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MATEMÁTICA


   TRIÂNGULO RETÂNGULO E RAZÕES TRIGO-
               NOMÉTRICAS
1. TRIANGULO RETÂNGULO                                                  senB =
                                                                                 b
                                                                                                           sec C =
                                                                                                                    c
                                                                                 a                                  a
                  C                                                              c                                  b
                                                                        cosB =                             cos C =
                                                                                 a                                  a
                                 a                                             b                                   c
                  b                                                      tgB =                              tgC =
                                                                               c                                   b
                                                                                  c                                  b
                  A             c           B                           cot gB =                           cot gC =
                                                                                 b                                   c
                                                                                 a                                  a
                      BC = a = hipotenusa                               sec B =                            sec C =
                                                                                 c                                  b
                      AB = c = cateto                                                 a                                  a
                                                                    cos s sec B =                       cos sec C =
                      AC = b = cateto                                                 b                                  c

2. TEOREMA DE PITÁGORAS                                             Observando que:
                                                              senB = cos C            tgB = cot gC           sec B = cos eC
     Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados             cosB = senC        CotgB=tgC          CossecB=secC
das medidas dos catetos.                                             Concluímos que as “co-funções de ângulos
                                                              complementares são iguais”.
                          a 2 = b2 + c 2                      Valores notáveis
                                                                     A partir de triângulos retângulos convenientes,
3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRI-                            as definições de seno, cosseno e tangente permitem a
   ÂNGULO RETÂNGULO                                           obtenção do seguinte quadro de valores notáveis.
       Seja um triângulo ABC, retângulo em A. Os                   x              Sen x              Cos x               Tg x
                   ˆ    ˆ
outros ângulos B e C são agudos e complementares                  30º                 1                3                      3
(B + C = 90º ) . Para ângulos agudos, temos as seguin-
 ˆ ˆ                                                                                  2               2                      3
tes definições das funções trigonométricas:                       45º                  2               2                     1
                            cateto oposto                                             2               2
                    seno =
                             hipotenusa                           60º                  3              1                      3
                            cateto adjacente                                          2               2
                 cos seno :
                               hipotenusa
                                cateto oposto                             EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
                 tan gente =
                               cateto adjacente
                                                              1   Achar x na figura:
                                cateto adjacente
                cot angente =
                                 cateto oposto                                               x
                               hipotenusa                                         30°
                 sec ante =
                            cateto adjacente                                                                 3cm
                                 hipotenusa
                 cos sec ante =
                                cateto oposto

      A partir dessas definições, no triângulo retân-               Resolução:
gulo da figura, temos:                                              X= representa a hipotenusa (maior lado)
                                                                    Dado fornecido:
                  C                                                 Cateto oposto do ângulo 3cm
                                                                    Fórmula
                                 a                                           co             3
                  b                                                 seno =      → sen 30º =
                                                                              h             x

                  A             c           B



Editora Exato                                            15
sen 30º =
                     1
                       (tabela )
                                                             3   Os valores de x e y, no triângulo abaixo, são
                     2                                           respectivamente:
         1 3
          = → x = 6cm
         2 x
                                                                                60°        y
                                                                          3
2   Um engenheiro, situado a 100m de uma torre
    avista o topo da torre sob um ângulo de 30°. A                         A                             B
                                                                                       x
    altura da torre vale:
                                                                 a) 3 e 2 3
                                                                 b) 3 3 e 4 3
                                                h                c) 3 3 e 2 3
                                                                 d) 3 e 4 3
                         30°
                                   100m
                                                             4   (UNEB) Seja o ponto M, no interior do quadrado
         Resolução:                                              ABCD, conforme a figura abaixo.
         H= corresponde ao cateto oposto ao ângulo.
         Dado:                                                                                       D
         Cateto adjacente = 100m
         Fórmula
                   co            h     3   h
         tag θ =      → tg 30 =     →    =
                   ca           100   3 100
              100 3
         h=         m
                3
                                                                                 30°           60°
                                                                                                     C

                          EXERCÍCIOS                             Se MH = 4 3cm , o perímetro do quadrado ABCD
                                                                 é em cm:
1   O valor da distância AC na figura:                           a) 64.
                                                                 b) 36.
                                                                 c) 48.
                         60m                  40m                d) 24.
                                                                 e) 72.

