Mecânica dos fluidos capitulo 02 - 1a parte

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Capítulo 02 – ESTÁTICA DOS
FLUIDOS - 1ª PARTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Prof. Eliane Justino
2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS
Classe dos problemas da MecânicaMecânicaMecânicaMecânica dosdosdosdos FluidosFluidosFluidosFluidos onde o fluidofluidofluidofluido está em repousorepousorepousorepouso ouououou
numnumnumnum tipotipotipotipo dededede movimentomovimentomovimentomovimento quequequeque nãonãonãonão obrigaobrigaobrigaobriga asasasas partículaspartículaspartículaspartículas dededede fluidosfluidosfluidosfluidos adjacentesadjacentesadjacentesadjacentes aaaa
apresentarapresentarapresentarapresentar movimentomovimentomovimentomovimento relativorelativorelativorelativo....
As tensõestensõestensõestensões dededede cisalhamentocisalhamentocisalhamentocisalhamento nas superfícies das partículas dos fluidos são nulasnulasnulasnulas;
As únicas forçasforçasforçasforças que atuam nestasnestasnestasnestas superfíciessuperfíciessuperfíciessuperfícies são as provocadas pela pressãopressãopressãopressão.

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2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
O termo pressão indica a força normal por unidade de área que atua sobre um
ponto do fluido num dado plano.
Para entendermos a EstáticaEstáticaEstáticaEstática dosdosdosdos FluidosFluidosFluidosFluidos é preciso responder a duas questões:
QUESTÃOQUESTÃOQUESTÃOQUESTÃO 01010101 –––– ComoComoComoComo variavariavariavaria aaaa pressãopressãopressãopressão numnumnumnum pontopontopontoponto comcomcomcom aaaa direção?direção?direção?direção?
OuOuOuOu sejasejasejaseja aaaa pressãopressãopressãopressão variavariavariavaria comcomcomcom aaaa orientaçãoorientaçãoorientaçãoorientação dodododo planoplanoplanoplano quequequeque passapassapassapassa pelopelopelopelo ponto?ponto?ponto?ponto?
Para entendermos consideremos o diagrama de corpo livre de uma figura
construída removendo-se arbitrariamente um pequeno elemento de fluido com
forma de uma cunha triangular, de um meio fluido.
Força em um elemento fluido arbitrárioForça em um elemento fluido arbitrárioForça em um elemento fluido arbitrárioForça em um elemento fluido arbitrário:

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2 – PRESSÃO NUM PONTO
TensõesTensõesTensõesTensões dededede CisalhamentoCisalhamentoCisalhamentoCisalhamento sãosãosãosão nulas,nulas,nulas,nulas, poispoispoispois nãonãonãonão háháháhá deslocamentodeslocamentodeslocamentodeslocamento entreentreentreentre osososos fluidosfluidosfluidosfluidos
adjacentesadjacentesadjacentesadjacentes;;;;
AsAsAsAs forçasforçasforçasforças dededede superfíciessuperfíciessuperfíciessuperfícies que atuam na cunha são devidas as PressõesPressõesPressõesPressões que o fluidofluidofluidofluido
adjacentesadjacentesadjacentesadjacentes fazem sobre o ponto considerado;
AAAA forçaforçaforçaforça dededede corpocorpocorpocorpo considerada é a força devido o PesoPesoPesoPeso dodododo pontopontopontoponto considerado.
Para simplificação, as forças na direção x não estão mostrada e o eixo z é tomado
como o eixo vertical, onde o PesoPesoPesoPeso atua no sentidosentidosentidosentido negativonegativonegativonegativo deste eixo.
Apesar de estarmos interessados, principalmente, na situação onde o fluidofluidofluidofluido estáestáestáestá
emememem repousorepousorepousorepouso, faremos uma AnáliseAnáliseAnáliseAnálise GeralGeralGeralGeral e admitiremos que o elemento de fluido
apresenta um MovimentoMovimentoMovimentoMovimento AceleradoAceleradoAceleradoAcelerado.
A hipótese de TensõesTensõesTensõesTensões dededede CisalhamentoCisalhamentoCisalhamentoCisalhamento ser nulanulanulanula será adequada enquanto o
movimento do elemento do fluido for igual aquele de um CorpoCorpoCorpoCorpo RígidoRígidoRígidoRígido, ou seja, os
elementos adjacentes não apresentarem MovimentoMovimentoMovimentoMovimento RelativoRelativoRelativoRelativo.
Pela Segunda Lei de Newton, as equações do movimento na direção y e z são:
ps; py e px – são as pressões médias na superfícies da cunha.
γ é o peso específico do fluido;
ρ é a massa específica do fluido;
ay e az são as acelerações nas direções y e z, respectivamente.

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Analisando a geometria da Figura.
δδδδy = δδδδs.cosθθθθ e δδδδz = δδδδs . senθθθθ
As Equações do movimento podem ser reescrita do seguinte modo:
Como estamos interessados no que acontece num ponto, é interessante
analisarmos o caso limite onde δx, δy e δz tendem a zeroa zeroa zeroa zero, mas mantendo o ângulomas mantendo o ângulomas mantendo o ângulomas mantendo o ângulo θθθθ
constanteconstanteconstanteconstante. Assim;
py = ps e pz = ps

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Então px = py = pz, com θ arbitrário.
CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:
A pressão num ponto de um líquido em repouso ou movimento onde as tensões de
cisalhamento é nula, éééé independenteindependenteindependenteindependente dadadada direçãodireçãodireçãodireção.
Este Resultado importante é conhecido como LeiLeiLeiLei dededede PascalPascalPascalPascal (Blaser Pascal,
matemático francês que contribuiu significativamente no campo hidrostática 1623 –
1662).
2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
QUESTÃOQUESTÃOQUESTÃOQUESTÃO 02020202 –––– ComoComoComoComo varia,varia,varia,varia, pontopontopontoponto aaaa pontopontopontoponto aaaa pressãopressãopressãopressão numanumanumanuma certacertacertacerta quantidadequantidadequantidadequantidade dededede
fluidofluidofluidofluido quequequeque nãonãonãonão apresentaapresentaapresentaapresenta tensõestensõestensõestensões dededede cisalhamento?cisalhamento?cisalhamento?cisalhamento?
Considere um pequeno elemento de fluido:

