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GEOMETRIA: GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Claudio Buffara – Rio de Janeiro
Geometria é uma das matérias mais frequentes em provas de matemática
principalmente no Enem e nos vestibulares do país. Por isso, separei para
vocês essa questão debatida no forum PUC-RIO.
A demonstração analitica nao é muito difícil, apenas um pouco braçal.
Depende apenas de alguns conceitos básicos, tais como coeficientes
angulares e a equação da reta normal a uma reta dada passando por um ponto
dado.
Introdução
Para facilitar as contas, escolha um dos vértices do triângulo para a origem
do seu sistema de coordenadas e coloque o outro vértice no eixo-x.
Assim, os vértices do triângulo serão:
A = (0,0)
B = (6a,0)
C = (6b,6c)
onde a, b e c são números reais arbitrários.
(o 6 deve-se ao fato de que o baricentro tem coordenadas divididas por 3 e o
circuncentro envolve pontos médios ==> coordenadas divididas por 2)
O baricentro G é o ponto ((0+6a+6b)/3,(0+0+6c)/3) ⇒ G = ( 2a + 2b , 2c ).
O circuncentro T é justamento o ponto de interseção das retas mediatrizes
dos segmentos AB e AC.
A mediatriz de AB é a reta normal a AB passando pelo seu ponto médio:
Ponto médio de AB = (3a,0)
AB coincide com o eixo-x ==>
A normal a AB é paralela ao eixo-y ==>
Equação da normal a AB pelo ponto médio: x = 3a (*)
Mediatriz de AC:
Ponto médio de AC = (3b,3c)
Coeficiente angular de AC = (6c - 0)/(6b - 0) = c/b ==>
Coeficiente angular da normal a AC = -b/c ==>
Equação da normal a AC pelo ponto médio:
y - 3c = (-b/c)(x - 3b) ==>
y = -bx/c + 3(b^2 + c^2)/c (**)
Logo, resolvendo o sistema formado por (*) e (**), teremos:
x = 3a e y = 3(b^2 - ab + c^2)/c ⇒ T = ( 3a , 3(b^2 - ab + c^2)/c )
O ortocentro H é o ponto de encontro das três retas seguintes (na verdade,
como estas três retas são concorrentes, você só precisa calcular o ponto de
interseção de duas delas):
normal a BC passando por A;
normal a AC passando por B;
normal a AB passando por C.
Normal a BC por A:
Coeficiente angular de BC = (6c - 0)/(6b - 6a) = c/(b - a) ==>
Coeficiente angular da normal a BC = -(b - a)/c = (a - b)/c ==>
Equação da reta normal a BC por A:
y - 0 = [(a - b)/c](x - 0) ==>
y = (a - b)x/c (%)
Normal a AB por C:
A normal a AB é paralela ao eixo-y ==>
Equação da reta normal a AB por C:
x = 6b (%%)
Resolvendo o sistema formado por (%) e (%%) obtemos:
x = 6b e y = 6(a - b)b/c ⇒ H = ( 6b , 6(a-b)b/c )
Uma vez achadas as coordenadas de G, T e H, calcule o coeficiente angular
das retas GT e GH:
Coeficiente angular de:
GT = (2c - 3(b^2 - ab + c^2)/c)/(2a + 2b - 3a) = (3ab - 3b^2 - c^2)/(c(2b - a))
Coeficiente angular de:
GH = (2c - 6(a-b)b/c)/(2a + 2b - 6b) =((2c^2 - 6ab + 6b^2)/c)/(2a - 4b) =(3ab
- 3b^2 - c^2)/(c(2b - a))
Assim, os coeficientes angulares de GT e GH são iguais. Logo, G, T e H são
colineares.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200305/msg00262.html

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GEOMETRIA: GEOMETRIA ANALITICA PLANA

  • 1. GEOMETRIA: GEOMETRIA ANALITICA PLANA Claudio Buffara – Rio de Janeiro
  • 2. Geometria é uma das matérias mais frequentes em provas de matemática principalmente no Enem e nos vestibulares do país. Por isso, separei para vocês essa questão debatida no forum PUC-RIO. A demonstração analitica nao é muito difícil, apenas um pouco braçal. Depende apenas de alguns conceitos básicos, tais como coeficientes angulares e a equação da reta normal a uma reta dada passando por um ponto dado. Introdução
  • 3. Para facilitar as contas, escolha um dos vértices do triângulo para a origem do seu sistema de coordenadas e coloque o outro vértice no eixo-x. Assim, os vértices do triângulo serão: A = (0,0) B = (6a,0) C = (6b,6c) onde a, b e c são números reais arbitrários.
  • 4. (o 6 deve-se ao fato de que o baricentro tem coordenadas divididas por 3 e o circuncentro envolve pontos médios ==> coordenadas divididas por 2) O baricentro G é o ponto ((0+6a+6b)/3,(0+0+6c)/3) ⇒ G = ( 2a + 2b , 2c ). O circuncentro T é justamento o ponto de interseção das retas mediatrizes dos segmentos AB e AC.
  • 5. A mediatriz de AB é a reta normal a AB passando pelo seu ponto médio: Ponto médio de AB = (3a,0) AB coincide com o eixo-x ==> A normal a AB é paralela ao eixo-y ==> Equação da normal a AB pelo ponto médio: x = 3a (*)
  • 6. Mediatriz de AC: Ponto médio de AC = (3b,3c) Coeficiente angular de AC = (6c - 0)/(6b - 0) = c/b ==> Coeficiente angular da normal a AC = -b/c ==> Equação da normal a AC pelo ponto médio: y - 3c = (-b/c)(x - 3b) ==> y = -bx/c + 3(b^2 + c^2)/c (**) Logo, resolvendo o sistema formado por (*) e (**), teremos: x = 3a e y = 3(b^2 - ab + c^2)/c ⇒ T = ( 3a , 3(b^2 - ab + c^2)/c )
  • 7. O ortocentro H é o ponto de encontro das três retas seguintes (na verdade, como estas três retas são concorrentes, você só precisa calcular o ponto de interseção de duas delas): normal a BC passando por A; normal a AC passando por B; normal a AB passando por C. Normal a BC por A: Coeficiente angular de BC = (6c - 0)/(6b - 6a) = c/(b - a) ==> Coeficiente angular da normal a BC = -(b - a)/c = (a - b)/c ==> Equação da reta normal a BC por A: y - 0 = [(a - b)/c](x - 0) ==> y = (a - b)x/c (%)
  • 8. Normal a AB por C: A normal a AB é paralela ao eixo-y ==> Equação da reta normal a AB por C: x = 6b (%%) Resolvendo o sistema formado por (%) e (%%) obtemos: x = 6b e y = 6(a - b)b/c ⇒ H = ( 6b , 6(a-b)b/c ) Uma vez achadas as coordenadas de G, T e H, calcule o coeficiente angular das retas GT e GH: Coeficiente angular de: GT = (2c - 3(b^2 - ab + c^2)/c)/(2a + 2b - 3a) = (3ab - 3b^2 - c^2)/(c(2b - a))
  • 9. Coeficiente angular de: GH = (2c - 6(a-b)b/c)/(2a + 2b - 6b) =((2c^2 - 6ab + 6b^2)/c)/(2a - 4b) =(3ab - 3b^2 - c^2)/(c(2b - a)) Assim, os coeficientes angulares de GT e GH são iguais. Logo, G, T e H são colineares. Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200305/msg00262.html