Problemas Física

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
http://www.cce.ufes.br/anderson
anderson@npd.ufes.br

Última atualização: 28/11/2006 14:52 H

20 - Capacitância

Fundamentos de Física 2
Halliday, Resnick, Walker
4ª Edição, LTC, 1996
Cap. 27 - Capacitância

Física 2
Resnick, Halliday, Krane
Cap. 31 - Capacitores e
Dielétricos

Física 2
Resnick, Halliday, Krane
Cap. 30 - Capacitância

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física

Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3

CAPÍTULO 27 - CAPACITÂNCIA

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
01
11
21
31
41
51
61
71
81
91

02
12
22
32
42
52
62
72
82
92

03
13
23
33
43
53
63
73
83
93

04
14
24
34
44
54
64
74
84
94

05
15
25
35
45
55
65
75
85
95

06
16
26
36
46
56
66
76
86
96

07
17
27
37
47
57
67
77
87
97

08
18
28
38
48
58
68
78
88
98

09
19
29
39
49
59
69
79
89
99

10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

[Início documento]
[Início seção]

[Início documento]

________________________________________________________________________________________________________
a
Cap. 27 – Capacitância
Halliday, Resnick, Walker - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.

2



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 31 - CAPACITORES E DIELÉTRICOS

PROBLEMAS
02
12
22
32
42
52
62

01
11
21
31
41
51
61

03
13
23
33
43
53

04
14
24
34
44
54

05
15
25
35
45
55

06
16
26
36
46
56

07
17
27
37
47
57

08
18
28
38
48
58

09
19
29
39
49
59

10
20
30
40
50
60

[Início documento]

01. Um eletrômetro é um aparelho usado para medir cargas estáticas. Uma carga desconhecida é
colocada nas armaduras de um capacitor e após isto medimos a diferença de potencial entre
elas. Qual é a menor carga que pode ser medida por um eletrômetro cuja capacitância vale 50
pF e tem sensibilidade à voltagem de 0,15 V?
(Pág. 92)
Solução.
A carga a ser medida pelo eletrômetro é acumulada num capacitor, de capacitância C, do
instrumento e deve satisfazer à relação fundamental de capacitância:

q = CV = ( 50 ×10−9 F) ( 0,15 V ) = 7,5 ×10−9 C

q = 7,5 pC
[Início seção]

[Início documento]

04. Um capacitor de armaduras paralelas é construído com placas circulares de raio 8,22 cm e 1,31
mm de separação entre elas. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual a carga que aparecerá nas
armaduras, se aplicarmos uma diferença de potencial de 116 V entre elas?
(Pág. 92)
Solução.
r
+q −q
d
(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas, não importando a forma geométrica de suas
placas, é dada por:
________________________________________________________________________________________________________
a
Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.

3


C=

ε0 A
d

=

ε 0π r 2
d

=


π ( 8,85 ×10−12 F/m ) ( 0, 0822 m )

(1,31×10

−3

m)

2

= 1, 4340

×10−10 F

C ≈ 143 pF
(b) A carga q vale:

q = CV = (1, 4340

×10−10 F) (120 V ) = 1,7208 ×10−8 C

q ≈ 17, 2 nC
[Início seção]

[Início documento]

13. Ache a capacitância equivalente à combinação na Fig. 25. Suponha que C1 = 10,3 μF, C2 = 4,80
μF e C3 = 3,90 μF.

(Pág. 93)
Solução.
Em primeiro lugar, vamos resolver a associação em série de C1 e C2, cuja capacitância equivalente
chamaremos de C12 e, em seguida, resolveremos a associação em paralelo entre C12 e C3, cuja
capacitância equivalente chamaremos de C123.
1
1
1 C2 + C1
= +
=
C12 C1 C2
C1C2

C12 =

(10,3 μ F)( 4,80 μ F) = 3, 2741 μ F
C1C2
=
C1 + C2 (10,3 μ F ) + ( 4,80 μ F )

A capacitância equivalente final vale:

C123 = C12 + C3 = ( 3, 2741

μ F ) + ( 3,90 μ F ) = 7,1741 μ F

C123 ≈ 7,17 μ F
[Início seção]

[Início documento]

17. (a) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A, com
espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras placas de um único
capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que a sua capacitância seja igual à da
associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supondo que a associação seja em série.
(Pág. 93)
Solução.
(a) A capacitância da associação em paralelo (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado
(Cisol).
________________________________________________________________________________________________________
a

4



d
C, A

l
C, A

C, A
C, A
Logo:
Cassoc = Cisol

C +C +C =
3C =

ε0 A
l

ε0 A
l

ε0 A ε0 A

=
d
l
d
l=
3
(b) A capacitância da associação em série (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (Cisol).
l
d
d
d
3

C, A

C, A

C, A

C, A

Logo:
Cassoc = Cisol
−1

ε0 A
⎛1 1 1⎞
⎜ + + ⎟ =
l
⎝C C C⎠
C ε0 A
=
l
3
1 ε0 A ε0 A
=
3 d
l
l = 3d
[Início seção]

[Início documento]

20. Imagine que você disponha de vários capacitores de 2,0 μF, capazes de suportar, sem ruptura
dielétrica, 200 V. Como seria possível combinar esses capacitores, de modo a obter um sistema
capaz de resistir à diferença de potencial de 1.000 V e com uma capacitância de (a) 0,40 μF e
(b) 1,2 μF?
(Pág. 93)
Solução.
(a) É possível satisfazer a condição do enunciado por meio de uma associação em série de cinco
capacitores de C1 = 2,0 μF.