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Existe doisdoisdoisdois tipostipostipostipos dededede forçasforçasforçasforças que atuam no elemento de fluido: asasasas superficiais,superficiais,superficiais,superficiais, devidadevidadevidadevida
aaaa pressãopressãopressãopressão e a dededede campocampocampocampo, neste caso, é igual o pesopesopesopeso dodododo elementoelementoelementoelemento.
A Pressão no centro geométrico do elemento é designada por pppp.
As pressões médias na várias faces do elemento é expressa em função de pppp e de
suassuassuassuas derivadasderivadasderivadasderivadas.
Na verdade é utilizada uma ExpansãoExpansãoExpansãoExpansão emememem SérieSérieSérieSérie dededede TaylorTaylorTaylorTaylor, baseada no centro do
elemento.
As forças superficiais na direção x não são considerada para melhor visualização da
figura.
A Força Resultante na direção y é dada por:
ou
De modo análogo, as forças resultantes na direção x e z são dadas por:

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A forma vetorial da força superficial resultante que atua no elemento é;
OuOuOuOu
Onde i,i,i,i, jjjj eeee kkkk são vetoresvetoresvetoresvetores unitáriosunitáriosunitáriosunitários do sistemasistemasistemasistema dededede coordenadascoordenadascoordenadascoordenadas.
O grupo entre parêntese representa a formaformaformaforma vetorialvetorialvetorialvetorial dodododo GradienteGradienteGradienteGradiente dededede PressãoPressãoPressãoPressão e
pode ser escrito como:
Onde
Onde o Símbolo ∇ representa o operador gradiente. Assim:

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Como o eixo z é vertical, o peso do elemento de fluido é dado por:
OOOO sinalsinalsinalsinal negativonegativonegativonegativo indicaindicaindicaindica quequequeque aaaa forçaforçaforçaforça devidadevidadevidadevida aoaoaoao pesopesopesopeso apontaapontaapontaaponta paraparaparapara baixobaixobaixobaixo (sentido(sentido(sentido(sentido
negativonegativonegativonegativo dodododo eixoeixoeixoeixo z)z)z)z)
A Segunda Lei de Newton, aplicada ao elemento de fluido, pode ser escrita da
seguinte forma:
ΣδΣδΣδΣδFFFF ==== δδδδmamamama
Onde ΣδF representa a força resultante que atua no elemento;
a é aceleração do elemento; e
δma é a massa do elemento fluido, que pode ser escrito como ρρρρ.... δδδδxxxx .... δδδδyyyy ....δδδδzzzz, assim:
ou
Dividindo por δδδδx . δδδδy .δδδδz, obtém-se
Esta é a Equação Geral do
Movimento válida para casos onde
as Tensões de Cisalhamento no
fluido são nulas.

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2.3 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO EM REPOUSO
Em Fluido em repouso tem-se:
Aceleração nula (a = 0);
Assim
Os componentes da Equação anterior são;
SIGNIFICADOSIGNIFICADOSIGNIFICADOSIGNIFICADO::::
IstoIstoIstoIsto mostramostramostramostra quequequeque aaaa pressãopressãopressãopressão nãonãonãonão éééé funçãofunçãofunçãofunção dededede xxxx eeee y,y,y,y, istoistoistoisto é,é,é,é, nãonãonãonão háháháhá variaçãovariaçãovariaçãovariação nononono valorvalorvalorvalor dadadada
pressãopressãopressãopressão quandoquandoquandoquando mudamosmudamosmudamosmudamos dededede umumumum pontopontopontoponto paraparaparapara outrooutrooutrooutro situadasituadasituadasituada nononono mesmomesmomesmomesmo planoplanoplanoplano
horizontalhorizontalhorizontalhorizontal (qualquer(qualquer(qualquer(qualquer planoplanoplanoplano paraleloparaleloparaleloparalelo aoaoaoao planoplanoplanoplano xxxx----y)y)y)y)
Então pppp é apenas função de zzzz....
Reescrevendo como uma Equação Diferencial ordinária, tem-se:

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Esta Equação é fundamental para o Cálculo da distribuição de pressão no caso
onde o fluido está em repouso. É utilizada para determinar como a pressão varia
com a elevação.
Indica o gradiente de pressão na direção vertical é negativo, ou seja, a pressão
descrece quando nos movemos para cima num fluido em repouso.
Como não há restrições em relação ao peso específico, a equação é válida para os
casos onde o fluido apresenta γ constante (por exemplo os líquidos ) e também para
os casos onde o peso específico varia (por exemplo, o ar e outros gases).
Portanto, é necessário especificar como o peso específico varia com z para que seja
possível integrar a Equação Resultante para Fluidos Estáticos.
2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
A variação do peso específico de um fluido é provocada pelas variações de sua
massa específica e da aceleração da gravidade.
γγγγ ==== ρρρρ .... gggg
Como as variações de g na maioria dos problemas das aplicações da engenharia
são desprezíveis, temos somente que analisar as possíveis variações da massa
específica.
Nos líquidos as variações da massa específica pode ser desprezada, mesmo
quando as distâncias verticais envolvidas sejam significativas.
Sendo o peso específico constante, pode se integrar diretamente a Equação de
variação de pressão, isto é:

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NotaçãoNotaçãoNotaçãoNotação paraparaparapara aaaa
variaçãovariaçãovariaçãovariação dededede
pressãopressãopressãopressão numnumnumnum fluidofluidofluidofluido
emememem repousorepousorepousorepouso eeee comcomcomcom
superfíciesuperfíciesuperfíciesuperfície livrelivrelivrelivre
Onde p1 e p2 são pressões nos planos com cota z1 e z2, respectivamente
Onde h é igual a distância z2 – z1 (profundidade medida a partir do plano que
apresenta p2)

