O documento aborda a lei do resfriamento de Newton e sua aplicação em equações diferenciais relacionadas à troca de calor entre um corpo e seu ambiente. Ele explora um modelo matemático para determinar a temperatura ao longo do tempo e sugere como essa informação pode ser usada para estimar o instante da morte em investigações. Através de exemplos práticos, o texto ilustra o uso da equação diferencial na resolução de casos reais de homicídios ou mortes acidentais.

1. Celer Faculdades – Xaxim/SCCeler Faculdades – Xaxim/SC
Centro de Excelência em Gestão PúblicaCentro de Excelência em Gestão Pública
Aula De Equações DiferenciaisAula De Equações Diferenciais
Ordinárias (EDO)Ordinárias (EDO)
MATEMÁTICA APLICADAMATEMÁTICA APLICADA

2. LEI DOLEI DO
RESFRIAMENTO DERESFRIAMENTO DE
NEWTONNEWTON
Determinação do instante daDeterminação do instante da
mortemorte

3. Além das grandesAlém das grandes
contribuições para acontribuições para a
Física, Newton tambémFísica, Newton também
deixou algumasdeixou algumas
contribuições para acontribuições para a
Matemática. Uma delasMatemática. Uma delas
refere-se às trocas derefere-se às trocas de
calor entre corpos. O maiscalor entre corpos. O mais
interessante disto, parainteressante disto, para
nós, é a modelagem donós, é a modelagem do
problema, que recairá emproblema, que recairá em
uma equação diferencial.uma equação diferencial.

4. A lei de Newton doA lei de Newton do
resfriamentoresfriamento
Em 1701, com quase 60 anos, NewtonEm 1701, com quase 60 anos, Newton
publicou anonimamente um artigo “Scalapublicou anonimamente um artigo “Scala
Graduum Caloris”, onde descreve umGraduum Caloris”, onde descreve um
método para medir temperaturas de atémétodo para medir temperaturas de até
1000 °C, algo impossível aos1000 °C, algo impossível aos
termômetros da época (SOUZA, 2007).termômetros da época (SOUZA, 2007).

5. O método estava baseado no que hoje éO método estava baseado no que hoje é
conhecido como a Lei do Resfriamento deconhecido como a Lei do Resfriamento de
Newton, ou seja:Newton, ou seja:
A taxa deA taxa de
diminuição dadiminuição da
temperatura de umtemperatura de um
corpo écorpo é
proporcional àproporcional à
diferença dediferença de
temperaturastemperaturas
entre o corpo e oentre o corpo e o
ambiente.ambiente.
Em termosEm termos
matemáticos:matemáticos:
dTdT = - k (T – T= - k (T – Tmm ))
dtdt

6. DIMINUINDO COM O PASSAR DO TEMPO, EM RELAÇÃO ÀDIMINUINDO COM O PASSAR DO TEMPO, EM RELAÇÃO À
Onde:Onde:
T =T = é a temperatura do corpoé a temperatura do corpo
t =t = é o tempoé o tempo
TTm =m = é a temperatura do meio ambienteé a temperatura do meio ambiente
k =k = é uma constante que depende do materialé uma constante que depende do material
comcom que o corpo foi construído.que o corpo foi construído.
OBS.: O SINAL NEGATIVO INDICA QUE A TEMPERATURA DO CORPO ESTÁOBS.: O SINAL NEGATIVO INDICA QUE A TEMPERATURA DO CORPO ESTÁ
TEMPERATURA DO MEIO AMBIENTE.TEMPERATURA DO MEIO AMBIENTE.

