−p
a x
n
bn−p

b
a x
n
bn−p
=
( − c)
n
bp
a
=
( − c) x( + c)
n
bp n
bn−p
a x ( + c)
n
bn−p

b − c2
a x ( + c)
n
bn−p

Radicais 4
💡 Exemplo:
Resolver

Após esta unidade podemos resolver equações com
radicais:
Potências

5
72
14

=

5
72
14

=

x
5
72 5
75−2
14 x
5
75−2

=
7
14 x
5
73
2
5
73

Potências de expoente racional 1
Potências de expoente racional
Potência de expoente fraccionário
Potência de expoente
💡 Exemplo:
Potência de expoente
Potência de expoente racional negativo
💡 Exemplo:
Escrever na forma de potência

Propriedades das potências de expoente
racional
Multiplicação e Divisão de potências com bases iguais

n
1
a =

n
1

n
a

=
3
5 5
3
1

n
m
a =

n
m

n
am
a =
−q

aq
1

3
25
1

=

3
25
1

=
2
3
5
1
2−
3
5

Potências de expoente racional 2
Multiplicação e Divisão de potências com expoentes iguais
Potência de potência
💡 Exemplo:
Simplificar a potência:
a x a =
p q
a e a : a =
p+q p q
ap−q
a x b =
p p
(a x b) e a : b =
p p p
(a : b)p
(a ) =
p q
apxq
(2 ) x 2 =
3 2
2
1
2 x 2 =
6
2
1
2 =

2
6
2 =
3
8

Polinómios, operações e fatorizações 1
Polinómios, operações e
fatorizações
Polinómio na variável x
Dado um polinómio na sua forma reduzida de expressão:
Onde:
diz-se o termo independente
n diz-se o grau do polinómio
💡 Exemplo:

n=3,
é um polinómio de 3º grau;

;
3 é o termo independente.
Reduzir um polinómio é garantir que existam apenas termos de graus
diferentes;
Ordenar um polinómio é escrevê-lo segundo potências crescentes ou
decrescentes da variável.
Propriedade:
Um polinómio de grau n tem no máximo n zeros.
P(x)
P(x) = a
x +
0
n
a
x +
1
n−1
... + a
x +
n−1 a
n
a
n
P(x) = 2x −
3
5x + 3
P(x)
a =
0 2,a =
1 0,a =
2 −5,a =
3 3

Divisão inteira ou euclidiana de
polinómios
Tal como na divisão de números naturais, dividir um polinómio por outro

, é determinar o quociente e o resto
:
Sendo:
o polinómio-dividendo;

o polinómio-divisor;
o polinómio-quociente;
é o polinómio-resto.
💡 Exemplo:
Calcular o coeficiente e o resto da divisão do polinómio
pelo polinómio
:
A(x)
B(x) Q(x) R(x)
A(x) = B(x) x Q(x) + R(x)
A(x)
B(x)
Q(x)
R(x)
A(x) = x +
3
x −
2
3x − 3 B(x) = x + 1

A(x) divisível por B(x)
Diz -se que é divisível por se o resto da divisão inteira é 0.
💡 Exemplo:
Relativamente ao exemplo de cima,
é divisível por
.
Regra de Ruffini
A(x) B(x)
A(x) = x +
3
x −
2
3x − 3 B(x) = x + 1

A regra de Ruffini é um método rápido de dividir por quando este é
da forma
.
💡 Exemplo:
Dividir
por (
A(x) B(x)
x − α
A(x) = x −
3
2x + 5 B(x) = x − 3 α = 3)

Teorema do Resto
O resto da divisão inteira de um polinómio por é igual a
.
💡 Exemplo:
Ao dividir
por ( obtemos
Ao fazer
:
Raiz ou zero de um polinómio
P(x) x − α P(α)
A(x) = x −
3
2x + 5 B(x) = x − 3 α = 3) R(x) =
26
A(3)
A(3) = 3 −
3
2x3 + 5 = 26

Um número real é raiz ou zero de um polinómio se e somente se :
Divisibilidade de P(x)
Um polinómio é divisível por se:
Fatorização de Polinómios
Uma raiz de um polinómio tem multiplicidade k quando k é o maior
número natural para o qual é divisível por
O polinómio de grau n pode ser escrito assim da seguinte forma:
Sendo de grau n-k
Fatorizar um polinómio
Caso de grau n tenha k raízes distintas( com
multiplicidades e existe um polinómio sem raízes, então:
Com
α P(x)
P(α) = 0
P(x) x − α
P(α) = 0
α P(x)
P(x) (x − a)k
P(x)
P(x) = (x − a) Q(x)
k
Q(x)
P(x) α
,α ,...,α
)
1 2 k
n
,n
,...,n
1 2 k Q(x)
P(x) = (x − α
) (x −
1
n
1
α
) ...(x −
2
n
2
α
) Q(x)
k
n
k
n +
1 n +
2 ... + n ≤
k n

💡 Exemplo:
Fatorizar o polinómio

Sendo 2 o termo independente começamos por averiguar se os
divisores de 2 podem ser raízes de

:

, logo:
Inequações de grau superior a 2
Vamos resolver a inequação
:
Começamos por colocar os termos do mesmo lado:
Após isso fatorizamos o polinómio com os métodos já conhecidos:
B(x) = 9x −
4
9x −
3
19x +
2
x + 2
B(x)
B(−2) = 140,B(−1) = 0,B(1) = −16,B(2) = 0
x +
3
2x <
2
3x
x +
3
2x −
2
3x < 0
x(x − 1)(x + 3) < 0

Fazemos uma tabela de sinal de forma a entender melhor o
comportamento do polinómio:
Escrevemos o conjunto-solução da inequação:
S = (−∞,−3) ∪ (0,1)

Propriedades de operações entre conjuntos, cardinais e fatorial 1
Propriedades de operações
entre conjuntos, cardinais e
fatorial
Propriedades das operações com
conjuntos
Sejam U o universo e A, B e C conjuntos nele contidos.
Comutativa
Associativa
Elemento Neutro
Elemento Absorvente
Distributivas
Propriedades da inclusão de conjuntos
Dados 2 conjuntos A e B:
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∩ U = A
A ∪ Ø = A
A ∩ Ø = Ø
A ∪ U = U
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

se e somente se :
Para além disso:
se e somente se
.
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
Leis de Morgan para Conjuntos
Aconselha-se num diagrama de Venn a desenhar estes conjuntos e perceber
que realmente são equivalentes.
A ⊂ B
A ∩ B = A
e
A ∪ B = B
A ⊂ B ⊂
B A
=
A ∩ B ∪
A B
e
=
A ∪ B ∩
A B

💡 Exemplo:
Mostre que

Produto Cartesiano e Reunião de
Conjuntos
Sejam os conjuntos A = {a,b}, B = {b,c} e C={1,2}:
=

( ) ∪
A ∩ B B = U
( ) ∪
A ∩ B B =
( ∪
A ) ∪
B B =
∪
A ( ∪
B B) =
∪
A U = U
A ∪ B {a,b,c}
A × C = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}
(A ∪ B) × C = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
(A × C) ∪ (B × C) = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}

Como, pudemos verificar podemos estabelecer a propriedade:
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)

Distâncias no Plano 1
Distâncias no Plano
Referencial ortonormado
Um referencial ortonormado é um referencial ortogonal e monométrico no
plano, cuja unidade de comprimento seja comum aos 2 eixos e esteja
previamente fixada.
Um referencial de eixo Ox e Oy denomina-se por referencial xOy e possui 2
coordenadas,
, sendo a 1ª coordenada a abcissa e a 2ª a ordenada.
Distância entre 2 pontos no plano
Dados 2 pontos
(
) e
(
) a distância entre eles é representada
por
(
) e a expressão para a distância entre eles é:
💡 Exemplo:
Encontra a distância entre o ponto A(1,4) e o ponto B(-1,7).
Ponto Médio
A(a
,a
)
1 2
P
1 x
,y
1 1 P
2 x
,y
2 2
d P
,P
1 2
d(P
,P
) =
1 2
(x − x
) + (y − y
)
2 1
2
2 1
2
⁍

Dado um segmento de reta de
a
,
, o seu ponto médio
M é o ponto equidistante dos seus extremos, e é obtido pela expressão:(falta
meter imagem)
💡 Exemplo:
Determinar M, o ponto médio entre A(2,6) e B(8,-2).
Mediatriz de um segmento de reta
Dado um segmento de reta de
a
, a sua mediatriz é a reta
perpendicular ao segmento que passa pelo ponto M( ponto médio de
).
Qualquer ponto da mediatriz é equidistante aos extremos do segmento de reta
correspondente, neste caso aos pontos A e B.
A(a
,a
)
1 2 B(b
,b
)
1 2 [AB]
M = ( , )
2
a + b
1 1
2
a + b
2 2
M = (
,
) =
2
2 + 8
2
6 + (−2)
(5,2)
A(a
,a
)
1 2 B(b
,b
)
1 2
[AB]

A sua expressão pode ser encontrada pela fórmula:
💡 Exemplo:
Dado o segmento de reta [AB], com A(1,5) e B(4,7), determine a
equação da sua mediatriz:
Equação reduzida da circunferência
Sendo o centro de uma circunferência de raio r, o ponto
pertence só pode pertencer à sua circunferência se a
. Assim
conseguimos obter a sua expressão reduzida:
(x − a
) +
1
2
(y − a
) =
2
2
(x − b
) +
1
2
(y − b
)
2
2
(x − 1) +
2
(y − 5) =
2
(x − 4) +
2
(y − 7) ↔
2
x −
2
2x + 1 + y −
2
10y + 25 = x −
2
8x + 16 + y −
2
14y + 49 ↔
4y = −6x + 39 ↔ y = − x +
2
3

4
39
C(x
,y
)
1 1 P(x,y)
d(C,P) = r
(x − x
) +
1
2
(y − y
) =
1
2
r2

💡 Exemplo:
Mostre que a equação
representa a equação de uma
circunferência de centro e raio
.
x +
2
y −
2
2x + 6y + 9 = 0
C(1,−3) 1
Come
amos por representar a equa o reduzida da circunfer ncia :
c
c c
c
a
~ e
^
(x − 1) +
2
(y − (−3)) =
2
1 ↔
x −
2
2x + 1 + y −
2
6y + 9 = 1 ↔
x +
2
y −
2
2x + 6y + 9 = 0

Vetores e Coordenadas 1
Vetores e Coordenadas
Segmentos orientados, vetores e a sua
norma
Segmentos orientados equipolentes
Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma direção,
sentido e comprimento.
💡 Exemplo:
Dado um paralelogramo [ABCD] os segmentos [A,D] e [B,C] são
segmentos orientados equipolentes.
Vetor
Um vetor é caraterizado por uma direção, um sentido e um comprimento, e
podem ser:
Colineares: Se tiverem a mesma direção;
Simétricos: Se tiverem a mesma direção, comprimento e sentidos opostos
v

💡 Exemplo:
são colineares entre si;
e também são colineares entre si;
são simétricos.
Norma de um vetor
A norma de um vetor
é a medida de um segmento orientado representante
do vetor. Representa-se por
.
Operações com vetores
Soma de um ponto com um vetor
A soma de um ponto com um vetor resulta dum único ponto.
Propriedades da adição de vetores
Comutativa:
Elemento neutro:
Elemento simétrico:
, , ,
JG FM EH FC
BA ML
,
EH FC =
EH −FC
v
v
∥ ∥
P = Q + AB
+
u =
v +
v u
+
u 0 = u
+
u (− ) =
u 0

Propriedade associativa:
Diferença de dois vetores
Dados 2 vetores e existe um único vetor
, denominado
vetor diferença de e
:
Produto de um número real por um vetor
Dado um vetor e um escalar λ, ambos diferentes de 0, temos como fruto do
seu produto o vetor
:
( +
u ) +
v =
w +
u ( +
v )
w
A B =
R +
A (− )
B
A B
=
R −
A =
B +
A (− )
B
u
λu
λ =
u λ ∗ u

Este vetor tem direção igual a
, sentido igual( λ>0) ou oposto( λ<0) e

.
Propriedades:

Vetores colineares
Dado um vetor
, é colinear com se e só se:
Coordenadas de um vetor
O par ordenado designa-se por base do espaço vetorial dos vetores do
plano, é como se fosse o vetor unidade.
O vetor na base de cima é dado por e é igual a
.
Operações com vetores em coordenadas
Soma de e
:
Multiplição por escalar
:
u
=
λu λ ∗
∣ ∣
u
(λ + β) =
u λ +
u β u
(λβ) =
u λ(β )
u
λ( +
u ) =
v λ +
u λ v
v u v
=
u λ v
(
,
)
e
1 e
2
v (v
,v
)
1 2 =
v v +
1e
1 v
2e
2
(u
,u
)
u 1 2 (v
,v
)
v 1 2
+
u =
v (u
+
1 v
,u
+
1 2 v
)
2
λ
λ =
u (λu
,λu
)
1 2

Averiguar se são colineares:
Norma de um vetor:
Vetor como diferença de pontos B e A:
Soma de um ponto A com um vetor
:
=
v
1
u
1

v
2
u
2
=
u
u + u
1
2
2
2
AB
=
AB B − A = (b −
1 a
,b −
1 2 a
)
2
v
B = A + =
v (a +
1 v
,a +
1 2 v
)
2

Subconjuntos e Retas no Plano 1
Subconjuntos e Retas no Plano
Semiplanos
Uma reta contida num plano define 2 semiplanos. Estes podem ser:
Definidos por retas verticais:
Fechados:
( à esquerda) ou
( à direita);
Abertos: ou
.
Definidos por retas horizontais ou oblíquas:
Inferiores:
(aberto) ou
(fechado);
Superiores:
(aberto) ou
(fechado);
α
x ≤ a x ≥ a
x < a x > a
y < ax + b y ≤ ax + b
y > ax + b y ≥ ax + b

Círculo
Denomina-se por círculo a parte interna definida por uma circunferência,
incluíndo esta. A sua equação é:
Equações de uma reta no plano
Vetor diretor de uma reta
Uma reta tem uma direção dada pelo seu vetor diretor
.
Vetor diretor e declive
O declive de uma reta não vertical de vetor diretor é
.
Ou seja a reta admite como seu vetor diretor.
Como definir uma reta
Equação Vetorial: A equação vetorial de uma reta r que passa por A e tem
direção
é dada por:
Equação Paramétrica:
A equação Cartesiana é um pouco mais complicado:
(x − x
) +
1
2
(y − y
) ≤
1
2
r2
v
=
v (v
,v
)
1 2 m =
v1
v2
y = mx + b (1,m)
u
v
P ∈ r ↔ (x,y) = (a
,a
) +
1 2 k(v
,v
),k ∈
1 2 R
,k ∈
{
x = a
+ kv
1 1
y = a + kv
2 2
R
=
v1
x − a
1

v
2
y − a
2
ax + by + c = 0(equa o geral)
c
c
a
~
y = mx + b(equa o reduzida)
c
c
a
~

