Aula III - Geometria - conceitos básicos.ppt

Prof.: Rodrigo Carvalho
PROFº
MARCOS

DEFINIÇÃO
Polígono é uma linha poligonal simples, fechada,
formada apenas por segmentos de reta consecutivos
e não colineares.
A1
A3
A2
An
A4
POLÍGONO A1A2...An
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POLÍGONOS CÔNCAVO E CONVEXO
Polígono cujo segmento
que liga dois pontos
quaisquer de seu interior
encontra-se totalmente
contido nele.
POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÔNCAVO
Polígono que possui
algum segmento que liga
dois pontos de seu
interior e não se encontra
totalmente contido nele.
.
. .
.
P
Q
T
S
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NOMENCLATURA
O nome de um polígono é dado em função do
número n de lados.
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NÚMERO DE DIAGONAIS (d)
Diagonal de um polígono é todo segmento
determinado por dois vértices não consecutivos.
B
A
AD é uma diagonal do
pentágono ABCDE
E
D
C
n.(n-3)
2
d =
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SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
(Si)
A soma das medidas dos ângulos internos de um
polígono convexo com n lados é dada por:
Si = (n - 2) . 180º
Ex.: A soma das medidas dos ângulos internos de
um polígono é igual a 1080º. Calcule o número de
diagonais desse polígono.
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SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
(Se)
A soma das medidas dos ângulos externos de um
polígono convexo com n lados é igual a 360º.
Se = 360º
Ex.: Determine o polígono cuja soma das medidas
dos ângulos internos é igual ao dobro da soma das
medidas dos ângulos externos.
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POLÍGONOS REGULARES
Um polígono é regular quando é equilátero(lados
congruentes) e equiângulo(ângulos congruentes).
Todo polígono regular
possui um ponto
equidistante dos seus
vértices e dos seus lados,
chamado de centro do
polígono.
.
A distância do centro do polígono regular aos seus
lados é chamada de APÓTEMA do polígono regular.
.
a
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ÂNGULOS DE UM POLÍGONO
REGULAR
I. Ângulo interno (ai)
ai = Si
n
ou ai = (n-2).180º
n
II. Ângulo externo (ae)
ae =Se
n
ou ae = 360º
n
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DEFINIÇÃO DE POLÍGONOS
SEMELHANTES
• Dois polígonos são semelhantes quando
satisfazem, simultaneamente, duas
condições:
– As medidas dos lados que se correspondem
são proporcionais.
– As medidas dos ângulos que se
correspondem são iguais.
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POLÍGONOS SEMELHANTES
Polígonos semelhantes:
ângulos “iguais” e lados proporcionais.
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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Polígono qualquer: corte paralelo a um dos lados determina ângulos
iguais mas lados não necessariamente proporcionais
Triângulo qualquer : corte paralelo a um dos lados determina ângulos
iguais
e lados proporcionais.
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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
• A forma de um triângulo fica completamente definida
quando são conhecidos os seus ângulos.
• Naverdade, a formade um triângulo fica
completamente definida quando são conhecidos 2 de
seus 3 ângulos.
• Ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos iguais,
o terceiro ângulo de ambos também é igual.
^ ^
Neste caso, os ângulos C  C´ 36º
Pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º

• Se os dois triângulos possuem (dois)
ângulos iguais então,
consequentemente, possuem lados
proporcionais.
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A
'
C
'
B
'
c'
a'
b
'
Definição [ Semelhança de Triângulos ]
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,
possuem os três ângulos ordenadamente congruentes
e os lados correspondentes (homólogos) proporcionais.
A
C
B
c
a
b
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C
'
B
'
1
0
14
12
Exemplo 1
Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura abaixo são
semelhantes. Se a razão de
semelhança do 1° para o 2° é 3/2, determine Os lados do ▲ABC,
A
A '
C
B
c
a
b
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C
'
B
'
1
0
14
12
Exemplo 1
Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura abaixo são
semelhantes. Se a razão de
semelhança do 1° para o 2° é 3/2, determine Os lados do ▲ABC,
A
A '
C
B
c
a
b
a

b

c

3
14 12 10 2
a

3
 a 
21
 b
18
b

3
12 2
 c
 14 2






:
[ TEOREMA FUNDAMENTAL ]
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e
intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo
que ela determina é semelhante ao primeiro.
A
C
B
D E
DE // BC  ADE~ ABC
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Exemplo 2
Se as retas DE e BC são paralelas, determine o valor de x.
A
C
B
3
6
D E
x
8
A
C
B
9
x
A
D E
6
8
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Exemplo 2
Se as retas DE e BC são paralelas, determine o valor de x.
A
C
B
3
6
D E
x
8
A
C
B
9
x
A
D E
6
8
6