________________________________________________________________________________________________________
a

5


C1


C1

C1

C1

C1
=

C1/5
5V

V

V
V
V
V
1
1 1 1 1 1
5
= + + + + =
Ceq C1 C1 C1 C1 C1 C1

C1 ( 2, 0 μ F)
=
5
5
Ceq = 0, 40 μ F
Ceq =

Associando-se em série cinco capacitores que suportam individualmente uma tensão de 200 V, a
tensão total que a associação poderá suportar é:

Veq = V + V + V + V + V = 5V = 5 ( 200 V )

Veq = 1.000 V
(b) No item anterior, a associação em série de cinco capacitores de 2,0 μF produziu uma
capacitância equivalente de 0,40 μF. Para produzir uma capacitância equivalente de 1,2 μF seria
necessário associar em série cinco capacitores de:
1
5
=
Ceq C2

C2 = 5Ceq = 5 (1, 2 μ F) = 6, 0 μ F
É possível construir um capacitor equivalente a 6,0 μF associando-se três capacitores de 2,0 μF em
paralelo.
C1

C1
C1

C2 = 3C1
=
V

V
Ceq = C1 + C1 + C1 = 3C1 = 3 ( 2, 0 μ F ) = 6, 0 μ F
É preciso lembrar que todos os capacitores que participam de uma associação em paralelo estão
sujeitos à mesma diferença de potencial do capacitor equivalente. Isto faz com que a limitação da
voltagem total também seja satisfeita. A associação total é representada no esquema abaixo, onde
todos os quinze capacitores têm capacitância C1 = 2,0 μF:

[Início seção]

[Início documento]

24. Quando giramos a chave S da Fig. 30 para a esquerda, as armaduras do capacitor de
capacitância C1 adquirem uma diferença de potencial V0. Inicialmente, C2 e C3 estão
descarregados. A chave S é agora girada para a direita. Quais os valores das cargas finais q1, q2,
e q3 sobre os capacitores correspondentes?
________________________________________________________________________________________________________
a

6



(Pág. 94)
Solução.
Considere a seqüência de operações no circuito mostradas no esquema abaixo:
q2,V2
q0,V0

C2

q0,V0

C2

+++
−−−

V0

C1

V0

A

V0

+++
−−−

C1

C3
B

q1,V1

C2

+++
−−−

C1

C3

+++
−− −

V0

C1

C3
C

C2
q3,V3
+++
−−−

C3
D

No circuito B, a chave S é girada para a esquerda. O capacitor C1 adquire diferençca de potencial
igual à da bateria (V0) e carga q0 igual a:
q0 = C1V0
(1)
No circuito D, a chave S é girada para a direita. A carga q0 é distribuída entre os três capacitores. A
diferença de potencial de C1 ,V1, diminui enquanto que a de C23 (capacitor equivalente a C2 e C3),
,V23, aumenta até ficarem iguais. Podemos desenvolver o seguinte cálculo:
V1 = V23

q1 q23
=
C1 C23
Como C23 é uma associação em série de capacitores, teremos:
CC
C23 = 2 3
C2 + C3

(2)

(3)

e
q23 = q2 = q3

(4)

Portanto, a distribuição de carga entre os capacitores fica da seguinte forma:
q0 = q1 + q2 = q1 + q3
q2 = q0 − q1
Substituindo-se (4) em (2):
Cq
q1 = 1 2
C23

(5)

(6)


q1 =

C1 ( q0 − q1 ) C1q0 C1q1
=
−
C23
C23 C23

________________________________________________________________________________________________________
a

7



⎛
C ⎞ Cq
q1 ⎜1 + 1 ⎟ = 1 0
⎝ C23 ⎠ C23
q1 =

⎛ 1 ⎞
C1q0 ⎛ C23 ⎞
⎜
⎟ = C1q0 ⎜
⎟
C23 ⎝ C1 + C23 ⎠
⎝ C1 + C23 ⎠

(7)


⎛
⎜
1
q1 = C1q0 ⎜
⎜ C + C2C3
⎜ 1 C +C
2
3
⎝

⎞
⎟
⎛
⎞
C2 + C3
⎟ = C1q0 ⎜
⎟
⎟
⎝ C1C2 + C1C3 + C2C3 ⎠
⎟
⎠

(8)

⎛
⎞
C1C2 + C1C3
q1 = C1V0 ⎜
⎟
⎝ C1C2 + C1C3 + C2C3 ⎠
Da Eq. (5), temos:
⎛
⎞
⎛
⎞
C1C2 + C1C3
C1C2 + C1C3
q2 = C1V0 − C1V0 ⎜
⎟ = C1V0 ⎜1 −
⎟
⎝ C1C2 + C1C3 + C2C3 ⎠
⎝ C1C2 + C1C3 + C2C3 ⎠
⎛ C C + C1C3 + C2C3 − C1C2 − C1C3 ⎞
q2 = C1V0 ⎜ 1 2
⎟
C1C2 + C1C3 + C2C3
⎝
⎠
⎛
⎞
C2C3
q2 = C1V0 ⎜
⎟
⎝ C1C2 + C1C3 + C2C3 ⎠
Como q2 = q3:
⎛
⎞
C2C3
q3 = C1V0 ⎜
⎟
⎝ C1C2 + C1C3 + C2C3 ⎠
[Início seção]

[Início documento]

26. Um capacitor de armaduras planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas
que formam entre si um ângulo θ, conforme na Fig. 32. O lado do quadrado é igual a a. Mostre
que a capacitância deste capacitor, para valores de θ muito pequenos, é

C=

ε 0a2 ⎛

aθ ⎞
⎜1 −
⎟
d ⎝ 2d ⎠

(Sugestão: O capacitor pode ser dividido em faixas infinitesimais que estejam efetivamente em
paralelo.)