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A pressão num fluido incompressível em repouso varia linearmente com a
profundidade, que é denominada PRESSÃOPRESSÃOPRESSÃOPRESSÃO HIDROSTÁTICAHIDROSTÁTICAHIDROSTÁTICAHIDROSTÁTICA.
A pressão precisa aumentar com a profundidade para que exista equilíbrioequilíbrioequilíbrioequilíbrio.
A diferença entre as pressões de dois pontos é especificada pela distância, h, ou
seja:
h é denominada “carga”“carga”“carga”“carga” e é interpretada como:
AAAA alturaalturaalturaaltura dadadada colunacolunacolunacoluna dededede fluidofluidofluidofluido comcomcomcom oooo pesopesopesopeso específicoespecíficoespecíficoespecífico γγγγ necessárianecessárianecessárianecessária paraparaparapara provocarprovocarprovocarprovocar umaumaumauma
diferençadiferençadiferençadiferença dededede pressãopressãopressãopressão pppp1111 ---- pppp2222....
Exemplo:
Para provocar a diferença de pressão de ∆p = 69 kPa.
ParaParaParaPara águaáguaáguaágua - γ = 9,8 kN/m3 - h = 7.09 m de coluna de H2O
ParaParaParaPara mercúriomercúriomercúriomercúrio - γ = 133,41 kN/m3 - h = 519 mm Hg = 0,519 mHg.
Sempre existe uma superfície livre quando se trabalha com líquido, e é conveniente
utilizar o valor da pressão nesta superfície como referência.
Assim, a pressão de referência, p0, é a pressão que atua na superfície livre,
normalmente é igual a pressão atmosférica.

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Se p2 = pO, tem-se que a pressão em qualquer profundidade, h, medida a partir da
superfície livre é dada por:
pppp ==== γγγγ....hhhh ++++ pppp0000
A distribuição de pressão num fluido homogêneo incompressível e em repouso é
função apenas da profundidade (em relação a algum plano de referência) e não é
influenciada pelo tamanho ou forma do tanque ou recipiente ou tanque que contém
o fluido.
Equilíbrio de um fluido num recipiente de forma arbitrária.

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A pressão é a mesma em todos os pontos da linha AB, mesmo que , a forma do
recipiente seja um tanto irregular.
O valor real da pressão ao longo de AB depende apenas da profundidade h, da
pressão na superfície livre, pO, e do peso específico do fluido contido no recipeinte.
EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 2222....1111 –––– págpágpágpág.... 30303030
A Figura abaixo mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo de
gasolina. Se a densidade da gasolina é 0,68, determine a pressão na interface
gasolina-água e no fundo do tanque.
SOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃO::::
A distância de pressão será hidrostática porque os dois fluidos estão em repouso.
Assim, a variação de pressão pode ser calculada com a Equação.

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p = p0 + γ.h
Se p0 corresponde a pressão na superfície livre da gasolina, a pressão na interface
é:
Se estivermos interessados na pressão relativa temos que p0 = 0 é:
Aplicando a mesma relação para determinar a pressão no fundo do tanque tem-se:
ParaParaParaPara transformartransformartransformartransformar osososos resultadosresultadosresultadosresultados obtidosobtidosobtidosobtidos emememem pressõespressõespressõespressões absolutasabsolutasabsolutasabsolutas bastabastabastabasta adicionaradicionaradicionaradicionar oooo
valorvalorvalorvalor dadadada pressãopressãopressãopressão atmosféricaatmosféricaatmosféricaatmosférica locallocallocallocal aosaosaosaos resultadosresultadosresultadosresultados....

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2.3.2 –FLUIDO COMPRESSÍVEL
Fluidos Compressível são aqueles em que as massas específicas variam de modo
significativo com as alterações de pressão e temperatura.
Deve-se considerar a possibilidade da variação do peso específico do fluido antes
de integrar a pressão em relação ao eixo vertical.
O peso específico dos gases comuns são pequenos em relação aos líquidos.
ParaParaParaPara 15151515ºººº CCCC aoaoaoao nívelnívelnívelnível dodododo marmarmarmar....
γγγγ arararar==== 1111,,,,2222 xxxx 101010101111 N/mN/mN/mN/m3333....
γγγγ água=água=água=água= 9999,,,,8888 xxxx 101010103333 N/mN/mN/mN/m3333....
O gradiente de pressão na direção vertical é pequeno porque o peso específico dos
gases é normalmente baixo.
Em tanques e tubulações que apresentam dimensões moderadas, pode-se
desprezar o efeito de variação de elevação sobre a pressão do gás.
Para os caso onde a variação de altura é grande, da ordem de milhares de metros,
deve-se considerar a variação do peso específico do fluido nos cálculos das
variações de pressão.
Considerando um gás perfeito.
pppp ==== ρρρρ .... RRRR .... TTTT (1)

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Substituindo (2) em (4), tem-se:
Separando as vaiáveis:
Onde g e R foram mantidos constante no intervalo de integração.
Com isto é necessário especificar como a temperatura varia com a a elevação.
Admitindo que a temperatura é constante e igual a T0 no intervalo de integração (de
z1 a z2), tem-se:
Esta equação fornece a relação entre a pressão e a altura numa camada isotérmica
de um gás perfeito.