💡 Exemplo:
A reta r que contém o ponto A(2,4) e o vetor diretor
tem como equações:
Inclinação de uma reta no plano
Dada uma reta r de equação num plano
, a sua inclinação é o
ângulo à direita que esta faz com o eixo e representa-se por
:
Sendo o vetor diretor da reta r.
(−1,−2)
v
V etorial :
P ∈ r ↔ (x,y) = (2,4) + k(−1,−2),k ∈ R
Param trica :
e
ˊ
,k ∈
{
x = 2 + k(−1))
y = 4 + k(−2))
R
Cartesiana :

=
−1
x − 2

−2
y − 4
−2x + y = 0(equa o geral)
c
c
a
~
y = 2x + 0(equa o reduzida)
c
c
a
~
y = mx + b xOy
Ox α
0º ≤ α < 180º
m = =
v
1
v
2
tan(α)
(v
,v
)
v 1 2

💡 Exemplo:
Determinar a equação da reta que passa na origem e que possui
inclinação de 45º.
Relações de declives de retas perpendiculares
Dadas 2 retas r e s, perpendiculares entre si, de equações
respetivamente a relação entre os seus declives é:
💡 Exemplo:
Determine uma reta perpendicular à reta r de equação
que passe na origem:
m = arctan(45) = 1
y = x
y = m
x +
1
b
e y =
1 m
x +
2 b
2
m x m =
1 2 −1
y = 2x + 4
m = −
2
1
b = 0 (pois a reta passa na origem)
y = − x
2
1

Distâncias e Conjuntos no Espaço 1
Distâncias e Conjuntos no Espaço
Referencial ortonormado no espaço
O referencial ortonormado no espaço é definido da mesma forma como o do plano, só que agora
possui uma extra dimensão, regulada pelo eixo dos z(cota).
Coordenadas de um ponto do espaço
O Ponto no espaço é descrito por 3 coordenadas:
Abcissa:
;
Ordenada:
Cota:
Planos paralelos aos planos coordenados
Designam-se por planos coordenados, o conjunto de pontos que possuem o formato

.
Existem 3 planos coordenados:
Plano
, e um plano paralelo terá a equação:
Plano
Plano
P(P
,P
,P
)
1 2 3
P
1
P
;
2
P
.
3
P(0,y,z),P(x,0,z),P(x,y,0)
xOy
z = a ↔ P(x,y,a)
xOz
y = a ↔ P(x,a,z)
yOz
x = a ↔ P(a,y,z)

Retas paralelas aos eixos coordenados
Já as retas paralelas aos eixos coordenados terão 2 coordenadas previamente definidas.
Podem ser paralelas ao eixo:

, a reta terá como vetor diretor e equação:

, a reta terá como vetor diretor e equação:
Z, a reta terá como vetor diretor e equação:
Distância entre 2 pontos no espaço
A distância entre 2 pontos e no espaço é calculada como no plano,
apenas com a adição da terceira coordenada:
💡 Exemplo:
Encontra a distância entre o ponto A(1,4,8) e o ponto B(-1,7,1).
Plano mediador de um segmento de reta
O plano mediador do segmento de reta
(pontos
) pode ser calculado
da mesma forma que a mediatriz, mais uma vez adicionando a terceira coordenada:
Todos os pontos contidos no plano mediador são equidistantes a e
.
X (1,0,0)
v
y = a ∧ z = b
Y (0,1,0)
v
x = a ∧ z = b
(0,0,1)
v
x = a ∧ y = b
P
(x
,y
,z
)
1 1 1 1 P
(x
,y
,z
)
2 2 2 2
d(P
,P
) =
1 2
(x
− x
) + (y
− y
) + (z
− z
)
2 1
2
2 1
2
2 1
2
d(A,B) = =
(−1 − 1) + (7 − 4) + (1 − 8)
2 2 2
62
[AB] A(a
,a
,a
)eB(b
,b
,b
)
1 2 3 1 2 3
(x − a
) +
1
2
(y − a
) +
2
2
(z − a
) =
3
2
(x − b
) +
1
2
(y − b
) +
2
2
(z − b
)
3
2
A B

💡 Exemplo:
Dado o segmento de reta [AB], com A(1,5,3) e B(4,7,2), determine a equação do plano
mediador:
Superfície esférica e esfera
Mais uma vez podemos relacionar a superfície esférica com o seu equivalente no plano, a
circunferência. A esfera conterá também o interior da superfície esférica(assim como o círculo no
plano continha o interior da circunferência).
As suas equações reduzidas são dadas por:
Superfície Esférica:
Esfera:
💡 Exemplo:
Determine a equação de uma superfície esférica de centro
e raio
.
(x − 1) +
2
(y − 5) +
2
(z − 3) =
2
(x − 4) +
2
(y − 7) +
2
(z − 2) ↔
2
x −
2
2x + 1 + y −
2
10y + 25 + z −
2
6z + 9 = x −
2
8x + 16 + y −
2
14y + 49 + z −
2
4z + 4 ↔
4y + 6x − 2z = 32
(x − x
) +
1
2
(y − y
) +
1
2
(z − z
) =
1
2
r2
(x − x
) +
1
2
(y − y
) +
1
2
(z − z
) ≤
1
2
r2
C(1,−3,2) 1
Come
amos por representar a equa o reduzida da superf cie esf rica :
c
c c
c
a
~ ı
ˊ e
ˊ
(x − 1) +
2
(y − (−3)) +
2
(z − 2) =
2
1 ↔
x −
2
2x + 1 + y −
2
6y + 9 + z −
2
4z + 4 = 1 ↔
x +
2
y +
2
z −
2
2x + 6y − 4z + 13 = 0

Vetores no Espaço e Produto Escalar 1
Vetores no Espaço e Produto
Escalar
Vetores: do Plano ao Espaço
Segmentos orientados equipolentes no espaço
2 segmentos orientados são equipolentes no espaço quando são
complanares(os seus planos são paralelos) e equipolentes(mesma direção,
sentido e comprimento) num plano que os contenha.
💡 Exemplo:
2 arestas paralelas do mesmo cubo podem ser segmentos orientados
equipolentes.
Definições que se aplicam também aos vetores no espaço:
Norma de um vetor(só adicionar a 3ª coordenada à expressão);
Adição de um ponto com um vetor;
Operações de subtração de 2 pontos do espaço(resultarão de um vetor no
espaço);
Adição e subtração de vetores assim como multiplicação por escalar.
Coordenadas de um vetor no espaço
O par ordenado designa-se por base do espaço vetorial dos vetores
do plano, é como se fosse o vetor unidade.
O vetor na base de cima é dado por e é igual a

.
Produto escalar de vetores
(
,
, )
e
1 e
2 e
3
v (v
,v
,v
)
1 2 3 =
v v +
1e
1
v +
2e
2 v
3e
3

O produto escalar( ou interno) de 2 vetores e é um número representado
por e computa-se da seguinte forma:
= x
, se tiverem o mesmo sentido;
= - x
, se tiverem sentidos opostos;
💡 Exemplo:
Calcular o produto escalar de
e
.
Ângulo entre vetores
Dados dois vetores
e
, o ângulo convexo entre e é o
ângulo PVQ.
Com o auxílio do ângulo entre vetores, podemos computar
produtos escalares de vetores não colineares:
u v
⋅
u v
⋅
u v
u
v
⋅
u v
u
v
(2,2,2)
u (3,3,3)
v
⋅
u =
v
x
=
2 + 2 + 2
2 2 2 3 + 3 + 3
2 2 2 18
(
u V P) (
v V Q) u v
⋅
u =
v ×
u ×
v cos(
)
,
u v

💡 Exemplo:
Determinar o produto escalar de um vetor
cuja norma é 5 e um vetor cuja norma é 3 e cujo ângulo entre os
2 é 120º.
De forma equivalente podemos determinar o ângulo entre 2
vetores através do seu produto escalar e norma:
Vetores Perpendiculares
Dois vetores e são perpendiculares se :
se um dos vetores for nulo;
se duas retas r e s de de vetores diretores e , forem perpendiculares;
se
.
Produto escalar de vetores com coordenadas:
u v
⋅
u =
v 5 x 3 x cos(120) = 15 x − =
2
1
−
2
15
cos(
) =
,
u v
x
u v
⋅
u v
u v
u v
⋅
u =
v 0

O produto escalar de 2 vetores e também pode ser
definido através das suas coordenadas:
💡 Exemplo:
Calcular o produto escalar de
e
.(ex. igual ao de cima)
Lugares geométricos e produto escalar
Com o auxílio do produto escalar e da propriedade para vetores
perpendiculares podemos criar equações completamente novas
para a maioria dos lugares geométricos no plano e no espaço:
Mediatriz e Plano Mediador
Sejam 2 pontos distintos A e B e M o seu ponto médio a sua mediatriz ou plano
mediador podem ser expressas como:
💡 Exemplo:
Encontrar o plano mediador dos pontos A(1,2,4) e B(-1,0,8):
(u
,u
,u
)
u 1 2 3 (v
,v
,v
)
v 1 2 3
⋅
u =
v (u
,u
,u
) ⋅
1 2 3 (v
,v
,v
) =
1 2 3 u
v +
1 1 u
v +
2 2 u
v
3 3
(2,2,2)
u (3,3,3)
v
⋅
u =
v 2x3 + 2x3 + 2x3 = 18
⋅
u =
v 0
⋅
MP =
AB 0
A B 4

Circunferência e Superfície Esférica
Sejam 2 pontos A e B, a circunferência ou respetiva superfície esférica de
diâmetro pode ser obtida pela expressão:
💡 Exemplo:
Encontrar a circunferência de diâmetro [AB] sendo A(1,2) e B(-1,0):
Reta ou plano tangente a uma circunferência ou superfície
esférica
Dados uma circunferência ou superfície esférica de centro C que contém o
ponto T, a reta ou(respetivamente) o plano tangente no ponto T é dado por:
M = =
2
A + B
(
,
,
) =
2
1 − 1
2
0 + 2
2
4 + 8
(0,1,6)
=
AB B − A = (−2,−2,4)
=
MP P − M = (x,y,z) − (0,1,6) = (x,y − 1,z − 6)
⋅
MP =
AB 0 ↔ (x,y − 1,z − 6) ⋅ (−2,−2,4) ↔
−2x − 2y + 4z − 22 = 0 ↔ −x − y + 2z − 11 = 0
[AB]
⋅
AP =
BP 0
(x − 1,y − 2) ⋅ (x + 1,y) = 0
x +
2
y −
2
2y − 1 = 0
⋅
TP =
CT 0

💡 Exemplo:
Determinar as equação do plano tangente no ponto A(1,-3,1) à
superfície esférica que também contém o ponto B(-1,5,3):
Come
amos por determinar o centro :
c
c
C = =
2
A + B
(0,1,2)
=
CA A − C = (1,−4,−1)
⋅
AP =
CA 0 ↔ (x − 1,y + 3,z − 1) ⋅ (1,−4,−1) = 0
x − 4y − z − 12 = 0

Retas e Planos no Espaço 1
Retas e Planos no Espaço
Equação vetorial de uma reta no espaço
Dada uma reta r que contenha um ponto e um vetor diretor

, podemos expressar como a sua equação vetorial:
Equações cartesianas de um plano
Vetor normal a um plano
Um vetor é normal a um plano se qualquer reta que tenha como vetor
diretor seja perpendicular a
.
Vetor paralelo a um plano
Um vetor é paralelo a um plano se for o vetor diretor de uma reta
contida no plano
.
A(a
,a
,a
)
1 2 3
(v
,v
,v
)
v 1 2 3
P = A + k ,k ∈
v R
(x,y,z) = (a
,a
,a
) +
1 2 3 k(v
,v
,v
),k ∈
1 2 3 R
n α
n α
v α v
α

Equação do plano
Através do produto escalar podemos definir o plano
(que contém um ponto
e vetor normal como:
Elaborando esta expressão conseguimos uma equação cartesiana do plano:
💡 Exemplo:
Descubra a equação cartesiana do plano que passa no A(1,2,3) e tem
como vetor normal

.
Paralelismo e Perpendicularidade
Entre uma reta e um plano
Dada uma reta r de vetor diretor e um plano de vetor normal

.
Plano paralelo à reta r: Se os vetores e forem perpendiculares:
α
A(x
,y
,z
)
0 0 0 (a,b,c)
n
⋅
AP =
n 0
a(x − x
) +
0 b(y − y
) +
0 c(z − z
) =
0 0
ax + by + cz + d = 0
(1,−1,2)
n
1(x − 1) − 1(y − 2) + 2(z − 3) = 0
x − y + 2z − 5 = 0
(v
,v
,v
)
v 1 2 3 α
(a,b,c)
n
α v n
⋅
v =
n 0

Plano perpendicular à reta r: Se os vetores e forem colineares:
💡 Exemplo:
Determine o plano paralelo à reta y=(1,2,3) + k(2,-1,-3) que passa no
ponto A(4,-2,7):
Paralelismo entre planos
Dados 2 planos de vetores normais
.
Plano paralelo a
: Se os vetores forem colineares:
α v n
=
a
v
1
=
b
v
2

c
v
3
Primeiro determinamos o n
(a,b,c) ⋅ (1,−2,−3) = 0 ↔ a − 2b − 3c = 0
=
n (1,−2,−3) (por exemplo)
Depois substitu mos na equa o do plano
ı
ˊ c
c
a
~
(x − 4) − 2(y + 2) − 3(z − 7) = 0
x − 2y − 3z + 13 = 0
α e β e
u v
α β e
u v

=
u
1
v
1

=
u
2
v
2

u
3
v
3

Plano perpendicular a
: Se os vetores forem perpendiculares:
α β e
u v
⋅
v =
u 0

Resolução de Triângulos 1
Resolução de Triângulos
Razões Trigonométricas de um Ângulo Agudo
Considere o triângulo retângulo em
:
Define-se:
💡 Exemplo:
Dado um triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede
e no qual um dos ângulos internos seja de
→ O cateto adjacente a esse ângulo mede

