Exercícios resolvidos sobre derivadas, retas tangentes, declives e análise de gráficos.

1. numerosnamente 1
Exercícios
Derivadas
1 – Considere a função real variável real, definida por:
( ) {
a) Averigúe se ( ) admite derivada em
b) Calcule a derivada em .
Resolução:
a) Estamos na presença de uma função definida por ramos. Vamos estudar a sua
derivada à esquerda e à direita de .
( ) (
( ) ( )
) (
)
)
( ) (
( ) ( )
) (
)
)
Como ( ) ( ) , a função não admite derivada em
b) está situado no ramo de
Assim ( ) ( ) ( ) (
( ) ( )
) (
)
)
2- Usando a definição de derivada de uma função num ponto, calcula ( ), sendo definida
por:
a) ( )
b) ( )
Resolução:
a) ( ) (
( ) ( ))
( )
) ( ) ( )
(
( )
( )
)
b) ( ) (
( ) ( ))
( )
) ( ) ( ( )
)
(
( )
( )
)

2. numerosnamente 2
3- Considere a função definida por ( ) {
a) Calcule ( ).
b) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa .
Resolução:
a) A derivada que se pretende é no ponto , onde a função está definida por ramos.
Assim temos de calcular a derivada em cada ramo.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
Cálculos auxiliares:
( )( )
Como ( ) ( ) : A derivada de ( ) em é 2.
b) O ponto de tangencia é ( ( )) ( )
( ) ( )
…calculo de ;
Reta tangente:
4- A reta de equação é perpendicular à reta, tangente ao gráfico da função no
ponto de abcissa . O valor de (
( ) ( )
)
a)3
b)2
c)
d)
Resolução:
Seja a reta : ; Uma reta perpendicular à reta :
Assim se uma reta tem declive , uma reta perpendicular à reta tem declive .

3. numerosnamente 3
A reta é perpendicular à reta tangente ao gráfico. Assim o declive da reta
tangente ao gráfico é , com declive da reta perpendicular=
Assim ;
Opção b)
5- A reta de equação é tangente ao gráfico de uma função no ponto de
abcissa 1. A função pode ser definida por:
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
Resolução:
Da reta sabemos que o seu declive = = ( )
( ) ( ) ( ) e ( ( )) ( )…esta hipótese é
eliminada pois o declive da reta é diferente da derivada no ponto de abcissa
( ) ( ) ( ) e ( ( )) ( )…O ponto terá de
pertencer à reta ...o que acontece…assim esta hipótese é válida.
( ) ( ) ( ) e ( ( )) ( )…O ponto terá
de pertencer à reta ?...o que não acontece…assim está hipótese é eliminada.
( ) ( ) ( ) e ( ( )) ( )…O ponto não
pertence à reta . Assim esta hipótese é eliminada.
Opção b)
6- Na figura está representada parte de uma função de domínio .
Uma representação gráfica da função pode ser:

4. numerosnamente 4
Resolução:
Como temos na parte do gráfico de uma parábola de uma função de grau 2, com
concavidade voltada para baixo o que indica que o coeficiente do termo de é negativo, logo
a derivada de uma função do 2º grau origina uma função afim e neste caso uma função afim
de declive (inclinação) negativa que interseta o eixo das abcissas num ponto de abcissa
negativo que corresponde a abcissa do vértice da função .
Opção A)
7- Na figura encontra-se representada a função , derivada da função .
a) Uma representação da função pode ser:
b) Seja ( ) ( ) . O gráfico da função é:
Resolução:
a) Pelo gráfico de tem como imagem uma constante (2), assim a função é uma
função afim com declive positivo.
Opção b)
b) Como a função ( ) é uma função afim da forma , então ( ) ( )
, e a derivada ( ) da uma constante =1. Opção B)

5. numerosnamente 5
8- A reta tangente ao gráfico de no ponto ( )
Se ( ) , então:
a)
b)
c)
d)
Resolução:
A reta (tangente): ;
Reta : ; O ponto é a interseção da reta com o eixo das abcissas, logo 
Opção c)
9- Na figura encontra-se representada graficamente a função , derivada da função .
Das seguintes expressões, qual pode representar
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
Resolução:
Pelo gráfico de temos uma representação de uma função afim que passa pelos pontos (3,0)
e (0,6). A sua inclinação (declive) é positivo.
A derivada de uma função de grau 2 é uma função afim.
A Opção d) é a correta pois se derivar ( ) ( )
Se   (OK)

6. numerosnamente 6
10- Se ( ) , então uma representação gráfica de pode ser:
Resolução:
Como ( ) , o seu declive é positivo, logo a função é de grau 2 com o coeficiente
do termo de , positivo. Temos assim as opções B) e D).
( ) ….é a ponto de abcissa do vértice da função
Assim no gráfico B)
No gráfico D) abcissa do vértice ( )
Opção D)
11- A reta é tangente ao gráfico da função que se encontra representada graficamente no
referencial da figura.
O valor de ( ) é:
a)
√
b) √
c)
√
d)
Resolução:
O declive ou inclinação de uma reta é igual ao valor da tangente do ângulo formado pela
respectiva reta com o eixo das abcissas ( )
( )
√
Opção: c)