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EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 4444....2222 –––– pagpagpagpag.... 41414141
O Empire State Building de Nova York, uma das construções mais altas do mundo,
apresenta altura aproximadamente de 381 m. Estime a relação entre as pressões
no topo e na base do edifício. Admita que a Temperatura é uniforme e igual a 15º C.
Compare este resultado com aquele que é obtido modelando o ar como
incompressível e com peso específico igual a 12,01 N/m3 (valor padrão americano
de 1 atm).
SOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃO
Modelando o ar como um fluido compressível:
Modelando o ar como incompressível:
A análise utilizando tanto o modelo de fluido compressível como de fluido
incompressível fornecem resultados praticamente igual porque a diferença de
pressão entre o topo e a base do edifício é pequena, isto é, a variação da massa
específica do fluido também pequena.

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2.4 –ATMOSFERA PADRÃO
Foi desenvolvida para ser utilizada no projeto de aviões e espaçonaves e também
para comparar o comportamento destes equipamento numa condição padrão.
É uma representação ideal da atmosfera terrestre e foi avaliada numa latitude
média e numa condição ambiental anual média.
São apresentadas em Tabela as propriedades importantes da atmosfera padrão
relativas ao nível do mar.
Também é ilustrado em Gráfico o perfil de temperatura adotado na atmosfera
padrão.

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Nota-se que a temperaturatemperaturatemperaturatemperatura decrescedecrescedecrescedecresce com aaaa altitudealtitudealtitudealtitude na região próxima da Terra,
TroposferaTroposferaTroposferaTroposfera, fica aproximadamenteaproximadamenteaproximadamenteaproximadamente constanteconstanteconstanteconstante nananana EstratosferaEstratosferaEstratosferaEstratosfera e aumentaaumentaaumentaaumenta nananana próximapróximapróximapróxima
camadacamadacamadacamada....
Variação da
Temperatura com a
altitude na atmosfera
Padrão Americana
EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO:::: Na troposfera (a região que se estende até a altura aproximadamente
igual a 11 km), a distribuição de Temperatura é dado por:
T = Ta - β z (1)
Onde Ta – temperatura ao nível do mar (z = 0)
β - a taxa de decaimento da temperatura. Nesta região, β é igual a 0,00650
K/m.
Aplicando (1) em:
(2)

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Onde pa é pressão absoluta em z = 0. Com pa, Ta e g são obtidos da Tabela de
Propriedades da Atmosfera Padrão Americano no Nível do Mar e Com R = 286,9
J/kg .K, a variação de pressão na Troposfera pode ser determinada com a Equação
anterior. O cálculo mostra que a temperatura e a pressão na interface Troposfera-
Estratosfera são iguais a -55,6º C e 23 kPa.
É importante ressaltar que os jatos comerciais modernos voam nesta região.
2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO
Vários dispositivos e técnicas foram desenvolvidos e são utilizados para medição da
pressão.
A pressão num ponto do Sistema Fluido pode ser designada em termo – AbsolutoAbsolutoAbsolutoAbsoluto eeee
RelativosRelativosRelativosRelativos....
PressõesPressõesPressõesPressões AbsolutasAbsolutasAbsolutasAbsolutas – São medidas em relação ao vácuo perfeito (pressão absoluta
nula).
PressãoPressãoPressãoPressão RelativaRelativaRelativaRelativa – É medida em relação a pressão atmosférica local.
PressãoPressãoPressãoPressão RelativaRelativaRelativaRelativa NulaNulaNulaNula – Corresponde a uma pressão igual a pressão atmosférica
local.

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PressõesPressõesPressõesPressões RelativasRelativasRelativasRelativas NegativasNegativasNegativasNegativas – Conhecida como Vácuo, são as Pressões menores
do que a pressão atmosférica local.
Pressões Absolutas são sempre positivas, mas as pressões relativas podem ser
tanto positivas (pressão maior do que a atmosférica local), quanto
negativa(pressões menores do que a pressão atmosférica local).
EXEMPLO – A pressão de 70 kPa (abs) pode ser expressa como -31,33 kPa (relativa)
se a pressão atmosférica local é de 101,33 kPa.
Pabs = Prelativa + P atm
Prelativa = Pabs – Patm
P relativa = 70 – 101,33
P relativa = -31,33 kPa
VácuoVácuoVácuoVácuo dededede 31313131,,,,33333333 kPakPakPakPa
RepresentaçãoRepresentaçãoRepresentaçãoRepresentação gráficagráficagráficagráfica dasdasdasdas PressõesPressõesPressõesPressões RelativaRelativaRelativaRelativa eeee AbsolutasAbsolutasAbsolutasAbsolutas....

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Unidade e Referência utilizados na Medição de Pressão.
P = F/A = Força/Área
UnidadesUnidadesUnidadesUnidades UsuaisUsuaisUsuaisUsuais paraparaparapara PressãoPressãoPressãoPressão....
No SI – N/m2 = Pa
Pela altura de uma coluna de líquido (em metros, milímetros, etc) e pela
especificação do líquido da coluna (água, mercúrio, etc)
EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO: A pressão atmosférica padrão pode ser expressa com 760 mmHg (abs).
Graça a relação de que P = γh, ou seja, h =P/γ
A medição da pressão atmosférica é normalmente realizada com o barômetro de
Mercúrio.
Barômetro de Mercúrio Simples

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ConstituídoConstituídoConstituídoConstituído porporporpor::::
Um tubo de vidro com uma extremidade fechada e outra aberta imersa em um
recipiente que contém mercúrio.
Inicialmente, o tubo estava repleto com mercúrio e então foi virado de ponta a
cabeça (com a extremidade aberta lacrada) e inserido no recipiente de Mercúrio.
O equilíbrio da coluna de mercúrio ocorre quando o peso da coluna mais a força
provocada pela pressão de vapor (que se desenvolve no espaço acima da coluna) é
igual a força devida a pressão atmosférica.
AssimAssimAssimAssim::::
ppppatmatmatmatm ==== γγγγ....hhhh ++++ ppppvaporvaporvaporvapor
A contribuição da pressão de vapor, na maioria dos casos, pode ser desprezada
porque é muito pequena, a pressão de vapor do mercúrio a 20º C é igual a 0,16 Pa
(abs)
Portanto:
patm = γ.h
É comum expressar patm em função da altura de uma coluna de mercúrio.
patm padrão = 101,33 kPa = 0,76 mHg = 10,36 mH2O.
Barômetro foi atribuído a Evangelista Torricelli.

