O documento apresenta os conceitos fundamentais de vetores e operações vetoriais, como adição, subtração e decomposição de vetores. É introduzido o produto escalar para determinar o ângulo entre vetores e a projeção de um vetor sobre outro. Métodos para resolver problemas envolvendo forças coplanares são explicados, incluindo a determinação da resultante de um sistema de forças.

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Objetivos da aula
Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes
usando a lei do paralelogramo.
Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano
e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor.
Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois
vetores ou a projeção de um vetor sobre outro.
Vetores de força

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Escalares e vetores
Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que
pode ser completamente especificada por sua intensidade.
Exemplos de quantidades escalares:
Comprimento
Massa
Tempo

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Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade
e uma direção para sua completa descrição.
Exemplos de vetores:
Força
Posição
Momento
Escalares e vetores

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Operações vetoriais
Multiplicação por um escalar

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Adição de vetores
Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da
adição.
Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo:
Operações vetoriais

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Adição de vetores
No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, a
lei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalar
R = A + B:
Operações vetoriais

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Subtração de vetores
R' = A – B = A + (–B)
Operações vetoriais

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Determinando uma força resultante
Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo
a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção.

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Determinando as componentes de uma força
Algumas vezes é necessário decompor
uma força em duas componentes para
estudar seu efeito em duas direções
específicas.
As componentes da força Fu e Fv são
estabelecidas simplesmente unindo a
origem de F com os pontos de interseção
nos eixos u e v.

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Procedimento para análise
Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser
resolvidos da seguinte maneira:
Lei do paralelogramo:
Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei do
paralelogramo, dando uma força resultante FR que forma a
diagonal do paralelogramo.

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Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao
longo de dois eixos u e v, então, iniciando na extremidade da
força F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, o
paralelogramo. Os lados do paralelogramo representam as
componentes, Fu e Fv.
Procedimento para análise

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Trigonometria
Redesenhe metade do
paralelogramo para a adição
triangular ‘extremidade-para-
origem’ das componentes.
Por esse triângulo, a
intensidade da força resultante
é determinada pela lei dos
cossenos, e sua direção, pela
lei dos senos. As intensidades
das duas componentes de força
são determinadas pela lei dos
senos.
Procedimento para análise

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Adição de um sistema de forças coplanares
Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo dos
eixos x e y, as componentes são chamadas de componentes
retangulares.
Estas componentes podem ser representadas utilizando:
notação escalar.
notação de vetor cartesiano.

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Notação escalar
Quando as componentes formam um
triângulo retângulo, suas intensidades podem
ser determinadas por:
No entanto, no lugar de utilizar o ângulo θ, como o
triângulo abc e o triângulo maior sombreado são
semelhantes, o comprimento proporcional dos
lados fornece:

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Notação vetorial cartesiana
Também é possível representar as componentes x e y de uma força
em termos de vetores cartesianos unitários i e j.
Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma
quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e
Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano.

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Resultante de forças coplanares
Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para
determinar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:

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Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada como
um vetor cartesiano, ou seja,
F1 = F1x i + F1y j
F2 = – F2x i + F2y j
F3 = F3x i – F3y j
O vetor resultante é, portanto,
FR = F1 + F2 + F3
= F1x i + F1y j – F2x i + F2y j + F3x i – F3y j
= (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j
= (FRx) i + (FRy) j
Resultante de forças coplanares

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Se for usada a notação escalar, temos então
(→ + ) FRx = F1x – F2x + F3x
(+ ↑) FRy = F1y + F2y – F3y
As componentes da força resultante de qualquer número de forças
coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma
algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja,
Resultante de forças coplanares
Uma vez que estas componentes são
determinadas, elas podem ser
esquematizadas ao longo dos eixos
x e y com seus sentidos de direção
apropriados, e a força resultante
pode ser determinada pela adição
vetorial.

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Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema de
Pitágoras, ou seja,
Além disso, o ângulo θ, que especifica a direção da força resultante, é
determinado através da trigonometria:
Resultante de forças coplanares

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Pontos importantes
A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada facilmente
se for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças forem
decompostas ao longo dos eixos.
A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de ação
forma com um dos eixos.
A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser
especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j.
As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma
algébrica das componentes de todas as forças coplanares.
A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de
Pitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y,
a direção é determinada por meio da trigonometria.

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Vetores cartesianos
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver
problemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se os
vetores forem primeiro representados na forma de um vetor
cartesiano.
Sistema de coordenadas destro
Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desde
que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z,
quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo
e direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo.

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Componentes retangulares de um vetor 3D
Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se
decompô-lo em componentes, como:
A = A’ + Az
e depois
A’ = Ax + Ay.
Combinando essas equações, para eliminar A', A é representado
pela soma vetorial de suas três componentes retangulares,
A = Ax + Ay + Az

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A = Axi + Ayj + Azk
Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente,
simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente em
três dimensões.
Componentes retangulares de um vetor 3D

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É sempre possível obter a intensidade do vetor A, desde que ele seja
expresso sob a forma de um vetor cartesiano.
temos:
Componentes retangulares de um vetor 3D

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Direção de um vetor cartesiano 3D
A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α
(alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre A e os eixos x, y, z
positivos, desde que sejam concorrentes na origem de A.