________________________________________________________________________________________________________
a

8



(Pág. 94)
Solução.
Considere o esquema abaixo:

a
y
θ
d
x
dx
Tomando-se dois elementos de placas de comprimento dx e largura a, o conjunto representa um
capacitor de placas paralelas de capacitância dC que possui área dA e distância de separação entre
as placas l. Capacitância dC:
ε dA ε adx
ε 0 adx
=
dC = 0 = 0
l
d + y d + x tan θ
O capacitor da figura pode ser considerado como sendo uma associação em paralelo de capacitores
dC e, neste caso, somam-se (integram-se) as capacitâncias:
a
ε 0 adx
C = ∫ dC = ∫
0 d + x tan θ

C=

ε 0 a ⎛ a tan θ ⎞
ln ⎜1 +
⎟
tan θ ⎝
d ⎠

(1)

No Apêndice H deste livro vê-se que a função ln (1+x) pode ser expandida em série de Taylor,
sendo o resultado:
1
1
ln (1 + x ) = x − x 2 + x3 − ( x < 1)
2
3
Considerando-se
a tan θ
x=
d
e tomando-se apenas os dois primeiros termos da série:
2
2
⎛ a tan θ ⎞ a tan θ a tan θ a tan θ ⎛ a tan θ ⎞
ln ⎜1 +
−
=
⎟≈
⎜1 −
⎟
d ⎠
d
2d 2
d ⎝
2d ⎠
⎝

Considerando-se θ ≈ 0, isto implica em tan θ ≈ θ. Logo:

⎛ a tan θ ⎞ aθ
ln ⎜1 +
⎟≈
d ⎠ d
⎝

⎛ aθ ⎞
⎜1 −
⎟
⎝ 2d ⎠

(2)

________________________________________________________________________________________________________
a

9


C≈
C≈


ε 0 a aθ ⎛ aθ ⎞
1−
θ d ⎜ 2d ⎟
⎝
⎠
ε 0a2 ⎛

aθ ⎞
⎜1 −
⎟
d ⎝ 2d ⎠
[Início seção]

[Início documento]

27. A diferença de potencial fornecida pela bateria B da Fig. 33 é igual a 12 V. (a) Calcule a carga
em cada capacitor após ter sido fechada a chave S1. (b) Idem, quando também estiver fechada a
chave S2. Suponha que C1 = 1 μF, C2 = 2 μF, C3 = 3 μF e C4 = 4 μF.

(Pág. 94)
Solução.
(a) Considere o esquema a seguir:
C1 C3
C13

=
C2 C4

C24

V

V
Os capacitores C1 e C3 estão associados em série. Isto significa que:
CC
C13 = 1 3
C1 + C3
q1 = q3
O mesmo é verdadeiro para os capacitores C2 e C4:
CC
C24 = 2 4
C2 + C4
q2 = q4
Como a ddp entre as placas de C13 e C24 é igual a V, temos:
V = V1 + V3 = V2 + V4
Tomando-se:

V = V1 + V3 =

q1 q3 q1 q1
+
= +
C1 C3 C1 C3

________________________________________________________________________________________________________
a

10



⎛1 1 ⎞
V = q1 ⎜ + ⎟
⎝ C1 C3 ⎠
CC
q1 = V 1 3
C1 + C3
q1 = q3 = 9 μC
De forma semelhante:
CC
q2 = V 2 4
C2 + C4
q2 = q4 = 16 μC
(b) Considere o esquema a seguir:
C1 C3
C1

C3
C12

=

C2 C4

C2

V

C4
V

C34

=
V

q
q
V = V12 + V34 = 12 + 34
C12 C34
Onde, por se tratar de uma associação de capacitores em série:
q12 = q34
Logo:

⎛ 1
1 ⎞
V = q12 ⎜
+
⎟
⎝ C12 C34 ⎠
C C
q12 = q34 = V 12 34
C12 + C34
Como C12 e C34 são associações de capacitores em paralelo, temos:

q12 = q34 = V

( C1 + C2 )( C3 + C4 )
( C1 + C2 ) + ( C3 + C4 )

q12 = q34 = 25, 2 μC
Mas:

V12 =

q12
= 8, 4 μC
C12

Logo:
q1 = V12C1
q1 = 8, 4 μC
q2 = V12C2
q1 = 16,8 μC
De forma semelhante:
________________________________________________________________________________________________________
a

11



q3 = 10,8 μC
q1 = 14, 4 μC
[Início seção]

[Início documento]

30. As tentativas de construção de um reator de fusão termonuclear controlada que, se bemsucedidas, poderiam fornecer uma enorme quantidade de energia a partir do hidrogênio pesado
existente na água do mar, envolvem usualmente a passagem de correntes elétricas muito
intensas por pequenos períodos de tempo em bobinas que produzem campos magnéticos. Por
exemplo, o reator ZT-40, do Laboratório Nacional de Los Alamos (EUA), tem salas cheias de
capacitores. Um dos bancos de capacitores tem capacitância de 61,0 mF a 10,0 kV. Calcular a
energia armazenada, (a) em joules e (b) em kW.h.
(Pág. 95)
Solução.
(a) A energia potencial acumulada num capacitor carregado, de capacitância C sujeito à uma
diferença de potencial V, é dada por:
2
1
1
U = CV 2 = 61,0 ×10−3 F 10,0 ×103 V = 3, 05 ×106 J
2
2
U = 3,05 MJ

(

)(

(b) Lembrando-se que:
kW
h
= 2,777
1 J = W ⋅s× 3 ×
10 W 3.600 s
Teremos:

U = ( 3, 05 ×106 J )( 2, 777

)

×10−7 kW ⋅ h

×10−7 kW ⋅ h ) = 0,84722

kW ⋅ h

U ≈ 0,847 kW ⋅ h
[Início seção]

[Início documento]

32. Dois capacitores, um de 2,12 μF e outro de 3,88 μF são ligados em série, com uma diferença de
potencial de 328 V entre os terminais da associação. Calcular a energia total armazenada nos
capacitores.
(Pág. 95)
Solução.
Podemos representar a associação em série dos capacitores C1 e C2 pelo capacitor equivalente C12:
CC
C12 = 1 2
C1 + C2
A energia potencial acumulada no capacitor C12 sujeito à diferença de potencial V vale:
1
U = C12V 2
2
Logo:

________________________________________________________________________________________________________
a

12



−6
−6
1 C1C2 2 1 ( 2,12 ×10 F )( 3,88 ×10 F)
2
U=
V =
( 328 V ) = 0, 073745
−6
−6
2 C1 + C2
2 ( 2,12 ×10 F ) + ( 3,88 ×10 F)

J

U ≈ 73,7 mJ
[Início seção]

[Início documento]

34. Um banco de capacitores ligados em paralelo, contendo 2.100 capacitores de 5,0 μF cada, é
usado para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco até a diferença de
potencial nos terminais da associação atingir 55 kV, supondo um custo de 3 centavos por kW.h?
(Pág. 95)

}

Solução.
Considere o seguinte esquema:
V

U

C

1

U

C

2

U

C

3

U

C

2.100

V
A tarifa total T a ser paga pelo carregamento dos N capacitores é o produto da tarifa t pela energia
acumulada nos N capacitores (CN).
T = t ⋅ U N = NtU
Na expressão acima, U é a energia acumulada em cada um dos capacitores da associação.

