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Enunciado  MPU/2004  ESAF
52. Considere o ruído branco com média zero e variância σ2
 0. Assinale a opção
que corresponde à expressão de sua densidade espectral num ponto
ω ∈ [−π, π].
(A) σ2
/2π
(B) |ω|σ2
/2π
(C)
σ2
2π
(1 − cos(ω) + 0, 25)
−1
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σ2
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(1, 06 − 0, 25 cos(ω))
(E) 0
Ruído Branco  MPU/2004  ESAF
§
¦
¤
¥
Denição
Sejam ε1, ε2, . . . uma sequência de variáveis aleatórias tais que
γ(k) = Cov{εt, εs} = 0, t = s.
Sem perda de generalidade, consideremos
E(εt) = 0 e V ar(εt) = σ2
dizemos que o processo {εt, t ∈ Z} é um ruído branco discreto.
εt ∼ RB(0, σ2
)
Ruído Branco  MPU/2004  ESAF
Veja que em decorrência de que
γ(k) = Cov{εt, εs} = 0, t = s.
Considerando
E(εt) = 0 e V ar(εt) = σ2
Temos que ca garantida a estacionariedade fraca, pois:
E(εt) = 0, constante;
V ar(εt) = E(ε2
t ) − E(εt)2
⇒ E(ε2
t ) = σ2
 ∞, ∀t ∈ Z.
Temos ainda que a Função de Autocorrelação, denida por
ρ(k) =
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⇒ ρ(k) =
1, k = 0
0, k = 0
Função Densidade Espectral  MPU/2004  ESAF
§
¦
¤
¥
Denição
Por denião
f(ω) =
∞
k=−∞
γ(k) e−iωk
Essa função pode ser reescrita da seguinte forma:
f(ω) =
1
2π
γ(0) + 2
∞
k=1
γ(k)cos(ωk)
Para o ruído branco γ(0) = σ2
, e γ(k) = 0, k = 0 , logo
f(ω) =
γ(0)
2π
=
σ2
2π
, −π  ω  π
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 0. Assinale a opção
que corresponde à expressão de sua densidade espectral num ponto
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Análise Espectral Ruido branco

  • 3. Enunciado MPU/2004 ESAF 52. Considere o ruído branco com média zero e variância σ2 0. Assinale a opção que corresponde à expressão de sua densidade espectral num ponto ω ∈ [−π, π]. (A) σ2 /2π (B) |ω|σ2 /2π (C) σ2 2π (1 − cos(ω) + 0, 25) −1 (D) σ2 2π (1, 06 − 0, 25 cos(ω)) (E) 0
  • 4. Ruído Branco MPU/2004 ESAF § ¦ ¤ ¥ Denição Sejam ε1, ε2, . . . uma sequência de variáveis aleatórias tais que γ(k) = Cov{εt, εs} = 0, t = s. Sem perda de generalidade, consideremos E(εt) = 0 e V ar(εt) = σ2 dizemos que o processo {εt, t ∈ Z} é um ruído branco discreto. εt ∼ RB(0, σ2 )
  • 5. Ruído Branco MPU/2004 ESAF Veja que em decorrência de que γ(k) = Cov{εt, εs} = 0, t = s. Considerando E(εt) = 0 e V ar(εt) = σ2 Temos que ca garantida a estacionariedade fraca, pois: E(εt) = 0, constante; V ar(εt) = E(ε2 t ) − E(εt)2 ⇒ E(ε2 t ) = σ2 ∞, ∀t ∈ Z. Temos ainda que a Função de Autocorrelação, denida por ρ(k) = γ(k) γ(0) ⇒ ρ(k) = 1, k = 0 0, k = 0
  • 6. Função Densidade Espectral MPU/2004 ESAF § ¦ ¤ ¥ Denição Por denião f(ω) = ∞ k=−∞ γ(k) e−iωk Essa função pode ser reescrita da seguinte forma: f(ω) = 1 2π γ(0) + 2 ∞ k=1 γ(k)cos(ωk) Para o ruído branco γ(0) = σ2 , e γ(k) = 0, k = 0 , logo f(ω) = γ(0) 2π = σ2 2π , −π ω π
  • 7. Enunciado MPU/2004 ESAF 52. Considere o ruído branco com média zero e variância σ2 0. Assinale a opção que corresponde à expressão de sua densidade espectral num ponto ω ∈ [−π, π]. (A) σ2 /2π (B) |ω|σ2 /2π (C) σ2 2π (1 − cos(ω) + 0, 25) −1 (D) σ2 2π (1, 06 − 0, 25 cos(ω)) (E) 0
  • 8. Gabarito MPU/2004 ESAF 52. Considere o ruído branco com média zero e variância σ2 0. Assinale a opção que corresponde à expressão de sua densidade espectral num ponto ω ∈ [−π, π]. (A) σ2 /2π (B) |ω|σ2 /2π (C) σ2 2π (1 − cos(ω) + 0, 25) −1 (D) σ2 2π (1, 06 − 0, 25 cos(ω)) (E) 0
  • 9. Gabarito MPU/2004 ESAF 52. Considere o ruído branco com média zero e variância σ2 0. Assinale a opção que corresponde à expressão de sua densidade espectral num ponto ω ∈ [−π, π]. (A) σ2 /2π (B) (C) (D) (E)
  • 11. Série: 52 Questões de Estatística Vol. 1 - 52 Questões de Séries Temporais Vol. 18 - 52 Questões de Análise Espectral e Modelos ARIMA