→ O cateto oposto a esse ângulo mede

É de notar que o Teorema de Pitágoras se verifica:

[ABC] A
sin α =
BC
AB
cosα =
BC
AC
tan α =
AC
AB
2 m 30º :
2 ⋅ cos30º = 2 =
2

3

3
2 ⋅ sin 30º = 2 =
2
1
1
1 +
2
=
3
2
1 + 3 = 4 = 22

Lei dos Senos
Para qualquer triângulo
:
💡 Exemplo:
Esta relação permite mostrar que um triângulo isósceles, que tem
dois lados iguais, também tem dois ângulos iguais. Suponhamos
lados
e com ângulos opostos, respetivamente, e
.
Suponhamos ainda
, ou seja, que o triângulo é isósceles.
Então, a lei dos senos lê:

Poderá parecer que o segundo caso nos provou errados: existe um
caso em que

. No entanto, recordemos que:

Ou seja, o triângulo em que
não existe. Logo, um triângulo isósceles tem sempre
dois ângulos iguais.
[ABC]

=
BC
sin(α)

=
CA
sin(β)

AB
sin(γ)
A,B C α,β γ
A = B

=
A
sin(α)

⟺
B
sin(β)

=
A
sin(α)

⟹
A
sin(β)
α = β ∨ α = 180º − β
α =
 β
α + β + γ = 180º ⟺ 180º − β + β + γ = 180º ⟺ γ = 0
α = 180º − β

Para qualquer triângulo
:
💡 Exemplo:
Suponhamos
e
. Podemos encontrar o comprimento em
função do ângulo
, através da lei dos cossenos! A fórmula fica:

Abaixo encontra-se um gráfico desta função para

. Repara que os valores mínimo e máximo são de e
,
respetivamente. Consegues explicar porquê?
[ABC]
=
BC
2
+
AC
2
−
AB
2
2 cosα
AC AB
=
AC
2
+
AB
2
−
BC
2
2 cosβ
AB BC
=
AB
2
+
AC
2
−
BC
2
2 cosγ
AC BC
=
AB 3 =
BC 2 AC
β
=
AC ⟺
9 + 4 − 2 ⋅ 3 ⋅ 2 cosβ =
AC
13 − 12 cosβ
β ∈]0,180º[ 1 5

Ângulos Generalizados, Fórmulas Trigonométricas 1
Ângulos Generalizados,
Fórmulas Trigonométricas
Ângulos Generalizados
Dado e
, define-se o ângulo generalizado como o par
ordenado que satisfaz:
se
se
α ∈ [−360º,360º] n ∈ N
(α,n)
n ≥ 0, α ∈ [0º,360º]
n ≤ 0, α ∈ [−360º,0º]

💡 Exemplos:
Para encontrar o ângulo generalizado

, associado a um ângulo
, efetuam-se os seguintes passos:
→ Identificar o sinal do ângulo,

;
→ Efetuar a divisão inteira do ângulo
por
;
→ Obter

.
Seguem-se dois exemplos significativos.
→ Encontrar o ângulo generalizado associado a

:
com resto
Logo, o ângulo generalizado é o par ordenado

.
→ Encontrar o ângulo generalizado associado a

, com resto

Logo, o ângulo generalizado é o par ordenado

.
Radiano
(α,n) θ
σ = ±1
θ σ ⋅ 360º
θ = n ⋅ 360º + α
θ =
1 540º
n = 540/360 = 1, α = 180
(180º,1)
θ
=
2 −960º
−n = 960/360 = 2 ⟺ n = −2 −α = 240º ⟺ α =
−240º
(−240º,−2)

Um radiano é uma medida da amplitude de um ângulo, e define-se 1 radiano
como a amplitude de um ângulo que, em qualquer circunferência, define um
arco de comprimento igual ao raio.

💡 Exemplos:
→ Converter
para radianos:

→ Converter
para graus:

Redução ao 1º Quadrante
O seno, cosseno e tangente de qualquer ângulo pode ser reduzido ao valor da
função para um ângulo entre e
:
π rad = 180º 2π rad = 360º rad =
2
π
90º
240º
240º = 240 ⋅ rad =
180
π
rad
3
4π
rad
6
5π
rad =
6
5π
⋅
6
5π
º =
π
180
150º
0
2
π


Ângulos que Diferem por
O seno e o cosseno podem ser convertidos facilmente um no outro, quando os
ângulos a que se pretende aplicar cada função diferem por
:

Identidade Fundamental da Trigonometria
Existem 3 formulações principais da identidade fundamental da trigonometria:

Fórmulas da Soma e da Diferença

Fórmulas da Duplicação
sin (π − α) = sin (α)
sin (π + α) = − sin (α)
sin (−α) = − sin (α)
tan (π − α) = − tan (α)
tan (π + α) = tan (α)
tan (−α) = − tan (α)
cos(π − α) = − cos(α)
cos(π + α) = − cos(α)
cos(−α) = cos(α)

2
π

2
π
sin ( − α) =
2
π
cos(α)
sin ( + α) =
2
π
cos(α)
cos( − α) =
2
π
sin (α)
cos( + α) =
2
π
− sin (α)
sin (x) +
2
cos (x) =
2
1
1 + tan (x) =
2

cos (x)
2
1
1 + =
tan (x)
2
1

sin (x)
2
1
cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin (a)sin (b)
cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin (a)sin (b)
sin (a + b) = sin (a)cos(b) + sin (b)cos(a)
sin (a − b) = sin (a)cos(b) − sin (b)cos(a)


cos(2a) = cos (a) −
2
sin (a)
2
sin (2a) = 2 sin (a)cos(a)

A Circunferência Trigonométrica 1
A Circunferência
Trigonométrica
A Circunferência Trigonométrica é um objeto matemático útil para o cálculo do
seno, cosseno e tangente de ângulos que não se encontram no intervalo
,
e define-se como o conjunto:
Seno
Dado um ângulo
, desenhar uma semirreta com inclinação
, que passe na
origem
[0, ]
2
π
S
=
1 {(x,y) ∈ R :
2
x +
2
y =
2
1}
θ θ

Encontrar o ponto onde a reta intersecta a circunferência
trigonométrica
💡 Exemplo:
No esboço acima, o ângulo que a reta verde faz com o semieixo real
positivo é de

. É fácil verificar que a reta verde cruza num ponto com
ordenada
.
Logo,

Cosseno
P = (c,s)
sin (θ) = s

6
π
S
1
s = 1/2
sin =
6
π

2
1

Dado um ângulo
, que passe na
origem
Encontrar o ponto onde a reta intersecta a circunferência
trigonométrica
θ θ
P = (c,s)
cos(θ) = c

💡 Exemplo:
positivo é de

. É fácil verificar que a reta verde cruza num ponto com abcissa

.
Logo,

Tangente

6
π
S
1
c =
/2
3
cos
=
6
π

2

3

Dado um ângulo
, que passe na
origem
Desenhar a reta
Encontrar o ponto onde as duas retas se intersectam
💡 Exemplo:
positivo é de

. É possível verificar que a reta verde cruza a reta de equação
num ponto com ordenada
.
Logo,

θ θ
x = 1
P = (1,t)
tan (θ) = t

6
π
x =
1 t =
/3
3
tan
=
6
π

3

3

Equações e Inequações Trigonométricas 1
Equações e Inequações
Trigonométricas
Equações Trigonométricas
Uma equação trigonométrica é uma equação na qual a variável de interesse é o
argumento de uma função trigonométrica. As equações trigonométricas podem
ser bastante complexas; no entanto, é (quase) sempre possível reduzi-las a
uma forma simples.
Tipo
Para qualquer
, uma equação do tipo tem como soluções:
Os seguintes casos particulares são de especial interesse:

sinx = sinα
α ∈ R sin x = sin α
x = α + 2kπ ∨ x = −α + (2k + 1)π, k ∈ Z
sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
sin x = 1 ⇔ x = +
2
π
k2π, k ∈ Z
sin x = −1 ⇔ x = +
2
3π
k2π, k ∈ Z

💡 Exemplo:

Nas soluções finais,
não pode ser negativo para que o argumento da raíz quadrada
também não o seja.
Tipo
Para qualquer
Os seguintes casos particulares são de especial interesse:

sin x =
2
⟺
2

2
x =
2
+
4
π
k2π ∨ x =
2
+
4
3π
k2π,k ∈ Z ⟺
⟺ x = ± ∨
+ k2π
4
π
x = ±
,k ∈
+ k2π
4
3π
N
0
k
cosx = cosα
α ∈ R cosx = cosα
x = α + k2π ∨ x = −α + k2π, k ∈ Z
cosx = 0 ⇔ x = +
2
π
kπ, k ∈ Z
cosx = 1 ⇔ x = 2kπ, k ∈ Z
cosx = −1 ⇔ x = (2k + 1)π, k ∈ Z

💡 Exemplo:

Com este exemplo, percebemos que as equações podem, muitas
vezes, não parecer ser simples, mas o princípio de resolução é quase
sempre o mesmo.
Tipo
Para qualquer
Apenas o seguinte caso tem especial interesse:

💡 Exemplo:

Este exemplo leva-nos para o próximo subcapítulo.
Exemplos menos elementares
cos x =
2
cosx ⟺
2

3
cosx = 0 ∨ cosx = ⟺
2

3
⟺ x = +
2
π
kπ ∨ x = π/6 + k2π ∨ x = −π/6 + k2π,k ∈ Z
tanx = tanα
α ∈ R tan x = tan α
x = α + kπ, k ∈ Z
tan x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
sin (x) =
2
3 cos (x) ⟺
2

=
cos x
2
sin x
2
3 ⟺ tan x =
2
3 ⟺ tan x =
±
3
⟺ x = +
3
π
kπ ∨ x = − +
3
π
kπ,k ∈ Z

Quando a equação não está numa das formas acima, podem ser utilizadas as
propriedades das funções trigonométricas para se reduzir a um dos casos
mais simples. Segue-se uma lista das propriedades mais úteis para resolução
de equações trigonométricas, acompanhadas de exemplos significativos:

sin x +
2
cos x =
2
1
tan x =
cos x
sin x
sin(x + ) =
2
π
cosx
sin 2x = 2 sin x cosx
cos2x = cos x −
2
sin x
2

💡 Exemplo:

,
onde efetuámos a substituição

.
Resolvemos o polinómio da forma habitual: adivinhando soluções
inteiras de módulo reduzido. Acontece que
é solução da equação, como podes confirmar rapidamente.
Factorizando então o polinómio:

Acontece também que a segunda equação não tem zeros reais, logo,
as únicas soluções são da forma:

Inequações Trigonométricas
Inequações trigonométricas consistem em inequações nas quais a variável de
interesse se encontra no argumento de uma função trigonométrica. Para
resolver uma inequação trigonométrica, devem ser seguidos os seguintes
passos:
Escrever a equação trigonométrica associada
Resolver a referida equação
Determinar o intervalo de solução da inequação, com recurso à
circunferência trigonométrica
sin x cos2x = 1 ⟺ sin x(cos x −
2
sin x) =
2
1 ⟺ sin x(1 −
2 sin x) =
2
1
⟺ 2 sin x −
3
sin x + 1 = 0 ⟺ 2y −
3
y + 1 = 0
y = sin x
y = −1
2y −
3
y + 1 = 0 ⟺ (y + 1)(2y −
2
2y + 1) = 0 ⟺ y = −1 ∨
y −
2
y + =
2
1
0
y = −1 ⟺ sin x = −1 ⟺ x =
+
2
3π
k2π,k ∈ Z

💡 Exemplo:
Voltemos duas equações acima, e modifiquemos ligeiramente a
expressão. Além disso, procuremos apenas soluções no intervalo

:

Do exercício anterior, já sabemos as soluções para a igualdade. Na
figura abaixo, podemos ver como utilizar a circunferência
trigonométrica para encontrar a solução da inequação, que está
assinalada a laranja:

Nota: não esquecer que, embora a tangente não admita argumentos
como e
, é importante lembrar que a equação original admite.
[0,2π[
sin (x) >
2
3 cos (x) ⟺
2
>
cos x
2
sin x
2
3 ⟺ tan x >
2
3 ⟺
⟺ tan x >
∨
3 tan x < −
3
S =] , [ ∪ ] , [
3
π
3
2π
3
4π
3
5π

2
π
2
3π

Funções Trigonométricas 1
Funções Trigonométricas
Funções Trigonométricas e os seus
Gráficos
Função Seno
A função seno é uma função real de variável real, que a cada valor de
associa o valor
:

A função seno é contínua e infinitamente diferenciável (ou seja, é
) em

(a função seno é
periódica)
(a função seno é ímpar)
Os limites não existem
A função seno tem máximos absolutos para
A função seno tem mínimos absolutos para
A função seno tem zeros para
Função Cosseno
x
sin (x)
D =
f R
D =
f
′
[−1,1]
C∞
R
sin(x + 2π) = sin(x),∀
x ∈ R 2π−
sin (−x) = − sin (x)
lim sin (x)
x⟶±∞
x = +
2
π
k2π, k ∈ Z
x = +
2
3π
k2π, k ∈ Z
x = kπ, k ∈ Z

A função cosseno é uma função real de variável real, que a cada valor de
associa o valor
:

A função cosseno é contínua e infinitamente diferenciável (ou seja, é
)
em
(a função cosseno é
periódica)
A função seno tem máximos absolutos para
A função seno tem mínimos absolutos para
Função Tangente
A função tangente é uma função real de variável real, que a cada valor de
associa o valor
:
x
cos(x)
D =
f R
D =
f
′
[−1,1]
C∞
R
cos(x + 2π) = cos(x),∀
x ∈ R 2π−
cos(−x) = cos(x)
lim
cos(x)
x⟶±∞
x = k2π, k ∈ Z
x = π + k2π, k ∈ Z
x = +
2
π
k2π, k ∈ Z
x
tan (x)


A função tangente é contínua e infinitamente diferenciável (ou seja, é
)
no seu domínio
(a função tangente é
periódica)
Se
, então
Derivadas das funções trigonométricas
Seno:
Cosseno:
D =
f R { +
2
π
k2π,k ∈ Z}
D =
f
′
R
C∞
tan(x + π) = tan(x),∀
x ∈ R π−
tan (−x) = − tan (x)
lim tan (x)
x⟶±∞
a ∈
/ D
f lim tan (x) =
x⟶a± ∓∞
x = kπ, k ∈ Z
(sin x) =
′
cosx
(sin u) =
′
u cosu
′

