Este documento apresenta resumos teóricos e exercícios sobre geometria plana. As principais fórmulas abordadas incluem a lei dos senos, lei dos cossenos e relações métricas em triângulos e círculos. Os exercícios propõem problemas envolvendo áreas, relações trigonométricas e propriedades de figuras planas. As dicas fornecem pistas para resolver os exercícios utilizando os conceitos apresentados no resumo teórico.

1. Matemática
Fascículo 02
Manoel Benedito Rodrigues

2. Índice
Geometria Plana
Resumo Teórico .................................................................................................................................1
Exercícios ...........................................................................................................................................3
Dicas .................................................................................................................................................5
Resoluções ........................................................................................................................................6

3. Geometria Plana
Resumo Teórico
Principais Fórmulas
Lei dos Senos
g
a b
R
b a
a b c
c = = = 2R
sena senb seng
Lei dos Cossenos
a2 = b2 + c2 – 2 × b × c ×cos a
g
a b2 = a2 + c2 – 2 × a × c ×cos b
b
a
b c2 = a2 + b2 – 2 × a × b ×cos g
c
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
h2=m × n b × c=a × h
b h c b2=a × m a2=b2 + c2
m n c2=a × n
a
Relações Métricas no Círculo
B
P
A
B A
A C
P D
C P
B D T
PA × PB = PC × PD PA × PB = PC × PD (PT)2 = PA × PB
1

4. Razões Trigonométricas
a
b
b c b
a sen a = , cos a = e tg a =
a a c
c
Polígonos Convexos
Sendo n= número de lados;
d= número de diagonais;
Si= soma dos ângulos internos e
Se= soma dos ângulos externos,
n(n – 3)
temos: d= Si = (n – 2) × 180º e Se = 360º
2
Teorema da Bissetriz Interna
A
b c
x y
S b c
=
x y
Teorema da Bissetriz Externa
A
b c
c
y
C S b c
B =
x y
x
2

5. Semelhança de Triângulos
Sendo k a razão de semelhança entre os DABC e DPQR, temos:
A
P
b
H c y
h z
B C Q R
a x
a b c H Área DABC
= = = =k = k2
x y z h Área DPQR
Comprimento da Circunferência
R R
a l
a
C = 2pR a em graus: l = ×(2pR)
360º
a em radianos: l = aR
Áreas
Círculo Setor Circular
R R R R
a a l
a ×p ×R2 a ×R2 l ×R
A = p ×R2 A= A= A=
360º 2 2
a em graus a em radianos
Exercícios
01. Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em
graus, do ângulo 3 é:
a. 50
b. 55
c. 60
d. 80
e. 100
3

6. 02. Considere um arco AB de 110º numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’
de 60º numa circunferência de raio 5cm. Dividindo–se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’
(ambos medidos em cm), obtém–se
11
a.
6
b. 2
11
c.
3
22
d.
3
e. 11
$
03. No quadrilátero ABCD abaixo, ABC = 150º, AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M e
N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é:
a. 10
b. 15
c. 20
d. 30
e. 40
04. O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe–se que A e B são extremidades
de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale
a. 24
b. 12
5 3
c.
2
d. 6 2
e. 2 3
05. A figura mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe–se que duas paredes
contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5m, BC = 1,2m,
EF = 4,0m, FG = 0,8m, HG = 3,5m e AH = 6,0m. Qual a área dessa sala em metros quadrados?
a. 37,2
b. 38,2
c. 40,2
d. 41,2
e. 42,2
4

7. 06. Do quadrilátero ABCD da figura, sabe–se que: os ângulos internos dos vértices A e C são retos; os
ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm.
Então os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
a. 6e 3
b. 5e 3
c. 6e 2
d. 6e 5
e. 3e 5
07. Na figura ao lado têm-se AB // CD, AB = 6cm, AD = 4 cm e os ângulos internos de vértices A e B têm
as medidas indicadas. A área do quadrilátero ABCD, em centímetros quadrados, é
a. 3
b. 2 3
c. 4 3
d. 6 3
e. 8 3
Dicas
01. Prolongue um dos segmentos entre as paralelas de forma a obter um triângulo.
Use o fato de ângulos alternos entre paralelas serem congruentes.
02. Se para 360º (uma “volta completa”) em torno da circunferência, é percorrida uma distância igual a
2pR, onde R é o raio da circunferência, qual seria a distância percorrida correspondente a 110º?
03. Teorema: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro
lado e mede a metade da medida do terceiro lado.
04. Use o fato de que todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo.
05. A seguinte figura pode ajudar:
Área do retângulo = base x altura
5

8. 06. Note que o triângulo BCD é isósceles.
Calcule seus lados e use razões trigonométricas (sen30º, cos30º) no DABD.
07. Considere a seguinte figura:
Resoluções
01. Alternativa e.
$ $ $
1. DBA = D = 1 (alternos internos)
$
2. DABC: 3 é ângulo externo, logo:
$ $ $
3 = 1+2
$
3 = 45º +55º
$
3 = 100º
02. Alternativa c.
360º 110º 55p
= Þ AB = cm
2p ×10 9
AB
360º 60º 5p
= Þ A' B'= cm
2p × 5 3
A' B'
55p
AB 11
= 9 =
5p 3
A' B'
3
03. Alternativa c.
M ponto médio de CD ü
1. ý Þ MN // BD; BD = 4cm
N ponto médio de BC þ
DADB é equilátero ü $
2. $ ý Þ DBC = 90º
ABC = 150º þ
3. Sendo ABCD a área do DBCD, tem-se:
(BC) × (BD) 10 × 4
ABCD = = Þ ABCD = 20cm2
2 2
6

9. 04. Alternativa a.
$
1. Se AB é diâmetro, o ângulo C é reto.
Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos:
AC2 + BC2 = AB2
AC2 + 62 = 102 Þ AC = 8 cm
(AC) × (BC) 8 × 6
2. ADABC = = ADABC = 24 cm2
2 2
05. Alternativa e.
1.a resolução:
AI = 6 × 2,5 = 15 m2
AII = 5 × 4,8 = 24 m2
AIII = 4 × 0,8 = 3,2 m2
AT: área total
AT = AI + AII + AIII
AT = 15 + 24 + 3,2 Û AT = 42,2 m2
2.a resolução:
Área A I E J = 7,5 × 6,8 = 51m2
Área B C D I = 1,2 × 5 = 6 m2
Área F G H J = 0,8 × 3,5 = 2,8 m2
Área da sala ABCDEFGH =
51 – 6 – 2,8 = 42,2 m2
06. Alternativa c.
1. DBCD
$
B= 45º Þ BC = 2 dm
BD2 = 22 + 22 Þ BD = 2 2
2. DBCD
x 3 x
cos 30º = Þ
= Û x = 6 dm
2 2 2 2 2
y 1 y
sen 30º = Þ = Û y = 2 dm
2 2 2 2 2
7

10. 07. Alternativa e
Consideremos E e F as projeções dos vértices D e C, nesta ordem, sobre a base AB do trapézio ABCD.
Temos:
1. DADE é congruente ao DBCF, pelo caso LAAo.
Logo, ABCD é trapézio isósceles
2. No triângulo ADE:
x 3 x
sen 60º = Þ = Û x = 2 3 cm
4 2 4
y 1 y
cos 60º = Þ = Û y = 2 cm
4 2 4
3. AB = 6 Þ 2y + EF = 6 Û 2 × 2 + EF = 6 Û EF = 2 cm = CD
4. Seja A a área do trapézio ABCD
(AB + CD) × DE (6 + 2) × 2 3
A= ÞA= Û A = 8 3 cm 2
2 2
8