7. VAMOS AO PROBLEMA...VAMOS AO PROBLEMA...
Sobre a condução do calor:Sobre a condução do calor: umum modelo real simples que tratamodelo real simples que trata
sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em quesobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que
o mesmo está colocado.o mesmo está colocado.
Aceita 3 hipóteses básicas:Aceita 3 hipóteses básicas:
1)1) A temperatura T = T (t) depende do tempo t e éA temperatura T = T (t) depende do tempo t e é
a mesma em todos os pontos do corpo.a mesma em todos os pontos do corpo.
2)2) A temperatura TA temperatura Tmm do meio ambiente permanecedo meio ambiente permanece
constante ao longo da experiência.constante ao longo da experiência.
3)3) A taxa de variação da temperatura com relaçãoA taxa de variação da temperatura com relação
ao tempo t é proporcional à diferença entre aao tempo t é proporcional à diferença entre a
temperatura do corpo e a temperatura do meiotemperatura do corpo e a temperatura do meio
ambiente.ambiente.

8. MONTAGEM E RESOLUÇÃO DAMONTAGEM E RESOLUÇÃO DA
EQUAÇÃO DIFERENCIALEQUAÇÃO DIFERENCIAL
ORDINÁRIA (EDO):ORDINÁRIA (EDO):
 Assumiremos verdadeiras as hipótesesAssumiremos verdadeiras as hipóteses
enumeradas, observando que:enumeradas, observando que:
dTdT = - k (T – T= - k (T – Tmm ))
dtdt
 Esta é uma EDO separável, que pode serEsta é uma EDO separável, que pode ser
transformada em:transformada em:
____dT__dT__ = - k dt= - k dt
(T – T(T – Tmm ))

9.  Integrando ambos os membros em relação à variávelIntegrando ambos os membros em relação à variável
tempo:tempo:
 Teremos,Teremos,
ln (T-Tln (T-Tmm ) = - k t + k) = - k t + k00
 Aplicando a função exponencial a ambos osAplicando a função exponencial a ambos os
membros, teremos:membros, teremos:
ee Ln (T - Tm)Ln (T - Tm)
= e= e k (- t + 1)k (- t + 1)

10.  Logo:Logo:
T – TT – Tmm = e= e-kt-kt
. e. e11
CC ,,
e tomando as constantes embutidas, obtém-se:e tomando as constantes embutidas, obtém-se:
T (t) – TT (t) – Tmm = C . e= C . e-kt-kt
 Então a solução da equação diferencial será:Então a solução da equação diferencial será:
T(t) = TT(t) = Tmm + C .+ C . ee-kt-kt

11. Determinação da constante C:Determinação da constante C:
Mas como sabemos que a temperatura inicial doMas como sabemos que a temperatura inicial do
corpo é T(0) = Tcorpo é T(0) = T00 , então substituindo t = 0 na solução da, então substituindo t = 0 na solução da
equação, teremos:equação, teremos:
T(0) =T(0) = TTmm + C . e+ C . eoo
TT00 = T= Tmm + C+ C
Logo,Logo,
C =C = TT00 – T– Tmm
Então substituindo C na equação, obtém-se aEntão substituindo C na equação, obtém-se a
solução final:solução final:
T(t) = TT(t) = Tmm + (T+ (T00 – T– Tmm ) . e) . e-kt-kt

12. DETERMINAÇÃO DODETERMINAÇÃO DO
INSTANTE DA MORTEINSTANTE DA MORTE
Na investigação de um homicídio, ou de uma morteNa investigação de um homicídio, ou de uma morte
acidental, é muitas vezes importante estimar o instanteacidental, é muitas vezes importante estimar o instante
da morte.da morte.
Por exemplo:Por exemplo:
1) Folheando um jornal , encontramos a seguinte notícia:1) Folheando um jornal , encontramos a seguinte notícia:
CORPO ENCONTRADO MISTERIOSAMENTECORPO ENCONTRADO MISTERIOSAMENTE
Foi encontrado pelas 4h na esquina da rua I com a rua J o corpoFoi encontrado pelas 4h na esquina da rua I com a rua J o corpo
de um homem aparentando 30 anos. Moradores do localde um homem aparentando 30 anos. Moradores do local
disseram ter ouvido tiros por volta da meia-noite e também emdisseram ter ouvido tiros por volta da meia-noite e também em
torno das 3 da madrugada. A polícia já encontrou ambos ostorno das 3 da madrugada. A polícia já encontrou ambos os
autores dos disparos. Somente após o legista identificar a horaautores dos disparos. Somente após o legista identificar a hora
da morte é que a polícia poderá prender um dos suspeitos.da morte é que a polícia poderá prender um dos suspeitos.
Você deve estar se perguntando:Você deve estar se perguntando:
Como podemos saber quando a vítima morreu?Como podemos saber quando a vítima morreu?