Tangente:
💡 Exemplo:
Calcular a derivada de

Limite notável
(cosx) =
′
− sin x
(cosu) =
′
−u sin u
′
(tan x) =
′

cos x
2
1
(tan u) =
′

cos u
2
u′
cos(−2x )
2
(cos(−2x )) =
2 ′
−(−2x ) sin(−2x )
2 ′ 2
4x sin(−2x )
2
=
x
sin x
1

Sucessões de Números Reais 1
Sucessões de Números Reais
Sucessões Reais
A uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais,
, e conjunto
de chegada
, chama-se uma sucessão real. Uma sucessão denota-se
usualmente por
, também chamado o termo geral da sucessão.
💡 Exemplo:
Consideremos a sucessão de termo geral

. Os primeiros termos da sucessão são então

…
Monotonia de uma Sucessão Real
Uma sucessão de termo geral diz-se crescente (em sentido lato) se e só
se:

Uma sucessão de termo geral diz-se decrescente (em sentido lato) se e
só se:

Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou decrescente
💡 Exemplo:
A sucessão de termo geral
é monótona. Mais concretamente, é crescente, já que

.
N
R u(n)
u
n
u : N ⟶ R
u =
n n +
2
1 u =
1
2,u =
2 5,u =
3 10
u
n
∀ :
n ∈ N u −
n+1 u >
n (≥) 0
u
n
∀ :
n ∈ N u −
n+1 u <
n (≤) 0
u =
n n +
2
1
u −
n+1 u =
n (n + 1) +
2
1 − n −
2
1 = 2n + 1 > 0

Sucessão Real Limitada
Dada uma sucessão real
, esta diz-se:
majorada se
minorada se
Uma sucessão diz-se limitada se for simultaneamente majorada e minorada.
💡 Exemplo:
é limitada. Como todos os termos valem ou
, para
par e ímpar, respetivamente, a sucessão é majorada por e
minorada por
.
Sucessão Definida por Recorrência
Dada uma função e
, existe uma única sucessão tal
que:
A função e a constante definem uma sucessão por recorrência.
u
n
∃
, ∀ :
M ∈ R n ∈ N u <
n M
∃
, ∀
:
m ∈ R n ∈ N u
>
n m
v =
n (−1)n
1 −1 n
M = 1
m = −1
f : R ⟶ R k ∈ R u
n

{
u = k
1
u = f(u
, n),
n+1 n ∀ n ∈ N
f k

💡 Exemplo:
Uma sucessão definida por recorrência pode ter mais do que um
termo inicial. Um exemplo disso é a sucessão de Fibonacci, definida
da seguinte forma:
A sucessão dos elementos é
Princípio de Indução Matemática
Dada uma condição
, a proposição é verdadeira se:
é verdadeira

Chama-se a a hipótese de indução.

⎩
⎨
⎧f
= 0
1
f = 1
2
f = f + f
n n−1 n−2
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...
P(n) {P(n),∀
}
n ∈N
P(1)
P(n) ⟹ P(n + 1), ∀ n ∈ N
P(n)

💡 Exemplo:
Pode-se provar por indução que

.
É imediato que a proposição é válida para

, já que
. Por isso, só é preciso provar
que se a proposição é válida para
, é válida para
:

Progressão Aritmética
Dadas constantes reais e
, chama-se progressão aritmética de termo inicial
e razão à sucessão tal que:
Uma progressão aritmética tem a propriedade de que
, ou
seja, a diferença entre termos consecutivos é constante.
O termo geral de uma progressão aritmética de termo inicial e razão
,

:
A soma dos N primeiros termos de uma progressão aritmética é:

k =
∑k=1
n

2
n(n+1)
n = 1 k =
∑k=1
1
1 =
2
1(1+1)
n n + 1
k =
∑k=1
n

⟺
2
n(n+1)

(k) +
∑k=1
n
n + 1 =
+
2
n(n+1)
n + 1 ⟺
k =
∑k=1
n+1

+
2
n(n+1)

⟺
2
2(n+1)
k =
∑k=1
n+1

=
2
(n+2)(n+1)
□
2
(n+1)[(n+1)+1]
r a
a r u
n

{
u = a
1
u = u + r,
n+1 n ∀ n ∈ N
u
−
n+1 u
=
n r
a r u
n
u
=
n a + (n − 1) × r
u ≡
n=1
∑
N
n S =
N
×
2
(u + u
)
1 N
N

💡 Exemplo:
é aritmética de razão
, já que

.
A mesma sucessão pode ser definida por recorrência:
Progressão Geométrica
Dadas constantes reais e
, chama-se progressão geométrica de termo
inicial e razão à sucessão tal que:
Uma progressão geométrica tem a propriedade de que
, ou seja, a
razão entre termos consecutivos é constante.
O termo geral de uma progressão geométrica de termo inicial e razão
,

:
A soma dos N primeiros termos de uma progressão geométrica (de razão

) é:
a =
n 4n + 2 4 a −
n+1 a =
n
4(n + 1) + 2 − 4n − 2 = 4

{
a = 6
1
a = 4 + a
n+1 n
r a
a r u
n

{
u
= a
1
u
= u
× r,
n+1 n ∀ n ∈ N
=
u
n
u
n+1
r
a r
u
n
u =
n a × rn−1
r =
 1
u ≡
n=1
∑
N
n S =
N u ×
1
1 − r
1 − rN

💡 Exemplo:
é geométrica de razão
, já que
.
A mesma sucessão pode ser definida por recorrência:
g =
n 4n+2
4 =
a
n
a
n+1

4n+2
4n+3
= 4

{
a = 64
1
a = 4 ⋅ a
n+1 n

Limites de Sucessões 1
Limites de Sucessões
Definição de Limite de uma Sucessão
Dada uma sucessão real
, o número real chama-se o limite de se e só
se:
Se o limite L existir, diz-se que é convergente, e pode-se denotar o limite
de diversas formas:
Teoremas sobre Sucessões Convergentes
O limite de uma sucessão convergente é único
Qualquer sucessão convergente é limitada
Qualquer sucessão crescente e majorada é convergente
Qualquer sucessão decrescente e minorada é convergente
Se uma sucessão é convergente com limite L, qualquer subsucessão de
também converge para L
Dada uma sucessão limitada, e uma sucessão
, então

u
n L u
n
∀
,∃ :
ϵ > 0 N ∈ N ∀ :
n ∈ N n ≥ N ⟹ ∣u −
n L∣ < ϵ
u
n
u
=
n⟶∞
lim n L, lim u
=
n L, u
⟶
n L
u
n
u
n
u
n v ⟶
n 0
lim(u ×
n v
) =
n 0

-
já que é limitada e
.
- A sucessão
é decrescente e minorada, logo, é convergente.
Limites Infinitos
Uma sucessão pode não ser convergente. No entanto, existem duas situações
em que, ainda assim, se pode dizer algo sobre o seu comportamento quando

:
Uma sucessão tem limite (
) se:
Uma sucessão tem limite (
) se:

.

.
Operações sobre Limites
Dadas duas sucessões convergentes e e
:

lim
=
n
(−1)n
0, (−1)n
⟶
n
1
0

n
1
n ⟶ ∞
u
n +∞ lim u =
n +∞
∀
,∃ :
L > 0 N ∈ N ∀ :
n ∈ N n ≥ N ⟹ u >
n L
u
n −∞ lim u =
n −∞
∀
,∃ :
L < 0 N ∈ N ∀ :
n ∈ N n ≥ N ⟹ u <
n L
lim n + 1 =
2
+∞
lim n − n =
2
−∞
u
n v
n p ∈ Q
lim(u +
n v
) =
n lim u +
n lim v
n
lim(u
×
n v
) =
n lim u
×
n lim v
n

se

, se e desde que exista
Formas Indeterminadas
Existem 7 tipos diferentes de indeterminações, ou formas indeterminadas, que
dificultam o cálculo de limites. São elas:

lim( ) =
v
n
u
n
,
lim v
n
lim u
n
lim v =
n  0
lim(u
) =
n
p
(lim u
)
n
p
lim u =
n  0 (lim u
)
n
p

0
0

∞
∞
0 ⋅ ∞
∞ − ∞
∞0
1∞
00

💡 Alguns exemplos (deixados como exercício para resolver):

.

Alguns Exemplos de Limites
Dada uma sucessão geométrica
,
:

Dado um número real
:

:
0
0
lim
1/n
2−n
:
∞
∞
lim
n−1
n +1
2
0 ⋅ ∞ : lim ( − 1) ⋅ n
n
2 2
∞ − ∞ : lim 2 − n
n 2
∞ :
0
lim n1/n
1 :
∞
lim (2 + 1)
−n n
0 :
0 lim (1/n)1/n
a =
n np
p ∈ R
lim a
=
n +∞, p > 0
lim a =
n 1, p = 0
lim a =
n 0, p < 0
a > 0
lim =
n
a 1
lim a =
n
+∞, a > 1
lim a =
n
0, 0 ≤ a < 1

A sucessão diverge, se
Dadas duas sucessões e

, com
:

, em que representa o sinal de

Comparação de Sucessões
Sejam e duas sucessões distintas:
Se, a partir de certa ordem,
, então
Se
, e a partir de certa ordem,
, então
Se
, e a partir de certa ordem,
, então
Se e tem o mesmo limite
, e é uma sucessão tal que, a partir de
certa ordem,
, então
an
a < 0
u =
n a +
0 a
n +
1 ... + a
n ≡
p
p
a
n
∑k=0
p
k
k
v =
n
b +
0 b
n +
1 ... + b
n ≡
q
q
b
n
∑k=0
q
k
k
p,n ∈ N
lim u =
n lim a
n =
p
p
sgn(a
) ×
p ∞ sgn(a
)
p
a
p
lim
=
v
n
u
n
lim
=
b
n
q
q
a
n
p
p

lim n
b
q
a
p p−q
u
n v
n
u ≤
n v
n lim u ≤
n lim v
n
lim u
=
n +∞ v
≥
n u
n lim v
=
n +∞
lim u =
n −∞ v ≤
n u
n lim v =
n −∞
u
n v
n L w
n
u ≤
n w ≤
n v
n lim w =
n L

💡 Exemplo:

Como

, pelo Teorema das Sucessões Enquadradas,

.
lim :
n
2 sin n+3 cos n
−2 ≤ 2 sin n ≤ 2; −3 ≤ cosn ≤ 3 ⟹
⟹ −2 − 3 ≤ 2 sin n + 3 cosn ≤ 2 + 3 ⟺ −5 ≤ 2 sin n +
3 cosn ≤ 5 ⟹
⟹ −
≤
n
5

≤
n
2 sin n+3 cos n

n
5
lim − =
n
5
lim =
n
5
0
lim =
n
2 sin n+3 cos n
0

Derivadas e Aplicações 1
Derivadas e Aplicações
Taxa Média de Variação
Seja uma função real de variável real, e dois pontos distintos.
Chama-se taxa média de variação de entre e à razão:
A taxa média de variação de entre e é o declive da reta que interseta o
gráfico de nos pontos e
.
💡 Exemplo:
Consideremos a função

. A taxa média de variação de entre e é:

Derivada de uma Função num Ponto
Seja uma função real de variável real, e
. Chama-se derivada de
no ponto
, e representa-se por ao limite:
Se existir e for finito, diz-se que é diferenciável no ponto
Pode-se interpretar a derivada de como a taxa média de variação, no
limite em que
é o declive da reta tangente a no ponto
, e a equação dessa reta
é dada por:
f a,b ∈ D
f
f a b
t.m.v.(f,a,b) =
b − a
f(b) − f(a)
f a b
f (a,f(a)) (b,f(b))
f(x) = sin(x) f 0
2
π
t.m.v.(sin x,0,
) =
2
π

=
−0
2
π
sin −sin 0
2
π

=

2
π
1

π
2
f x ∈
0 D
f f
x
0 f (x
)
′
0
f (x
) =
′
0 =
x⟶x
0
lim
x − x
0
f(x) − f(x
)
0

h⟶0
lim
h
f(x + h) − f(x
)
0 0
f (x
)
′
0 f x
0
f
a ⟶ b
f (x
)
′
0 f x
0

Se é diferenciável em
, então é contínua em
, de outro modo o limite
divergiria
Aos pontos tais que
, chamam-se pontos críticos de
💡 Exemplo:

. A derivada de em
,
, é dada pelo
limite:

A reta tangente ao gráfico de
em tem, portanto, equação:

Função Derivada
, a sua função derivada tem
domínio é diferenciável em
, e a cada faz
corresponder o valor
.
Se a função for contínua, diz-se que a função é continuamente
diferenciável, ou de classe
, e escreve-se
.
y = f(x
) +
0 f (x
)(x −
′
0 x
)
0
f x
0 x
0
x ∈ D
f f (x) =
′
0 f
f(x) = x +
2
x + 1 f x = 1 f (1)
′
lim
=
h⟶0 h
f(1+h)−f(1)
lim =
h⟶0 h
[(1+h) +1+h+1]−3
2
lim =
h⟶0 h
h +3h
2
= lim
h + 3 =
h⟶0 3
f x = 1
y = f(1) + f (1)(x −
′
1) = 3 + 3(x − 1) = 3x ⟺ y = 3x
f(x) f (x)
′
D =
f′ {x ∈ D :
f f x} x ∈ D
f′
f (x)
′
f (x)
′
f
C1
f ∈ C1

💡 Exemplo:

. A função derivada de
,
, obtém-se através
do limite:

Portanto,

. A reta tangente ao gráfico de em cada ponto
tem, nesse caso, equação:

Abaixo encontra-se uma animação com o gráfico da reta tangente em
função de
(representado por
).
f(x) = x +
2
x + 1 f f (x)
′
lim =
h⟶0 h
f(x+h)−f(x)
lim
=
h⟶0 h
[(x+h) +x+h+1]−x −x−1
2 2
= lim =
h⟶0 h
x +2hx+h +x+h+1−x −x−1
2 2 2
lim =
h⟶0 h
2hx+h +h
2
lim 2x + h + 1 =
h⟶0
= 2x + 1
f (x) =
′
2x + 1 f x
0
y = f(x
) +
0 f (x
)(x −
′
0 x
) =
0 x +
0
2
x +
0 1 + (2x +
0 1)(x −
x
) ⟹
0
⟹ y = x +
0
2
x +
0 1 + 2x
x +
0 x − 2x −
0
2
x ⟹
0 y = (1 +
2x
)x +
0 (1 − x
)
0
2
x
0 a