8
9 x
 6x 
72
 x 
12
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Exemplo 3 - Na figura abaixo, obtenha x:
x
8
15
17
A
C
B
5
D
E
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Exemplo 3 - Na figura abaixo, obtenha x:
x
8
15
17
A
C
B
5
D
E
C
x 5 15
x 
8
3
8

15
 15x  40  x 
40

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Para determinar a distância da árvore A à árvore B
situada na outra margem do rio, marcaram-se os pontos C, D e O e
efectuaram-se as medições indicadas na figura.
80 m
8
m
?
C
6
m
O
B
A
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Ângulos Agudos: São os ângulos simpáticos, que medem menos
de 90º. Imagine que é como uma porta entreaberta - você pode ver
um pouco do que está do outro lado, mas não completamente.
Todos os ângulos que são menores que 90º são considerados
ângulos agudos.
Ângulos Retos: Eles são os "certinhos", sempre perfeitos, medindo
exatamente 90º, nem mais, nem menos. Eles formam uma perfeita
forma de "L", como um canto de uma sala ou um quadrado.

Ângulos Obtusos: Estes são os ângulos maiores do que 90º,
porém menores que 180º.
Ângulos rasos: O ângulo raso é como o ângulo que está esticando
os braços bem abertos para dar o maior abraço possível! Ele mede
exatamente 180º, nem mais, nem menos. Visualize a linha do
horizonte, ou pense em uma reta: esses são exemplos de ângulos
rasos.

ÂNGULOS COMPLEMENTARES
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Se a soma entre os ângulos α e β é
igual a 90°, dizemos que α e β
são complementares. Por exemplo:
Os ângulos acima
são complementares porque, ao somá-
los, o resultado obtido é 90°. Sabendo
que dois ângulos
são complementares, é possível
encontrar a medida de um deles a
partir da medida do outro.
ÂNGULOS SUPLEMENTARES
ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Se a soma entre os ângulos γ e θ é igual
a 180°, dizemos que γ e θ
são suplementares. Por exemplo:
Os ângulos da imagem acima
são suplementares porque a soma de
suas medidas é igual a 180°.Sabendo
que dois ângulos são suplementares, é
possível encontrar a medida de um
deles a partir da medida do outro.

ÂNGULOS ADJACENTES:
ÂNGULOS ADJACENTES:
Esses são dois ângulos que
têm um lado e um vértice em
comum, mas nada além disso.
Eles podem ser
complementares (somam 90º)
ou suplementares (somam
180º).
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (OPV):
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (OPV):
Ângulos opostos pelo vértice são formados
pelo encontro de duas retas e são
congruentes.

GEOMETRIA PLANA
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
1. Dois ângulos são adjacentes complementares. Sabendo que a
medida do maior ângulo é de 47°, qual é a medida do menor
ângulo?
2) Sobre a classificação dos ângulos, marque a alternativa correta:
A) Um ângulo é classificado como reto quando ele possui medida menor ou
igual a 90º.
B) Dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 180º.
C) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida é menor do
que 90º.
D) Dois ângulos cuja soma é igual a 90º graus são conhecidos como ângulos
obtusos.

GEOMETRIA PLANA
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Sabendo que o ângulo EÂG é reto, o valor do ângulo x é:
A) 12º
B) 30º
C) 42º
D) 45º
E) 60º

GEOMETRIA PLANA
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EXERCÍCIOS
Analisando a imagem, podemos afirmar que a medida do menor
ângulo é:
A) 95º
B) 89º
C) 77º
D) 64º
E) 25º

GEOMETRIA PLANA
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Analisando a imagem, podemos afirmar que a medida do menor
ângulo é:
A) 95º
B) 89º
C) 77º
D) 64º
E) 25º
Analisando a imagem, note que a soma
dos três ângulos forma um ângulo
inteiro, então temos que:
7x – 5 + 5x – 24 + 3x + 14 = 360
15x = 360 + 5 + 24 – 14
15x = 375
x = 375 / 15
x = 25
Então, o menor ângulo é:
3x + 14
3 · 25 + 14
75 + 14
89º

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