1. numerosnamente 1
Função Quadrática
Exercícios
1- Considere a função quadrática definida por:
( ) ( )
a) Escreva as coordenadas do vértice e a equação do eixo de simetria da parábola.
b) Represente graficamente a função
c) Determine, caso existam, os zeros da função e as coordenadas do ponto de
intersecção do gráfico da função com o eixo das ordenadas.
d) Indique os intervalos de monotonia de
e) Indique o extremo absoluto e o contradomínio da função
Resolução:
a) ( ) ( ) ; Vértice = ( ) ; a = coeficiente que dá o sentido da
concavidade. Se a>0 a concavidade é voltada para cima. Se a<0 a concavidade é
voltada para baixo; Se a função tem como raízes . Quando a>0
o contradomínio é k , + . Quando a <0, o contradomínio é - ; A equação
do eixo de simetria é ; O valor de k obtém-se substituindo na função a
incógnita “x” pelo valor de h; k = ( )
( ) ( ) ; a = -1 <0 (Concavidade voltada para baixo) ; Vértice =(3 , 1) ;
Eixo de simetria:
)
) ( ) ( ) = 0 ( ) ( )
2. numerosnamente 2
Interseção com o eixo das ordenadas: ( ) ( ) =
d) é monótona crescente: - , 3 ;
é monótona decrescente: 3 , +
e) Como a concavidade é voltada para baixo (a < 0 ), o seu contradomínio é: - , 3
Máximo absoluto = k = 1….Pois o vértice V = (h , k)
2- Considere a função ( )
a) Determine as coordenadas do vértice e o seu contradomínio
Resolução:
Temos de escrever a função na forma: ( ) ( )
Temos assim de completar o quadrado:
( ) ; cálculos auxiliares: = = ….( ) =
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ……… vértice: V = ( )
Como a = -9 <0 temos concavidade voltada para baixo, logo o seu contradomínio é:
- ,
3- Considere a função ( )
a) Escreva a equação do eixo de simetria e indique as coordenadas do vértice.
b) Esboce o gráfico de função g
c) Indique o sentido da concavidade
d) Indique os intervalos de monotonia
e) Indique os extremos
f) Indique o contradomínio
Resolução:
a) ( ) (nota: ( ) )
( ) 3( ) ; Vértice: V=(1 , 2) ; eixo de simetria:
3. numerosnamente 3
b)
c) a =3 >0 – Concavidade voltada para cima
d) ( ) é monótona crescente: 1 , +
( ) é monótona decrescente: - , 1
e) Mínimo absoluto: 2
f) Contradomínio: 2 , +
4- Na figura está representada uma função quadrática.
Atendendo as dados da figura, determine uma
expressão da função.
Resolução:
- A concavidade é voltada para baixo, logo “a<0”
- As raízes são -1 e 2
- Intersecta o eixo das ordenadas no ponto 2
- Vamos definir a função:
( ) ( )( )
( ) ( ( ))( ( ))
( ) ( )( )
Ponto =(0 , 2) ( ) ( ) ( )( )
A expressão da função é: ( ) ( )( ) ( )
4. numerosnamente 4
5- Considere o gráfico da função quadrática:
Determine uma expressão que
defina a função em estudo.
Resolução:
- a<o (concavidade voltada para
baixo)
- Vértice: V=(5 , 11)=(h, k)
- Eixo de simetria:
- Por exemplo passa pelo ponto
(2 , 2)
- expressão: ( ) ( )
- Substituindo o vértice na
expressão:
( ) ( )
-Substituindo o ponto (2,2) na
expressão, vamos obter o valor de
“a”
( ) ( ) ( )
- ( ) ( ) é a expressão pedida.
6- Considere o gráfico da função quadrática:
a) Determine as coordenadas do seu vértice.
b) Determine os intervalos onde a função é positiva e os
intervalos onde a função é negativa.
c) Escreva a equação do seu eixo de simetria.
Resolução:
a) Raízes (zeros) =
V=(h,k) ; =
( ) ( ) ; Vamos calcular o valor de “a” e “k” , usando por exemplo
os pontos (-2,0) e (0,-3) {
( )
( )
{
( )
( )
{
( )
( )
{
( )
( )
e
V=( ) = Vértice
b) Positiva: - , -2 5 , + ; Negativa: -2 , 5
c) Eixo de simetria:
5. numerosnamente 5
7- Considere a função ( )
a) Indique o domínio
b) Indique os zeros
c) Indique o contradomínio
d) Indique o extremo
Resolução:
a) ( ( ) )
b) Zeros = raízes Fórmula resolvente =
√
(com: )
;
( ) √( ) ( )( )
( )
√
c) Como a=1>0 concavidade voltada para cima, k , + ; K=
( ) ( )( )
( )
-4 , +
Nota: Vértice V = (h , k) =( , )
d) Extremo : Mínimo =k= -4 ; Minimizante=h=1