Regras de Derivação
Derivadas de referência

Regras de derivação

Nota: a última regra chama-se Regra da Composta. Muitas das regras de
derivação nos formulários usuais de Matemática A são aplicações diretas
desta regra, substituindo por uma função concreta.
f(x) = k ⟹ f (x) =
′
0
f(x) = x ⟹ f (x) =
′
1
f(x) = mx + b ⟹ f (x) =
′
m
f(x) = ax +
2
bx + c ⟹ f (x) =
′
2ax + b
f(x) = ⟹
x
1
f (x) =
′
−
x2
1
f(x) =
⟹
x f (x) =
′
−
2
x
1
f(x) = x ⟹
n
f (x) =
′
nx , n ∈
n−1
R{0}
(f + g) (x) =
′
f (x) +
′
g (x)
′
(f × g) (x) =
′
f (x)g(x) +
′
f(x)g (x)
′
( ) (x) =
g
f ′

g (x)
2
f (x)g(x)−f(x)g (x)
′ ′
(f ∘ g) (x) =
′
g (x) ⋅
′
f (g(x))
′
f

💡 Exemplos:
→ Tentemos calcular a derivada da função

:

Tivemos de utilizar as regras da composta e da potência.
→ Tentemos agora calcular a derivada da função

Tivemos de utilizar a regra do produto.
Teorema de Lagrange
Seja uma função diferenciável no intervalo aberto
, e contínua no
intervalo fechado
. Então:
Monotonia de uma Função Diferenciável
Seja uma função real de variável real contínua no intervalo fechado e
diferenciável no intervalo aberto
. Então:
f(x) =

1+x2
1
f (x) =
′
( ) =

1+x2
1 ′
((1 + x ) ) =
2 −
2
1
′
− ⋅
2
1
(1 + x ) (1 +
2 −
2
3
x ) =
2 ′
− ⋅
2
1

(1+x )
2
2
3
2x
f (x) =
′
−
(1+x )
2
2
3
x
f(x) = (x +
2
1)
x
f (x) =
′
((x +
2
1)
) =
x ′
(x +
2
1) +
′
x (x +
2
1)(
) =
x ′
2x +
x
2
x
x +1
2
f (a,b)
[a,b]
∃ :
c∈(a,b) f (c) =
′

b − a
f(b) − f(a)
f [a,b]
(a,b)

é estritamente crescente em
é estritamente decrescente em
é constante em
Determinação de extremos
Se for diferenciável em
, e for um extremo local de
, então

.
Se for crescente em e decrescente em
, então tem um
máximo relativo no ponto
Se for decrescente em e crescente em
, então tem um
mínimo relativo no ponto
∀
,f (x) >
x∈(a,b)
′
0 ⟹ f [a,b]
∀
,f (x) <
x∈(a,b)
′
0 ⟹ f [a,b]
∀
,f (x) =
x∈(a,b)
′
0 ⟹ f [a,b]
f x ∈
0 (a,b) x
0 f
f (x
) =
′
0 0
f [a,x
]
0 [x
,b]
0 f
x
0
f [a,x
]
0 [x
,b]
0 f
x
0

💡 Exemplos:
→ Podemos estudar a monotonia da função

, cujo zero estimámos no capítulo anterior.

Como a derivada de
é sempre positiva, a função é estritamente crescente em
. Em
particular, isto implica que a função só pode ter um zero (porquê?).
Logo, no capítulo anterior, conseguimos encontrar todos os zeros de
usando apenas o Teorema de Bolzano.
→ Podemos também estudar a monotonia da função

, conhecida em estatística como a função de Cauchy.

Como o denominador nunca se anula, a função
tem apenas um zero em
, portanto tem um ponto
crítico em
. Para verificar que este ponto é, de facto, um
extremo, temos de estudar o sinal de
.
Como o denominador é sempre positivo, é fácil mostrar que
se e vice-versa, logo, a função é crescente em
e decrescente em
. Por esse motivo, o ponto crítico em é
um máximo de
.
Derivadas de Ordem Superior
Definição
Seja uma função real de variável real tal que é uma função diferenciável.
Então:
f(x) = x +
5
x + 1
f (x) =
′
5x +
4
1 > 0,∀
x ∈ R
f R
f(x)
f(x) =
x +1
2
1
f (x) =
′
(
) =
x +1
2
1 ′
((x +
2
1) ) =
−1 ′
−2x(x +
2
1) =
−2
−
(x +1)
2 2
2x
f (x)
′
x = 0 f(x)
x = 0
f (x)
′
f (x) >
′
0, x < 0 R−
R+
x = 0
f
f f′

A função diz-se 2 vezes diferenciável, e à função derivada de chama-
se a 2ª derivada, ou derivada de ordem 2, de
, e escreve-se
.
O processo consecutivo de diferenciação pode ser repetido N vezes, desde
que a derivada de ordem N-1 exista e seja diferenciável. Nesse caso,
chama-se à função que resulta de N diferenciações de consecutivas a
sua derivada de ordem N, e escreve-se
.
Se a derivada de ordem N de existir e for contínua, a função diz-se de
classe
.
Concavidades
Seja uma função duas vezes diferenciável definida num intervalo aberto

. Então:
Se o
, então tem a concavidade voltada para cima
em
Se o
, então tem a concavidade voltada para baixo
em
Pontos de Inflexão
Seja uma função contínua. Diz-se que tem um ponto de inflexão em
se existem intervalos não vazios e
, contidos em
, e tais que
o sentido da concavidade é oposto nos dois intervalos.
Se existir
, então
Extremos locais
Seja uma função duas vezes diferenciável definida num intervalo aberto

, e um ponto crítico de
. Então:
Se
, a função tem um mínimo local em
Se
, a função tem um máximo local em
Se
, é necessário recorrer ao estudo do sinal de para tirar
conclusões
f f′
f (f ) ≡
′ ′
f′′
f
f(n)
f f
Cn
f
(a,b)
∀ :
x ∈ (a,b) f (x) >
′′
0 f
(a,b)
∀ :
x ∈ (a,b) f (x) <
′′
0 f
(a,b)
f f c ∈
D
f (a,c) (c,b) D
f
f (c)
′′
f (c) =
′′
0
f
(a,b) c ∈ (a,b) f
f (c) >
′′
0 c
f (c) <
′′
0 c
f (c) =
′′
0 f′

💡 Exemplo:
Podemos procurar os pontos de inflexão do gráfico da função de
Cauchy,

. Já sabemos que
. Derivamos outra
vez para encontrar a segunda derivada:

Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos os zeros de

onde excluímos a equação
já que não tem soluções reais.
Os pontos de inflexão são, então, para

. É deixado como exercício determinar o sentido da
concavidade de nas diferentes regiões de
.
Problemas de Otimização
Nesta secção seguem alguns exemplos de problemas de otimização.
Problemas de otimização constituem problemas em que existe alguma variável
a maximizar ou minimizar, normalmente uma área, intervalo de tempo, etc.
Usualmente, envolvem encontrar a função a maximizar, e a restrição a aplicar a
essa função. Tudo isto deve ficar mais claro com alguns exemplos.
f(x) =
x +1
2
1
f (x) =
′
−
(x +1)
2 2
2x
f (x) =
′′
(− ) =
(x +1)
2 2
2x ′ − =
(x +1)
2 4
2(x +1) −2x⋅4x(x +1)
2 2 2

=
(x +1)
2 4
−2x −4x −2+8x +8x
4 2 4 2
2
(x +1)
2 4
3x +2x −1
4 2
f (x) :
′′
f (x) =
′′
0 ⟹ 3x +
4
2x −
2
1 = 0 ⟺ x =
2

⟺
2⋅3
−2±
4−4⋅3⋅(−1)
x =
2
6
−2±4
⟺ x =
2
−1 ∨ x =
2
⟹
3
1
x = ±
3

3
x =
2
−1
x = ±
3

3
f R

A Cerca do Agricultor
Enunciado: Um agricultor dispõe de de cerca para delimitar a sua região
de cultivo, que deve ser retangular. Determine qual a área máxima que ele pode
delimitar.
Solução: É melhor fazer, em primeiro lugar, um esquema da situação:
A restrição do enunciado, que afirma que o perímetro da cerca deve ser de
,
diz-nos que
, ou seja,
. Também sabemos que a área do
retângulo é:
Aplicando a restrição
, obtemos:
Temos apenas de obter os máximos da função
:
Como é uma função quadrática com a concavidade voltada para baixo,
temos a certeza que o ponto crítico é um ponto de máximo. O máximo da área
será então:
1 km
1
2a + 2b = 1 b = −
2
1
a
A(a,b) = a ⋅ b
b = −
2
1
a
A(a) = a ⋅ (
−
2
1
a) = −
2
a
a2
A(a)
A (a) =
′
0 ⟺
−
2
1
2a = 0 ⟺ a =
4
1
A(a)
1

Para pensar: a que forma geométrica corresponde a área máxima?
Retângulos entre Parábolas
Enunciado: Considere as funções e
. O
conjunto é definido da seguinte forma:
Determine qual a área máxima que pode ter um retângulo inscrito na fronteira
do conjunto
, como apresentado na figura seguinte:
Solução: Chamemos ao canto superior direito do retângulo o ponto
.
Sabemos que:
Pela geometria da situação, e chamando aos lados horizontais e verticais do
retângulo, respetivamente, e (lembrar que e são funções de
), temos:
A(
) =
4
1

−
2

4
1
(
) =
4
1 2

−
8
1

=
16
1

16
1
f (x) =
−
x −
2
1 f (x) =
+
1 − x2
S
S = {(x,y) ∈ R :
2
f (x) <
−
y < f (x)}
+
S
P = (x,y)
y = f (x) =
+
1 − x2
a b a b x

Então, a área do retângulo é, aplicando as restrições do problema,
, e dada pela seguinte expressão:
Estudamos agora a função quanto à monotonia:

0

Concluímos que a área máxima ocorre para
, ou seja:
Logo, a área máxima é
.
Boatos e Rumores
Enunciado: Sabe-se que a velocidade com que um rumor se espalha numa
população de pessoas é proporcional ao produto de pessoas que já ouviu o
rumor pelo número de pessoas que ainda não o ouviu, com constante de
proporcionalidade que depende da população em causa (será tanto maior
quanto mais mexeriqueiras foram as pessoas).
Determine quantas pessoas já ouviram o rumor, na altura em que a velocidade
com que ele se espalha é máxima.
Solução: Chamemos ao número de pessoas que já ouviu o boato
, ao número
de pessoas que ainda não o ouviu
, e à velocidade com que este se propaga
. O enunciado diz que

{
a(x) = 2x
b(x) = 2 ⋅ (1 − x )
2
A(a,b)
A(x)
A(x) = a(x) ⋅ b(x) = 2x ⋅ 2(1 − x ) =
2
4(x − x )
3
A(x) = 4(x − x )
3
A (x) =
′
0 ⟺ 4(1 − 3x ) =
2
0 ⟺ x =
2

⟹
3
1
x =
,(x >
3

3
0)
[0, [
3

3

3

3
[ , 1]
3

3
A (x)
′
+ −
A(x) ↗ Max ↘
x =
3

3

{
a( ) = 2
3

3
3

3
b( ) = 2 ⋅ (1 − ( ) ) = 2 ⋅ (1 − ) =
3

3
3

3 2
3
1
3
4
A( ) =
3

3
a( ) ⋅
3

3
b( ) =
3

3
2 ⋅
3

3
=
3
4

9
8
3
P
C
p

p
ˉ v
=
p ⋅
p
ˉ
v
C ⟺ v(p,
) =
p
ˉ C ⋅ p
p
ˉ

Sabemos ainda, devido às restrições do problema, que
, portanto na
realidade temos da seguinte forma:
Como o gráfico de é uma parábola voltada para baixo, sabemos que o
único ponto crítico será o máximo que procuramos. Resolvemos então:
A velocidade é máxima quando metade das pessoas já ouviram o boato, e
metade ainda não o ouviu!
=
p
ˉ P − p
v(p)
v(p) = C ⋅ p ⋅ (P − p) = C(Pp − p )
2
v(p)
v (p) =
′
0 ⟺ C(P − 2p) = 0 ⟺ p =
2
P

Limites, Continuidade e Assíntotas 1
Limites, Continuidade e
Assíntotas
Ponto Aderente
Dado um conjunto
, diz-se que é um ponto aderente a se existir uma sucessão
de termos em tal que:
Limite de uma Função num Ponto (segundo
Heine)
Seja uma função real de variável real, e sejam um ponto aderente a e

. Diz-se que:
se e só se para qualquer sucessão tal que
.
Alguns Exemplos de Limites
Para uma função constante,
:
Para uma função afim,
:
Para uma indeterminação
, tomamos como exemplo

:
A a A
u
n A
lim u =
n a
f a D
f b ∈ R ∪
{−∞,+∞}
f(x) =
x⟶a
lim b
f(x
) ⟶
n b x ⊂
n D
f x ⟶
n a
f(x) = k, k ∈ R
f(x) =
x⟶a
lim k,∀
a ∈ D
f
f(x) = mx + b, m,b ∈ R
f(x) =
x⟶a
lim ma + b,∀
a ∈ D
f
∞ − ∞ f(x) = a −
x
b
, a,b ∈
x − 1 R+
f(x) =
x⟶+∞
lim a −
x⟶+∞
lim x b =
x − 1
=
x⟶+∞
lim
a + b
x x − 1
(a − b
)(a + b
)
x x − 1 x x − 1
2 2

Para uma indeterminação do tipo
, toma-se como exemplo a função

:
É de notar que a indeterminação só é do tipo se
. Caso contrário, não se
trata de uma indeterminação e o limite pode ser avaliado instantaneamente.
Limites Laterais
Sejam uma função real de variável real e
. Definindo e