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EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 2222....3333 –––– pgpgpgpg.... 44444444....
A água de um lago localizado numa região montanhosa apresenta temperatura
média iguala 10º C e a profundidade máxima do lago é 40 m. Se a pressão
barométrica local é igual a 598 mmHg determine a pressão absoluta na região mais
profunda do lago.
A pressão na água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação:
p = p0 + γh
Onde p0 é a pressão na superfície do lago.
Como estamos interessados na pressão absoluta, p0 será a pressão barométrica
local. Portanto:
p0= γHg .h = (133 kN/m3) (0,598 m) = 79,5 kN/m2.
O peso específico da água a 10º C pode ser obtida em Tabela de Propriedades do
Fluido (γHg =9,804 kN/m3).
Assim:
P = 79,5 + (9,804 kN/m3) x 40 = 472 kPa (abs)

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Técnicas utilizadas na medição de pressão que envolve o uso de colunas de líquidos
verticais ou inclinados.
Os dispositivos para a medida de pressão baseados nestas técnicas são
denominados MANÔMETROSMANÔMETROSMANÔMETROSMANÔMETROS.
ExemploExemploExemploExemplo:::: BarômetroBarômetroBarômetroBarômetro dededede MercúrioMercúrioMercúrioMercúrio....
TiposTiposTiposTipos UsuaisUsuaisUsuaisUsuais dededede ManômetrosManômetrosManômetrosManômetros::::
Tubo Piezométrico;
Manômetro em U;
Tubo Inclinado.
2.6 – MANOMETRIA
É o mais simples manômetro que existe, consiste em um tubo vertical aberto no
topo, e conectado ao recipiente no qual desejamos conhecer a pressão.
2.6.1 – TUBO PIEZOMÉTRICO
Tubo Piezométrico

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Como a coluna líquida está em equilíbrio a pressão pode ser expressa por:
p = p0 + γh
Esta equação fornece o valor da pressão gerada por qualquer coluna de fluido
homogêneo em função da pressão de referência, p0, e da distância vertical entre os
planos que apresentam p e p0.
LembreLembreLembreLembre----sesesese quequequeque::::
Pressão Caminhamento na Coluna de Fluido considerando a superfície
livre como referência.
Pressão Caminhamento na Coluna de Fluido considerando a superfície
livre como referência.
No tubo piezométrico esquematizado, tem-se:
pA = γ1 h1
p0 foi igualada a zero (o tubo é aberto no topo) e
isto implica que estamos lidando com a pressões
relativas.
pA = p1 - apresentam a mesma elevação.
RESTRIÇÕESRESTRIÇÕESRESTRIÇÕESRESTRIÇÕES DEDEDEDE UTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃO DODODODO PIEZÔMETROPIEZÔMETROPIEZÔMETROPIEZÔMETRO
1) Só é adequado nos casos onde a pressão no
recipiente é maior do que a pressão atmosférica,
visto que, se não ocorreria sucção de ar para o
interior do recipiente.

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2.6.1 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
2) A pressão no reservatório não pode ser muito grande (para que a altura da coluna
seja razoável).
3) Só é possível utilizar este dispositivo se o fluido do recipiente for um líquido.
Manômetro com Tubo
em U Simples

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Para determinar a pressão pA em função das alturas das várias colunas, aplica-se:
pA = p0 +γ.h
Nos vários trechos preenchidos com o mesmo fluido.
A pressão no ponto A e no ponto (1) são iguais.
pA = p1
A pressão no ponto (2) é igual a:
p2 = p1 + γ1.h1
A pressão no ponto (2) é igual a pressão no ponto (3), porque as elevações são
iguais.
p2 = p3
Note que não se pode saltar diretamente do ponto (1) para o ponto de mesma
elevação no outro tubo porque existem dois fluidos diferentes na região limitada
pelos planos horizontais que passam por estes pontos.
Como conhecemos a pressão no ponto (3), vamos nos mover para a superfície livre
da coluna onde a pressãopressãopressãopressão relativarelativarelativarelativa éééé nulanulanulanula.
Quando nos movemos verticalmente para cima a pressão decrescedecrescedecrescedecresce de um valor
γ2.h2.

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Estes vários passos podem ser resumidos por:
pA + γ1.h1 - γ2.h2 = 0
ou seja:
pA = γ2.h2 - γ1.h1
VANTAGENSVANTAGENSVANTAGENSVANTAGENS DODODODO MANÔMETROMANÔMETROMANÔMETROMANÔMETRO COMCOMCOMCOM OOOO TUBOTUBOTUBOTUBO EMEMEMEM UUUU::::
É que o fluido manométrico pode ser diferente do fluido contido no recipiente onde
a pressão deve ser determinada.
EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO:::: O fluido do recipiente do manômetro em tubo em U simples pode ser
tanto um gás como um líquido.
Se o recipiente contém um gás, a contribuição da coluna de gás, γ1.h1,
normalmente é desprezada de modo que:
pA ≈ p2
pA = γ2.h2
A altura da coluna (carga), h2, é determinada unicamente pelo peso específico do
fluido manométrico (γ2) para uma dada pressão. Isto permite utilizar um fluido
manométrico pesado, tal como o mercúrio, para obter uma coluna com altura
razoável quando a pressão pA é alta.
Por outro lado, pode-se utilizar um fluido mais leve, tal com a água, para obter uma
coluna de líquido com uma altura adequada se a pressão pA é baixa.