⎛1
⎞ 1
T = Nt ⎜ CV 2 ⎟ = NtCV 2
⎝2
⎠ 2
1
cents
kW.h ⎞
2
⎛
−6
× 2, 78 ×10−7
( 2.100 ) ⎜ 3, 0
⎟ ( 5, 0 ×10 F ) ( 55.000 V ) = 13, 2449
2
kW.h
J ⎠
⎝
T ≈ 13 cents

T=

cents

[Início]

36. Na Fig. 24 calcule (a) a carga, (b) a diferença de potencial e (c) a energia armazenada em cada
capacitor. Suponha os mesmos valores numéricos do Problema 12, com V = 112 V.

________________________________________________________________________________________________________
a

13



(Pág. 95)
Solução.
[Início seção]

[Início documento]

38. Seja um capacitor cilíndrico de raios iguais a a e b, respectivamente como ilustra a Fig. 4.
Mostre que a metade da sua energia potencial elétrica está acumulada no interior de um cilindro
de raio igual a
r = ab .

(Pág. 95)
Solução.
Considere o esquema a seguir:
−

−

−

−
−
+

+

−

a

−
+
+

+
−

+

r
+

−

b

−

+

−

−
−

−
−

−

Capacitância de um capacitor cilíndrico:
________________________________________________________________________________________________________
a

14


C = 2πε 0


L
ln ( b a )

Energia potencial elétrica acumulada num capacitor cilíndrico:
2
q 2 q ln ( b a )
U=
=
2C
4πε 0 L

(1)

Densidade de energia (u) entre as placas de um capacitor cilíndrico:
dU
u=
dV

⎛1
⎞
dU = udV = ⎜ ε 0 E 2 ⎟ . ( L.2π r.dr )
⎝2
⎠
Campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico:
q
E=
2πε 0 Lr

(2)

(3)


⎛
⎞
q2
dU = ε 0 ⎜ 2 2 2 2 ⎟ π Lrdr
⎝ 4π ε 0 L r ⎠
dU =

q 2 dr
4πε 0 Lr

(4)

Condição que resolve o presente problema:
r
U
∫a dU = 2
Substituindo-se (1) e (4) em (5):

(5)

2
q 2 dr r dr 1 ⎡ q ln ( b a ) ⎤
= ⎢
⎥
4πε 0 Lr ∫a r 2 ⎣ 4πε 0 L ⎦

ln

r 1 b
= ln
a 2 a
2

b
⎛r⎞
ln ⎜ ⎟ = ln
a
⎝a⎠
2

⎛r⎞ b
⎜ ⎟ =
⎝a⎠ a

r
b
=
a
a
r = ab
[Início seção]

[Início documento]

40. Mostre que as armaduras de um capacitor plano de placas se atraem mutuamente com uma força
igual a
________________________________________________________________________________________________________
a

15



q2

F=

2ε 0 A
Obtenha este resultado calculando o trabalho necessário para aumentar a separação entre as
armaduras x para x + dx.
(Pág. 95)
Solução.
Considere o seguinte esquema, em que temos um capacitor de placas planas e paralelas, separadas
por uma distância x e carregado com carga q.
−q
+q
+ + + + + + + +

−
−
−
−F −
−
−
−
−
−
−
− ds −
−
−
−
−

F

x
dx
A placa da direita é movida para a direita através de uma distância dx. O trabalho W realizado pela
força −F pode ser calculado da seguinte forma:
dW = F ⋅ ds = Fdx cos π
W = − Fdx
(1)
O mesmo trabalho é equivalente à variação de energia potencial do sistema:

q2
q2 q2 ⎛ 1 1 ⎞
dW = −dU = − (U − U 0 ) = U 0 − U =
−
= ⎜ − ⎟
2C0 2C 2 ⎝ C0 C ⎠
dW =

q2 ⎛ x
x + dx ⎞
q2
−
=
( x − x − dx )
⎜
⎟
2 ⎝ ε 0 A ε 0 A ⎠ 2ε 0 A

dW = −

q 2 dx
2ε 0 A

(2)

Comparando-se (1) e (2):

F=

q2
2ε 0 A
[Início seção]

[Início documento]

44. É dado um capacitor de 7,40 pF com ar entre as armaduras. Você é solicitado a projetar um
capacitor que armazene até 6,61 μJ com uma diferença de potencial máxima de 630 V. Qual dos
dielétricos da Tabela 1 você usará para preencher o espaço entre as armaduras do capacitor,
supondo que todos os dados são exatos, isto é, a margem de erro é zero?
(Pág. 95)
Solução.
________________________________________________________________________________________________________
a

16



Se a capacitância do capacitor com vácuo entre as placas for C0, com ar entre as placas for C1 e com
outro dielétrico for C2, valem as seguintes relações:
C1 = κ1C0
C2 = κ 2C0

C1 κ1C0
=
C2 κ 2C0
C2 =

κ2
C
κ1 1

(1)

A energia potencial acumulada no capacitor C2 vale:
1
U 2 = C2V22
2

(2)

⎞
1⎛κ
U 2 = ⎜ 2 C1 ⎟V22
2 ⎝ κ1 ⎠
Resolvendo-se para κ2:

2 (1, 00 ) ( 6, 61×10−6 J )
2κ1U 2
=
= 4,501099
κ2 =
C1V22 ( 7, 40 ×10−12 F) ( 630 V )2

κ 2 ≈ 4,50
De acordo com a Tabela 1 (Pág. 86), o material com κ = 4,5 corresponde ao ÓLEO DE
TRANSFORMADOR.
[Início seção]

[Início documento]

46. Um capacitor de armaduras, cujo dielétrico é o ar, tem capacitância igual a 51,3 pF. (a) Se as
armaduras têm área de 0,350 m2, qual é a sua separação? (b) Se a região entre as armaduras for
preenchida agora com material de constante dielétrica igual a 5,60, qual é a nova capacitância?
(Pág. 95)
Solução.
(a) Um capacitor com placas planas e paralelas de área A e separação d possui capacitância C0 dada
por:
ε A
C0 = 0
d
Logo:

d=

ε0 A
C0

(8,85 ×10 F/m )( 0,350 m ) = 0,06038
=
( 51,3 ×10 F)
−12

2

−12

m

d ≈ 6,04 cm
(b) Preenchendo-se o espaço entre as placas com dielétrico κ, a nova capacitância C será:

C = κ C0 = ( 5,60 ) ( 51,3 ×10−12 F) = 2,8728 ×10−10 F

C ≈ 287 pF
________________________________________________________________________________________________________
a

17



[Início seção]

[Início documento]

48. Uma certa substância tem constante dielétrica 2,80 e sua rigidez dielétrica é 18,2 MV/m. Se é
usada como dielétrico em um capacitor de armaduras paralelas, qual a área mínima das
armaduras para que a capacitância seja 68,4 nF e o capacitor possa resistir a uma diferença de
potencial de 4,13 kV?
(Pág. 95)
Solução.
A capacitância C de um capacitor de placas planas e paralelas com material dielétrico κ entre as
placas é dada por:
C = κ C0
Na equação acima, C0 é a capacitância do mesmo capacitor sem o material dielétrico entre as
placas. Esta capacitância é dada pela equação a seguir, em que A é a área das placas e d é a distância
de separação entre elas.
ε A
C0 = 0
d
Logo:
ε A
C =κ 0
d
Cd
A=

κε 0

Multiplicando-se e dividindo-se a equação acima por Vmax, teremos:
CV
CV
d
1
A = max ×
= max ×
κε 0 Vmax
κε 0 Emax

( 68, 4 ×10−9 F)( 4,13 ×103 V )
CVmax
A=
=
= 0, 62637
κε 0 Emax ( 2,80 ) ( 8,85 ×10−12 F/m )(18, 2 ×106 V/m )

m2

A ≈ 0, 626 m 2
[Início seção]

[Início documento]

50. Você foi encarregado de projetar um capacitor portátil que possa armazenar 250 kJ de energia e
escolhe um capacitor de armaduras paralelas com dielétrico. (a) Qual o menor valor possível
para o volume do capacitor, se for usado um dielétrico selecionado entre aqueles listados na
Tabela 1 e para os quais é dado o valor da rigidez dielétrica? (b) Capacitores modernos de alto
desempenho e que podem armazenar 250 kJ têm volumes iguais a 0,087 m3. Supondo que o
dielétrico usado tenha a mesma rigidez dielétrica do item (a), qual deve ser a sua constante
dielétrica?
(Pág. 95)
Solução.
(a) O campo elétrico entre as placas de um capacitor, carregado com carga q e preenchido com
dielétrico κ, vale:
________________________________________________________________________________________________________
a

18


E=


σ
q
=
κε 0 κε 0 A

Na expressão acima, σ é a densidade de carga em cada placa do capacitor. Resolvendo-se a equação
acima para A e multiplicando-se ambos os membros por d, a distância de separação das placas,
teremos:

q ⎛V ⎞
qV
⎜ ⎟=
κε 0 E
κε 0 E ⎝ E ⎠ κε 0 E 2
Reconhecendo-se que Ad é o volume entre as placas e que q é o produto da capacitância C pela
diferença de potencial entre as placas V, teremos:
( CV )V = CV 2
Ad =
(1)
κε 0 E 2 κε 0 E 2
Ad =

q

d=

A energia potencial acumulada no capacitor é dada por:
1
U = CV 2
2
Logo:

CV 2 = 2U
2U
Ad =
κε 0 E 2

(2)
(3)

Na condição-limite apresentada pelo problema (volume mínimo), o campo elétrico E corresponde à
rigidez dielétrica suportada pelo material dielétrico. Como o volume Ad é inversamente
proporcional à constante dielétrica e à rigidez dielétrica, o capacitor de menor volume deverá ser
construído pelo dielétrico que possua maior produto κ E2. Na Tabela 1 (Pág. 86) citada no
enunciado, a substância de maior produto κ E2 é a mica (κ = 5,4, E = 160 kV/mm). Logo:

Ad =

2 ( 250 ×103 J )

( 5, 4 ) (8,85 ×10−12 F/m ) ⎛160 ×
⎜
⎝

kV 1.000 V 1.000 mm ⎞
×
×
⎟
mm
kV
m
⎠

2

= 0, 40868

m3

Ad ≈ 0, 41 m3
(b) Resolvendo-se (3) para a constante dielétrica:
2U
κ=
Ad ε 0 E 2

κ=

2 ( 250 ×103 J )

( 0,087 m )(8,85 ×10
3

−12

kV 1.000 V 1.000 mm ⎞
⎛
×
×
F/m ) ⎜160 ×
⎟
mm
kV
m
⎝
⎠

2

= 25,3669

F

κ ≈ 25 F
[Início seção]

[Início documento]

51. Uma chapa de cobre de espessura b é introduzida exatamente no meio das armaduras de um
capacitor plano, que estão separadas pela distância d (veja a Fig. 35). (a) Qual o valor da
capacitância, depois da introdução da placa? (b) Se a carga nas armaduras mantém o valor
________________________________________________________________________________________________________
a

19



constante q, ache a razão entre a energia armazenada antes e depois da introdução da placa. (c)
Qual o trabalho realizado sobre a placa para inseri-la? A placa é puxada para dentro do
capacitor ou você tem de empurrá-la?