:
Chama-se limite de à esquerda de ao valor
, e representa-
se por
Chama-se limite de à direita de ao valor
, e representa-se
por
Neste caso, é possível concluir que a função tem limite no ponto se, e só se, os
limites laterais forem iguais (e iguais a
, caso esteja definida em
).
=
x⟶+∞
lim
a
+ b
x x − 1
a x − b (x − 1)
2 2
= (a +
2
b )
+
2
x⟶+∞
lim
a + b
x x − 1
x
b
2
x⟶+∞
lim
a + b
x x − 1
1
= (a −
2
b ) +
2
x⟶+∞
lim
a + b
x x − 1
x
0
= (a −
2
b )
+
2
x⟶+∞
lim
a + b
1 − 1/
x

x
0
=
⎩
⎨
⎧−∞,
0,
+∞,
a < b
a = b
a > b

0
0
f(x) =
,a,b ∈
x+b
x +a
2
R
f(x) =
x⟶+∞
lim
=
x⟶−b
lim
x + b
x + a
2

=
x⟶−b
lim
x + b
x − b + b + a
2 2 2
+
x⟶−b
lim
x + b
x − b
2 2
x + b
b + a
2
= + =
x⟶−b
lim
x + b
(x + b)(x − b)
x + b
b + a
2
x − b + =
x⟶−b
lim
x + b
b + a
2
−2b +
x⟶−b
lim
x + b
b + a
2
=
{
Indefinido,
−2b,
a + b = 0
2

a + b = 0
2

0
0
a + b =
2
0
f a ∈ R A =
−
D ∩
f (−∞,a)
A =
+
D ∩
f (a,+∞)
f(x) a lim f
(x)
x⟶a ∣A−
lim f(x)
x⟶a−
f(x) a lim f
(x)
x⟶a ∣A+
lim f(x)
x⟶a+
a
f(a) f a

💡 Exemplos:
A função
tem limites laterais diferentes quando
:

É evidente quando vemos o gráfico da função:
Definição de Continuidade
Definição Epsilon-Delta
Uma função real de variável real diz-se contínua no ponto se e só se:
Devido à ordem dos quantificadores, pode depender de
, e pode depender de
ambos.
Definição por Limites Laterais
Uma função real de variável real diz-se contínua no ponto se e só se

.
f(x) =
x
∣x∣
x ⟶ 0
lim f(x) =
x⟶0− lim
=
x⟶0−
x
∣x∣
lim =
x⟶0−
x
−x
−1
lim f(x) =
x⟶0+ lim
=
x⟶0+
x
∣x∣
lim =
x⟶0+
x
x
1
f(x) a ∈ D
f
∀
∃
∀
:
ϵ > 0 δ > 0 x ∈ D
f ∣x − a∣ < δ ⟹ ∣f(x) − f(a)∣ < ϵ
δ ϵ x
f(x) a ∈ D
f
f(a) = lim f(x) =
x⟶a− lim f(x)
x⟶a+

Uma função é contínua num conjunto se for contínua em todos os pontos de
, e diz-se contínua se for contínua em todo o seu domínio.
💡 Exemplo:
A função
tem limites laterais diferentes quando
, logo não é
prolongável por continuidade a este ponto, isto é, não existe nenhum valor
tal que possamos definir uma função contínua da seguinte forma:

Operações com Funções Contínuas
Sejam e duas funções contínuas num ponto
. Então são contínuas em
:

, se

, com
Se for contínua em
, e for contínua em
:
é contínua em
Teorema de Bolzano(-Cauchy)
Seja uma função real de variável real, contínua num intervalo fechado
.
Então, para qualquer contido no intervalo de extremos e
, existe pelo
menos um tal que
.
Corolário do Teorema de Bolzano
Se é contínua no intervalo fechado
, e
, então existe pelo
menos um tal que
.
A ⊂ D
f
A
f(x) =
x
∣x∣
x ⟶ 0
k
f (x) =
#

{
f(x),
k,
x = 0

x = 0
f g a a
f + g
f − g
f × g

g
f
g(a) =
 0
fr
r > 0
f a g f(a)
g ∘ f a
f [a,b]
k ∈ R f(a) f(b)
c f(c) = k
f [a,b] f(a) × f(b) < 0
c ∈ (a,b) f(c) = 0

💡 Exemplo:
Podemos usar o Teorema de Bolzano para aproximar zeros de funções.

. É fácil verificar que
, e
.
Como
é contínua, pelo Teorema de Bolzano, tem um zero no intervalo
.
Para obter uma melhor estimativa, podemos fazer a média dos extremos do
intervalo:
.
Como

, sabemos, novamente pelo Teorema de Bolzano, que tem um
zero no intervalo
. Repetindo…
;
, logo o zero está em
;
, logo o zero está em
No entanto, já encontramos uma boa estimativa para o zero:

, já que
. Na realidade, o verdadeiro valor do zero
é de muito próximo dos que tínhamos previsto!
Teorema de Weierstrass
Seja uma função real de variável real, contínua num intervalo fechado e limitado.
Então, tem máximo e mínimo absolutos nesse intervalo.
Assíntotas Verticais ao Gráfico de uma
Função
, diz-se que a reta de equação é uma
assíntota vertical ao gráfico de quando pelo menos um dos limites laterais de
, no
ponto
, for infinito.
f(x) = x +
5
x + 1 f(1) = 3 > 0 f(−1) = −1 < 0
f f (−1,1)
=
2
−1+1
0
f(0) = 1 > 0 f
(−1,0)

=
2
−1+0
−
2
1
f(−
) =
2
1

>
32
15
0 (−1,−
)
2
1

=
2
−1−1/2
−
4
3
f(− ) =
4
3
>
1024
13
0 (−1,− )
4
3
−
4
3
f(−
) =
4
3

≈
1024
13
0.013
−0.755, −0.75
f
f
f x = a
f f
a

Note-se que pode estar definida em
, mas ser descontínua neste ponto.
💡 Exemplo:
tem uma assíntota vertical no ponto
, já que o limite

. Neste caso, tem assíntota aos dois lados, mas para
infinitos diferentes.
Assíntotas Não Verticais ao Gráfico de uma
Função
, diz-se que a equação é uma
assíntota não vertical ao gráfico de em se:
Os valores de e são dados pelos seguintes limites, caso eles existam e sejam
finitos (caso contrário, a função não tem assíntota não vertical em
:
No caso
, diz-se que a assíntota é horizontal, e neste caso
.
f a
f(x) =
x
e−x
x = 0
lim
f(x) =
x⟶0± ±∞
f y = mx + b
f ±∞

[f(x) −
f⟶±∞
lim (mx + b)] = 0
m b
±∞

{
m = lim
x⟶±∞ x
f(x)
b = lim
(f(x) − mx)
x⟶±∞
m = 0 lim f(x) =
x⟶∞ b

💡 Exemplo:
Queremos procurar assíntotas não verticais ao gráfico da função

, quando
. Primeiro, tentamos descobrir o valor
de m:

A função deve ter uma assíntota horizontal, logo só falta encontrar o valor da
ordenada na origem. No entanto, é claro que isto é impossível:
, que não existe (exercício: porquê?).
Portanto, o gráfico função não tem assíntotas não verticais, embora pareça
que sim. Este fenómeno é extremamente comum em funções compostas com
logaritmos.
f(x) = sin (ln x) x ⟶ +∞
lim =
x⟶+∞ x
f(x)
lim =
x⟶+∞ x
sin (ln x)
lim =
x⟶+∞ ln x
sin (ln x)
x
ln x
1 ⋅ 0 = 0
b = lim f(x)
x⟶+∞

Cálculo Combinatório 1
Cálculo Combinatório
Arranjos
Arranjos com repetição
Dado um conjunto de cardinal n, chama-se arranjos com repetições de n
elementos p a p, ao número de sequências de p elementos que é possivel
formar com elementos desse conjunto, distintos ou não:
💡 Exemplo:
Se atirarmos um dado cúbico 5 vezes quantos números diferentes
podemos obter?
Arranjos sem repetição. Permutações
Dado um conjunto de cardinal n, chama-se arranjos sem repetições de n
elementos p a p, ao número de sequências de p elementos que é possivel
formar com elementos desse conjunto:
💡 Exemplo:
4 rapazes e 3 raparigas vão ao cinema. Existem 10 lugares
disponíveis na fila, de quantas formas se podem sentar senão
houver restrições?

A =
n p
′
np

A =
6 5
′
6 =
5
7776

A =
n p n × (n − 1) × (n − p + 1) ou
A =
n p
(n − p)!
n!

💡 E se os lugares da ponta forem ocupados por rapazes?
Existem 4 rapazes para 2 lugares das pontas:
Após os lugares das pontas estarem preenchidos existem 8 lugares para 5
pessoas :
Permutações de n elementos
Dado um conjunto de cardinal n, chama-se permutações de n elementos, ao
número de maneiras de ordenar os n elementos do conjunto:
💡 Exemplo:
Esta situação é equivalente ao exemplo de cima, se houvesse
apenas 7 cadeiras para 7 pessoas e elas se sentassem de forma
aleatória.
Combinações
Dado um conjunto de cardinal n, chama-se combinações de n elementos p a
p(
, ao número de subconjuntos de p elementos que é possível
definir nesse conjunto:

A =
10 7 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × ×4 × 3 × 2 × 1 = 604800

A
4 2

A
8 5

A ×
4 2
A =
8 5 80640
P
=
n
A
=
n n n!
0 ≤ p ≤ n)

C
=
n p ou
C =
p!

A
n p
n p
p!(n − p)!
n!

💡 Exemplo:
Temos 5 frutas para fazer um sumo, quantos sumos diferentes
podemos fazer usando apenas 3 tipos de fruta?
Propriedades de combinações
Dados dois números naturais n e p com
Triângulo de Pascal
A esta denominação de valores de chama-se triângulo de Pascal, tem os
seguintes valores correspondentes:

C =
5 3 =
3!

A
5 3

=
3 × 2
5 × 4 × 3
10
n ≥ p :
⁍

C =
p=0
∑
n
n p 2n

C
+
n p
C
=
n p+1
C
n+1 p+1

C
n p

Podemos aliar as probabilidades de combinações à estrutura do triângulo para
determinar estes valores:
O primeiro elemento e o último de cada linha são iguais a 1:
O segundo elemento de cada linha é igual a n:
Em cada linha, os elementos equidistantes dos extremos são iguais:
Cada elemento(exceto os extremos) é igual à soma dos dois elementos
que estão por cima.
A soma dos elementos da linha de ordem n é
:
A linha de ordem n tem n+1 mais elementos.

C =
n 0
C =
n n 1

C
=
n 1 n

C =
n p
C
n n−p

C +
n p
C =
n p+1
C
n+1 p+1
2n

C =
p=0
∑
n
n p 2n

O maior valor da linha de ordem n é a do elemento central(n par) ou os 2
elementos centrais, caso(n ímpar).
💡 Exemplo:
O penúltimo elemento de uma linha do triângulo de Pascal é 14.
Quantos elementos tem essa linha?
A linha tem então 15 elementos (14+1).
💡 Qual é o maior elemento dessa linha?
Como n é par o maior número da linha será o elemento central (14/2=7):
💡 Qual é o maior elemento da linha seguinte?
A linha seguinte é de ordem n=15 então os seus maiores valores serão dos 2
elementos centrais(15/7=7,5 ; p=7 e p=8)
Binómio de Newton

C
=
n n−1
C
=
n 1 n = 14

C
=
14 7 3432

C
=
15 7
C
=
15 8 6435

Pelo padrão acima podemos verificar bastantes semelhanças entre o
triângulo de Pascal e o desenvolvimento do polinómio
Estas semelhanças permitiram o desenvolvimento da Fórmula do Binómio de
Newton:
Termo de Ordem Geral
Esta expressão permite determinar qualquer termo conhecida a sua ordem
mais rapidamente:
💡 Exemplo:
Calcule o valor exato de
(x + y)n
(x + y) =
n

C
x +
n 0
n
C
x y +
n 1
n−1 1
... +
C
x y +
n n−1
1 n−1

C
y
n n
n
ou
(x + y) =
n

C
x y
p=0
∑
n
n p
n−p p
T
=
p+1
C x y
n p
n−p p
(1 +
)
2 4

(1 +
) =
2 4

C × 1 (
) =
p=0
∑
4
4 p
4−p
2 p

C × (
) =
p=0
∑
4
4 p 2 p
= (
) +
2 4
4 × (
) +
2 3
6 × (
) +
2 2
4 ×
+
2 (
) =
2 0
= 4 + 4 × 2
+
2 6 × 2 + 4
+
2 1 =
= 12
+
2 17

Espaços de probabilidades e Definição de Laplace 1
Espaços de probabilidades e
Definição de Laplace
Probabilidade
Dados um conjunto finito
, uma probabilidade no conjunto das partes
de E é uma função definida por:
tal que:

, se
Definimos também:
Espaço amostral ou universo de resultados :
Espaço de acontecimentos :
Acontecimentos: Elementos de ou subconjuntos de E

: Probabilidade do acontecimento A
💡 Exemplo:
Uma roda da sorte com 3 parcelas igualmente prováveis(1,2 e 3)
Espaço amostral:
Espaço de acontecimentos : =

E P(E)
P : P(E) → R
0
+
X → P(X)
P(E) = 1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) A ∩ B = Ø
E
P(E)
P(E)
P(A)
E = {1,2,3}
P(E)
{Ø,(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3)}

Probabilidade:
Classificação de acontecimentos
Considere-se um conjunto finito e uma probabilidade no conjunto
:
Acontecimento impossível: O conjunto vazio;
Acontecimento certo: O conjunto designa-se por acontecimento
certo(acontece sempre);
Acontecimentos incompatíveis ou mutuamente exclusivos:
Acontecimentos complementares ou contrários:
P(1) = P(2) = P(3) =
3
1
P({1,2}) = P({2,3}) = P({1,3}) =
3
2
P({1,2,3}) = P(E) = 1
E P P(E)
E
A ∩ B = Ø
A ∩ B = Ø e A ∪ B = E

O acontecimento contrário de A representa-se por
Acontecimentos equiprováveis:
Acontecimento elementar:
Acontecimento composto:
💡 Exemplo:
Imagine o lançamento de um dado cúbico equiprovável:
Acontecimento impossível: Não sair nenhum número
Acontecimento certo: Sair um número positivo abaixo de 10
Acontecimentos incompatíveis: Sair um número par e sair o número 1
Acontecimentos contrários: Sair par vs sair ímpar
Acontecimentos equiprováveis: Sair par vs sair ímpar
Todos os acontecimentos são elementares pois apenas se lança o dado 1 vez.
Definição de Laplace
A
P(A) = P(B)
#A = 1
#A ≥ 2