7. numerosnamente 7
12- Considere as funções reais de variável real e cujas representações gráficas são as
seguintes:
Então, pode ser uma representação gráfica de:
a)
b) | |
c)
d)
Resolução:
Gráfico de {
( )
( )
( )
; Gráfico de {
( )
( )
( )
Pelo gráfico de vemos que foi obtido por
Opção c)
13- Observa a figura onde se encontram representadas graficamente as funções e . A reta
é assintota do gráfico de .
a) Calcule o domínio de .
b) Calcule o conjunto de zeros de .
Resolução:
a) =  ( )
=   = 4 , 3 , 4
b)

8. numerosnamente 8
14- Relativamente à função sabe-se que ( ) ( )  .
Então, uma representação gráfica de pode ser:
Resolução:
Opção B) a função é sempre positiva e decrescente;
Por exemplo: ( ) ; ( ) que é uma função crescente mas sempre negativa.
O produto de ( ) ( )  .
15- Na figura encontram-se representadas graficamente, por retas paralelas as funções e .
a) Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da função ?
b) Considere as seguintes afirmações:
1- O gráfico da unção é uma parábola com concavidade voltada para baixo.
2- O gráfico da função é uma reta paralela ao eixo 0X.
Diga o valor lógico das afirmações (justifique).
Resolução:
a) Zeros de : ; zeros de
Assim no gráfico de em vamos ter uma assintota vertical.

9. numerosnamente 9
Opção A)
b) Afirmação 1- Temos e duas funções afins com inclinações positivas (crescentes),
logo dá origem a uma parábola com concavidade voltada para cima. Assim a
afirmação 1 é falsa.
Afirmação 2- Na diferença entre duas funções afins ambas crescentes, o resultado é
uma assintota horizontal (reta paralela ao eixo ox )
Exemplo: ( ) ; ( ) ; ( ) ( )
Afirmação 2 é verdadeira.
16- Seja uma função real de variável real cuja função inversa tem como domínio  -1 .
Qual das seguintes representações gráficas pode corresponder à função ?
Resolução:
Se uma função tem assintota vertical em . A função inversa vai ter assintota horizontal
em
Se uma função tem assintota horizontal . A função inversa vai ter assintota vertical em
Assim a assintota vertical da função inversa é , logo a assintota horizontal da função é
Opção B)
17- Seja a função representada graficamente e uma assintota do seu gráfico.
Qual das seguintes afirmações é falsa?
a) A função admite inversa e ( ) .
b) A função existe e tem dois zeros.
c) A função | ( )| não admite inversa.

10. numerosnamente 10
d) A função não tem zeros.
Resposta:
Opção b) A função inversa existe, tem assintota vertical em , mas apenas tem um zero. A
função inversa também só tem um zero.
18- Seja a função definida por ( ) √ e a função representada graficamente na
figura ao lado.
O domínio da função é:
a)  -2 , 0 , 2
b) -1 , + 0 , 2
c) -1 , + 0
d)  0 , 2
Resolução:


 =  0
-2 -1 0 2 +
-1 , + 0 , 2 ……Opção b)
19- Na figura está representada graficamente a função real de variável real tal que
( ) e a reta tangente ao gráfico de no ponto
Determine as coordenadas de sabendo que admite como equação .
Resolução:
A derivada da função no ponto de abcissa do poto de tangencia é
igual ao valor do declive da reta tangente ao gráfico da função no
ponto de tangencia.
( )

11. numerosnamente 11
O ponto tem 
( )
20- Na figura encontra-se representada a função definida por ( ) . A reta de equação
é tangente ao gráfico de no ponto
a) Determine as coordenadas do ponto
b) Verifique se existe alguma reta de declive positivo que seja
tangente ao gráfico de . Justifique a resposta.
Resolução:
a) O declive da reta tangente = -2
( ) ; ( )
Pelo gráfico a abcissa do ponto é 1; A sua ordenada é ( )
Ponto ( )
b) ( ) logo ( ) e assim nunca existe uma reta de declive positivo que
seja tangente ao gráfico de
21- Na figura está representada uma função polinomial do 3º grau. Por observação do gráfico.
Indica o conjunto-solução da condição:
1- ( )
2- ( )
3- ( )
4- ( ) ( )
Resolução:
1- A função é positiva em - , 7
Vamos ter uma translação do vetor ( ) e para a função ( ) temos:
- , 9 .
2- Quando uma função tem extremos (máximos e mínimos), na função derivada esses
pontos são os seus zeros.
Na função temos: Min: e Max:
Em ( )
-2 , 3 .

12. numerosnamente 12
3- A função é decrescente - , -2  3 , + . Neste intervalo a função derivada é
negativa.
4- A função é decrescente e a função derivada é negativa em 7 , + . Assim verifica-se
( ) ( ) . A função é crescente e a função derivada é positiva em -2 , 3 . Aqui
também se verifica ( ) ( )
( ) ( ) -2 , 3  7 , +