(Pág. 95)
Solução.
Considere o seguinte esquema:

C0,V0
+q

E0

−
−
−
−
−
−
−
−

+ + + + + + + +

d

−
−
−
−
−
−
−
−

+q
+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

E0

−q

C,V
−q +q

−q
E0

−
−
−
−
−
−
−
−

b

d
(a) A introdução de um material condutor entre as placas de um capacitor carregado causa
separação de cargas no condutor. Como o campo elétrico no interior do condutor deve ser zero
(equilíbrio eletrostático), deduz-se que a separação de cargas no condutor gerou um campo elétrico
que neutralizou o campo produzido pelas cargas nas placas. Para que isso seja possível, as cargas
induzidas no condutor devem ser iguais, em módulo, às cargas nas placas. O efeito líquido da
introdução do material condutor é a criação de dois capacitores em série, de carga q, área A,
separação das placas (d − b)/2 e capacitância C’. Chamando-se C a capacitância da associação em
série, ou seja, do capacitor original mais a placa de cobre introduzida, teremos:
1 1 1
2
= + =
C C' C' C'
ε0 A
d − b 2ε 0 A
2ε 0 A
C'
= 2 = d −b =
C=
2
2
2
2 ( d − b)

C=

ε0 A

d −b
(b) A razão entre a energia armazenada antes (U0) e depois (U) da introdução da placa, vale:

________________________________________________________________________________________________________
a

20



2
⎛ ε0 A ⎞
1
C0V02
2
⎜ d ⎟ ( E0 d )
U0 2
CV
⎝
⎠
=
= 0 02 =
1
2
U
⎛ ε0 A ⎞
CV 2 CV
⎜
⎟ ⎡ E0 ( d − b ) ⎤
⎣
⎦
2
⎝ d −b ⎠
U0
d
=
U d −b
A introdução da lâmina faz com que a energia potencial do sistema diminua.
(c) Por definição, o trabalho realizado pela força elétrica vale:

W = −ΔU = − (U − U 0 ) = U 0 −U
2
1
1
1⎛ε A⎞
1⎛ ε A ⎞
2
W = C0V02 − CV 2 = ⎜ 0 ⎟ ( E0 d ) − ⎜ 0 ⎟ ⎡ E0 ( d − b ) ⎤
⎦
2
2
2⎝ d ⎠
2⎝ d −b ⎠⎣
1
1
W = ε 0 AE02 d − ε 0 AE02 ( d − b )
2
2
ε AE
W = 0 0 E0 ⎡ d − ( d − b ) ⎤
⎣
⎦
2
ε AE
W = 0 0 E0b
(1)
2
Chamando-se de σ a densidade de cargas em cada placa do capacitor, o campo elétrico E0 valerá:
σ
q
E0 = =
(2)
ε0 ε0 A

ε 0 AE0 = q

(3)

q q
W=
b
2 ε0 A

q 2b
W=
2ε 0 A
O trabalho realizado por uma força externa é o negativo desse trabalho:

Wext = −W = −

q 2b
2ε 0 A

Quando a lâmina de cobre começa a ser introduzida no espaço entre as placas do capacitor, as
cargas já existentes na s placas polarizam a extremidade da lâmina e as cargas induzidas são
atraídas para dentro do capacitor. Como as cargas induzidas estão presas na lâmina, esta também é
atraída para dentro do capacitor. Logo, a força externa precisa puxar a lâmina para fora das placas
para neutralizar a força de atração e manter constante a velocidade de entrada da placa de cobre. A
atração da lâmina pelas placas e sua aproximação, fazem com que a energia potencial do sistema
diminua, como revelou o resultado do item (b).
[Início seção]

[Início documento]

54. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos diferentes, como mostra a Fig. 36.
Mostre que o valor de sua capacitância é dado por
________________________________________________________________________________________________________
a

21


C=


ε 0 A ⎛ κ e1 + κ e 2 ⎞

⎜
⎟
d ⎝
2
⎠
Verifique a correção deste resultado em todos os casos particulares que você for capaz de
imaginar. (Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois
capacitores ligados em paralelo?)

(Pág. 96)
Solução.
Quando o capacitor acima for carregado, toda a superfície de cada placa deve estar no mesmo
potencial, uma vez que cada placa estará conectada diretamente à fonte de potencial. Isto implica
em que a área das placas que envolverem o dielétrico κ1 terá carga q1 e capacitância C1 e a área das
placas que envolverem o dielétrico κ2 terá carga q2 e capacitância C2.
q + q C V + C2V0
= C1 + C2
C= 1 2 = 1 0
V0
V0
Note que a expressão acima corresponde a uma associação de capacitores em paralelo.
C
C C
C = κ1 0 + κ 2 0 = 0 (κ1 + κ 2 )
2
2
2
Na expressão acima, C0 é a capacitância do capacitor sem os dielétricos presentes.
ε A
C = 0 (κ1 + κ 2 )
2d
[Início seção]

[Início documento]

55. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos, como mostra a Fig. 37. Mostre
que o valor de sua capacitância é dado por
2ε A ⎛ κ κ ⎞
C = 0 ⎜ e1 e 2 ⎟
d ⎝ κ e1 + κ e 2 ⎠
Verifique a correção deste resultado para todos os casos particulares que for capaz de imaginar.
(Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois capacitores
ligados em série?)

(Pág. 96)
Solução.
________________________________________________________________________________________________________
a

22



O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância, em que q0 é a
carga nas placas do capacitor e V é a diferença de potencial entre as placas:
q
C= 0
(1)
V
Ao longo do dielétrico κ1, a diferença de potencial é V1 e o campo elétrico é E1. Ao longo de κ2, V2
e E2. Logo, a diferença de potencial vale:

V = V1 + V2 = E1

d
d E d E d Ed⎛ 1 1 ⎞
+ E2 = 0 + 0 = 0 ⎜ + ⎟
2
2 κ1 2 κ 2 2
2 ⎝ κ1 κ 2 ⎠

Na equação acima, E0 é o campo elétrico entre as placas sem os dielétricos.