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EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 2222....4444 –––– pagpagpagpag.... 46464646
Um tanque fechado esboçado na Figura abaixo, contém ar comprimido e um óleo
que apresenta densidade 0,9. O fluido manométrico utilizado no manômetro em U
conectado ao tanque é mercúrio (densidade igual a 13,6). Se h1 = 914 mm, h2 =
152 mm e h3 = 229 mm, determine a leitura no manômetro localizado no topo do
tanque.
Seguindo o procedimento geral utilizado nesta seção, nós iniciaremos a análise na
interface ar-óleo localizada no tanque e prosseguiremos até a interface fluido
manométrico-ar atmosférico onde a pressão relativa é nula. A pressão no ponto (1)
é:
Esta pressão é igual a pressão no ponto (2) porque os dois pontos apresentam a
mesma elevação e estão localizados num trecho de tubo ocupada pelo mesmo
fluido homogêneo e que esta em equilíbrio.
A pressão no ponto (2) é igual a pressão na interface fluido manométrico-ar
atmosférico somada àquela provocada pela coluna com altura h3.

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Se nós admitirmos que a pressão relativa é nula nesta interface (note que estamos
trabalhando com pressões relativas).
ou
Aplicando os valores fornecidos no enunciado do exemplo.
Como o peso específico do ar é muito menor que o peso específico do óleo, a
pressão medida no manômetro localizado no topo do tanque é muito próxima da
pressão na interface ar comprimido-óleo. Deste modo:

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2.6.2.1– MANÔMETRO COM TUBO EM U PARA MEDIR
DIFERENÇA DE PRESSÃO
Muito utilizado para medir diferença de pressão em sistema de fluidos.
Considere o manômetro conectado entre os recipientes A e B.
Manômetro diferencial em U
A diferença de pressão entre A e B, utilizando o procedimento de Manômetro com
Tubo em U:
pA = p1
p2 = pA + γ1.h1 = p3
p4 = p3 - γ2.h2
p5 = p4 - γ3.h3 = pB
Resumindo:
pA + γ1.h1 - γ2.h2 - γ3.h3 = pB
E a diferença de pressão é dada por:
pA – pB = γ2.h2 + γ3.h3 - γ1.h1

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Geralmente os efeitos da Tensão Superficial nas várias interfaces do fluido
manométrico não são considerados.
Os efeitos de capilaridade se cancelam, pois se admite que as tensões superficiais
e os diâmetros dos tubos de cada menisco são iguais.
No manômetro em Tubo U Simples que possui diâmetro grande (em torno de 12
mm, ou maiores), o efeito do bombeamento capilar pode ser considerado
desprezível.
EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 2222....5555 –––– pgpgpgpg.... 48484848
A Figura abaixo mostra o esboço de um dispositivo utilizado para medir a vazão em
volume em tubos, Q, o bocal convergente cria uma queda de pressão pA – pB no
escoamento que está relacionada com a vazão em volume através da equação Q =
K(pA – pB) ½ (onde K é uma constante que é função das dimensões do bocal e do
tubo). A queda de pressão normalmente é medida com um manômetro diferencial
em U do tipo ilustrado na Figura. (a) Determine uma equação para pA – pB em
função do peso específico do fluido que escoa, γ1, do peso específico do fluido
manométrico, γ2, e das várias alturas indicadas na figura. (b) Determine a queda de
pressão se γ1 = 9,80 kN/m3, γ2 = 15,6 kN/m3, h1 = 1,0 m e h2 = 0,5m.

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(a) apesar do fluido no tubo esta escoando, o que está contido no manômetro está
em repouso e, assim as variações de pressão nos tubos do manômetro são
hisdrostáticas.
Deste modo, a pressão no ponto (1) é igual a pressão no ponto A menos a pressão
correspondente a coluna de fluido com altura h1 (γ1 .h1).
A pressão no ponto (2) é igual aquela no ponto (1) e também é igual aquela no
ponto (3).
Já a pressão no ponto (4) é igual no ponto (3) menos a pressão correspondente a
coluna de fluido manométrico com a altura h2 (γ2 .h2).

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A pressão no ponto (5) é igual a pressão no ponto (4).
E a pressão no ponto B é igual a pressão no ponto (4) mais a pressão
correspondente a coluna de fluido com altura (h1 + h2).
Note que apenas uma altura de coluna de fluido manométrico (h2) é importante
neste manômetro, ou seja, este dispositivo pode ser instalado com h1 igual a 0,5 ou
5,0 m acima do tubo e a leitura do manômetro (o valor h2) continuaria a mesma.
Observe também que é possível obter valores relativamente grandes de leitura
diferencial, h2, mesmo quando a diferença de pressões é baixa pois basta utilizar
fluidos que apresentem pesos específicos próximos.
(b) O valor da queda de pressão para os valores fornecidos é:

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Freqüentemente utilizado para medir pequenaspequenaspequenaspequenas variaçõesvariaçõesvariaçõesvariações dededede pressãopressãopressãopressão.
Uma perna do manômetro é inclinada, formando um ângulo θ com o plano
horizontal e a leitura diferencial l2 é medida ao longo do tubo inclinado, nesta
condição a diferença de pressão pA – pB é dado por:
2.6.3– MANÔMETRO COM TUBO INCLINADO
pA + γ1.h1 - γ2 .l2.senθ - γ3.h3 = pB
pA –pB = γ2 .l2.senθ + γ3.h3 - γ1.h1
Note que a distância vertical entre os pontos (1) e (2) é l2senθ. Assim, para o ângulo
relativamente pequeno, a leitura diferencial ao longo do tubo inclinado pode ser
feita mesmo que a diferença de pressão seja pequena.
O manômetro de tubo inclinado é sempre utilizado paraparaparapara medirmedirmedirmedir pequenaspequenaspequenaspequenas diferençasdiferençasdiferençasdiferenças
dededede pressãopressãopressãopressão emememem umumumum sistemasistemasistemasistema quequequeque contémcontémcontémcontém gásgásgásgás....
Neste caso;
pA – pB = γ2 .l2.senθ
ou