          A                         30°       60°   C
                                          B                                      GABARITO

    a)   AC = 30 3 + 20                                      1   A
    b)   AC = 50 3                                           2   D
    c)   AC = 30 3
                                                             3   A
    d)   AC =20
                                                             4   A
2   Uma escada, apoiada em uma parede, num ponto
    distante 4m do solo, forma com essa parede um
    ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada
    em m?
    a) 7.
    b) 10.
    c) 9.
    d) 8.




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Apostila 001 triangulo retangulo

  • 1. MATEMÁTICA TRIÂNGULO RETÂNGULO E RAZÕES TRIGO- NOMÉTRICAS 1. TRIANGULO RETÂNGULO senB = b sec C = c a a C c b cosB = cos C = a a a b c b tgB = tgC = c b c b A c B cot gB = cot gC = b c a a BC = a = hipotenusa sec B = sec C = c b AB = c = cateto a a cos s sec B = cos sec C = AC = b = cateto b c 2. TEOREMA DE PITÁGORAS Observando que: senB = cos C tgB = cot gC sec B = cos eC Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados cosB = senC CotgB=tgC CossecB=secC das medidas dos catetos. Concluímos que as “co-funções de ângulos complementares são iguais”. a 2 = b2 + c 2 Valores notáveis A partir de triângulos retângulos convenientes, 3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRI- as definições de seno, cosseno e tangente permitem a ÂNGULO RETÂNGULO obtenção do seguinte quadro de valores notáveis. Seja um triângulo ABC, retângulo em A. Os x Sen x Cos x Tg x ˆ ˆ outros ângulos B e C são agudos e complementares 30º 1 3 3 (B + C = 90º ) . Para ângulos agudos, temos as seguin- ˆ ˆ 2 2 3 tes definições das funções trigonométricas: 45º 2 2 1 cateto oposto 2 2 seno = hipotenusa 60º 3 1 3 cateto adjacente 2 2 cos seno : hipotenusa cateto oposto EXERCÍCIOS RESOLVIDOS tan gente = cateto adjacente 1 Achar x na figura: cateto adjacente cot angente = cateto oposto x hipotenusa 30° sec ante = cateto adjacente 3cm hipotenusa cos sec ante = cateto oposto A partir dessas definições, no triângulo retân- Resolução: gulo da figura, temos: X= representa a hipotenusa (maior lado) Dado fornecido: C Cateto oposto do ângulo 3cm Fórmula a co 3 b seno = → sen 30º = h x A c B Editora Exato 15
  • 2. sen 30º = 1 (tabela ) 3 Os valores de x e y, no triângulo abaixo, são 2 respectivamente: 1 3 = → x = 6cm 2 x 60° y 3 2 Um engenheiro, situado a 100m de uma torre avista o topo da torre sob um ângulo de 30°. A A B x altura da torre vale: a) 3 e 2 3 b) 3 3 e 4 3 h c) 3 3 e 2 3 d) 3 e 4 3 30° 100m 4 (UNEB) Seja o ponto M, no interior do quadrado Resolução: ABCD, conforme a figura abaixo. H= corresponde ao cateto oposto ao ângulo. Dado: D Cateto adjacente = 100m Fórmula co h 3 h tag θ = → tg 30 = → = ca 100 3 100 100 3 h= m 3 30° 60° C EXERCÍCIOS Se MH = 4 3cm , o perímetro do quadrado ABCD é em cm: 1 O valor da distância AC na figura: a) 64. b) 36. c) 48. 60m 40m d) 24. e) 72. A 30° 60° C B GABARITO a) AC = 30 3 + 20 1 A b) AC = 50 3 2 D c) AC = 30 3 3 A d) AC =20 4 A 2 Uma escada, apoiada em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em m? a) 7. b) 10. c) 9. d) 8. Editora Exato 16