Dado um universo de resultados E, finito, se os acontecimentos elementares
forem equiprováveis tem-se:
💡 Exemplo:
Num saco estão seis bolas verdes e três bolas laranja. Extraem-se,
simultaneamente, e ao acaso, três bolas do saco.
Determide a probabilidade de todas as bolas serem verdes:
Não existe reposição e a ordem também não importa, logo devemos usar as
Combinações:
Número de casos possíveis:
Número de casos favoráveis:
💡 Determine a probabilidade de as 3 bolas serem da mesma cor:
Número de casos possíveis: 84
Número de casos favoráveis:
💡 Determine a probabilidade de pelo menos 2 bolas sem verdes:
Número de casos possíveis: 84
Número de casos favoráveis: (2 bolas verdes e uma cor de laranja)

( 3 bolas verdes)
P(A) =
=
n mero de casos poss veis
u
ˊ ı
ˊ
n mero de casos favor veis
u
ˊ a
ˊ

#E
#A

C
=
9 3 84

C =
6 3 20
P =
=
84
20

21
5

C +
6 3
C
(bolas laranjas) =
3 3 21
P =
=
84
1 + 20

=
84
21

4
1

C
×
6 2
C
3 1
+
C ×
6 3
C
3 0 = 20 + 45 = 65

Propriedades da função Probabilidade
Probabilidade de um acontecimento contrário:
Probabilidade do conjunto vazio:
A probabilidade dum acontecimento está sempre entre 0 e 1:
A probabilidade dum acontecimento pode ser dada por:
Se
:
P =
84
65
P( ) =
A 1 − P(A)
P(Ø) = 0
∀A ∈ P(E),P(A) ∈ [0,1]
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ )
B
A ⊂ B
P(BA) = P(B) − P(A)
P(A) ≤ P(B)

Probabilidade da reunião de acontecimentos:
💡 Exemplo:
2 acontecimentos A e B, sabe-se que

Determine
💡 Determine
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P( ) =
A 0,4;P(A ∪ B) = 0,9;P(B) = 0,5
P(A ∩ B)
P(A) = 1 − P( ) =
A 0,6
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ⇔
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,6 + 0,5 − 0,9 ⇔
P(A ∩ B) = 0,2
P( ∪
A )
B

P( ∪
A ) =
B P( ) =
A ∩ B
1 − P(A ∩ B) =
1 − 0,2 = 0,8

Probabilidade Condicionada 1
Probabilidade Condicionada
Dada uma probabilidade P e dois acontecimentos, a probabilidade de ocorrer
A sabendo que B ocorreu ou probabilidade de A se B é definida por:
💡 Exemplo:
Imagine o lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair 2
sabendo que saiu um número par?
Acontecimento A: Sair o número 2.
Acontecimento B: Sair número par.
Probabilidade da interseção de 2
acontecimentos A e B
Através da formula da probabilidade condicionada podemos obter:
P(A∣B) =
,P(B) =
P(B)
P(A ∩ B)
 0
P(A) =
6
1
P(B) =
2
1
P(A ∩ B) = 1/6
P(A∣B) = =
P(B)
P(A ∩ B)
=

2
1

6
1

3
1
P(A ∩ B) = P(B) × P(A∣B)
ou
P(A ∩ B) = P(A) × P(B∣A)

💡 Exemplo:
Relativamente a uma turma do 10º ano sabemos que 60% são
raparigas. Também sabemos que um quarto dos rapazes e um sexto
das raparigas tiveram negativa no último teste.
Escolhido ao acaso, um aluno da turma qual a probabilidade de ter
negativa no teste?
Acontecimento A: Ser rapariga
Acontecimento B: Ter negativa no teste
Sabemos e
Queremos obter P(B)
Acontecimentos independentes
Sejam dois acontecimentos A e B e uma probabilidade P, estes 2
acontecimentos são independentes se e só se:
Alternativamente, os acontecimentos A e B são independentes se e só se:
P(A) = 0,6
P(B∣ ) =
A
4
1
P(B∣A) =
6
1
P(A ∩ B) = P(A) × P(B∣A) = 0,6 × =
6
1
0,1
P( ∩
A B) = P( ) ×
A P(B∣ ) =
A (1 − P(A)) × =
4
1
0,1
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ ) =
A 0,2
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
P(B) = 0
ou
P(A∣B) = P(A)

💡 Exemplo:
Sendo e 2 conhecimentos independentes, e e

.
Determine

:
Teorema da probabilidade total
Dado um conjunto finito E e uma partição
, tem-se:
💡 Exemplo:
Sabe-se que 20% dos alunos de uma turma praticam natação, 25%
dos que não praticam natação praticam futebol e 10% praticam
ambos os desportos.
Determine a probabilidade de um aluno praticar futebol.
A B P(A ∪ B) =
3
2
P(B) =
5
1
P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

=
3
2
P(A) +
−
5
1
P(A) × P(B)

−
3
2

=
5
1
P(A) ×
5
4
P(A) =
12
7
{E
,E
,E
,E
,...,E
}
1 2 3 4 N
P(A) = P(E
) ×
1 P(A∣E
) +
1 P(E
) ×
2 P(A∣E
) +
2 ... + P(E
) ×
N P(A∣E
)
N

Acontecimento F: Praticar futebol
Acontecimento N: Praticar natação =
e
P(N) = 0,2
P(F∣ ) =
N 0,25 P(F ∩ N) = 0,1
P(F∣N) = =
P(N)
P(F ∩ N)

2
1
P(F) = P(F∣N) × P(N) + P(F∣ ) ×
N P( ) =
N
0,5 × 0,2 + 0,25 + 0,8 = 0,3

Função Exponencial 1
Função Exponencial
O número de Neper
A sucessão é convergente para um número irracional que se
representa por :
Função exponencial de base a>0
Funções definidas por com , são contínuas.
Família de funções do tipo
, com
Domínio :
Contradomínio:
Zeros: Não Tem
É contínua
É crescente
É injetiva
u =
n (1 + )
n
1 n
e
lim(1 + ) =
n
1 n
e ≃ 2,71828
f(x) = xb
b ∈ R
y = ax
a > 1
R
R+

Família de funções do tipo
, com
Domínio :
Contradomínio:
Zeros: Não Tem
É contínua
É decrescente
É injetiva
é uma assíntota horizontal destas funções, para além disso podemos
obter um gráfico de uma por uma reflexão de eixo da outra:
a =
x⟶∞
lim x
+∞
a =
x⟶−∞
lim x
0
y = ax 0 < a < 1
R
R+
a =
x⟶−∞
lim x
+∞

a =
x⟶∞
lim x
0
y = 0
Oy
y = a =
x

(
a
1
)
−x

💡 Exemplo:
A função h está definida por

, determine a sabendo que passa pelo ponto de
coordenadas e determine a sua assíntota horizontal.
Derivada da função exponencial de base e
Dada uma função temos:
💡 Exemplo:
Calcular

A derivada da função exponencial de base e define-
se:
💡 Exemplo:
Calcular a derivada de

h(x) = a + 2x
P(0,4)
4 = 2 +
0
a ↔ a = 4 − 1 ↔ a = 3

3 +
x⟶+∞
lim 2 =
x
+∞
3 +
x⟶−∞
lim 2 =
x
3
Logo a equa o tem ass ntota horizontal y =
c
c
a
~ ı
ˊ 3
f(x) = (1 + )
x
1 x
f(x) =
x⟶∞
lim e

(1 +
x⟶∞
lim ) =
x
k x
ek
lim
(1 +
x⟶∞ )
x
2 3x
1 + =
x⟶∞
lim ((
x
2
)
x
)
3
((e ) ) =
2 3
e6
(e ) =
x ′
ex
e =
ux
u e
′ ux
ex −3x
2
2 2 2

Limite notável da exponencial
💡 Exemplo:
Calcular
(e ) =
x −3x
2
′
(x −
2
3x) x (e ) =
′ x −3x
2
(2x − 3)ex −3x
2
=
x⟶0
lim
x
e − 1
x
1
lim
x⟶0 x
e −e
2x x

=
x⟶0
lim
x
e − e
2x x

e x
=
x⟶0
lim x
x
e − 1
x
1x 1 = 1

Função Logaritmo 1
Função Logaritmo
Noção de logaritmo
Dá-se o nome de logaritmo de na base a
{1} , ao número y
tal que
:
Propriedades:

💡 Exemplo:
Calcular
e
Função logaritmo de base a, com a>1
Zeros: x=1(único);
Função estritamente crescente;
x(x > 0) a ∈ R+
a =
y
x
log x =
a y ↔ x = ay
a =
log x
a x
log a =
a
x
x
log 125
5 ln( )

e
1
log 5 =
5
3
3
ln(e ) =
−
2
1
log
e =
e
−
2
1
−
2
1

Negativa quando x<1 e positiva quando x>1;
Função logaritmo de base a, com 0<a<1
Zeros: x=1(único);
Função estritamente decrescente;
Negativa quando x>1 e positiva quando x<1;
Regras operatórias dos logaritmos
log
x =
x⟶0+
lim a −∞
log
x =
x⟶+∞
lim a +∞
log
x =
x⟶0+
lim a +∞

log
x =
x⟶+∞
lim a −∞
log
(xy) =
a log x +
a log y
a
log
=
a (
y
1
) − log
y
a
log =
a (
y
x
) log x −
a log y
a
log
(x ) =
a
y
y log x
a
l

Mudança de base nos logaritmos:
Com estas regras operatórias podemos resolver equações e inequações:
Equações
💡 Exemplo:
Seja
e
, resolver a
equação

:
Inequações
💡 Seja e
, resolver a
equação

:
a =
x
exlna
log x =
a
log
a
b
log
x
b
f(x) = log(x − 3) + log(x) g(x) = log(x + 5)
f(x) = g(x)
log(x − 3) + log(x) = log(x´ + 5)
log(x(x − 3)) = log(x + 5)
x −
2
3x = x + 5 ↔ x −
2
4x − 5 = 0
x = 5 ∨ x = −1(x > 3)
x > 5
f(x) = log (x −
2
2
x) g(x) = 1 − log
(x)
0,5
f(x) > g(x)
2

Derivadas
Derivada da função exponencial de base a>0
💡 Exemplo:
Calcular

:
Derivada da função log de base a>0:
Caso temos:
Caso contrário:
log
(x −
2
2
x) > 1 − log
(x)
0,5
log
(x −
2
2
x) > 1 −
log
2 (2
1
)
log
(x)
2
log(x −
2
x) > 1 − log
(2) +
2 log
(x)
2
x −
2
x > 2x ↔ x −
2
3x > 0
x < 0 ∨ x > 3 ∧ x > 1(pois o termo (x −
2
x) > 0)
x > 3
(a ) =
x ′
ln(a)ax
(a ) =
u x
u ln(a)a
′ u
(2 )
x +3x
2
(x +
2
3x) ln(2)2 =
′ x +3x
2
(2x + 3) ln(2) 2x +3x
2
a = e
(ln x) =
′

x
1
(ln u) =
′

u
u′
(log x) =
a
′

ln(a)x
1
(log u) =
a
′

ln(a)u
u′

💡 Exemplo:
Calcular

Limites notáveis
💡 Exemplo:
Calcular
sendo
(log
(2x −
3 1))′
(log
(2x −
3 1)) =
′

ln(3)(2x − 1)
(2x − 1)′

ln(3)(2x − 1)
2

=
x⟶∞
lim
xp
ex
+∞
=
x⟶∞
lim
x
ln x
0
lim f(x)
x⟶∞ f(x) =
x3
xe −5
x

=
x⟶∞
lim
x3
xe − 5
x

−
x2
ex

=
x3
5
+∞ − 0 = +∞

O Conjunto dos Complexos 1
O Conjunto dos Complexos
Teorema Fundamental da Álgebra
Seja um polinómio de ordem com
coeficientes
. Então a equação:
Tem pelo menos uma solução. Por outras palavras, qualquer polinómio não
constante tem pelo menos um zero.
A Constante Imaginária
Consideremos o polinómio
. Segundo o Teorema Fundamental da
Álgebra:
No entanto, é sabido que, para qualquer
. Por este motivo,
define-se a Constante Imaginária tal que:
Fica claro que
, e portanto deve existir um outro conjunto tal que
, e para o qual é válido o Teorema Fundamental da Álgebra.
O Conjunto dos Números Complexos
Definição
Define-se o conjunto dos números complexos
, que contém o conjunto dos
números reais
, da seguinte forma:
p(x) = a +
0 a ⋅
1 x + ... + a ⋅
n xn
n > 0
a
n
p(x) = 0
x +
2
1
∃ :
x x +
2
1 = 0 ⇔ x =
2
−1
x ∈ R, x ≥
2
0
i
x =
2
−1 ⇔ x = ± i
i ∈
/ R C i ∈ C
C
R
C = {a + bi ∣ a,b ∈ R}

Em que representa a constante imaginária. Dado diz-se a
forma algébrica de
.
O conjunto dos números complexos está munido de duas operações: a adição
e a multiplicação, extensões das operações em com o mesmo nome. As
seguintes propriedades, postuladas para os números reais, também se aplicam
à soma e produto de números complexos.
Dados
, aplica-se a:
Associatividade da soma:
Associatividade do produto:
Comutatividade da soma:
Comutatividade do produto:
Distributividade do produto em relação à soma:
Propriedades dos Números Complexos
Dado o número complexo
:
é a parte real de
é a parte real de
é real
é imaginário puro
é o simétrico de
é o conjugado de

Dado outro número complexo
:

i z ∈ C, z = a + bi
z
R
z,w,v ∈ C
z + (w + v) = (z + w) + v
z ⋅ (w ⋅ v) = (z ⋅ w) ⋅ v
z + w = w + z
z ⋅ w = w ⋅ z
z ⋅ (w + v) = z ⋅ w + z ⋅ v
z = a + bi, a,b ∈ R
a z, Re(z)
b z, Im(z)
z ⟺ Im(z) = 0 ∧ Re(z) = z
z ⟺ Re(z) = 0 ∧ i ⋅ Im(z) = z
−z = −a − bi z
=
z
ˉ a − bi z ⟺ Im( ) =
z
ˉ −Im(z) ∧ Re( ) =
z
ˉ
Re(z)
w = x + yi, x,y ∈ R
w = z ⟺ a = x ∧ b = y

💡 Exemplos:
Dado o número complexo

:
→

→

→

→

O número
é real, e o número é imaginário puro.
z = 2 + i
Re(z) = 2
Im(z) = 2
−z = −2 − i
=
z 2 − i
w =
1 3 w =
2 iπ

Operações com Números Complexos 1
Operações com Números
Complexos
Soma e Diferença de Complexos
Dados
, a soma e a diferença de e são
dadas por:
As partes reais e imaginárias são, portanto:

💡 Exemplos:
→

→

Produto de Complexos
Dados
, o produto de e é dado por:

z,w ∈ C : z = a + bi,w = x + yi z w
z + w = (a + bi) + (x + yi) = (a + x) + (b + y)i
z − w = (a + bi) − (x + yi) = (a − x) + (b − y)i
Re(z + w) = a + x
Re(z − w) = a − x
Im(z + w) = b + y
Im(z − w) = b − y
(3 − i) + (−2 + 5i) = (3 − 2) + i(−1 + 5) = 1 + 4i
(3 −
i) −
2 (2 + i) = (3 − 2) + i(− −
2 1) = 1 + (−1 −
)i
2
z,w ∈ C : z = a + bi,w = x + yi z w
zw = (a + bi)(x + yi) = (ax − by) + (ay + bx)i
Re(zw) = ax − by Im(zw) = ay + bx

💡 Exemplos:
→

→

Quociente de Complexos
Dados
, o quociente de e é dado por:

💡 Exemplos:
→

→

Potências de Base e Expoente Inteiro
(3 − i) × (−2 + 5i) = (−2 ⋅ 3 − 5 ⋅ (−1)) + i(3 ⋅ 5 + (−1) ⋅
(−2)) =
= −1 + 17i
(3 −
i) ×
2 (2 + i) = (3 ⋅ 2 − (−
) ⋅
2 1) + i(3 ⋅ 1 + (−
) ⋅
2
2) =
= 6 +
+
2 (3 − 2
)i
2
z,w ∈ C : z = a + bi,w = x + yi z w
=
w
z

=
x + yi
a + bi

=
x + y
2 2
(a + bi)(x − yi)

x + y
2 2
(ax + by) + (bx − ay)i
Re( ) =
w
z

x +y
2 2
ax+by
Im( ) =
w
z

x +y
2 2
bx−ay

=
−2+5i
3−i

=
(−2+5i)(−2−5i)
(3−i)(−2−5i)

=
29
−11−13i
−
−
29
11
i
29
13
=
2+i
3−
i
2

=
(2+i)(2−i)
(3−
i)(2−i)
2

=
5
6−
−(3+2
)i
2 2
−
5
6−
2
i
5
3+2
2
i

Dado
, é possível determinar facilmente
:
Sendo que corresponde ao resto da divisão inteira de por
, ou seja:
Com
.
Resta determinar as potências de para

💡 Exemplo:
Módulo de um Número Complexo
Dado
, define-se o módulo de como:
É de notar que
, sendo que
. As seguintes
propriedades aplicam-se ao módulo de um número complexo:

, vulgarmente conhecida como a Desigualdade
Triangular
n ∈ Z in
i =
n
ir
r n 4
n = 4 ⋅ d + r
d,r ∈ Z ∧ 0 ≤ r < 4
i n ∈ {0,1,2,3} :
i =
0
1 i =
1
i i =
2
−1 i =
3
−i
i =
123
i =
120+3
i ⋅
120
i =
3
1 ⋅ (−i) = −i
z ∈ C,z = a + bi z
∣z∣ =
a + b
2 2
∣z∣ ∈ R
0
+
∣z∣ = 0 ⟺ z = 0
∣z ⋅ w∣ = ∣z∣ ⋅ ∣w∣
∣z + w∣ ≤ ∣z∣ + ∣w∣

💡 Exemplos:
→

→

O Conjugado Complexo
Dado
, define-se o conjugado de como:
Propriedades do Conjugado
Dado
, têm-se as seguintes propriedades:

é imaginário puro, ou equivalentemente,

∣(3 − i) × (−2 + 5i)∣ = ∣3 − i∣ × ∣ − 2 + 5i∣ =
=
9 + 1 4 + 25
290
∣ ∣ =
2+i
3−
i
2

=
∣2+i∣
∣3−
i∣
2
=

4+1

9+2

5
11
z ∈ C,z = a + bi z
=
z
ˉ a − bi
z,w ∈ C
=
z + w +
z w
=
z ⋅ w ⋅
z w
=
z z
Re(z) =
2
z+z
ˉ
Im(z) =
2i
z−z
ˉ
z ∈ R ⟺ z = z
ˉ
z z ∈ iR ⟺ z = −z
ˉ
∣z∣ = ∣ ∣
z
ˉ
∣z∣ =
2
zz
ˉ

Representação Geométrica 1
Representação Geométrica
O Plano de Argand
Tal como os números reais podem ser representados pela reta real, também os
números complexos têm uma representação geométrica através do plano
complexo, ou plano de Argand. Mais concretamente, existe uma
correspondência entre os vetores (ou pontos) em e os números complexos
em
, da seguinte forma:
Ou seja,
. Um número complexo no Plano de Argand
representa-se da seguinte forma:
Chama-se ao ponto o afixo do complexo
.
R2
C
z ⟶ (Re(z),Im(z))
x + iy ⟶ (x,y)
(a,b) ∈ R2
z = a + bi

Ao eixo
, o eixo vertical, chama-se o eixo imaginário.
Ao eixo
, o eixo horizontal, chama-se o eixo real.

Argumento de um Número Complexo
Seja o afixo do número complexo
.
Define-se o argumento de
,
, como o ângulo formado entre o eixo real
e o segmento
. Como este ângulo pode ter muitos valores, chama-se o
argumento principal de a se e só se
. Nesse caso,

:
Soma Geométrica de Complexos
O processo geométrico para a soma de dois números complexos é idêntico ao
da soma de vetores em
: dados
, representa-se da seguinte
(0,y)
(x,0)
∣∣(a,b)∣∣ =
=
a + b
2 2 ∣z∣
P z = x + iy
z arg z θ
OP
z θ θ = arg z ∧ θ ∈ ] − π,π]
θ = arctan
x
y
R2
z,w ∈ C z + w

forma:
Produto Geométrico de Complexos
O processo geométrico para o produto de dois números complexos é mais
complicado que o da soma. Sejam e números complexos, e e os
argumentos de e
, respetivamente. Então:

z1 z
2 θ
z
1
θ
z
2
z
1 z
2
∣z ⋅
1 z
∣ =
2 ∣z
∣ ⋅
1 ∣z
∣
2 θ =
z
⋅z
1 2
θ +
z
1
θ
z
2

Um caso concreto do produto geométrico é o simétrico do complexo, ou seja,

, que corresponde simplesmente a rodar o vetor afixo por em torno
da origem:
−1 ⋅ z 180º

Conjugado Geométrico
O processo geométrico para a conjugação é relativamente simples, e consiste
apenas em refletir o afixo em torno do eixo real:

Forma Trigonométrica e Radiciação 1
Forma Trigonométrica e
Radiciação
Forma Trigonométrica de um Complexo
Seja um número complexo tal que e
. Então, pode ser
escrito da seguinte forma:
O resultado pode ser obtido aplicando alguma trigonometria básica:
z ∣z∣ = ρ arg z = θ z
z = ρ(cosθ + i sin θ)

💡 Exemplos:
Colocar o número complexo
na forma trigonométrica:
→ Localizar
no Plano de Argand: encontra-se no quadrante;
→

→ Como
está no quadrante,
→

Colocar o número complexo
na forma trigonométrica:
→ Localizar
no Plano de Argand: encontra-se no quadrante;
→

→ Como
está no quadrante,
→

Fórmula de Euler
z = −
3 3i
z 4º
ρ = =
+ 3
3
2
2 =
3 + 9
12
z 4º θ = tan (− ) =
−1

3
3
−
3
π
z =
⋅
12 (cos(−
) +
3
π
i sin (−
))
3
π
z = −2 + 2i
z 2º
ρ =
=
2 + 2
2 2 =
4 + 4
8
z 2º θ = π + tan (− ) =
−1
2
2

4
3π
z = ⋅
8 (cos( ) +
4
3π
i sin ( ))
4
3π

A fórmula de Euler relaciona o exponencial de um número complexo com a sua
forma trigonométrica:
´É possível demonstrar a fórmula sem grande trabalho. Considere-se a função

. Tiremos a derivada:
Só existe um tipo de funções cuja derivada é proporcional á própria função: a
exponencial. Mais concretamente, , logo:
Substituindo pela sua definição original, obtemos
💡 Exemplos:
Os números complexos anteriores podem ser escritos como
exponenciais:
→

→

e =
iθ
cosθ + i sin θ
z(θ) = cosθ + i sin θ
z (θ) =
′
− sin θ + i cosθ = i sin θ +
2
i cosθ
⟺ z (θ) =
′
i(cosθ + i sin θ) = iz(θ)
⟺ z (θ) =
′
i ⋅ z(θ)
(e ) =
kθ ′
k ⋅ ekθ
z (θ) =
′
i ⋅ z(θ) ⟹ z(θ) = eiθ
z(θ)
cosθ + i sin θ = eiθ
z =
1
−
3 3i ⟺ z =
1 ⋅
12 e−i
3
π
z =
2 −2 + 2i ⟺ z =
2 ⋅
8 ei
4
3π

Produto e Conjugado de Complexos na Forma
Exponencial
As interpretações geométricas para o produto e para o conjugado de números
complexos podem ser compreendidas de forma algébrica passando os
números para a sua forma trigonométrica ou exponencial.
Sejam e dois números complexos distintos, e
, as suas
respetivas representações trigonométricas. Então:
Recuperamos assim a relação geométrica: multiplicam-se os módulos e
somam-se os argumentos.
Sejam um número complexo e a sua representação trigonométrica.
Então:
Recuperamos assim a relação geométrica: o módulo mantém-se e o argumento
troca de sinal.
💡 Exemplo:
Multiplicando
e
, do exemplo anterior, obtemos:
→

Fórmula de De Moivre
Seja o argumento de um número complexo e
. Então:
z
1 z
2 ρ
e
1
iθ
1
ρ
e
2
iθ
2
z
z
=
1 2 (ρ
e )(ρ
e ) =
1
iθ
1
2
iθ
2
(ρ
ρ
)(e e ) =
1 2
iθ
1 iθ
2
ρ
ρ
e
1 2
i(θ
+θ
)
1 2
z ρeiθ
=
z
=
ρeiθ =
ρ(cosθ + i sin θ) ρ(cosθ − i sin θ)
= ρ(cos(−θ) + i sin (−θ)) = ρe−iθ
z
1 z
2
z ⋅
1 z =
2 ( ⋅
12 e )( ⋅
−i
3
π
8 e ) =
i
4
3π
⋅
12 ⋅ 8 e =
i( − )
4
3π
3
π
4 ⋅
6 ei
12
5π
θ ∈ R n ∈ Z

O resultado pode ser demonstrado por indução em
, mas é mais simples
efetuar a seguinte substituição:
Radiciação de Números Complexos
Dado e
Ou seja, qualquer número complexo não nulo tem precisamente raízes
complexas não nulas de ordem
. Geometricamente, os afixos das raízes de
ordem de um número complexo são os vértices de um polígono regular
centrado na origem, e circunscrito à circunferência de raio
.
(cosθ + i sin θ) =
n
cos(nθ) + i sin (nθ)
Z
(cosθ + i sin θ) =
n
(e ) =
iθ n
e =
inθ
cos(nθ) + i sin (nθ)
z = ρe ∈
iθ
C{0} n ∈ N {1}
=
n
z =
n
ρeiθ
e , k ∈
n
ρ i( +2π )
n
θ
n
k
{0,1,...,n − 1}
n
n
n z

n
∣z∣

💡 Exemplo:
Pretende-se encontrar as soluções da equação

, com
.
→

Mas o ângulo
é, na realidade, arbitrário à falta de um múltiplo de
, logo, na
realidade:
→

→

z =
5
1 + i z ∈ C
1 + i =
⋅
2 ei
4
π
π/4 2π
1 + i =
⋅
2 e , k ∈
i
+k2π
4
π
Z
z =
5
1 + i ⟺ z =
5

⋅
2 e ⟹
i( +k2π)
4
π
z =
⋅
10
2 ei( +k )
20
π
5
2π
k ∈ {0,1,2,3,4}

Domínios no Plano Complexo 1
Domínios no Plano Complexo
Circunferências e Círculos
Já sabemos que representa a distância a que o afixo de se encontra da
origem. Uma generalização dessa propriedade geométrica é considerar a
quantidade
Que representa a distância entre o afixo de e o de
.
Com este conhecimento, podemos definir círculos e circunferências no plano
complexo, da mesma forma que fizemos para o plano real. Seja então o afixo
de um número complexo
, e
. Então:
define, no plano complexo, a circunferência de raio
e centro em
.
∣z∣ z
∣z − z
∣
0
z z
0
C
z
0 r ∈ R
{z ∈ C : ∣z − z
∣ =
0 r}
r C

define, no plano complexo, o círculo de raio e
centro em
.
define, no plano complexo, o exterior do círculo de
raio e centro em
, excluindo portanto a fronteira.
{z ∈ C : ∣z − z
∣ ≤
0 r} r
C
{z ∈ C : ∣z − z
∣ >
0 r}
r C

Retas e Semiplanos
Sejam e os afixos de dois números complexos distintos, e
,
respetivamente. Então:
define, no plano complexo, a mediatriz do
segmento de reta
.
A B z
1 z
2
{z ∈ C : ∣z − z
∣ =
1 ∣z − z
∣}
2
[AB]

define, no plano complexo, o conjunto dos
pontos mais próximos de (ou a uma igual distância entre e
), ou seja,
o semiplano definido pela mediatriz do segmento de reta que contém
o ponto
.
{z ∈ C : ∣z − z
∣ ≤
1 ∣z − z
∣}
2
A A B
[AB]
A

define, no plano complexo, o conjunto dos
pontos mais próximos de
, ou seja, o semiplano definido pela mediatriz do
segmento de reta que contém o ponto (mas não a própria
mediatriz).
{z ∈ C : ∣z − z
∣ >
1 ∣z − z
∣}
2
B
[AB] B

Semirretas e Condições envolvendo Ângulos
Seja um número real e o afixo do número complexo
. Então:
define a semirreta com origem no referencial do plano
de Argand, e que faz um ângulo com o semieixo real positivo.
θ A z
0
{z ∈ C : arg z = θ}
θ

define a semirreta com origem no ponto A, e
que faz um ângulo com o semieixo real positivo.
{z ∈ C : arg (z − z ) =
0 θ}
θ

Sendo define o semiplano
delimitado pelas duas semirretas de origem em e que formam ângulos
e com o semieixo real positivo.
θ
,θ ∈
1 2 R, {z ∈ C : θ ≤
1 arg (z − z
) ≤
0 θ
}
2
A θ
1
θ
2

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