V=

V0 ⎛ κ1 + κ 2 ⎞
⎟
⎜
2 ⎝ κ1κ 2 ⎠

(2)


C=

⎛ κ1κ 2 ⎞
2q0 ⎛ κ1κ 2 ⎞
⎜
⎟ = 2C0 ⎜
⎟
V0 ⎝ κ1 + κ 2 ⎠
⎝ κ1 + κ 2 ⎠

Nas equações acima, C0 é a capacitância do capacitor sem as camadas de dielétrico e V0 é a
diferença de potencial entre suas placas. Logo:

C=

2ε 0 A ⎛ κ1κ 2 ⎞
⎜
⎟
d ⎝ κ1 + κ 2 ⎠

Esta expressão é a mesma que será obtida se considerarmos que o capacitor do problema é uma
associação em série de capacitores C1 e C2, que possuem dielétricos κ1 e κ2, respectivamente.
[Início seção]

[Início documento]

56. Qual é a capacitância do capacitor da Fig. 38? A área de armadura é A.

(Pág. 96)
Solução.
Considerando-se o resultado dos Problemas 54 e 55, podemos considerar o capacitor acima como
uma associação de capacitores C1, C2 e C3, sendo que C2 e C3 estão em série e C1 está em paralelo
com C23, que é o capacitor equivalente à associação de C2 e C3. Logo:
C = C1 + C23
(1)
A capacitância C1 vale:

________________________________________________________________________________________________________
a

23



⎛ A⎞
⎝ ⎠ = κ1ε 0 A
C1 =
2d
4d
A capacitância da associação C23 vale:
⎛ κ 2ε 0 A ⎞⎛ κ 3ε 0 A ⎞
⎜ 2d ⎟⎜ 2d ⎟ ε A ⎛ κ κ ⎞
CC
⎠⎝
⎠= 0
2 3
C23 = 2 3 = ⎝
⎜
⎟
κ 2ε 0 A κ 3ε 0 A
2d ⎝ κ 2 + κ 3 ⎠
C2 + C3
+
2d
2d

κ1ε 0 ⎜ ⎟
2

C=
C=

(2)

(3)

κ1ε 0 A ε 0 A ⎛ κ 2κ 3 ⎞ ε 0 A ⎛ κ1 κ 2κ 3 ⎞
+
⎜
⎟=
⎜ +
⎟
4d
2d ⎝ κ 2 + κ 3 ⎠ 2d ⎝ 2 κ 2 + κ 3 ⎠
ε0 A ⎛

2κ 2κ 3 ⎞
⎜ κ1 +
⎟
κ 2 + κ3 ⎠
4d ⎝
[Início seção]

[Início documento]

59. Duas placas paralelas de área igual a 110 cm2 possuem cargas de sinais opostos e módulo igual
a 8,9 × 10−7C. A intensidade do campo elétrico no interior do material dielétrico que preenche o
espaço entre elas é de 1,4 × 106 V/m. (a) Calcule o valor da constante dielétrica do material. (b)
Determine o valor da carga induzida em cada superfície do dielétrico.
(Pág. 96)
Solução.
(a) A constante dielétrica κ é dada pela razão entre o campo elétrico entre as placas sem a presença
do dielétrico, E0, e o campo no interior do dielétrico, E:
E
κ= 0
E
O campo sem o dielétrico vale:
q
σ
E0 = = 0
ε0 ε0 A
Logo:

(8,9 ×10 C)
q
= 6,5301
κ= 0 =
ε 0 AE ( 8,85 ×10−12 F/m )(110 ×10−4 m2 )(1, 4 ×106 V/m )
−7

κ ≈ 6,5
(b) Considere a aplicação da lei de Gauss ao capacitor com o dielétrico, de acordo com o esquema
abaixo:

________________________________________________________________________________________________________
a

24


+q’ −q0

+ + + + + + + +

−
−
−
−
−
−
−
−

−

+

+q0 −q’


E

+

−

κ

+

−

+

−

ε 0 ∫ E ⋅ dA = q0 − q '
ε 0 EA = q0 − q '
q ' = q0 − ε 0 EA = ( 8,9 ×10−7 C ) − ( 8,85 ×10−12 F/m )(1, 4 ×106 V/m )(110 ×10−4 m2 )
q ' = 7,5371×10−7 C

q ' ≈ 0,75 μC
[Início seção]

[Início documento]

61. Um capacitor tem armaduras paralelas cuja área é de 0,118 m2 e estão separadas por 1,22 cm.
Uma bateria carrega as armaduras até que a diferença de potencial entre elas seja 120 V, sendo
então desligada. Uma placa de dielétrico, de espessura de 4,30 mm e constante dielétrica 4,80, é
então colocada simetricamente entre as armaduras do capacitor. (a) Ache a capacitância antes da
introdução do dielétrico. (b) Qual a capacitância após introduzirmos o dielétrico? (c) Qual o
valor da carga livre q antes e depois da introdução do dielétrico? (d) Qual o campo elétrico no
espaço entre as armaduras e o dielétrico? (e) Qual o campo elétrico no interior do dielétrico? (f)
Com o dielétrico colocado, qual a diferença de potencial entre as armaduras? (g) Qual o
trabalho externo realizado no processo de inserir o dielétrico?
(Pág. 96)
Solução.
(a) A capacitância C0 antes da introdução do dielétrico vale:

C0 =

ε0 A
d

(8,85 ×10
=

−12

F/m )( 0,118 m2 )

( 0, 0122 m )

