O documento discute métodos de aproximação de funções, especificamente o método dos mínimos quadrados. Apresenta exemplos de como usar aproximação linear e polinomial de segundo grau para encontrar as melhores funções que representam conjuntos de dados experimentais, minimizando os erros quadrados.

1. Cálculo Numérico
Aproximação de funções
Método dos mínimos quadrados
Kleber Jacinto
Eng Eletricista – Mestre em Ciência da computação
08/05/131

2. Método dos mínimos quadrados
08/05/132
Caso discreto ou Aproximação Linear
Onde qtd é o número de valores da amostra, F(x) a função
“desconhecida”, e a função de aproximação será

3. Método dos mínimos quadrados
08/05/133
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 1: Num experimento foram feitas 5 amostras com os
respectivos valores. Qual a função linear que melhor
representa os dados?
x 0 1 2 3 4
F(x) 0.98 -3,01 -6,99 -11,01 -15

4. Método dos mínimos quadrados
08/05/134
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
Qtd é igual a cinco pois temos cinco amostras. Devemos
obter os valores dos somatórios.

5. Método dos mínimos quadrados
08/05/135
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
xi F(xi) xi
2
F(xi). xi
0 0,98 0 0,00
1 -3,01 1 -3,01
2 -6,99 4 -13,98
3 -11,01 9 -33,03
4 -15,00 16 -60,00
Σ 10 35,03 30 -110,02

6. Método dos mínimos quadrados
08/05/136
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
Solucionando o sistema:
a1=-3,9960 e a2=0,9860
Então:
g(x) = -3,9960.x + 0,9860
Se desejássemos prever o valor da décima amostra,
teríamos:
g(10) = -3,9960.10+0,0960 = -39,864

7. Método dos mínimos quadrados
08/05/137
Aproximação por polinômio de 2º Grau
Onde qtd é o número de valores da amostra, F(x) a função
“desconhecida”, e a função de aproximação será

8. Método dos mínimos quadrados
08/05/138
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 2: Num experimento foram feitas 6 amostras com os
respectivos valores. Qual o polinômio de segundo grau que
melhor representa os dados?
x -2 -1 0 1 2 3
F(x) 19,01 3,99 -1,00 4,01 18,99 45,00

9. Método dos mínimos quadrados
08/05/139
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 2 – Resolução:
Qtd é igual a 6 pois temos seis amostras. Devemos obter os
valores dos somatórios.

10. Método dos mínimos quadrados
08/05/1310
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
xi xi
2
xi
3
xi
4
F(xi) F(xi).xi F(xi).xi
2
-2 4 -8 16 19,01 -38,02 76,04
-1 1 -1 1 3,99 -3,99 3,99
0 0 0 0 -1,00 0,00 0,00
1 1 1 1 4,01 4,01 4,01
2 4 8 16 18,99 37,98 75,96
3 9 27 81 45,00 135,00 405,00
Σ 3 19 27 115 90,00 134,98 565,00

11. Método dos mínimos quadrados
08/05/1311
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 2 – Resolução:
Solucionando o sistema:
a1 = 5,0893 , a2 = 0,0515 e a3 = -1,1403
Então:
g(x) = 5,0893.x2
+ 0,0515.x -1,1403

12. Exemplos adaptados do livro
Cálculo Numérico: Aprendizagem Com Apoio
de Software
Selma Arenales
Artur Darezzo
08/05/13 12