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Porque as contribuições das colunas de gases podem ser desprezadas.
A Equação acima mostra que para uma dada diferença de pressão, a leitura
diferencial l2 do manômetro de tubo inclinado é 1/semθ vezes maior que àquela do
manômetro com tubo em U.
EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....32323232 –––– 76767676
O Manômetro inclinado da Figura abaixo indica que a pressão no ponto A é de 0,6
psi. O fluido que escoa nos tubos A e B é igual e o fluido manométrico apresenta
densidade 2,6. Qual é a pressão no tubo B que corresponde a condição mostrada
na Figura a seguir. Sendo 1 psi = 7x103 Pa e γH20 = 9980 N/m3.
pA = 0,6 psi = 0,6 x 7x 103 = Pa = 4200 Pa
pA + 0,076 x γH2O – 0,203 x sen 30º x SG x γH2O - 0,076 x γH2O = pB
pB = 4200 + 0,O76 x 9980 – 0,203 x sem 30º x 2,6 x 9980 – 0,076 x 9980 =
pB = 1 566,28 Pa

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DESVANTAGENSDESVANTAGENSDESVANTAGENSDESVANTAGENS DADADADA UTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃO DEDEDEDE MANÔMETROSMANÔMETROSMANÔMETROSMANÔMETROS COMCOMCOMCOM COLUNACOLUNACOLUNACOLUNA DEDEDEDE LÍQUIDOLÍQUIDOLÍQUIDOLÍQUIDO
Inadequado para medir pressões muito altas ou que variam rapidamente com o
tempo;
Envolve a medição do comprimento de uma ou mais colunas de líquidos;
Consome um tempo significativo;
Os dispositivosdispositivosdispositivosdispositivos mecânicosmecânicosmecânicosmecânicos eeee elétricoselétricoselétricoselétricos dededede mediçãomediçãomediçãomedição dadadada pressãopressãopressãopressão é baseado no princípio
de que todas asasasas estruturasestruturasestruturasestruturas elásticaselásticaselásticaselásticas deformamdeformamdeformamdeformam quandoquandoquandoquando submetidassubmetidassubmetidassubmetidas aaaa umaumaumauma pressãopressãopressãopressão
diferencialdiferencialdiferencialdiferencial e que estaestaestaesta deformaçãodeformaçãodeformaçãodeformação pode ser relacionadarelacionadarelacionadarelacionada com oooo valorvalorvalorvalor dadadada pressãopressãopressãopressão
impostaimpostaimpostaimposta nononono elementoelementoelementoelemento.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
O dispositivo mais comum deste tipo é o MANÔMETRO DE BOURDON.
(a)(a)(a)(a) Manômetro de Bourdon para várias faixas de pressão.
(b)(b)(b)(b) Correspondentes do manômetro de Bourdon – Esquerda: Tubo de Bourdon com
formato “C” – Direita: Tubo de Bourdon “mola de torção” utilizado para medir
pressões altas.

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MANÔMETROMANÔMETROMANÔMETROMANÔMETRO DEDEDEDE BOURDONBOURDONBOURDONBOURDON....
ConstituídoConstituídoConstituídoConstituído porporporpor::::
Elemento essencial é o tubo elástico curvado, conhecido por tubo de Bourdon que
está conectado à fonte de pressão.
MecanismoMecanismoMecanismoMecanismo dededede FuncionamentoFuncionamentoFuncionamentoFuncionamento::::
O tubo curvado tende a ficar reto quando a pressão no tubo (interna) aumenta, a
deformação apesar de pequena, pode ser transformada num movimente de um
ponteiro localizado num mostrador.
A pressão indicada no manômetro de Bourdon é relativa, pois o movimento do
ponteiro está relacionada com a diferença entre pressão interna do tubo e a do
meio externo (pressão atmosférica).

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Deve ser calibrado em psi ou em Pascal.
A leitura nula indica que a pressão medida é igual a pressão atmosférica.
Mede pressões negativas (vácuo) e positiva.
BARÔMETROBARÔMETROBARÔMETROBARÔMETRO ANAERÓIDEANAERÓIDEANAERÓIDEANAERÓIDE
Utilizado para medir pressões atmosférica.
Como a pressão atmosférica é especificada como uma pressão absoluta, o medidor
de Bourdon não é indicado para este tipo de medição
ConstituiçãoConstituiçãoConstituiçãoConstituição eeee FuncionamentoFuncionamentoFuncionamentoFuncionamento
Um elemento elástico localizado num recipiente evacuado de modo que a pressão
interna no elemento é praticamente nula.
Quando a pressão atmosférica muda, o elemento deflete e altera a posição de
elemento indicador (por exemplo, um ponteiro).
O indicador pode ser calibrado para fornecer a pressão atmosférica diretamente em
milímetros de mercúrio.

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DISPOSITIVOSDISPOSITIVOSDISPOSITIVOSDISPOSITIVOS QUEQUEQUEQUE CONVERTECONVERTECONVERTECONVERTE OOOO SINALSINALSINALSINAL DEDEDEDE PRESSÃOPRESSÃOPRESSÃOPRESSÃO NUMANUMANUMANUMA SAÍDASAÍDASAÍDASAÍDA ELÉTRICAELÉTRICAELÉTRICAELÉTRICA
Monitoramento Contínuo da Pressão num Processo Químico
Indicado para medir a pressão com um dispositivo que converta o sinal de pressão
numa saída elétrica.
Este tipo de dispositivo é denominado TRANSDUTORTRANSDUTORTRANSDUTORTRANSDUTOR DEDEDEDE PRESSÃOPRESSÃOPRESSÃOPRESSÃO.
Um tipo destes dispositivos é o Tubo de Bourdon conectado a um transformador
linear diferencial variável. O núcleo do transformador é conectado a extremidade
livre do tubo de Bourdon.
Assim a deformação neste tubo, provocada pela pressão move a bobina e então
obtém-se uma tensão entre os terminais de saída do transformador.
Transdutor de
pressão que combina
um transformador
linear diferencial
variável com um tubo
de Bourdon