= 8,5598

×10−11 F

C0 ≈ 85, 6 pF
(b) Ver adiante.
(c) A carga livre q0 nas placas, antes da introdução do dielétrico, vale:

q0 = C0V0 = ( 8,5598

×10−11 F) (120 V ) = 1, 0271 ×10−8 C

q0 ≈ 10,3 nC
Como o capacitor estava desconectado da bateria quando o dielétrico foi introduzido, não há
mudança na quantidade de carga nas placas do capacitor. Seja q a carga após a introdução do
dielétrico. Logo:
q ≈ 10,3 nC
(d) Considere o esquema abaixo, onde uma superfície gaussiana envolve uma das placas do
capacitor:
________________________________________________________________________________________________________
a

25


E0


E0

+q0
E0

+

E

−

+

−

+

−

κ

+

+ + + + + + + +

−

−
−
−
−
−
−
−
−

−q0

b
d
Aplicando-se a lei de Gauss:

ε 0 ∫ κ E ⋅ dA = q0
ε 0 ⋅1⋅ E0 A = q0

(1, 0271 ×10−8 C) = 9.836,0655
q0
E0 =
=
ε 0 A ( 8,85 ×10−12 F/m )( 0,118 m2 )

V/m

E0 ≈ 9,84 kV/m
(e) O campo elétrico no interior do dielétrico, E, vale:

E=

E0

=

κ

( 9.836, 0655
( 4,80 )

V/m )

= 2.049,8032

V/m

E0 ≈ 2, 05 kV/m
(f) Considere o esquema abaixo:
+q0
−

E
ds

E0

+

−

+

−

+

−

κ

+

+ + + + + + + +

E0

−
−
−
−
−
−
−
−

−q0

b
d
A diferença de potencial entre as armaduras do capacitor com o dielétrico vale:
+

d −b

−

0

V = − ∫ E ⋅ ds = ∫

b

E0 ds + ∫ Eds
0

V = E0 ( d − b ) + Eb

V = ( 9.836, 0655
+ ( 2.049,8032

V/m ) ⎡( 0, 0122 m ) − ( 4,30 ×10−3 m ) ⎤ +
⎣
⎦
V/m ) ( 4,30 ×10−3 m ) = 86,5163

V

________________________________________________________________________________________________________
a

26



V ≈ 86,5 V
(b) Agora podemos calcular a capacitância C do capacitor após a introdução do dielétrico com mais
facilidade:
−8
q0 (1, 0271 ×10 C )
C= =
= 1,1872
V
(86,5163 V )

×10−10 F

C ≈ 119 pF
(g) O trabalho realizado pelo agente externo, Wext, ao introduzir o dielétrico vale:
1
1
Wext = −Wint = − ( −ΔU ) = ΔU = U − U 0 = CV 2 − C0V02
2
2
1
1
2
2
Wext = 1,1872 ×10−10 F ( 86,5163 V ) − 8,5598 ×10−11 F (120 V )
2
2

(

Wext = −1, 7196

)

(

)

×10−7 J

Wext ≈ −0,172 μ J
Este resultado indica que após a introdução do dielétrico a energia potencial do dielétrico diminuiu
(Wext < 0 → Wint > 0 → ΔU < 0). Isto significa que o dielétrico é puxado para a região entre as
placas pelas forças elétricas, que realizam trabalho positivo sobre o dielétrico. A força externa
(representada pela mão que segura o dielétrico) realiza trabalho negativo sobre o dielétrico para que
o mesmo possa ser introduzido com velocidade constante.
[Início seção]

[Início documento]

62. Uma placa dielétrica de espessura b é introduzida entre as armaduras de um capacitor plano, que
estão separadas pela distância d. Mostre que a capacitância é dada por
κ eε 0 A
C=
κ e d − b (κ e − 1)
(Sugestão: Siga o procedimento usado no Exemplo 9.) Esta fórmula prevê corretamente o
resultado numérico do Exemplo 9? Serão razoáveis os resultados previstos para os casos
particulares em que b = 0, κe = 1 e b = d.
(Pág. 96)
Solução.
Considere o esquema abaixo, em que à esquerda temos um capacitor de placas planas paralelas sem
dielétrico C0 e à direita o mesmo capacitor com dielétrico, o que modifica sua capacitância para C.

________________________________________________________________________________________________________
a

27



+q0

−q0

E0

+q0
−

E
ds

κ

+

−

+

−

+

−

+

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

−
−
−
−
−
−
−
−

E0

C,V

E0

C0,V0

−
−
−
−
−
−
−
−

−q0

b

d

d
O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância:
q
C= 0
V
Precisamos agora calcular a diferença de potencial V do capacitor com dielétrico.
+

d −b

−

0

V = − ∫ E ⋅ ds = ∫

b

E0 ds + ∫ Eds
0

V = E0 ( d − b ) + Eb

(2)

Também podemos afirmar que:
q
E0 = 0
ε0 A

E=

(1)

(3)

q0

(4)

ε 0κ A


V=

q0
q
q
b
( d − b) + 0 b = 0 ⎛ d − b + ⎞
⎜
ε0 A
ε 0κ A
ε0 A ⎝
κ⎟
⎠

V=

q0 ⎡ κ d − b (κ − 1) ⎤
⎢
⎥
ε0 A ⎣
κ
⎦

(5)

κε 0 A
C=
κ d − b (κ − 1)
[Início seção]

[Início documento]

________________________________________________________________________________________________________
a

28



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 30 - CAPACITÂNCIA

EXERCÍCIOS
01
11
21
31
41

02
12
22
32
42

03
13
23
33
43

04
14
24
34
44

05
15
25
35
45

06
16
26
36
46

07
17
27
37
47

08
18
28
38
48

09
19
29
39
49

10
20
30
40
50

07
17
27
37
47

08
18
28
38
48

09
19
29
39
49

10
20
30
40
50

PROBLEMAS
01
11
21
31
41

02
12
22
32
42

03
13
23
33
43

04
14
24
34
44

05
15
25
35
45

06
16
26
36
46

[Início documento]
[Início seção]

[Início documento]

________________________________________________________________________________________________________
a
Cap. 30 – Capacitância

29

Problemas Física

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (17)

Semelhante a Problemas Física

Semelhante a Problemas Física (20)

Problemas Física