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Para determinarmos α, β e γ, vamos considerar as projeções de A
sobre os eixos x, y, z. Os ângulos estão nos planos de projeção.
Direção de um vetor cartesiano 3D

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Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor
unitário uA na direção de A.
Direção de um vetor cartesiano 3D
Se A for expresso sob a forma de um
vetor cartesiano, A = Ax i + Ay j + Az k,
então para que uA tenha uma intensidade
unitária e seja adimensional, A será
dividido pela sua intensidade, ou seja,
vemos que as componentes i, j, k de uA
representam os cossenos diretores de A,
ou seja,
uA = cos α i + cos β j + cos γ k

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Existe uma relação importante entre os cossenos diretores:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como:
A = A uA
A = A cos α i + A cos β j + A cos γ k
A = Ax i + Ay j + Az k
A direção de A também pode ser especificada
usando só dois ângulos: θ e ϕ
Direção de um vetor cartesiano 3D

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Pontos importantes
A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver
problemas em três dimensões.
A intensidade de um vetor cartesiano é dada por
A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção
coordenados α, β, γ que o vetor forma com os eixos x, y, z positivos,
respectivamente. As componentes do vetor unitário uA = A/A
representam os cossenos diretores α, β, γ. Apenas dois dos ângulos α, β,
γ precisam ser especificados. O terceiro ângulo é calculado pela relação:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Algumas vezes, a direção de um vetor é definida usando os dois ângulos
θ e ϕ. Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas por
decomposição vetorial usando trigonometria.
Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes (que
se interceptam em um ponto), expresse cada força como um vetor
cartesiano e adicione as componentes i, j, k de todas as forças do
sistema.

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Vetor posição
Coordenadas x, y, z
As coordenadas do ponto A são obtidas a partir de O, medindo-se xA
= +4 m ao longo do eixo x, depois yA = +2 m ao longo do eixo y e,
finalmente, zA = –6 m ao longo do eixo z. Portanto, A (4 m, 2 m, –6
m). De modo semelhante, as medidas ao longo dos eixos x, y, z desde
O até B resultam nas coordenadas de B, ou seja, B (6 m, –1 m, 4 m).

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Vetor posição
Se r estende-se da origem de coordenadas O até o ponto P (x, y, z),
então r pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como:

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Observe como a adição vetorial das três componentes produz o vetor
r.
Vetor posição

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Na maioria dos casos, o vetor posição podem ser direcionado de um
ponto A para um ponto B no espaço. Também podemos obter essas
componentes diretamente.
Vetor posição

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Produto escalar
O produto escalar dos vetores A e B, escrito A · B e lido ‘A escalar
B’, é definido como o produto das intensidades de A e B e do
cosseno do ângulo θ entre eles. Expresso na forma de equação,
A · B = AB cos θ

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Propriedades do produto escalar
1. Lei comutativa:
A · B = B · A
2. Multiplicação por escalar:
a (A · B) = (aA) · B = A · (aB)
3. Lei distributiva:
A · (B + D) = (A · B) + (A · D)

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Formulação cartesiana do produto escalar
Se quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e B
expressos na forma de um vetor cartesiano, teremos:
A · B = (Axi + Ayj + Azk) · (Bxi + Byj + Bzk)
= AxBx(i · i) + AxBy(i · j) + AxBz(i · k)
+ AyBx(j · i) + AyBy(j · j) + AyBz(j · k)
+ AzBx(k · i) + AzBy(k · j) + AzBz(k · k)
Efetuando as operações do produto escalar, obtemos o resultado final:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz

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Aplicações
O produto escalar tem duas aplicações importantes na mecânica.
O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam.
As componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha.
Aa = A cos θ = A · ua

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Pontos importantes
O produto escalar é usado para determinar o ângulo entre dois
vetores ou a projeção de um vetor em uma direção especificada.
Se os vetores A e B são expressos na forma de vetores cartesianos,
o produto escalar será determinado multiplicando-se as respectivas
componentes escalares x, y, z e adicionando-se algebricamente os
resultados, ou seja, A · B = AxBx + AyBy + AzBz.
Da definição do produto escalar, o ângulo formado entre as origens
dos vetores A e B é θ = cos–1 (A·B/AB).
A intensidade da projeção do vetor A ao longo de uma linha, cuja
direção é especificada pelo vetor unitário ua, é determinada pelo
produto escalar Aa = A · ua.
Exemplos e exercícios

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Exemplo 1
Considerando que θ = 600 e que T = 5 kN determine a
magnitude da força resultante e sua direção

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Exemplo 1

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Exemplo 2
Decomponha as forças F1 e F2 nas direções u e
v. determine os valores destas componentes.
Para F1 teremos:

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Exemplo 2
Para F2:

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resolver
1. Três cabos puxam uma tubulação de forma a criar uma
força resultante de 1800 N. Se dois cabos estão submetidos a
forças conhecidas, como indicado na figura, determine o
ângulo θ do terceiro cabo de forma que a magnitude da força
F seja mínima. Todas as forças se encontram no plano x-y.
Qual é o valor da F mínima?
2. Se a magnitude da força resultante no suporte da figura é
de 600 N e sua direção medida a partir do eixo positivo x na
direção horária é 30o, qual a magnitude da F1 e qual é sua
direção φ?
3. Determine a magnitude e a direção (os ângulos
coordenados ou diretores) da força resultante no suporte da
figura.

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resolver
4. Se a força resultante atuando no suporte é FR = {-300 i +
650 j + 250 k} determine a magnitude e os ângulos diretores
de F
5. O candelabro é suportado por três braços com correntes
congruentes no ponto O. se a força resultante em O e de 650
N direcionada segundo o eixo negativo z, determine a força
em cada um dos três braços.
6. Uma torre é mantida no seu lugar por três
cabos. Se a força que atua em cada cabo é
indicada, determine os ângulos diretores α, β,
γ da força resultante. Considere x = 20 m e y =
15 m

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resolver
7. Determine a magnitude da componente da força FAB atuando na direção do eixo z.