13. Para responder a esta pergunta precisamos saberPara responder a esta pergunta precisamos saber
a temperatura do corpo no instante da descoberta e aa temperatura do corpo no instante da descoberta e a
temperatura ambiente, e efetuarmos os seguintestemperatura ambiente, e efetuarmos os seguintes
cálculos, usando a equação final da temperatura emcálculos, usando a equação final da temperatura em
função do tempo.função do tempo.
Então vamos admitir que aEntão vamos admitir que a
temperatura do corpo seja 30°Ctemperatura do corpo seja 30°C
no instante da descoberta e 23°Cno instante da descoberta e 23°C
duas horas depois, e aduas horas depois, e a
temperatura ambiente é de 20°C.temperatura ambiente é de 20°C.
Primeiramente,Primeiramente,
calcularemos a constante k, tendocalcularemos a constante k, tendo
os dados:os dados:
T = 23°CT = 23°C
t = 2ht = 2h
TTmm = 20°C= 20°C
TT00 = 30°C= 30°C
RESOLVENDO:RESOLVENDO:
T(t) = TT(t) = Tmm + (T+ (T00 – T– Tmm) . e) . e-kt-kt
23 = 20 + (30 – 20) . e23 = 20 + (30 – 20) . e-2k-2k
3 / 10 = e3 / 10 = e-2k-2k
ee-2k-2k
= 0,3= 0,3
-2k = ln 0,3-2k = ln 0,3
k = -1,2 / -2k = -1,2 / -2
k = 0,6k = 0,6

14. Agora precisamos saber o instante daAgora precisamos saber o instante da
morte, ou seja, a hora exata da morte.morte, ou seja, a hora exata da morte.
Então vamos admitir que aEntão vamos admitir que a
temperatura do corpo seja igual atemperatura do corpo seja igual a
temperatura normal de 37°C notemperatura normal de 37°C no
instante t = 0, a temperaturainstante t = 0, a temperatura
ambiente é de 20°C.ambiente é de 20°C.
Calcularemos t (instante daCalcularemos t (instante da
morte), tendo os dados:morte), tendo os dados:
TT00 = 37°C= 37°C
TTmm = 20°C= 20°C
TT = 30°C= 30°C
k = 0,6k = 0,6
RESOLVENDO:RESOLVENDO:
T(t) = TT(t) = Tmm + (T+ (T00 – T– Tmm) . e) . e-kt-kt
30 = 20 + (37 – 20) . e30 = 20 + (37 – 20) . e-0,6t-0,6t
10 / 17 = e10 / 17 = e-0,6t-0,6t
ee-0,6t-0,6t
= 0,58823...= 0,58823...
-0,6t = ln 0,58823...-0,6t = ln 0,58823...
t = -0,53 / -0,6t = -0,53 / -0,6
t = 0,88333...ht = 0,88333...h
t 53 mint 53 min
≅

15. RESPONDENDO A PERGUNTARESPONDENDO A PERGUNTA
INICIAL:INICIAL:
Como podemos saber quando a vítima morreu?Como podemos saber quando a vítima morreu?
Como acharam o corpo às 4h, e oComo acharam o corpo às 4h, e o
instante de sua morte foi 53 mininstante de sua morte foi 53 min
antes, então a vítima morreuantes, então a vítima morreu
aproximadamente às 3h 07min.aproximadamente às 3h 07min.

16. 23/06/201423/06/2014