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A relação entre a tensão de saída e a pressão é linear e os valores da tensão podem
ser armazenados num oscilógrafo ou digitalizado para armazenamento e
processamento em um computador.
DESVANTAGENSDESVANTAGENSDESVANTAGENSDESVANTAGENS::::
Desvantagem do transdutor de pressão que utiliza o tubo de Bourdon como sensor
elástico é que a sua utilização está limitada as aplicações onde a pressão é estável
ou que não apresente variações bruscas ao longo do tempo, devido ao fato de que a
inércia é relativamente grande no tubo de Bourdon.
TRANSDUTORTRANSDUTORTRANSDUTORTRANSDUTOR DEDEDEDE PRESSÃOPRESSÃOPRESSÃOPRESSÃO QUEQUEQUEQUE UTILIZAUTILIZAUTILIZAUTILIZA UMUMUMUM DIAFRAGMADIAFRAGMADIAFRAGMADIAFRAGMA FINOFINOFINOFINO EEEE ELÁSTICOELÁSTICOELÁSTICOELÁSTICO COMOCOMOCOMOCOMO
ELEMENTOELEMENTOELEMENTOELEMENTO SENSORSENSORSENSORSENSOR
FuncionamentoFuncionamentoFuncionamentoFuncionamento::::
Quando a pressão varia, o diafragma deflete e esta deflexão é convertida num sinal
elétrico.
Um modo de realizar esta conversão é instalar um extensômetro na superfície do
diafragma que não está em contato com o fluido ou elemento solidário ao
diafragma.
Os tradutores muito sensíveis são utilizados para medir com boa precisão, pressões
pequenas ou grandes , e tanto pressões estáticas quanto variáveis.

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(a)(a)(a)(a) Dois tipos de transdutores de pressão com extensômetro (Spectramed P10EZ E
P23XL) utilizado para medir pressões fisiológicas. Os domos de plástico são
preenchidos com um fluido conectados a o vasos sanguíneos através de uma
agulha ou catéter.
(b)(b)(b)(b) Diafragma do transdutor P23XL com domo removido. A deflexão do diafragma,
provocada pelo diferencial de pressão, é medida com um extensômetro conectado
ao eixo de silício.

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EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO:::: utilizado para medir pressões sanguíneas arteriais, que são pequenas e
variam periodicamente com uma frequência próxima a 1 HZ), o transdutor é
normalmente conectado a artéria por meio de um tubo de diâmetro pequeno
(cateter) e que está preenchido com um líquido fisiológico.
Os transdutores com extensômetros podem ser projetados para apresentarem boa
resposta em frequência de até 10 kHZ, mas o seu comportamento deteriora nas
frequências mais altas porque o diafragma precisa ser mais rígidos para alcançar
uma resposta em frequência mais alta.
Uma alternativa para medir pressão em frequências mais altas é utilizar um cristal
piezoelétricopiezoelétricopiezoelétricopiezoelétrico como elemento elástico e sensor, porque quando aplicamos uma
pressão num cristal piezoelétricopiezoelétricopiezoelétricopiezoelétrico, este deforma-se e como resultado, uma tensão
elétrica, diretamente relacionada com a pressão aplicada é desenvolvida.
Pode ser utilizado para medir tanto pressões muito altas (até 6900 bar) quanto
baixa e também nos casos onde as taxas de variação da pressão é alta.
1 bar = 101 bar = 101 bar = 101 bar = 105555 PaPaPaPa

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EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE
EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....29292929 –––– pagpagpagpag.... 76767676 - O pistão mostrado na Figura abaixo apresenta peso
desprezível e área de seção transversal igual a 0,28 m2. O pistão está em contato
com óleo (SG=0,90) e o cilindro esta conectado a um tanque pressurizado, que
armazena ar, óleo e água. Observe que a Força P atua sobre o pistão para que haja
equilíbrio. (a) Calcule o valor de P. (b) determine a pressão no fundo do tanque em
metro de coluna d’água. Sendo ρH2O = 1000 kg/m3 e γ H2O = 9810 N/m3.
EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....5555 –––– pagpagpagpag.... 73737373 – Os manômetro do tipo Bourdon são muito utilizados nas
medições de pressão. O manômetro conectado ao tanque mostrado na Figura
abaixo indica que a pressão é igual a 34,5 kPa. Determine a pressão absoluta no ar
contido no tanque sabendo que a pressão atmosférica local é igual a 101,3 kPa.
Sendo γH2O = 9980 N/m3.

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EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....26262626 –––– págpágpágpág.... 75757575 – Considerando o arranjo mostrado na Figura abaixo.
Sabendo que a diferença entre as pressões em B e A é igual a 20 kPa, determine o
peso específico do fluido manométrico. Sendo γ H2O = 9980 N/m3 , ρH2O = 998 N/m3
e g = 10 m/s2.
EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....45454545 –––– pagpagpagpag.... 79797979– Determine a nova leitura diferencial no manômetro de
mercúrio mostrado na figura abaixo se a pressão no tubo A for diminuída de 10 kPa
e a pressão no tubo B permanecer constante. O fluido contido no tubo A apresenta
densidade igual a 0,9 e o contido no tubo B é água. Sendo γ H2O = 9980 N/m3 .

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Quando pA diminui a coluna da esquerda move uma distância, a, para cima, e a
coluna da direita move a mesma distância, a, para baixo, como mostra a figura
abaiixo.
EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....43434343 –––– pagpagpagpag.... 78787878 ---- Determine a relação entre as áreas A1/A2 das pernas
do manômetros mostrado na Figura abaixo se uma mudança na pressão no tubo B
de 3,5 kPa provoca uma alteração de 25,4 mm no nível do mercúrio na perna direita
do manômetro. A pressão no tubo A é constante.1111

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Mecânica dos fluidos capitulo 02 - 1a parte

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